Matemática Aplicada CONTEÚDO I

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Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
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Material Didático 
Unidade 1 - Lógica, conjuntos e operações 
Nesta unidade você verá: 
// matemática aplicada: conceituação, números reais e lógica 
// operações e propriedades 
Apresentação 
Olá aluno(a)! 
O desenvolvimento do conhecimento científico e tecnológico tem sido um 
dos principais objetivos da sociedade moderna. Esse conhecimento, cada vez 
mais esmerado, possui implicações diretas no desenvolvimento social da 
humanidade. 
Isso se dá porque estudos sociológicos, médicos e computacionais, entre 
outros, dependem de ferramentas que permitam a obtenção de conclusões e 
resultados significativos para cada um desses campos de estudo. 
A matemática aplicada e a lógica matemática cada vez mais têm sido 
utilizadas como subsídios para a convergência para esses objetivos. Assim, nessa 
disciplina, serão estudados os conceitos matemáticos necessários para que se 
inicie a aplicação da matemática a problemas reais. 
Isso posto, ao final dessa disciplina você terá em mãos ferramentas 
poderosas para a concepção de uma habilidade analítica matemática ímpar para 
os dias atuais. 
Bons estudos! 
 
AUTOR 
Daniel de Freitas Barros Neto é mestre bolsista em Ensino e História das Ciências 
e da Matemática pela Universidade Federal do ABC (2020) e 
graduado como Bacharel em Ciência e Tecnologia pela 
Universidade Federal do ABC (2018). Trabalha em pesquisas 
nas áreas de Ensino de Astronomia, de Estatística, de 
Matemática e Inferência Causal. Além disso, trabalha com o 
desenvolvimento de materiais didáticos para cursos de exatas 
na modalidade EaD. Faz parte do Grupo de Estudos em 
Educação Estatística e Matemática – o GEEM, e possui 
publicações nacionais e internacionais acerca da formação de professores de 
Ciências e Matemática. 
“A todos aqueles que, ao meu lado, se empenham em cultivar o melhor de si todos 
os dias. Amores, famílias e amigos, não sou nada sem vocês”. 
Daniel de Freitas Barros Neto 
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Objetivos 
Unidade 1. Lógica, conjuntos e operações 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
• Compreender os conceitos introdutórios da lógica matemática; 
• Apresentar os conjuntos numéricos no contexto dos reais; 
• Compreender as operações algébricas que envolvem potenciação, 
radiciação e fração. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
1. Matemática aplicada: conceituação, números reais e lógica 
// Conceituação: matemática aplicada 
// Conjuntos numéricos: dos naturais aos reais 
// Introdução à lógica 
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2. Operações e propriedades 
// Propriedades e regra de sinal 
// Frações, potenciação e radiciação 
 
Matemática aplicada: conceituação, números reais e lógica 
 
A matemática aplicada e a lógica matemática cada vez mais têm sido 
utilizadas como subsídios para a obtenção de conclusões e resultados mais 
apurados, principalmente com o auxílio da probabilidade e estatística e da 
computação. Compreender essas ferramentas, além de como elas desempenham 
este papel tão importante, tornou-se uma habilidade imprescindível para um 
profissional inserido na sociedade moderna. 
Esta seção, portanto, apresentará uma conceituação básica acerca da 
matemática aplicada, descrevendo um dos principais blocos construtores da 
matemática: os conjuntos numéricos. Aqui, analisaremos uma construção 
conjuntiva que parte dos números naturais até o alcance do entendimento de 
conjuntos mais complexos, como é o caso do conjunto dos números reais. 
Além disso, expressaremos uma introdução à lógica matemática e suas 
principais estruturas e princípios, debatendo alguns aspectos acerca de 
proposições e argumentos, além de investigar inicialmente a forma lógica. Por fim, 
exploraremos sucintamente alguns exemplos matemáticos que utilizam a lógica 
como ferramenta analítica. 
 
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CONCEITUAÇÃO: MATEMÁTICA APLICADA 
 
A utilização da matemática em diversas áreas de conhecimento é 
extremamente importante para que se possa trabalhar os conceitos de forma 
quantitativa. A capacidade representativa inerente da linguagem matemática, 
aliada à sua lógica, compõe uma ferramenta indispensável para diversos campos 
de estudo. 
Os modelos matemáticos são utilizados, por exemplo, em operações no 
mercado financeiro. Decidir quando e quantas ações comprar de determinada 
empresa, avaliar seu risco e posteriormente decidir quanto e quando vender 
depende de modelos preditivos que tangem a probabilidade e a estatística. 
Já na biologia, inúmeros modelos matemáticos referentes ao crescimento 
populacional são parâmetros norteadores de diversos estudos e, muitas vezes, de 
políticas públicas por eles guiados. Uma projeção de crescimento epidêmico, por 
exemplo, é realizada por meio de um modelo matemático exponencial, que avalia 
um espalhamento viral de determinada doença por meio da seguinte expressão 
matemática: 
f (x) = k · 𝑎𝑥 
A validade científica desses modelos é, também, fundamentada pela lógica 
matemática, uma ferramenta epistêmica ímpar para o desenvolvimento de 
representações e estudos vinculados a elementos da realidade. Essas 
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representações e estudos matemáticos aplicados a diversas áreas são realizados, 
majoritariamente, em um ambiente computacional ou, mais especificamente, em 
sistemas computacionais. 
A computação, não diferente de outras áreas do conhecimento, também se 
fundamenta na utilização de conceitos matemáticos. A lógica matemática é 
fundamental para o desenvolvimento de sistemas computacionais, principalmente 
no que se refere a operações denominadas de booleanas. 
Isso posto, as áreas matemáticas de combinatória e probabilidade também 
são extremamente importantes para a computação. A contagem em certos 
procedimentos, utilizando bases binárias ou hexadecimais, ou o cálculo de chance 
de erros em processos eletrônicos são vitais para essa área tecnológica. Até 
mesmo a transmissão de sinais nas interações entre os componentes eletrônicos 
é permeada por conceitos matemáticos. 
Em ciências sociais, a matemática aplicada desempenha papel importante 
na constituição de conhecimento e teorias explicativas da realidade. Por meio da 
estatística, pode-se organizar, sintetizar e interpretar dados quantitativos advindos 
de uma amostra ou população de interesse. 
 
