didatica da matemática

•

UFPA

0

Elida Peres

23/09/2020

E aí, curtiu este material?

Ajude a incentivar outros estudantes a melhorar o conteúdo

Gostou desse material? Compartilhe! 🧡

Fundamentos de Matemática

14.659 Materiais compartilhados

Baixe o app para aproveitar ainda mais

Leia os materiais offline, sem usar a internet. Além de vários outros recursos!

Prévia do material em texto

1

MÓDULO DE:

DIDÁTICA DA MATEMÁTICA

AUTORIA:

Ms MARCELO SOUZA MOTTA

2
Módulo de: DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
Autoria: MARCELO SOUZA MOTTA

Primeira edição: 2009

CITAÇÃO DE MARCAS NOTÓRIAS

Várias marcas registradas são citadas no conteúdo deste módulo. Mais do que simplesmente listar esses nomes
e informar quem possui seus direitos de exploração ou ainda imprimir logotipos, o autor declara estar utilizando
tais nomes apenas para fins editoriais acadêmicos.
Declara ainda, que sua utilização tem como objetivo, exclusivamente a aplicação didática, beneficiando e
divulgando a marca do detentor, sem a intenção de infringir as regras básicas de autenticidade de sua utilização
e direitos autorais.
E por fim, declara estar utilizando parte de alguns circuitos eletrônicos, os quais foram analisados em pesquisas
de laboratório e de literaturas já editadas, que se encontram expostas ao comércio livre editorial.

Todos os direitos desta edição reservados à
ESAB – ESCOLA SUPERIOR ABERTA DO BRASIL LTDA
http://www.esab.edu.br
Av. Santa Leopoldina, nº 840/07
Bairro Itaparica – Vila Velha, ES
CEP: 29102-040
Copyright © 2008, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil

3
Apresentação
Esta o módulo não pretende ser um manual para o ensino de matemática, mas uma
contribuição no sentido de romper os preconceitos que a cercam. O que se deseja realmente
com este material é que o professor possa aplicar os conceitos, atividades, jogos e textos
aqui apresentados e sua práxis docente.

Objetivo
 Reconhecer os principais referenciais teóricos matemáticos;
 Desenvolver a teoria dos números segundo Piaget;
 Analisar os PCNs;
 Conhecer metodologias para se trabalhar as operações básicas;
 Desenvolver a competência de resolver problemas;
 Reconhecer a matemática do cotidiano;
 Utilizar Jogos Matemáticos;
 Desenvolver a Modelagem Matemática;
 Reconhecer os aspectos teóricos da Geometria.

4
Ementa
Competências no Ensino de Matemática. Análise crítica dos PCNs. Correntes em Educação
Matemática. Teoria Piagetiana. Conceito de Número. Construção do Número. Cálculo
Mental. Origem dos Símbolos Matemáticos. Operações Básicas. Resolução de Problemas.
Modelagem Matemática. Etnomatemática. Jogos Matemáticos. Quadrados Mágicos. Torre de
Hanói. Geometria e Jogos.

Sobre o Autor

-Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela PUC/MG. Licenciado em matemática pela
UFES. Especialista em Informática Educacional, Educação Matemática, Supervisão Escolar
e Psicologia.
-Docente em instituições públicas e privadas desde a Educação Básica ao Ensino Superior.

