Apostila - Tangência e Concordância

Prévia do material em texto

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Pág. 1 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA 
TANGÊNCIA 
Definição: 
Uma reta é tangente a uma circunferência quando ela tem um só ponto comum com esta 
circunferência, ou seja, quando sua distância ao centro da mesma é igual ao raio. Assim, teremos sempre a 
tangente perpendicular ao raio no seu ponto de tangência. 
TANGÊNCIA é a operação que nos permite traçar tangentes. Assim podemos traçar: 
- Retas tangentes às circunferências dadas.
- Circunferências tangentes a retas dadas.
- Circunferências tangentes entre si.
Propriedades: 
1. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
2. Se duas circunferências são tangentes então o ponto de tangência e os centros estão alinhados.
Resumo: 
1. A tangente a uma curva é uma reta que tem um só ponto em comum com esta curva.
2. Duas curvas são tangentes num ponto dado T, quando as tangentes a essas curvas nesse ponto
são coincidentes. 
OPERAÇÕES 
a) Traçar tangentes a uma circunferência dada, passando por um ponto T nela situado.
Construção: 
1. Marque na circunferência de centro O, um
ponto qualquer T.
2. Une-se O a T com uma reta, prolongando-a.
3. Por T, traça-se t perpendicular a OT, que será a
tangente pedida.
Pág. 2 
b) De um ponto P situado fora de uma circunferência de centro O dada, traçar duas tangentes a ela.
Construção: 
1. Une-se O a P e traça-se a mediatriz de OP,
determinando o seu ponto médio M.
2. Centro em M e raio MO traça-se um arco
auxiliar que cortará a circunferência em T e T’,
pontos de tangência.
3. Une-se P a T’ e P a T prolongando-os, assim
teremos as tangentes pedidas.
c) Traçar tangentes exteriores e comuns a duas circunferências O e O’ dadas de raios diferentes.
Construção: 
1. Une-se os centros das duas circunferências O e O’ com uma reta.
2. Traça-se a mediatriz de OO’ determinando o seu ponto médio M.
3. Na circunferência maior, de centro O, traça-se um raio qualquer determinando a reta a.
4. Com a ajuda do compasso, transfira o raio da circunferência de centro O’ (r’) para a reta a da
circunferência O determinando r”. Traça-se a circunferência de raio r” com centro em O.
5. Centro em M, ponto médio de OO’, traça-se um arco que irá cortar a circunferência auxiliar de raio r”
em A e B.
6. Une-se O a A e O a B, prolongando-os e determinando C e D (pontos de tangência na circunferência de
centro O).
7. Por O’ traça-se uma paralela a OC e OD, determinando E e F (pontos de tangência na circunferência de
centro O’).
8. Unindo C a E e D a F tem-se as tangentes pedidas.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 3 
d) Traçar tangentes interiores e comuns a duas circunferências de raios diferentes.
Construção: 
1. A construção é similar a anterior, mudando apenas a locação do raio auxiliar r’ que neste problema é
inserido na também na reta a, mas pelo lado externo à circunferência de centro O.
2. Outra mudança é que neste exercício OC será paralelo a O’F e OD paralelo a O’E.
e) Traçar uma circunferência de raio r tangente aos lados de um ângulo dado.
Construção: 
1. Nos pontos A e C escolhidos nas retas dadas
traça-se as perpendiculares, e medindo nelas A1 e
C2 iguais ao raio pedido.
2. Traça-se x paralela a AB e y paralela a BC na
distância r (raio pedido), determinando no
cruzamento de x com y o ponto O.
3. Traça-se OT perpendicular a AB e OT’
perpendicular a BC.
4. Centro em O e raio r, traça-se a circunferência
pedida.
5. Observe que T e T’ são os pontos de tangência.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 4 
f) Traçar uma circunferência tangente a uma reta r em um ponto M e que passe por um ponto P situado
fora dela.