 
 
Em suma, pode-se afirmar que a aplicação matemática é fundamental para 
o desenvolvimento epistemológico de inúmeras áreas. Destaca-se, novamente, 
que tudo isso se dá majoritariamente pela capacidade representativa e de 
generalização matemática, pautada em alicerces lógicos bem delimitados. Essa 
seção tratará da apresentação dos conceitos relacionados à aritmética e à 
álgebra, os quais auxiliarão no entendimento acerca dos números e da 
capacidade de generalização matemática. 
CONJUNTOS NUMÉRICOS:DOS NATURAIS AOS REAIS 
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Um dos conceitos mais introdutórios acerca da matemática, e que é 
trabalhado com os estudantes desde o ensino primário, é o conceito de número. 
Em seu sentido mais filosófico, entendido por meio da semiótica, o número é 
basicamente uma marca, ou símbolo, que representa uma entidade abstrata. Por 
exemplo, o símbolo “1” representa a ideia de unidade, ao passo que o símbolo “0” 
representa a ideia do nada, do vazio. 
Isso posto, os símbolos utilizados para representar os números utilizados 
atualmente relacionam-se aos algarismos indo-arábicos. Eles se referem aos 
algarismos conhecidos por boa parte dos indivíduos desde suas infâncias: 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
Uma das inúmeras ideias possíveis para o trabalho com esses números se 
dá por meio de sua utilização para fins de contagem. O conceito de contagem 
consiste, basicamente, a relação desses algarismos com unidades físicas. Uma 
melhor noção deste conceito pode ser compreendida pela representação presente 
na Figura 1, que apresenta alguns desses algarismos associados a quantidade 
de objetos abaixo de si: 
 
Figura 1. Relação entre os algarismos e objetos. 
Os algarismos são associados a objetos físicos, resultando, assim, no que 
se denomina intuitivamente como contagem. Pode-se pensar nessas associações 
para todos os algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Todavia, os objetos físicos 
existem em maiores quantidades que os algarismos e, desse modo, há a 
necessidade de ampliar a capacidade representativa e associativa desses 
algarismos. 
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Conforme a possibilidade de associação é aumentada, combinam-se os 
algarismos para uma nova possibilidade representativa. Por exemplo, depois do 
algarismo 9 é necessária uma combinação de algarismos para que se possa 
continuar associando números às unidades físicas, e a Figura 2 representa essa 
situação. 
 
Figura 2. Relação entre “novos” algarismos e objetos. 
Desse modo, têm-se os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 associados a 
quantidades de objetos e, posteriormente, “novos” números associados a 
quantidades maiores (como 10, 11, 12, 13 e assim por diante), em que são 
representados pela combinação dos números anteriores. Portanto, expande-se a 
quantidade de números que se referem a quantidades de objetos físicos. 
Pode-se pensar, intuitivamente, em um agrupamento desses números 
relacionados à contagem de objetos. Assim, esse agrupamento recebe o nome 
de conjunto. Portanto, a partir dessa ideia inicial, entende-se conjunto como um 
agrupamento de números, sendo que o conjunto dos números relacionados a 
contagem de objetos é um tipo específico de conjunto. Denomina-se esse 
conjunto como o conjunto dos números naturais, caracterizados por ℕ, e sua 
representação se dá da seguinte forma: 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4...} 
 
É importante destacar que o conjunto dos números naturais agrupa todos 
os números, que são infinitos, relativos à contagem, ou seja, sua representação 
estende-se indefinidamente para a direita. Adicionando-se os números opostos a 
esses, pode-se constituir outro conjunto numérico, denominado conjunto 
dos números inteiros, representado por ℤ e escrito da seguinte forma: 
 ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Destaca-se que o conjunto dos números inteiros conta também com os 
opostos dos números naturais, que são basicamente os mesmos números com 
um sinal de negativo. Assim, como o conjunto dos números naturais é infinito “para 
um dos lados”, se o conjunto dos números inteiros se refere aos naturais e 
seus opostos, ele é infinito “para ambos os lados”. 
 A partir do conjunto dos números 
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inteiros, contendo negativos e positivos, compreende-se outro conjunto numérico. 
A operação numérica conhecida como divisão, por exemplo, pode ser 
representada por uma fração. Na divisão de um número por um número, ela se 
dá da seguinte forma: 
 
 
Vale lembrar que tanto a quanto b só assumem valores inteiros, contidos 
no conjunto ℤ, e que b não pode assumir o valor 0, uma vez que a divisão por 
esse valor não é definida matematicamente. As representações a seguir 
exemplificam isso: 
 
Essas frações, no entanto, não estão presentes no conjunto dos números 
naturais, tampouco no conjunto dos números inteiros. Elas pertencem a um outro 
conjunto numérico, o conjunto dos números racionais (ℚ) que, como o próprio 
nome sugere, contém números que podem ser expressos na forma de uma razão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim sendo, com esses três conjuntos numéricos se auferem tanto os 
números positivos quanto negativos que podem ser representados em forma de 
frações. Porém, existem números que não pertencem a nenhum desses 
conjuntos, ou seja, não podem ser expressos como razões de dois outros números 
inteiros. A estes, dá-se o nome de irracionais, os quais compõem outro conjunto 
numérico denominado conjunto dos números irracionais. Alguns exemplos 
notórios pertencentes a esse conjunto numérico são: 
π, e, √2,... 
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O primeiro exemplo é o número Pi, relacionado à determinação de raios e 
perímetros de circunferências. O segundo é o número de Euler, descoberto por 
meio de um conceito de infinito aplicado à uma expressão matemática e muito 
utilizado nos cálculos das disciplinas de engenharia. O terceiro exemplo é a raiz 
quadrada de 2, conhecida como diagonal de um quadrado de lado 1 e entendida, 
primeiramente, como uma grandeza incomensurável. 
Observando os conjuntos dos racionais e irracionais, obtém-se o conjunto 
dos números reais (ℝ), que representa o agrupamento de todos os números 
presentes nos outros dois conjuntos. O Quadro 1 apresenta um resumo de todos 
os conjuntos numéricos, detalhando seus símbolos representativos e alguns de 
seus elementos ou regras gerais: 
 