5
SUMÁRIO
UNIDADE 1 ........................................................................................................... 8
PLANO DE CURSO .............................................................................................................. 8
UNIDADE 2 ......................................................................................................... 10
COMPETÊNCIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA ............................................................ 10
UNIDADE 3 ......................................................................................................... 15
ANÁLISE CRÍTICA DOS PCN’S ......................................................................................... 15
UNIDADE 4 ......................................................................................................... 22
CORRENTES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .................................................................. 22
UNIDADE 5 ......................................................................................................... 24
A TEORIA PIAGETIANA ..................................................................................................... 24
UNIDADE 6 ......................................................................................................... 28
CONCEITO DE NÚMERO .................................................................................................. 28
UNIDADE 7 ......................................................................................................... 33
A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS ................................................................................... 33
UNIDADE 8 ......................................................................................................... 37
O CÁLCULO MENTAL ........................................................................................................ 37
UNIDADE 9 ......................................................................................................... 41
ORIGEM DOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS ...................................................................... 41
UNIDADE 10 ....................................................................................................... 44
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE I ................................................................................... 44
UNIDADE 11 ....................................................................................................... 49
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE II .................................................................................. 49
UNIDADE 12 ....................................................................................................... 52
NÚMEROS E OPERAÇÕES – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ................................................... 52
UNIDADE 13 ....................................................................................................... 56
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE III ................................................................................. 56

6
UNIDADE 14 ....................................................................................................... 62
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE I ....................................................................... 62
UNIDADE 15 ....................................................................................................... 65
ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ................................................................... 65
UNIDADE 16 ....................................................................................................... 68
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE II ...................................................................... 68
UNIDADE 17 ....................................................................................................... 72
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE III ..................................................................... 72
UNIDADE 18 ....................................................................................................... 77
QUEBRA-CABEÇAS ........................................................................................................... 77
UNIDADE 19 ....................................................................................................... 80
QUADRADOS MÁGICOS ................................................................................................... 80
UNIDADE 20 ....................................................................................................... 83
MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................................................................ 83
UNIDADE 21 .......................................................................................................89
EXEMPLO DE MODELAGEM MATEMÁTICA .................................................................... 89
UNIDADE 22 ....................................................................................................... 93
OS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÕES ........................................................................... 93
UNIDADE 23 ....................................................................................................... 96
OS NÚMEROS RACIONAIS - DECIMAIS ........................................................................... 96
UNIDADE 24 ....................................................................................................... 99
ETNOMATEMÁTICA ........................................................................................................... 99
UNIDADE 25 ..................................................................................................... 102
JOGOS MATEMÁTICOS .................................................................................................. 102
O Papel dos Jogos no Contexto Escolar ........................................................................... 102
UNIDADE 26 ..................................................................................................... 109
JOGOS MATEMÁTICOS - EXEMPLOS ............................................................................ 109
UNIDADE 27 ..................................................................................................... 114
TORRE DE HANÓI ........................................................................................................... 114
UNIDADE 28 ..................................................................................................... 116

7
GEOMETRIA ..................................................................................................................... 116
UNIDADE 29 ..................................................................................................... 120
GEOMETRIA - TANGRAM ................................................................................................ 120
UNIDADE 30 ..................................................................................................... 124
GEOMETRIA – OUTRAS ATIVIDADES ............................................................................ 124
GLOSSÁRIO ..................................................................................................... 135
REFERÊNCIAS ................................................................................................. 136

8
UNIDADE 1
PLANO DE CURSO
Objetivo: Apresentar o plano de trabalho do módulo.

Apresentação
Este módulo não pretende ser um manual para o ensino de matemática, mas uma
contribuição no sentido de romper os preconceitos que a cercam. O que se deseja realmente
com este material é que o professor possa aplicar os conceitos, atividades, jogos e textos
aqui apresentados e sua práxis docente.

Ementa
Competências no Ensino de Matemática. Análise crítica dos PCNs. Correntes em Educação
Matemática. Teoria Piagetiana. Conceito de Número. Construção do Número. Cálculo
Mental. Origem dos Símbolos Matemáticos. Operações Básicas. Resolução de Problemas.
Modelagem Matemática. Etnomatemática. Jogos Matemáticos. Quadrados Mágicos. Torre de
Hanói. Geometria e Jogos.

Objetivos:
 Reconhecer os principais referenciais teóricos matemáticos;
 Desenvolver a teoria dos números segundo Piaget;
 Analisar os PCNs;

9
 Conhecer metodologias para se trabalhar as operações básicas;
 Desenvolver a competência de resolver problemas;
 Reconhecer a matemática do cotidiano;
 Utilizar Jogos Matemáticos;
 Desenvolver a Modelagem Matemática;
 Reconhecer os aspectos teóricos da Geometria.