Construção: 
1. Traça-se a reta r.
2. Por um ponto qualquer de r (pelo ponto A),
levanta-se uma perpendicular, marcando-se sobre
ela a distância de P para r (dada).
3. Centro em P com raio igual a distância de P a M
(dada), corta-se a reta determinando M.
4. Une-se M a P e por M traça-se y perpendicular a
r.
5. Traça-se a mediatriz de MP (reta x),
determinando o ponto O no cruzamento de x com
y.
6. Centro em O e raio OM, traça-se a
circunferência pedida.
g) Traçar uma circunferência de raio conhecido que seja tangente interiormente ou exteriormente a uma
circunferência dada em um dado ponto.
Construção: 
1. Traça-se a circunferência dada, de centro O e
marca-se M (ponto dado ou ponto qualquer na
circunferência dada).
2. Une-se O a M, prolongando-se.
3. Centro em M, raio r’ dado, corta-se OM ou o seu
prolongamento em O’.
4. Centro em O’ e raio r’, traça-se a circunferência
pedida.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 5 
h) Traçar três circunferências tangentes entre si e de raios diferentes.
Construção: 
1. Basta construir um triângulo ABC, cujos lados
sejam iguais a soma dos raios dados, ou seja:
AB = a + b; BC = b + c; AC = a + c.
2. Os pontos A, B e C são os centros das
circunferências pedidas.
EXERCÍCIOS 
1. Traçar reta tangente a uma circunferência de centro C dada, pelo ponto T da mesma.
2. Traçar retas tangentes a uma circunferência de centro C dada, paralelas a uma reta s dada.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 6 
3. Traçar tangentes a uma circunferência de centro C dada pelo ponto P.
a) Utilizando o centro da mesma.
b) Sem utilizar o centro da mesma.
4. Traçar retas tangentes comuns a duas circunferências de centros A e B dadas.
a) Tangentes exteriores - Método da contração.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 7 
b) Tangentes interiores – Método da dilatação.
5. Traçar circunferência de centro O dado, tangentes a reta t dada.
6. Traçar circunferências de centro O dado, tangentes a circunferência de centro C.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 8 
7. Construir as circunferências de raio r, tangentes à circunferência de centro C num ponto T da mesma.
8. Traçar circunferência que passa por um ponto P e é tangente a circunferência de centro C em T.
9. Traçar circunferência que passa pelo ponto P e é tangente a reta r em T.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 9 
10. Traçar circunferências de raio r, que passam pelo ponto P e que sejam tangentes à circunferência de
centro C.
11. Traçar circunferências de raio r, tangentes às circunferências de centro C e D.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 10 
CONCORDÂNCIA 
Definição: 
Concordar duas linhas é reuni-las de forma tal que nos pontos de contato se possa passar de uma 
para a outra sem reversão ou ângulo. 
Ponto de concordância é o ponto de contato das linhas concordantes (o ponto de concordância 
entre duas linhas concordantes corresponde ao ponto de tangência entre duas linhas tangentes). 
Centro de concordância é cada um dos centros das curvas concordantes. 
Propriedades: 
1. Um arco e uma reta estão em concordância num ponto quando a reta é tangente ao arco
nesse ponto. 
2. Na concordância de reta com arco de circunferência, o ponto de concordância e o centro de
concordância estão sobre uma mesma perpendicular. 
3. Dois arcosde circunferência estão em concordância num ponto quando admitem nesse ponto
uma tangente comum. 
OPERAÇÕES 
a) Concordar um segmento de reta AB, em B, com um arco de círculo de raio conhecido.
Construção: 
1. Traça-se AB e pelo seu extremo B levanta-se
uma perpendicular s.
2. Sobre s, a partir de B, transporta-se r (raio de
arco conhecido) determinando O.
3. Centro em O e raio OB = r, traça-se o arco
pedido.
b) Traçar um arco de circunferência que passe por um ponto P e que esteja em concordância com um
segmento AB dado, no ponto B.