Quadro 1. Síntese dos conjuntos numéricos. 
EXPLICANDO 
A utilização da letra ℙ para representar o conjunto dos irracionais é algo que 
varia conforme o referencial utilizado. Existem outras maneiras de efetuar essa 
representação, como pelas letras I e T, além de uma operação conjuntiva ℝ - ℚ. 
Existem outras maneiras de se representar esses mesmos conjuntos 
numéricos de forma visual. A Figura 3 é o exemplo desse tipo de representação, 
em que se busca relacionar todos os conjuntos numéricos: 
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Figura 3. Relação entre os conjuntos numéricos. 
 
A partir dessa representação, é possível observar a relação entre os 
conjuntos numéricos. O conjunto numérico dos reais (ℝ), como apontado 
anteriormente, abarca o conjunto numérico dos racionais (ℚ) e irracionais (ℙ), ou 
seja, todo número racional ou irracional é um número real. 
 
Esses conjuntos numéricos podem também ser representados de outra 
maneira: por meio de retas numéricas. O conceito de representação por meio de 
uma reta numérica relaciona-se ao estabelecimento de uma ordenação entre os 
números pertencentes ao conjunto. O conjunto dos números naturais, por 
exemplo, pode ser representado da seguinte forma: 
 
Figura 4. Reta dos números naturais. 
Tal como na representação por meio de conjuntos numéricos, observa-se 
que existe um limite na representação dos números naturais, e que não há 
maneira de demonstrar sua infinitude. 
O conjunto dos números inteiros possui representação similar. Mas, 
considerando os números negativos que ficam à esquerda do zero e tendo em 
vista essa relação de ordenação numérica, a representação de tal conjunto 
numérico é realizada conforme a Figura 5: 
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Figura 5. Reta dos números inteiros. 
A infinitude desse conjunto numérico também fica evidente ao se 
considerar as duas extremidades da reta numérica. O conjunto numérico dos 
números inteirosé infinito, tanto considerando os números positivos quanto os 
números negativos nele presentes. Ambas as extremidades da reta são 
impossíveis de serem representadas. 
 
 
Outro ponto a se destacar acerca desses conjuntos numéricos é que não 
há nenhum número entre os números marcados sobre a reta. Em outras palavras, 
não existe um elemento que está, por exemplo, entre o número 0 e o número 1; 
há um espaço vazio entre os números. Isso ocorre, também, com a parte negativa 
da reta numérica referente ao conjunto dos números inteiros. 
Essa mesma característica, porém, não é observada na reta numérica que 
representa, por exemplo, o conjunto numérico dos reais (ℝ). Suponha que a reta 
a seguir seja a representação de tal conjunto numérico: 
 
Figura 6. Reta dos números reais. 
 
 
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natureza; um infinito que está presente entre os próprios números. 
Portanto, o conjunto dos números reais corresponde a todos os pontos na reta 
numérica, ao passo que o conjunto dos números naturais e inteiros corresponde 
somente a alguns. 
VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS ATÉ AGORA? 
Sobre os conjuntos numéricos, o que é possível afirmar? 
• Todo número inteiro é um número racional. 
Todo número racional é um número inteiro. 
• Todo número natural é um número inteiro. 
ENVIAR 
Correta 
👍 
Muito bem, a resposta está correta! 
Todo número inteiro é um número racional, assim como todo número 
natural, que se configura como um número inteiro. No entanto, nem todo 
número racional é um número inteiro, como os números 7/11 avos e 5/7 
avos. 
 