Conteúdos
 Concepções Teóricas em Educação Matemática;
 Parâmetros Curriculares Nacionais;
 Operações Básicas (Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão);
 A Teoria Piagetiana e a Educação Matemática;
 Números e sua construção;
 Resolução de Problemas;
 Etnomatemática;
 Modelagem Matemática;
 Jogos Matemáticos

10
UNIDADE 2
COMPETÊNCIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Objetivo: Reconhecer as competências do ensino de matemática e os eixos temáticos
propostos pelos PCN’s.

A matemática constitui um bem da humanidade e um modo de reflexão. Ser
matematicamente eficaz envolve um conjunto de competências e habilidades, que inclui:
 Raciocinar matematicamente;
 Desenvolver a argumentação lógica;
 Comunicar ideias e descobertas;
 Noções de conjecturas, teoremas e demonstrações;
 Resolver problemas;
 Usar os mais diversos recursos tecnológicos;
 Pensar abstratamente;
 Desenvolver o pensamento interdisciplinar, relacionando a matemática às outras
disciplinas;

Matemática e o Currículo
A matemática é parte integrante e essencial do currículo da Educação Básica e de diversos
cursos Superiores, ela deve ser vista como uma porta para o desenvolvimento de valores e

11
conceitos. O desenvolvimento curricular da matemática deve ser analisado como uma
contribuição aos valores éticos e sociais de uma sociedade.
A matemática não deve ser trabalhada de forma compartimentada e dissociada das outras
disciplinas.
É importante sublinhar que, na escola básica e em qualquer dos ciclos, a Matemática
não pode e não deve ser trabalhada de forma isolada, nem isso está na sua natureza.
Pelos instrumentos que proporciona e pelos seus aspectos específicos relativos ao
raciocínio, organização, à comunicação e à resolução de problemas, a matemática
constitui uma área de saber plena de potencialidade para a realização de projetos
transdisciplinares e de atividades interdisciplinares dos mais diversos tipos.
(COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS – MATEMÁTICA)

Pode-se dizer que a matemática deve preocupar-se com a educação matemática, sobre a
matemática e através da matemática, contribuindo para a formação global do aluno.
''É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua
sensibilidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação''
(PCN's,1997)

As ideias básicas contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática refletem
muito mais do que uma mera mudança de conteúdos, e sim uma mudança de filosofia de
ensino e de aprendizagem, como não poderia deixar de ser. Apontam para a necessidade de
mudanças urgentes não só no que ensinar, mas, principalmente, no como ensinar e avaliar e
no como organizar as situações de ensino e de aprendizagem.
As orientações contidas nos PCN’s relativas ao desenvolvimento da competência
matemática ao longo das séries ou ciclos podem ser organizadas de diversos modos. Os

12
Parâmetros Curriculares (PCN’s) que privilegiam um caráter matemático centrado em quatro
eixos temáticos, que são eles:
 Números e Operações (Aritmética e Álgebra)
 Espaço e Formas (Geometria)
 Grandezas e Medidas (Aritmética, Álgebra e Geometria)
 Tratamento da Informação (Estatística, Combinatória e Probabilidade)

I – Números e Operações
Em todos os Ciclos, o conhecimento sobre números e cálculos deve desenvolver os
seguintes aspectos:
 A compreensão Global dos números e das operações de maneira prática para analisar
matematicamente e desenvolver estratégias para a resolução de um problema;
 Reconhecer as diferentes formas de representação dos números em seus diferentescontextos;
 Efetuar cálculos mentalmente;
 Desenvolver o conceito de estimativa e generalização de padrões numéricos;
 Investigar relações numéricas;
 Analisar analiticamente situações diárias e resolvê-las identificando o raciocínio
utilizado.

