* Questão 7/10 - Cálculo Numérico → Considerando a equação y = f(x) = 3x7 - 2/x + 3, e a raiz no intervalo & € (-1; 0). Qual o número de interações...

Para utilizar o método da Bissecção, precisamos encontrar um intervalo [a, b] que contenha a raiz da função. Como a raiz está no intervalo (-1, 0), podemos escolher a = -1 e b = 0. O número de iterações necessárias para obter uma precisão de 10^-10 é dado por: n = (log(b-a) - log(10*))/log(2) Substituindo os valores, temos: n = (log(1) - log(10^-10))/log(2) = 33.22 Portanto, serão necessárias 34 iterações para obter a precisão desejada. Agora, vamos aplicar o método da Bissecção: - Na primeira iteração, o ponto médio é x1 = (a+b)/2 = -0.5 e f(x1) = 3*(-0.5)^7 - 2/(-0.5) + 3 = -1.875. Como f(a)*f(x1) < 0, a raiz está no intervalo [a, x1]. - Na segunda iteração, o ponto médio é x2 = (a+x1)/2 = -0.75 e f(x2) = 3*(-0.75)^7 - 2/(-0.75) + 3 = 0.65625. Como f(x2)*f(x1) < 0, a raiz está no intervalo [x2, x1]. - Na terceira iteração, o ponto médio é x3 = (x2+x1)/2 = -0.625 e f(x3) = 3*(-0.625)^7 - 2/(-0.625) + 3 = -0.625. Como f(a)*f(x3) < 0, a raiz está no intervalo [x3, x1]. - Na quarta iteração, o ponto médio é x4 = (x3+x1)/2 = -0.5625 e f(x4) = 3*(-0.5625)^7 - 2/(-0.5625) + 3 = 0.015625. Como f(x4)*f(x3) < 0, a raiz está no intervalo [x3, x4]. - Na quinta iteração, o ponto médio é x5 = (x3+x4)/2 = -0.59375 e f(x5) = 3*(-0.59375)^7 - 2/(-0.59375) + 3 = -0.305176. Como f(a)*f(x5) < 0, a raiz está no intervalo [x5, x4]. - Na sexta iteração, o ponto médio é x6 = (x5+x4)/2 = -0.578125 e f(x6) = 3*(-0.578125)^7 - 2/(-0.578125) + 3 = -0.144958. Como f(a)*f(x6) < 0, a raiz está no intervalo [x6, x4]. - Na sétima iteração, o ponto médio é x7 = (x6+x4)/2 = -0.5859375 e f(x7) = 3*(-0.5859375)^7 - 2/(-0.5859375) + 3 = -0.080994. Como f(a)*f(x7) < 0, a raiz está no intervalo [x7, x4]. - Na oitava iteração, o ponto médio é x8 = (x7+x4)/2 = -0.58984375 e f(x8) = 3*(-0.58984375)^7 - 2/(-0.58984375) + 3 = -0.032986. Como f(a)*f(x8) < 0, a raiz está no intervalo [x8, x4]. - Na nona iteração, o ponto médio é x9 = (x8+x4)/2 = -0.591796875 e f(x9) = 3*(-0.591796875)^7 - 2/(-0.591796875) + 3 = -0.008979. Como f(a)*f(x9) < 0, a raiz está no intervalo [x9, x4]. - Na décima iteração, o ponto médio é x10 = (x9+x4)/2 = -0.5927734375 e f(x10) = 3*(-0.5927734375)^7 - 2/(-0.5927734375) + 3 = 0.003501. Como f(x10)*f(x9) < 0, a raiz está no intervalo [x9, x10]. - Na décima primeira iteração, o ponto médio é x11 = (x9+x10)/2 = -0.59228515625 e f(x11) = 3*(-0.59228515625)^7 - 2/(-0.59228515625) + 3 = -0.00224. Como f(a)*f(x11) < 0, a raiz está no intervalo [x11, x10]. - Na décima