 
INTRODUÇÃO À LÓGICA 
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Uma das principais ferramentas da matemática, seja ela pura ou aplicada, 
é a lógica. Por meio desta, o trabalho formal com o conceito de verdade de 
sentenças e afirmações torna-se possível. Com a lógica, é possível formalizar e 
analisar a verdade em determinados contextos, exercendo-a e preservando-a em 
meio às operações. 
A lógica, porém, refere-se a um conceito que evoluiu ao longo do tempo e 
que surgiu com o nascimento da filosofia e da matemática grega, possuindo mais 
de dois mil anos de história. Outros campos do conhecimento, como física, 
química ou até mesmo matemática, possuem, também, uma evolução conceitual 
cronológica, conforme afirma Mortari, em seu livro Introdução à lógica, de 2001. 
Tem-se a lógica como um conceito de difícil definição e que adquire 
diversos contornos, dependendo do contexto em que é analisado. Em termos 
gerais, a lógica pode ser entendida como a teoria geral da racionalidade, uma vez 
que o ser humano se caracteriza por sua capacidade de ser racional e a lógica 
estuda seu fundamento. 
Tendo isso em vista, é necessário estabelecer o contexto no qual será 
definida a lógica aqui tratada. Ela será compreendida como uma disciplina 
filosófico-matemática que estuda a racionalidade expressa em argumentos. 
Portanto, o argumento será o objeto de estudo definido no contexto dessa 
disciplina e, mais especificamente, um argumento matemático, ou seja, definido 
no contexto da matemática. 
Isso posto, é necessário apresentar uma definição para o conceito de 
argumento. Assim, argumento pode ser descrito como uma sequência de 
proposições, de forma que algumas delas são chamadas premissas e outras são 
chamadas conclusões. Além disso, as premissas justificam as conclusões. 
Algumas palavras-chave utilizadas para definir um argumento devem ser 
entendidas separadamente, a saber: proposições, premissas e conclusões. São 
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esses os pilares construtores da lógica, e o bloco construtor mais simples é a 
proposição. 
Uma proposição é definida como uma sentença declarativa em que se 
pode atribuir o valor de verdade ou falsidade. Por exemplo: 5 é um número ímpar. 
Pode-se indagar a veracidade ou não dessa sentença declarativa, ou seja, 
se essa sentença é uma sentença falsa ou verdadeira. No contexto da 
matemática, verifica-se, portanto, se 5 é um número ímpar. Sabe-se que um 
número ímpar se refere a um número que pode ser escrito na forma 2k+1, em que 
k é um número natural. Então, para k=2, tem-se a seguinte situação: 
2k + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 
Desse modo, verificou-se que 5 é um número ímpar e, portanto, a 
proposição apresentada é verdadeira. Esta é uma característica de uma 
proposição: ela assume um valor verdadeiro ou um valor falso. Com a lógica, é 
possível formalizá-la e tentar descobrir seu valor veritativo. 
Portanto, um argumento, como definido anteriormente, é uma sequência de 
frases, ou seja, proposições, que podem ser verdadeiras ou falsas. Algumas 
dessas proposições, porém, recebem o nome de premissas e outras de 
conclusões, e essa diferença se dá pelo seu posicionamento na estrutura do 
argumento. 
As proposições iniciais de um argumento são denominadas premissas, e 
é a partir delas que se extraem as conclusões. As conclusões, por sua vez, são 
proposições advindas das premissas, ou seja, são consequências lógicas delas, 
sendo por elas justificadas. 
Para um melhor entendimento desses conceitos, observe o seguinte argumento: 
6 é um número par. 18 é um número par. Logo, 6 e 8 são números pares. 
As proposições iniciais (premissas) desse argumento são as frases “6 é um 
número par” e “18 é um número par”. Por meio dessas premissas, obteve-se a 
proposição final (conclusão) de que “6 e 18 são número pares”. A essa obtenção 
de uma conclusão, tendo como base premissas, dá-se o nome de inferência. 
Existem dois tipos de inferência argumentativas: as deduções e as 
induções. Uma dedução é um argumento com uma conclusão cuja justificativa 
decorre da aceitação de suas premissas, tal como foi apresentado no exemplo 
dos números pares. As conclusões se seguem necessariamente de suas 
premissas. 
Já as inferências indutivas diferem-se das dedutivas por levar em conta um 
outro conceito: a incerteza. Uma indução é um argumento com uma conclusão 
cuja justificativa decorre da incerteza de suas premissas. Em outras palavras, 
induções têm conclusões que se seguem plausivelmente de suas premissas. 
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De modo a deixar mais evidente o que define esse tipo de inferência, 
observe o seguinte argumento: pergunta-se a 1.000 estudantes de uma 
universidade se eles acreditam que o preço do salgado da lanchonete é justo. 
Desses, 700 respondem que não, 200 respondem que sim, e 100 não souberam 
opinar. Como essa universidade tem cerca de 10.000 estudantes, conclui-se que 
70% deles acreditam que o preço do salgado da lanchonete não é justo. 
Percebe-se que esse tipo de argumento tem premissas referindo-se a um 
grupo específico de indivíduos (1.000 estudantes da universidade) e sua 
conclusão referindo-se a um grupo universal de indivíduos (10.000 estudantes da 
universidade). Um argumento indutivo parte, usualmente, de premissas 
particulares para conclusões gerais. 
O mesmo acontece, por exemplo, com pesquisas de intenção de voto em 
períodos eleitorais. Estuda-se a intenção de voto de um grupo particular (amostra) 
e tenta-se inferir a intenção de voto de um grupo universal (população). Assim, o 
estudo de argumentos indutivos envolve conceitos de probabilidade e estatística. 
 
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Figura 7. Estrutura de um argumento. 
A Figura 7 apresenta a estrutura de um argumento com os conceitos 
explicitados até o momento. Essa estrutura leva em conta as proposições iniciais 
(premissas), a conclusão e o processo inferencial, em que se parte das premissas 
e obtém-se a conclusão, sendo este um processo indutivo ou dedutivo. 
Outro aspecto lógico importante a ser apresentado é a forma lógica. A 
forma lógica refere-se à maneira de se representar os elementos lógicos, ou seja, 
como escrever esses elementos dado um alfabeto lógico. Portanto, parase tratar 
da forma lógica, é necessário compreender que há um processo de tradução das 
sentenças escritas em português para o “logiquês”. 
 