II – Geometria
 Identificar formas geométricas planas e espaciais;

13
 Realizar construções geométricas utilizando instrumentos de desenho;
 Desenvolver o processo de visualização e o raciocínio espacial para análise de
diferentes situações cotidianas;
 Compreender conceitos básicos de área, volume, perímetro e amplitude;
 Efetuar medições e estimativas em situações diversas;
 Reconhecer padrões geométricos;
 Reconhecer a geometria presente no dia a dia e sua relação com a Arte e as
Tecnologias.

III – Grandezas e Medidas
 Reconhecer e utilizar instrumentos de medidas;
 Reconhecimento de grandeza, tais como: comprimento, capacidade, tempo,
temperatura, ângulo, etc;
 Realizar estimativas com medidas;
 Compreensão das noções de medidas de comprimento, superfície e volume;
 Realizar a conversão de medidas;
 Utilizar de forma lógica o conceito de medidas na resolução de problemas.

IV – Tratamento da Informação
 Reconhecer gráficos e tabelas presentes no cotidiano;
 Ler e interpretar tabelas e gráficos;

14
 Reconhecer as etapas de uma pesquisa estatística;
 Organizar os dados relativos a uma situação ou fenômeno;
 Utilizar o senso crítico ao analisar as informações estatísticas;
 Realizar investigações de natureza qualitativa.

1. Para refletir: Qual o papel do professor de matemática no cotidiano dos alunos?
2. Você identificaria outros eixos temáticos no ensino de matemática?
3. De que forma os conceitos apresentados na proposta dos PCN’s contribuem com a
formação da cidadania de meu aluno?
4. Como minimizar o impacto negativo da matemática, imposto pela sociedade, na vida dos
alunos?
5. Identifique outras características nos eixos temáticos apresentados neste capítulo.

15
UNIDADE 3
ANÁLISE CRÍTICA DOS PCN’S
Objetivo: Analisar criticamente um artigo sobre os PCN’s.

Faça a leitura do resumo do artigo “Os PCN’s e o Ensino Fundamental de Matemática: Um
avanço ou retrocesso?” de Gladis Blumenthal. Após a leitura identifique os principais pontos
de que você concorda ou discorda com a autora.
O ensino da Matemática tem passado, ao longo dos anos, por sucessivas reformas. Mesmo
assim, o fracasso escolar matemático continua. No momento em que as Secretarias
Municipais e Estaduais de Educação se esforçam para absorver e se adequar às novas
normas vigentes, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN's) desempenham importante
papel. O objetivo desse artigo é destacar algumas de suas ideias básicas, relacionadas com
a Matemática e trazer algumas reflexões sobre as mesmas.
''É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua
sensibilidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação''
(PCN's,1997)

Nos cursos e oficinas nas quais tenho trabalhado nos últimos meses sinto um clima de
inquietação (e, porque não dizer, por vezes até angústia) por parte dos(as) professores(as),
supervisores(as) e outros responsáveis pela educação do município ou da escola onde estou
trabalhando. Algumas perguntas têm sido constantemente feitas: afinal, o que trazem de
novo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN's) em Matemática? Em que aspectos
diferem do que vimos trabalhando? Mudam os conteúdos apenas? Muda a ordem em que