Construção: 
1. Traça-se AB.
2. Marca-se P ponto dado e qualquer fora de AB.
3. Por B levanta-se uma perpendicular a AB, a reta
x.
4. Traça-se a mediatriz de BP, determinando O em
x.
5. Centro em O e raio OB, traça-se o arco pedido.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 11 
c) Concordar um arco de circunferência de raio r dado, com duas retas perpendiculares entre si.
Construção: 
1. Traçam-se x e y (perpendiculares dadas) que se
cruzam em E.
2. Centro em E, e raio r dado, traça-se um arco
auxiliar que cortará y em F e x em G.
3. Centros em F e G, mesmo raio, determina-se O.
4. Centro em O, mesmos raios traça-se o arco FG,
fazendo a concordância pedida.
5. F e G são os pontos de concordância.
d) Concordar um aço de circunferência de raio r dado com duas retas que se encontram.
Construção: 
1. Traçam-se as retas y e s dadas com ângulo de 135° entre elas.
2. Traçam-se x paralela a y e w paralela a s na distância de r (raio dado) determinando M no cruzamento
delas.
3. Por M traçam-se perpendiculares às retas dadas, determinando C e C’, que serão os pontos de
concordância.
4. Centro em M, raio MC, descreve-se o arco CC’, chegando à concordância pedida.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 12 
e) Concordar duas semi-retas paralelas, de origens diferentes e sentidos contrários, por meio de dois arcos
iguais e sinuosos, sabendo-se que os pontos de concordância entre as semi-retas e os arcos não se
encontram na mesma perpendicular.
Construção: 
1. Traça-se Sy e SR com ângulos de 105° em R, traça-se Rx paralelo a Sy.
2. Em R e S tiram-se perpendiculares, w e t, às semi-retas dadas.
3. Em RS traça-se a sua mediatriz, determinando M, ponto médio de RS.
4. Traça-se a mediatriz de MR, que cortará a reta w em O.
5. Traça-se a mediatriz de MS, que cortará a reta t em O’.
6. Centros em O e O’, raio OR descreve-se os arcos das curvas perdidas.
f) Concordar dois segmentos paralelos de medidas diferentes por meio de duas curvas concordantes e de
mesmo sentido.
Construção: 
1. Traçam-se os segmentos CD e DB com ângulo 120° entre eles. Em B traça-se AB//CD no mesmo sentido.
2. Em B e D, respectivamente, traçam-se s e r perpendiculares a AB e CD.
3. Traçam-se as bissetrizes dos ângulos B e D que se cruzarão no ponto F.
4. Por F, traça uma reta paralela a AB e CD. Determina-se O e O’ em s e r, respectivamente.
5. Centro em O, raio OB = OF, traçam-se o arco FB.
6. Centro em O’, raio O’D = O’F, traçam-se o arco FD.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 13 
g) Traçar um arco de circunferência de raio R dado, concordando com duas circunferências de raio r e r’
conhecidos.
1º Caso: Concordância Externa 
Construção: 
1. Traçam-se as circunferências dadas de centros O
e O’ na reta suporte x.
2. Centro em O, raio = R – r, descreve-se o raio
auxiliar.
3. Centro em O’, raio = R – r’, descreve-se outro
arco que cortará o primeiro em O”.
4. Une-se O” a O e O” a O’, prolongando-os até
cortarem as circunferências em A e B.
5. Centro em O”, e raio O”A = O”B, traça-se o arco
AB fazendo a concordância pedida.
Obs.: A circunferência que contém o arco AB será circunscrita às circunferências dadas. 
2º Caso: Concordância Interna 
Construção: 
1. Traçam-se as circunferências dadas de centros O
e O’ na reta suporte x.
2. Centro em O, raio = R + r, descreve-se o raio
auxiliar.