 Definem-se, desse modo, símbolos lógicos que buscam representar esses 
elementos. Uma proposição, por exemplo, será representada por um símbolo 
lógico denominado símbolo proposicional. Um símbolo proposicional, um 
símbolo lógico que irá substituir uma proposição, é usualmente representado por 
uma letra, como p, q, r, entre outras. 
Aqui, toma-se como exemplo, novamente, a proposição “5 é um número 
ímpar”. Ela pode ser traduzida logicamente por um símbolo proposicional 
arbitrário p, de tal forma que: 
p: 5 é um número ímpar 
Logo, para se referir à proposição apresentada, basta lançar mão da letra p. 
Por exemplo, ao dizer que a proposição p é verdadeira, está afirmando-se que “5 
é um número ímpar” é uma proposição verdadeira. O segundo exemplo pode, 
também, ser traduzido para uma forma lógica: “6 é um número par. 18 é um 
número par. Logo, 6 e 8 são números pares”. 
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Considerando “6 é um número par” como p e “18 é um número par” como q, 
tem-se que: 
q: 6 é um número par 
r: 18 é um número par 
O argumento assumiria a seguinte forma: 
q, r. Logo q e r 
As duas premissas iniciais “q” e “r” tem como consequência a conclusão 
“q e r”. As proposições que têm apenas um símbolo proposicional são chamadas 
de proposições simples, ao passo que as que têm dois ou mais símbolos 
proposicionais são chamadas de proposições compostas. 
Essa opção de transformar proposições em letras ocorre devido à facilidade 
manipulativa que será concebida em argumentos grandes e complexos. Um 
menor número de símbolos para se manipular é algo que torna o trabalho com 
determinada ferramenta epistêmica muito mais simples. A própria matemática é 
um exemplo disso, uma vez que operações simples, como uma adição ou 
subtração, antigamente eram realizadas por extenso. 
Outro aspecto da forma lógica, além dos símbolos proposicionais, refere-
se ao valor lógico de uma proposição. Para afirmar, por exemplo, que uma 
proposição p é verdadeira ou falsa, utiliza-se os números 1 ou 0, respectivamente. 
Além disso, escreve-se V(p) para indicar esse valor veritativo. Tome como 
exemplo, novamente, a proposição “p: 5 é um número ímpar”. 
Como foi verificado anteriormente, a proposição p é verdadeira, logo, seu 
valor lógico é 1. De acordo com a forma lógica supracitada, isso poderia ser 
representado da seguinte forma: 
V(p) = 1 
Portanto, existem formas sucintas de representar as proposições, que são 
os símbolos proposicionais, e formas sucintas de se representar a verdade ou 
falsidade acerca dessas proposições, que são as representações de seus valores 
lógicos. O segundo argumento, por exemplo, tem seus valores lógicos definidos 
da seguinte forma: 
V(q) = 1 
V(r) = 1 
Isso se deve ao fato de que sabe-se que a proposição q é verdadeira, 
assim como a proposição r, também verdadeira. Do mesmo modo, pode-se 
representar o valor lógico da conclusão desse argumento como: 
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V(q e r) = 1 
 
 
Por fim, concluindo a apresentação introdutória da lógica, torna-se 
necessário delinear alguns de seus princípios, ou seja, um conjunto de regras ou 
axiomas que sempre devem valer para seu desenvolvimento, os quais estavam 
pressupostos nas discussões realizadas nessa seção. São eles: 
• Princípio do terceiro excluído; 
• Princípio da bivalência; 
• Princípio da não-contradição. 
 
O princípio da bivalência enuncia que existem dois valores veritativos: a 
verdade e a falsidade. Já o princípio da não-contradição aponta que as 
proposições não podem ser simultaneamente verdadeiras e falsas em um 
determinado contexto. Por fim, o princípio do terceiro excluído aponta que as 
proposições são verdadeiras ou falsas em um determinado contexto. 
Os três princípios supracitados e a forma lógica das proposições e 
argumentos, somados ao valor lógico das proposições, fundamentam a lógica 
clássica. É a partir desses conhecimentos que se estrutura toda a lógica aqui 
explorada, sempre levando em conta o contexto matemático e tecnológico 
(sistemas computacionais). 
VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS ATÉ AGORA? 
O que são premissas? Assinale a alternativa correta. 
a) Uma sequência de frases que podem ser falsas ou verdadeiras. 
b) As proposições iniciais de um argumento. 
c) Uma sentença declarativa a qual pode-se atribuir o valor de verdade ou 
falsidade. 
 
Correta 
👍 
Muito bem, a resposta está correta! 
Proposições são definidas como uma sentença declarativa 
que pode ter atribuída a si o valor de verdade ou falsidade, 
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ao passo que argumento é uma sequência de frases, ou 
seja, proposições, que podem ser verdadeiras ou falsas. 
Por fim, premissas são definidas como as proposições 
iniciais de um argumento. 
 
Operações e propriedades 
A seção anterior apresentou a conceituação teórica acerca de elementos 
básicos para o desenvolvimento da matemática: conjuntos numéricos e lógica 
matemática. Isto posto, esta seção apresentará outro conjunto de saberes 
relevantes no contexto da matemática aplicada: como operar os objetos 
matemáticos definidos no contexto dos conjuntos numéricos e da lógica 
matemática. 
Primeiramente, serão apresentadas algumas propriedades relativas ao 
conjunto numérico dos números reais, referentes a multiplicação, divisão, adição 
e subtração. Esses conhecimentos estabelecem como os números devem ser 
operados e manipulados, tendo em vista propriedades e regras, como a regra de 
sinal, por exemplo. 
Alguns tópicos matemáticos importantes para o desenvolvimento algébrico 
da disciplina serão explorados, como as frações, a radiciação e a potenciação. 
Uma definição formal para cada um desses conceitos será apresentada e, 
posteriormente, as regras operativas referentes a cada um deles. Tudo isso será 
resumido ao final de cada apresentação por um quadro de síntese. 
Finalmente, será possível obter a compreensão acerca das manipulações 
de objetos como raízes e frações, além do conhecimento relativo às propriedades 
e regras referentes às operações realizadas no contexto dos números reais. 
Esses conceitos são fundamentais para o desenvolvimento dos tópicos 
subsequentes da matemática aplicada. 
PROPRIEDADES E REGRA DE SINAL 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
20 
 
Como dito, o conjunto dos números reais abarca outros conjuntos 
numéricos que contêm números com diversas características. Assim, números 
negativos, positivos, decimais, frações e números irracionais são números reais 
que devem ser operados algebricamente. 
Para que as operações com números reais ocorram de maneira adequada, 
deve-se definir algumas regras algébricas. Tomando x, y e z como três números 
reais, observe algumas propriedades relacionadas a esse conjunto numérico. 
Para quaisquer que sejam esses números, vale a seguinte relação conhecida 
como associatividade da adição: 
 