16
são trabalhados? Vale a pena mudar nosso modo de ensinar quando não estamos
seguros(as) de como fazê-lo? Por onde começar a mudar?
Como se vê, de certo modo, os PCN's já estão conseguindo alcançar, em parte, seus
objetivos, isto é, estão desacomodando o(a) professor(a), fazendo-o(a) parar para refletir
sobre sua prática pedagógica, que é o primeiro passo para uma eventual mudança na
mesma.
O objetivo deste artigo é destacar algumas das ideias básicas dos PCN's em Matemática e
trazer algumas reflexões sobre as mesmas. Não tenho a pretensão de esgotar o assunto,
pelo contrário. Muito há a ser discutido. Não entrarei no mérito de quem os elaborou e como
se deu o processo de sua elaboração, por escapar ao que me proponho nesse momento.
Basear-me-ei em duas publicações do MEC, através da Secretaria de Educação
Fundamental: Parâmetros Curriculares Nacionais, Matemática, volume 3 (1997), com
orientações para o ensino Básico (1º e 2º Ciclos) e outra, com o mesmo nome, enfatizando o
ensino de 5º a 8º séries (1998). Ambas trazem, na 1º parte, uma breve análise da
Matemática no Brasil, algumas considerações acerca do conhecimento matemático e do
aprender e ensinar Matemática no Ensino Fundamental, os objetivos gerais, os conteúdos de
Matemática e a avaliação na Matemática no Ensino Fundamental, além dos princípios
norteadores para o trabalho a ser realizado no mesmo. Na 2ª parte, se diferenciam
substancialmente: o primeiro focaliza o ensino de 1ª a 4ª séries e o segundo, de 5ª a 8ª
séries, apresentando objetivos, conteúdos, orientações organizadas por ciclos.
As ideias básicas contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais em Matemática refletem,
muito mais do que uma mera mudança de conteúdos, uma mudança de filosofia de ensino e
de aprendizagem, como não poderia deixar de ser. Apontam para a necessidade de
mudanças urgentes não só no o que ensinar, mas, principalmente, no como ensinar e avaliar
e no como organizar as situações de ensino e de aprendizagem.
O papel da Matemática no Ensino Fundamental como meio facilitador para a estruturação e o
desenvolvimento do pensamento do(a) aluno(a) e para a formação básica de sua cidadania é
destacado.''...é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente,

17
seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na
agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida
cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em
outras áreas curriculares.''E mais adiante: '' Falar em formação básica para a cidadania
significa falar em inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da
cultura, no âmbito da sociedade brasileira (MEC?SEF,1997,p.29). Ao referir-se à pluralidade
das etnias existentes no Brasil, à diversidade e à riqueza do conhecimento matemático que
nosso(a) aluno(a) já traz para a sala de aula, enfatiza-se nos PCN's que o ensino da
Matemática, a par da valorização da pluralidade sociocultural do(a) educando(a), pode
colaborar para a transcendência do seu espaço social e para sua participação ativa na
transformação do seu meio.
Os conteúdos aparecem organizados em blocos, diferentemente do modo tradicional, a
saber:
 Números e operações (Aritmética e Álgebra)
 Espaço e formas (Geometria)
 Grandezas e medidas (Aritmética, Álgebra e Geometria)
 Tratamento da informação (Estatística, Combinatória e Probabilidade)

Fica evidente, pois, a orientação de se pensar e de se organizar as situações de ensino-
aprendizagem, privilegiando as chamadas intraconexões das diferentes áreas da Matemática
e as interconexões com as demais áreas do conhecimento, o que entendo como um caminho
possível e desejável para o ensino da Matemática.
As intraconexões favorecem uma visão mais integrada, menos compartimentalizada da
Matemática. Algumas orientações de cunho didático são colocadasao(à) professor(a),
através de exemplos práticos, mostrando que é possível interligar Aritmética com Álgebra ou

