* Questão 7/10 - Cálculo Numérico → Considerando a equação y = f(x) = 3x7 - 2/x + 3, e a raiz no intervalo & € (-1; 0). Qual o número de interações e qual o valor obtido para a raiz, utilizando precisão de 10*, pelo método da Bissecção?

Question

* Questão 7/10 - Cálculo Numérico → Considerando a equação y = f(x) = 3x7 - 2/x + 3, e a raiz no intervalo & € (-1; 0). Qual o número de interações...

Ed · Answer

Para resolver a equação $ y = f(x) = 3x^7 - \frac{2}{x} + 3 $ e encontrar a raiz no intervalo $(-1, 0)$ usando o método da bissecção, você deve seguir os seguintes passos:

1. **Verifique os valores de $ f(x) $** nos extremos do intervalo:
   - Calcule $ f(-1) $ e $ f(0) $ (note que $ f(0) $ não é definido, então você deve escolher um valor próximo de 0, como $ f(-0.1) $).
   
2. **Determine o sinal** de $ f(-1) $ e $ f(-0.1) $:
   - Se $ f(-1) $ e $ f(-0.1) $ tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz no intervalo.

3. **Aplique o método da bissecção**:
   - Divida o intervalo em duas partes e escolha o subintervalo onde a função muda de sinal.
   - Repita o processo até atingir a precisão desejada (10 casas decimais).

4. **Número de iterações**:
   - O número de iterações $ n $ pode ser estimado pela fórmula:
     $$
     n \geq \frac{\log(b-a) - \log(\text{precisão})}{\log(2)}
     $$
   - Onde $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo inicial.

5. **Valor da raiz**:
   - O valor obtido para a raiz será o ponto médio do último intervalo onde a função muda de sinal.

Para um cálculo exato, você precisaria realizar as iterações e os cálculos numéricos. Se precisar de ajuda com os cálculos específicos, sinta-se à vontade para perguntar!

Ed · Answer

Para utilizar o método da Bissecção, precisamos encontrar um intervalo [a, b] que contenha a raiz da função. Como a raiz está no intervalo (-1, 0), podemos escolher a = -1 e b = 0.

O número de iterações necessárias para obter uma precisão de 10^-10 é dado por:

n = (log(b-a) - log(10*))/log(2)

Substituindo os valores, temos:

n = (log(1) - log(10^-10))/log(2) = 33.22

Portanto, serão necessárias 34 iterações para obter a precisão desejada.

Agora, vamos aplicar o método da Bissecção para encontrar a raiz da função:

- Na primeira iteração, o ponto médio do intervalo é x1 = (a+b)/2 = -0,5. Calculando f(x1), temos f(x1) = 3*(-0,5)^7 - 2/(-0,5) + 3 = -1,75. Como f(a)*f(x1)  0, a raiz está no intervalo [x2, x1].

- Na terceira iteração, o ponto médio do novo intervalo é x3 = (x2+x1)/2 = -0,625. Calculando f(x3), temos f(x3) = 3*(-0,625)^7 - 2/(-0,625) + 3 = -0,32. Como f(a)*f(x3)  0, a raiz está no intervalo [x4, x3].

- Na quinta iteração, o ponto médio do novo intervalo é x5 = (x4+x3)/2 = -0,65625. Calculando f(x5), temos f(x5) = 3*(-0,65625)^7 - 2/(-0,65625) + 3 = 0,06. Como f(a)*f(x5) > 0, a raiz está no intervalo [x5, x3].

- Na sexta iteração, o ponto médio do novo intervalo é x6 = (x5+x3)/2 = -0,640625. Calculando f(x6), temos f(x6) = 3*(-0,640625)^7 - 2/(-0,640625) + 3 = -0,13. Como f(a)*f(x6)  0, a raiz está no intervalo [x8, x7].

- Na nona iteração, o ponto médio do novo intervalo é x9 = (x8+x7)/2 = -0,650390625. Calculando f(x9), temos f(x9) = 3*(-0,650390625)^7 - 2/(-0,650390625) + 3 = -0,02. Como f(a)*f(x9)

Cálculo Numérico

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