(x + y) + z = x + (y + z) 
Essa propriedade aponta que a ordem de resolução de uma adição de três 
termos não importa: pode-se somar x e y inicialmente e, depois, somar o 
resultado a z; ou somar y e z inicialmente e, depois, somar o resultado a x. Um 
exemplo dessa propriedade encontra-se a seguir, em que x = -1, y = 2 e z = 3: 
(x + y) + z = x + (y + z) 
(− 1 + 2 ) + 3 = − 1 + ( 2 + 3 ) 
( 1 ) + 3 = − 1 + ( 5 ) 
4 = 4 
Outra propriedade importante no contexto numérico dos reais refere-se à 
propriedade da comutatividade da adição entre dois números reais x e y. Essa 
propriedade enuncia a seguinte situação. 
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 
Essa propriedade indica que a ordem de operação da adição não interfere 
em seu resultado numérico. Em outras palavras, somar x a y ou somar y a x é 
numericamente igual, dentro desse contexto numérico.O mesmo vale para a 
subtração, uma vez que não há alteração do resultado numérico de acordo com a 
ordem de seus termos. 
Isso posto, no contexto dos números reais, existe um elemento 
neutro para a adição e a subtração, denominado de 0. Esse elemento neutro 
tem a seguinte propriedade, dado um número real x: 
x + 0 = x 
A soma ou subtração de um número real x com o número 0 não altera 
numericamente seu valor. Portanto, do mesmo modo: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
21 
 
x – 0 = x 
Por fim, outra propriedade associada à adição é a simetria. Todo número 
real x possui um número simétrico, também denominado oposto (-x). Isso fica 
evidente ao se considerar a reta numérica dos reais: o número 1, por exemplo, 
possui o seu oposto como -1, e isso é definido como simetria, uma vez que ambos 
estão à mesma distância da origem (0). Isso se traduz algebricamente da seguinte 
forma: 
x + (– x) = 0 
No que diz respeito à multiplicação, deve-se levar em conta, também, 
algumas propriedades dos números reais. A primeira propriedade a ser 
destacada, tal como na adição e subtração, é a de que a multiplicação 
é associativa. Em outras palavras, a ordem multiplicativa não altera o valor 
numérico da operação, assim pode-se observar na multiplicação de três números 
reais x, y e z: 
(x · y) · z = x · (y · z) 
 
Um exemplo dessa propriedade numérica pode ser evidenciado ao se 
considerar que x = 10, y = -3 e z = 2: 
(x· y) · z = z · ( y · z) 
( 10 · − 3 ) · 2 = 10 · ( − 3 · 2 ) 
( − 30 ) · 2 = 10 · ( − 6 ) 
− 60 = − 60 
A comutatividade entre os elementos de uma multiplicação também é 
válida, tal como na adição e subtração. Portanto, a ordem multiplicativa dos termos 
não altera o resultado numérico dessa operação. Algebricamente, 
para y e x reais, tem-se que: 
x · y = y · x 
Assim como na adição e subtração, a multiplicação apresenta 
um elemento neutro; todavia, aqui esse elemento neutro é 1. A multiplicação 
por 1, portanto, não altera o valor numérico do número real. Logo, a relação 
algébrica que representa essa situação, considerando x real, é a seguinte: 
1 · x = x 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
22 
 
Existe mais uma propriedade valiosa para a manipulação algébrica nesse 
conjunto numérico, que é a distributividade. Considerando x, y e z números 
reais, essa propriedade é descrita a partir da seguinte relação algébrica: 
x · ( y + z) = (x · y) + (x · z) 
 
 
 
 
Um exemplo que ilustra a aplicação dessa propriedade é dado 
considerando x= 2, y =-3 e z=-1: 
x · (y + z) = (x · y) + (x · z) 
2 · ( − 3 + ( − 1 ) ) = ( 2 · − 3 ) + ( 2 · − 1 ) 
2 · ( − 4 ) = ( − 6 ) + ( − 2 ) 
2 · ( − 4 ) = ( − 6 ) + ( − 2 ) 
As operações de multiplicação e divisão, no entanto, devem ter alguns 
aspectos destacados, principalmente aqueles que são responsáveis pela maior 
quantidade de erros. Um desses aspectos é a manipulação algébrica envolvendo 
os sinais dos números, a qual deverá respeitar uma regra conhecida como regra 
de sinal. 
Essa regra pode ser descrita para as duas operações, tanto a divisão 
quanto a multiplicação, de dois números x e y reais: 
 
Analisando todas as possibilidades dos sinais numéricos desses dois 
números em ambas operações, pode-se afirmar que a regra que vale para a 
multiplicação vale, também, para a divisão. Apresentando a regra do sinal para a 
multiplicação, tem-se: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
23 
 
 
Figura 8. Regra de sinal para multiplicação. 
A fim de exemplificar o funcionamento dessa regra de sinais, analisam-se 
os casos particulares das multiplicações. O primeiro caso apresentado aponta a 
multiplicação de dois números positivos, resultando em um outro número positivo. 
Portanto, considerando 2 e 3 como números reais, tem-se que: 
2 · 3 = 6 
Já o segundo e o terceiro caso apontam que a multiplicação de um número 
positivo por um negativo, ou um negativo por um positivo, resultam em um número 
negativo. Tomando x e y como -2 e 3, tem-se que: 
− 2 · 3 = 3 · − 2 = − 6 
Por fim, o último caso aponta que, caso os dois números forem números 
negativos, o resultado seria positivo. Tomando -2 e -3 como exemplo, tem-se que: 
− 3 · − 2 = 6 
Ressalta-se, novamente, que essa regra de sinal é válida, do mesmo modo, para 
a operação de divisão. Portanto, basta apenas alterar a multiplicação por uma 
divisão que os mesmos casos serão válidos, resultando nos mesmos sinais 
supracitados. 
FRAÇÕES, POTENCIAÇÃO E RADICAÇÃO 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
24 
 
 
Tendo em vista as propriedades manipulativas apontadas, destacam-se 
aqui algumas regras operativas de determinados objetos matemáticos. São eles: 
as frações, as potências e as raízes. Cada um deles possuem determinadas 
técnicas manipulativas que devem ser conhecidas, com o objetivo de exercer a 
aplicação da matemática em diversos contextos. 
As técnicas manipulativas envolvendo as frações podem ser divididas em 
quatro tipos, a saber: 
1 
1. Adição e subtração com denominadores iguais; 
 