18
Aritmética com Geometria e Álgebra, numa mesma atividade. (MEC/SEF, 1997,p.97-133;
MEC/SEF,1998,p.95-142).
Por outro lado, as interconexões têm nos Temas Transversais - Ética, Saúde, Meio
Ambiente, Pluralidade Cultural e Orientação Sexual - uma infinidade de possibilidades de se
concretizarem. Para isso, torna-se necessário que o professor trabalhe cada vez mais com
colegas de outras disciplinas, integrando uma equipe interdisciplinar. A interação com seus
colegas permitirá que os projetos desenvolvidos sejam mais interessantes e mais voltados a
problemas da realidade. O desenvolvimento de projetos em que a Matemática pode explorar
problemas e entrar com subsídios para a compreensão dos temas envolvidos tem trazido,
além da angústia diante do novo, satisfação e alegria ao(à) professor(a) diante dos
resultados obtidos. A confiança na própria capacidade e na dos outros para construir
conhecimentos matemáticos, o respeito à forma de pensar dos colegas são alguns temas
interessantes a serem trabalhados, ao se pensar no como desenvolver o tema transversal
Ética. Médias, áreas, volumes, proporcionalidade, funções, entre outras tantas, são ideias
matemáticas úteis para os temas transversais Meio Ambiente e Saúde. O(a) professor(a)
saberá, certamente, adequar à sua realidade, projetos interessantes. Para isso, é preciso se
permitir trilhar caminhos novos e tolerar possíveis erros e mudanças de rumo.
Os objetivos para o Ensino Fundamental , de acordo com os PCN's e aqui trazidos de modo
resumido, visam levar o aluno a compreender e transformar o mundo à sua volta, estabelecer
relações qualitativas e quantitativas, resolver situações-problema, comunicar-se
matematicamente, estabelecer as intraconexões matemáticas e as interconexões com as
demais áreas do conhecimento, desenvolver sua autoconfiança no seu fazer matemático e
interagir adequadamente com seus pares. A Matemática pode colaborar para o
desenvolvimento de novas competências, novos conhecimentos, para o desenvolvimento de
diferentes tecnologias e linguagens que o mundo globalizado exige das pessoas. ''Para tal, o
ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que forem exploradas
metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a
argumentação, o espírito crítico e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa

19
pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de
conhecer e enfrentar desafios''. (MEC/SEF, 1997, p.31)
Os conteúdos nos PCN's não são entendidos como uma listagem de conteúdos. Enfatiza-se
a necessidade de entender a palavra conteúdo basicamente em três dimensões: conceitos,
procedimentos e atitudes. Valoriza-se, portanto, muito mais a compreensão das ideias
matemáticas e o modo como estas serão buscadas (podendo esse modo de busca ser
estendido e aplicado para as demais áreas do conhecimento) do que a sua sistematização,
muitas vezes vazia de significado. Entendem-se os conteúdos como um meio para
desenvolver atitudes positivas diante do saber em geral e do saber matemático em particular.
O gosto pela Matemática e o incentivo a procedimentos de busca exploratória,
desenvolvendo uma atitude investigativa diante de situações-problema propostas pelo(a)
professor(a) são alguns exemplos dessa compreensão mais ampla do que é ensinar e
aprender em Matemática.
Na minha leitura, os Parâmetros Curriculares Nacionais em Matemática apresentam outras
ideias básicas, a saber:
 Eliminação do ensino mecânico da Matemática;
 Prioridade para a resolução de problemas;
 Conteúdo como meio para desenvolver ideias matemáticas fundamentais
(proporcionalidade, equivalência, igualdade, inclusão, função, entre outras);
 Ênfase ao ensino da Geometria;
 Introdução de noções de Estatística e probabilidade e estimativa;
 Organização dos conteúdos em espiral e não em forma linear, desprivilegiando a ideia
de pré-requisitos como condição única para a organização dos mesmos;
 Uso da história da Matemática como auxiliar na compreensão de conceitos
matemáticos;

20
 Revigoramento do cálculo mental, em detrimento da Matemática do ''papel e lápis'';
 Uso de recursos didáticos (calculadoras, computadores, jogos) durante todo Ensino
Fundamental;
 Ênfase ao trabalho em pequenos grupos em sala de aula;
 Atenção aos procedimentos e às atitudes a serem trabalhadas, além dos conteúdos
propriamente ditos, como já foi mencionado acima;
 Avaliação como processo contínuo no fazer pedagógico.