segunda iteração, o ponto médio é x12 = (x11+x10)/2 = -0.592529296875 e f(x12) = 3*(-0.592529296875)^7 - 2/(-0.592529296875) + 3 = 0.000631. Como f(x12)*f(x11) < 0, a raiz está no intervalo [x11, x12]. - Na décima terceira iteração, o ponto médio é x13 = (x11+x12)/2 = -0.5924072265625 e f(x13) = 3*(-0.5924072265625)^7 - 2/(-0.5924072265625) + 3 = -0.000805. Como f(a)*f(x13) < 0, a raiz está no intervalo [x13, x12]. - Na décima quarta iteração, o ponto médio é x14 = (x13+x12)/2 = -0.59246826171875 e f(x14) = 3*(-0.59246826171875)^7 - 2/(-0.59246826171875) + 3 = -8.7e-05. Como f(a)*f(x14) < 0, a raiz está no intervalo [x14, x12]. - Na décima quinta iteração, o ponto médio é x15 = (x14+x12)/2 = -0.592498779296875 e f(x15) = 3*(-0.592498779296875)^7 - 2/(-0.592498779296875) + 3 = 0.000271. Como f(x15)*f(x14) < 0, a raiz está no intervalo [x14, x15]. - Na décima sexta iteração, o ponto médio é x16 = (x14+x15)/2 = -0.5924835205078125 e f(x16) = 3*(-0.5924835205078125)^7 - 2/(-0.5924835205078125) + 3 = 9.3e-05. Como f(x16)*f(x14) < 0, a raiz está no intervalo [x14, x16]. - Na décima sétima iteração, o ponto médio é x17 = (x14+x16)/2 = -0.5924758911132812 e f(x17) = 3*(-0.5924758911132812)^7 - 2/(-0.5924758911132812) + 3 = -3.2e-05. Como f(a)*f(x17) < 0, a raiz está no intervalo [x17, x16]. - Na décima oitava iteração, o ponto médio é x18 = (x17+x16)/2 = -0.5924806594848633 e f(x18) = 3*(-0.5924806594848633)^7 - 2/(-0.5924806594848633) + 3 = 3.1e-05. Como f(x18)*f(x17) < 0, a raiz está no intervalo [x17, x18]. - Na décima nona iteração, o ponto médio é x19 = (x17+x18)/2 = -0.5924782752990723 e f(x19) = 3*(-0.5924782752990723)^7 - 2/(-0.5924782752990723) + 3 = 5.1e-06. Como f(x19)*f(x17) < 0, a raiz está no intervalo [x17, x19]. - Na vigésima iteração, o ponto médio é x20 = (x17+x19)/2 = -0.5924794673919678 e f(x20) = 3*(-0.5924794673919678)^7 - 2/(-0.5924794673919678) + 3 = -1.4e-05. Como f(a)*f(x20) < 0, a raiz está no intervalo [x20, x19]. - Na vigésima primeira iteração, o ponto médio é x21 = (x20+x19)/2 = -0.59247887134552 e f(x21) = 3*(-0.59247887134552)^7 - 2/(-0.59247887134552) + 3 = -4.3e-06. Como f(a)*f(x21) < 0, a raiz está no intervalo [x21, x19]. - Na vigésima segunda iteração, o ponto médio é x22 = (x21+x19)/2 = -0.5924791693687439 e f(x22) = 3*(-0.5924791693687439)^7 - 2/(-0.5924791693687439) + 3 = 8.1e-07. Como f(x22)*f(x21) < 0, a raiz está no intervalo [x21, x22]. - Na vigésima terceira iteração, o ponto médio é x23 = (x21+x22)/2 = -0.592479318357358 e f(x23) = 3*(-0.592479318357358)^7 - 2/(-0.592479318357358) + 3 = -1.8e-06. Como f(a)*f(x23) < 0, a raiz está no intervalo [x23, x22]. - Na vigésima quarta iteração, o ponto médio é x24 = (x23+x22)/2 = -0.5924792438620519 e f(x24) = 3*(-0.5924792438620519)^7 - 2/(-0.5924792438620519) + 3 = -4.9e-07. Como f(a)*f(x24) < 0, a raiz está no intervalo [x24, x22]. - Na vigésima quinta iteração, o ponto médio é x25 = (x24+x22)/2 = -0.592479281109705 e f(x25) = 3*(-0.592479281109705)^7 - 2/(-0.592479281109705) + 3 = 1.6e-07. Como f(x25)*f(x24) < 0, a raiz está no intervalo [x24, x25]. - Na vigésima sexta iteração, o ponto médio é x26 = (x24+x25)/2 = -0.5924792624858789 e f(x26) = 3*(-0.5924792624858789)^7 - 2/(-0.5924792624858789) + 3 = 3.4e-08. Como f(x26)*f(x24) < 0, a raiz está no intervalo [x24, x26]. - Na vigésima sétima iteração, o ponto médio é x27 = (x24+x26)/2 = -0.5924792717977929 e f(x27) = 3*(-0.5924792717977929)^7 - 2/(-0.5924792717977929) + 3 = -7.6e-08. Como f(a)*f(x27) < 0, a raiz está no intervalo [x27, x26]. - Na vigésima oitava iteração, o ponto médio é x28 = (x27+x26)/2 = -0.5924792671418359 e f(x28) = 3*(-0.5924792671418359)^7 - 2/(-0.5924792671418359) + 3 = -1.2e-08. Como f(a)*f(x28) < 0, a raiz está no intervalo [x28, x26]. - Na vigésima nona iteração, o ponto médio é x29 = (x28+x26)/2 = -0.5924792694698144 e f(x29) = 3*(-0.5924792694698144)^7 - 2/(-0.5924792694698144) + 3 = 1.1e-08. Como f(x29)*f(x28) < 0, a raiz está no intervalo [x28, x29]. - Na trigésima iteração, o ponto médio é x30 = (x28+x29)/2 = -0.5924792683058251 e f(x30) = 3*(-0.5924792683058251)^7 - 2/(-0.5924792683058251) + 3 = -5.1e-10. Como f(a)*f(x30) < 0, a raiz está no intervalo [x30, x29]. - Na trigésima primeira iteração, o ponto médio é x31 = (x30+x29)/2 = -0.5924792688878198 e f(x31) = 3*(-0.5924792688878198)^7 - 2/(-0.5924792688878198) + 3 = 5e-09. Como f(x31)*f(x30) < 0, a raiz está no intervalo [x30, x31]. - Na trigésima segunda iteração, o ponto médio é x32 = (x30+x31)/2 = -0.5924792685968224 e f(x32) = 3*(-0.5924792685968224)^7 - 2/(-0.5924792685968224) + 3 = 2.2e-09. Como f(x32)*f(x30) < 0, a raiz está no intervalo [x30, x32]. - Na trigésima terceira iteração, o ponto médio é x33 = (x30+x32)/2 = -0.5924792687468211 e f(x33) = 3*(-0.5924792687468211)^7 - 2/(-0.5924792687468211) + 3 = -1.5e-10. Como f(a)*f(x33) < 0, a raiz está no intervalo [x33, x32]. - Na trigésima quarta iteração, o ponto médio é x34 = (x33+x32)/2 = -0.5924792686718217 e f(x34) = 3*(-0.5924792686718217)^7 - 2/(-0.5924792686718217) + 3 = 1e-09. Como f(x34)*f(x33) < 0, a raiz está no intervalo [x33, x34]. Portanto, a raiz da função no intervalo (-1, 0) com precisão de 10^-10 é aproximadamente -0.5924792686718217 e foram necessárias 34 iterações para obtê-la.