2. Adição e subtração com denominadores diferentes; 
 
3. Multiplicação; 
 
4. Divisão. 
 
Eles serão apresentados em sua forma geral e, posteriormente, serão 
evidenciados exemplos de cada um deles. No primeiro caso (I), consideram-se 
três números x, y e z reais que representam as operações de adição e subtração 
a seguir: 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
25 
 
Em ambos os casos, o denominador das frações (z) é igual. Nesses casos, 
basta somar ou subtrair os numeradores das frações, resultando em: 
 
Para o segundo caso (II), consideram-se quatro números reais a, b, c e d, 
tendo em vista as seguintes operações: 
 
No caso II, diferentemente do caso I, os denominadores das frações são 
diferentes (𝑏 ≠ 𝑑). Portanto, determinam-se os seguintes algoritmos para a 
efetuação do cálculo em cada um dos casos: 
 
No terceiro caso (III), consideram-se, tal como no caso anterior, quatro 
números reais quaisquer a, b, c e d em que se deseja realizar a seguinte 
operação: 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
26 
 
Para esse caso, em que se estuda multiplicação de frações, o algoritmo se dá 
de forma simplificada, apenas multiplicando os numeradores e denominadores 
entre si, dando origem a uma nova fração. Isso é sintetizado pela notação 
algébrica a seguir: 
 
Por fim, o quarto caso (IV) discorre sobre a divisão entre duas frações. 
Para isso, consideram-se quatro números a, b, c e d reais, tendo em vista a 
seguinte operação: 
 
ASSISTA 
Dividir frações é um processo no qual os estudantes cometem muitos 
equívocos. Além disso, existem condições que devem sempre valer em divisões, 
principalmente acerca de uma restrição muito importante. O vídeo Why can’t you 
divide by zero? trata um pouco sobre essa restrição, discutindo aspectos 
matemáticos que a permeiam. Ative a legenda! 
Para a realização dessa operação, deve-se apenas inverter a segunda 
fração e realizar uma multiplicação de frações. Em outras palavras, transforma-se 
uma divisão de frações em uma multiplicação e realiza-se o algoritmo do terceiro 
caso (III), tal como é descrito pela seguinte relação algébrica: 
 
 
Tendo em vista a forma geral dos quatro tipos de manipulações algébricas 
de frações discutidos anteriormente, observe o Quadro 2, um resumo com 
exemplos de aplicações de cada um dos casos e que apresenta o tipo de 
manipulação, a operação a ser calculada e o exemplo a ela referente: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
27 
 
 
Quadro 2. Operações com frações. 
Os próximos elementos matemáticos a serem estudados referem-se a 
objetos matemáticos definidos por operações inversas. As frações, por exemplo, 
simbolizam divisões, que são operações inversas às multiplicações. Da mesma 
maneira, a operação matemática radiciação é inversa à potenciação e, portanto, 
raízes e potências são objetos matemáticos definidos em contextosopostos. 
Isso posto, define-se uma raiz enésima de um número real a da seguinte 
forma: 
 
 
O número real a é denominado de radicando, enquanto o número 
natural n recebe o nome de índice, e o número real x é denominado raiz. O 
índice n, dentro do contexto de estudo dessa disciplina, é definido da seguinte 
forma: 
𝑛 > 0 
Apesar de ser maior do que zero e pertencer aos números naturais, o valor 
de n = 1 não define uma operação com raízes, uma vez que quando n = 1: 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
28 
 
 
 
Feitas essas ressalvas, apresentam-se algumas regrais gerais e exemplos 
de cada um dos casos referentes à operação de radiciação. A primeira regra geral 
apresentada é definida algebricamente da seguinte forma: 
 
Ela estabelece uma relação entre um expoente fracionário e o cálculo de 
uma raiz. Portanto, é possível escrever uma raiz quadrada de um número 
real a por meio de uma potência, mesmo que seja com expoente fracionário. Isso 
permite que sejam aplicadas regras de potenciação que serão vistas 
posteriormente. Assim sendo, um exemplo da aplicação dessa regra geral pode 
ser evidenciado por: 
 
Outra regra geral de suma importância para a radiciação refere-se à relação 
do índice de uma raiz com o expoente em uma potenciação dessa raiz, de tal 
forma que: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
29 
 
 
Portanto, quando o expoente e o índice forem iguais, pode-se 
desconsiderar a operação de radiciação. Essa técnica é um exemplo de que se 
pode utilizar a potenciação como auxílio na resolução de raízes. Um exemplo de 
aplicação dessa regra é apresentado a seguir: 
 
As operações multiplicativas em uma raiz também possuem uma regra 
geral, que relaciona os termos da multiplicação a outras raízes de mesmo índice. 
Essa regra geral pode ser apresentada na seguinte forma algébrica para dois 
números a e b reais: 
 
Essa regra geral enuncia que o produto de dois números reais a e b, em 
um radical, pode ser representado pelo produto de duas raízes desses números 
que tenham o mesmo índice. A recíproca também é verdadeira. Um exemplo de 
aplicação dessa regra é: 
 
É possível, também, realizar uma radiciação sobre uma radiciação e, para 
isso, define-se uma regra geral para esse tipo de operação: 
 
Essa regra enuncia que, ao se realizar uma radiciação sobre uma 
radiciação, os índices dos radicais devem ser multiplicados. A fim de esclarecer 
como se dá a aplicação dessa regra, observe o exemplo a seguir: 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
30 
 
Por fim, outro caso geral refere-se à radiciação de uma razão, ou seja, 
calcular a raiz de uma fração. Tal como no produto dos termos, é possível 
transformar uma radiciação de uma razão em uma razão de radiciações, com 
raízes de um mesmo índice. Essa regra geral é apresentada algebricamente 
para a e b reais como: 
 
A aplicação dessa regra geral é realizada pelo seguinte exemplo: 
 
Tendo em vista as regras gerais e as definições apresentadas acerca da 
radiciação, o Quadro 3 apresenta uma síntese desses elementos: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
31 
 
 
Quadro 3. Regras para operações com raízes. 
 