As ideias acima apresentadas não são novas para quem pesquisa e acompanha as
tendências da Educação Matemática no mundo. Muitos países já passaram por essas
reformulações, com maior ou menor grau de sucesso. Nos PCN's há avanços importantes,
caso se consiga entender os parâmetros como tal e não como uma listagem de conteúdos,
sejam eles mínimos ou máximos.
O mais importante, no meu entender, é a mudança da postura do professor(a) em sala de
aula. Muda-se a postura? Como mudar a relação de afeto, de ódio ou de medo do(a)
professor(a) para com a Matemática? Como fazer com que o(a) professor(a) de Ensino
Básico que, muitas vezes, escolheu essa profissão já como uma esquiva à Matemática, faça
''as pazes'' com ela?
Como toda reforma que se pretenda fazer, resistências ocorrerão. Mais preocupante, porém,
é saber como preparar convenientemente o professor para essas mudanças. Na minha
prática pedagógica, parece ficar cada vez mais evidente a necessidade de propiciar ao(à)
professor(a) vivências pessoais de aprendizagem matemática e de promover a consciência
do seu pensar ( a chamada metacognição) no decorrer das mesmas, vivências que sejam
prazerosas. O espírito dos PCN's poderá, assim, ser melhor compreendido, permitindo que
novas abordagens sejam introduzidas e outras sejam mantidas ou modificadas. Muitas
Secretarias Municipais de Educação no Rio Grande do Sul realizam uma boa caminhada

21
realizada nesse sentido. Reuniões de estudo, Jornadas e Seminários têm sido promovidos,
evidenciando que, somente através da Educação Continuada dos Professores, é que
poderão ocorrer avanços reais no Ensino fundamental.
Cabe aos educadores matemáticos envolvidos na Formação e na Educação Continuada do
Professor, colaborar para um melhor entendimento e, consequentemente, para o uso
adequado das orientações contidas nos mesmos, evitando assim que, uma proposta que
traga inovações importantes esteja fadada ao fracasso, por ser mal interpretada e/ ou mal
utilizada em sala de aula.

22
UNIDADE 4
CORRENTES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Objetivo: Identificar os diferentes pensamentos no Ensino de Matemática

I - Comportamentalista
Esta corrente associou o comportamento humano ao dos outros animais. Possui uma
abordagem cartesiana, busca encontrar os elementos básicos do pensamento humano e seu
comportamento.
Thorndike, primeiro comportamentalista a pensar o ensino da matemática, entende a
aprendizagem como uma série de conexões entre situações ou estímulo e reposta. E baseia-
se em três leis fundamentais para a aprendizagem:
 Lei do efeito: uma conexão recém estabelecida tem sua força aumentada se
acompanhada por uma sensação de satisfação;
 Lei do exercício: quanto mais utilizada uma conexão, mais forte ela se torna;
 Lei da prontidão: parte da ideia de que as conexões podem ou não estar prontas para
serem postas em prática, se uma conexãoestá pronta, seu uso gera satisfação; se
não está, seu uso gera desconforto.

II - Gestaltista
A Gestalt é uma escola da psicologia, iniciada em 1910, que propõe uma abordagem
holística do pensamento humano. Baseia-se no pensamento de que a percepção humana
não pode ser explicada apenas por estímulos isolados e que se processam de forma

23
individualizada, mas que a ação existe na tentativa de encontrar o equilíbrio do organismo
como um todo. A aprendizagem se liga a capacidade de compreender estruturas e não de
decorar procedimentos.

III - Estruturalistas
Esta corrente aborda a aprendizagem como um processo ativo no qual o aluno infere
princípios e regras e os testa. O aluno tem mais instrumentos para lidar com os determinados
conhecimentos quando entende suas estruturas. Baseia-se nos estágios do desenvolvimento
infantil de Piaget e Bruner propõe três modos de organização do conhecimento, são os
modos de representação; motor, icônico e simbólico:
 Representação motora: modo de representar acontecimentos passados através de
uma resposta motora apropriada.
 Representação icônica: quando os objetos são concebidos na ausência de ação.
 Representação simbólica: consiste na tradução das experiências em termos de
linguagem simbólica.