3. Centro em O’, raio R = R + r’, descreve-se outro
arco que cortará o primeiro em O”.
6. Une-se O” a O e O” a O’, prolongando-os até
cortarem as circunferências em A e B.
7. Centro em O”, e raio O”A = O”B, traça-se o arco
AB fazendo a concordância pedida.
Obs.: A circunferência que contém o arco AB será circunscrita às circunferências dadas. 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 14 
3º Caso: Concordância interna e externa 
Construção: 
1. Traçam-se as circunferências dadas de centros O
e O’ na reta suporte x.
2. Centro em O, raio = R - r, descreve-se o raio
auxiliar.
3. Centro em O’, raio R = R + r’, descreve-se outro
arco que cortará o primeiro em O”.
4. Une-se O” a O e O” a O’, prolongando-os até
cortarem as circunferências em A e B.
5. Centro em O”, e raio O”A = O”B, traça-se o arco
AB fazendo a concordância pedida.
Obs.: A circunferência que contém o arco AB será circunscrita às circunferências dadas. 
h) Concordar duas retas convergentes por meio de dois arcos de circunferência concordantes entre si e de
mesmo sentido.
Construção: 
1. Traça-se as retas r e s convergentes com ângulo de 30° entre elas.
2. Tomam-se os pontos A e C sobre r e s.
3. Traça-se por A uma perpendicular a r.
4. Centro em A, raio qualquer, determina-se o ponto O.
5. Centro em C, mesmo raio, determina-se o ponto E.
6. Traça-se a mediatriz de OE, que cortará a perpendicular CE prolongada, em O’.
7. Une-se O’ a O prolongando-se.
8. Centro em O’, raio O’C, descreve-se um arco que encontrará o prolongamento de OO’ no ponto M
(ponto de concordância entre os dois arcos).
9. Centro em O, raio OM = AO, completa-se a concordância com o arco MA.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 15 
EXERCÍCIOS 
1. Concordar um segmento de reta AB de 4,5 cm, em B, com um arco de círculo de raio 2,0 cm.
2. Traçar um arco de circunferência que passe por um ponto P e que esteja em concordância com um
segmento AB dado, no ponto B. Sabendo que a reta AB mede 6,2 cm e que o ponto P dista 2,6 cm de AB e
3 cm de B.
3. Concordar um arco de circunferência de raio r de 1,7 cm, com duas retas perpendiculares entre si.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 16 
4. Concordar um aço de circunferência de raio r de 1,5 cm com duas retas que se encontram.
5. Concordar duas semi-retas paralelas, de origens diferentes e sentidos contrários, por meio de dois arcos
iguais e sinuosos, sabendo-se que os pontos de concordância entre as semi-retas e os arcos não se
encontram na mesma perpendicular.
6. Concordar dois segmentos paralelos de medidas diferentes por meio de duas curvas concordantes e de
mesmo sentido.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 17 
7. Traçar um arco de circunferência de raio R = 4,2 cm, concordando externamente com duas
circunferências de raio r = 1,6 cm e r’ = 0,8 cm. Sabendo que a medida entre OO’ é de 4,9 cm.
8. Traçar um arco de circunferência de raio R = 2,2 cm, concordando internamente com duas
circunferências de raio r = 1,4 cm e r’ = 1,0 cm. Sabendo que a medida entre OO’ é de 5,0 cm.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)
Pág. 18 
9. Traçar um arco de circunferência de raio R = 4,1 cm, concordando internamente e externamente com
duas circunferênciasde raio r = 1,5 cm e r’ = 0,8 cm. Sabendo que a medida entre OO’ é de 4,9 cm.
10. Concordar duas retas convergentes por meio de dois arcos de circunferência concordantes entre si e de
mesmo sentido.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS ANÁPOLIS
 
Engenharia Civil da Mobilidade
Professor: Jorge Oliveira
Desenho Técnico I (DTEC I)