Por fim, apresenta-se a operação definida como inversa à radiciação: 
a potenciação. A potenciação também é conhecida como exponenciação, e trata-
se de uma operação que tem o intuito de simplificar a notação de múltiplos 
produtos. Em outras palavras, ela refere-se a uma notação que sintetiza um certo 
tipo de multiplicação. 
 
 
 
A potenciação pode ser definida a partir da seguinte relação algébrica, onde 
a refere-se a um número real e n a um número natural: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
32 
 
 
Nessa representação notacional, denomina-se o número real a como a 
base da potenciação, enquanto n recebe o nome de expoente. Tendo em vista 
essa definição, enunciam-se algumas propriedades e regras para as operações 
algébricas que envolvem esse conceito. Uma das definições refere-se a quando 
o valor de n = 0. Para esse caso, tem-se que: 
𝑎 0 = 1 
Quando o valor de n = 1, tem-se outro caso particular em que se define a relação 
da seguinte maneira: 
𝑎1 = 𝑎 
Acerca das operações de divisão e multiplicação, estas separam-se em dois tipos, 
com base em seus expoentes e bases. O primeiro tipo refere-se a números que 
tenham o mesmo expoente, e o segundo tipo é relativo a números que tenham as 
mesmas bases. O primeiro tipo tem seu produto definido da seguinte maneira, 
sendo a e b reais: 
𝑎 𝑚 . 𝑏 𝑚 = ( 𝑎 . 𝑏 )𝑚 
Referente à divisão, tem-se: 
 
Portanto, o produto de dois números que têm o mesmo expoente é igual ao 
produto de ambos elevado ao expoente. O mesmo ocorre para a divisão: pode-se 
pensar na potenciação como primeiro passo para a resolução algébrica ou efetua-
se a divisão primeiro e, posteriormente, executa-se a operação de potenciação. 
Um exemplo referente à multiplicação para esse caso é: 
3 2 . 2 2 = ( 3 . 2 ) 2 
 
 
Referente à divisão para esses casos, tem-se que: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
33 
 
 
No segundo tipo de operação referente a números que tenham a mesma base, 
tem-se o produto definido da seguinte forma: 
𝑎 𝑚 . 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚+𝑛 
Referente à divisão desses números, tem-se: 
 
Para os números de base igual e expoentes diferentes deve-se somar os 
expoentes, ao passo que na divisão deve-se subtraí-los. As situações a seguir 
exemplificam essas regrais gerais. Para a multiplicação, tem-se: 
32 . 33 = 32+3 = 35 
Para a divisão com os mesmos números: 
 
Por fim, é possível realizar a operação de potenciação mais de uma vez em um 
mesmo número real. Tendo isso vista, verifica-se a seguinte regra para esse caso, 
tendo como base um número real a: 
(𝑎 𝑚 )𝑛 = 𝑎 𝑚.𝑛 
Um exemplo que elucida a aplicação dessa regra geral pode ser apresentado 
conforme a seguinte relação: 
(22 )3 = 22.3 = 26 
Tendo em vista as definições e regras apresentadas ao longo dessa subseção 
acerca da potenciação, observe o Quadro 4, que sintetiza as informações 
trabalhadas: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
34 
 
 
Quadro 4. Regras para potenciação. 
 
 
 
VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS ATÉ AGORA? 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
35 
 
De acordo com o conteúdo estudado sobre frações, potenciação e 
radiciação, e levando em consideração uma raiz enésima de um número 
real (n√𝑎 = 𝑥), relacione cada um de seus elementos com sua respectiva 
nomenclatura. 
a) n ............Índice 
b) a ............Radicando 
c) x ............Raiz 
 
Correta 
👍 
Muito bem, a resposta está correta! 
O número real a recebe o nome de radicando, ao passo que o 
número natural n é denominado de índice e, por fim, ao número 
real x chama-se raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) 
36 
 
 
Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos nesta 
unidade. Vamos lá?! 
SINTETIZANDO 
Dentre os objetivos estipulados, estava a compreensão dos 
conceitos introdutórios da lógica matemática. Esse objetivo foi alcançado 
ao final da primeira seção da unidade, em que foram apresentadas as 
discussões teóricas acerca da estrutura de proposições, argumentos, 
conclusões e inferências. Além disso, apresentou-se o conceito de valor 
lógico, que trata do valor veritativo de proposições. 
A seguir, foram discutidos os conceitos de algarismos, números, 
contagem e conjuntos numéricos, além de definir os conjuntos numéricos 
partindo dos números naturais até os números reais. Essa discussão 
serviu de bate para a seção seguinte, que tratou das operações 
numéricas e regras. 
Outro objetivo proposto era a compreensão das operações 
algébricas que envolvem potenciação, radiciação e fração, o qual foi 
alcançado ao final da última seção da unidade. Estabeleceu-se os 
objetos algébricos referentes a cada um desses conceitos, além de 
apresentarregras operativas de cada um deles. Ademais, a regra de 
sinais, utilizadas nas operações de divisão e multiplicação no contexto 
dos números reais, foi estabelecida. 
Ao final dessa unidade, foi possível compreender, em linhas gerais, 
os fundamentos da lógica matemática, somado ao conhecimento 
introdutório acerca dos conjuntos numéricos e suas operações. Esse 
conhecimento constitui um conjunto de saberes que serão utilizados 
como base para o desenvolvimento da matemática aplicada. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
MORTARI, C. A. Introdução à lógica. São Paulo: Editora UNESP, 2001. 
Why can't you divide by zero? - TED-Ed. Postado por TED-Ed. (4m 50s). 
son. color. leg. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=NKmGVE85GUU>. Acesso em: 30 abr. 
2020. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=NKmGVE85GUU