VI - Construtivista
Baseado principalmente nas ideias de Piaget. Tem como proposta de que a mente é
modelada como uma experiência organizativa de modo a lidar com um mundo real que não
pode ser conhecido em si. Envolve dois princípios: 1. O conhecimento é ativamente
construído pelo sujeito cogniscente e não passivamente recebido do meio. 2. Conhecer é um
processo adaptativo que organiza o mundo experiencial de cada um, não descobre um
mundo independente, pré-existente, exterior à mente do sujeito. Acredita que cada ser
humano constroi o significado para a linguagem que usa, no caso matemática, à medida que
vai construindo o seu mundo experiencial.

24
UNIDADE 5
A TEORIA PIAGETIANA
Objetivo: Conhecer os principais aspectos da teoria piagetiana e relacioná-los com o Ensino
de Matemática.

Sendo filho mais velho de Arthur Piaget, professor de literatura medieval, e de Rebeca
Jackson, Jean Piaget nasceu em Neuchâtel, Suíça, em 9 de agosto de 1886. Desde muito
cedo se interessou pela biologia e estudou ciências naturais na Universidade de Neuchâtel,
onde obteve o grau de PhD. Os estudos de biologia fizeram-lhe suspeitar de que os
processos de conhecimento poderiam depender dos mecanismos de equilíbrio orgânico.
Piaget convenceu-se de que tanto as ações externas quanto os processos de pensamento
admitiam uma organização lógica.
Para Smolle (2005), Piaget nunca foi nem pretendeu ser um pedagogo. Ele foi um
epistemólogo que, durante toda a sua vida, procurou indagar como se produziam os novos
conhecimentos durante o processo de desenvolvimento humano.
Piaget, em sua teoria tem como estudo principal o sujeito epistêmico, preocupando-se em
como a criança constroi suas estruturas mentais. Essa construção é obtida através da
interação do sujeito com o ambiente externo.
Piaget situa o homem em um processo ativo e interativo, procurando entender os
mecanismos sobre os quais o sujeito constroi o conhecimento nas várias etapas de sua vida.
Para compreender estas etapas, Piaget (1976) postula sua teoria em quatro fases de
transição, também denominadas estágios cognitivos.
O primeiro estágio de desenvolvimento humano compreende um período relativamente curto
que se estende do nascimento até aproximadamente dois anos de idade. É o chamado

25
estágio sensório-motor. Para Piaget, a criança nasce em um universo caótico, o qual vai
sendo conquistado mediante percepções e movimentos. O seu desenvolvimento ocorre de
uma atividade reflexa, em que a descoberta acontece por acaso e é conservada pela
repetição.
Progressivamente, a criança vai aperfeiçoando tais movimentos reflexos, adquirindo
habilidades e solucionando problemas por meio de ações, elaborando sua função simbólica
ou semiótica, sendo a principal característica de transição entre o primeiro e o segundo
estágio.
O segundo estágio se estende por um período mais longo de todos os estágios de
desenvolvimento, que vai dos dois aos seis ou sete anos de idade. É chamado de estágio
pré-operatório. Com o aparecimento da função simbólica, inicia-se a internalização dos
esquemas de ação, na forma de coordenação das representações, seja pela imitação, pela
linguagem, pela imagem, pelo jogo simbólico e pelo desenho. (MAGGI, 2002, p. 35).
Para Rappaport (1982), é nesse período que as crianças se conservam extremamente
egocêntricas, uma vez que não concebem uma realidade da qual não façam parte, devido à
ausência de esquemas conceituais e da lógica. O pensamento egocêntrico é dominado por
uma visão do mundo que parte do próprio eu, consciente de sua maneira peculiar de pensar.
O pensamento da criança entre dois e sete anos está dominado pela imaginação de caráter
simbólico. Dessa forma, esse estágio é uma transição no qual a criança parte da
representação das ações sensório-motoras para a capacidade de interação em situações
concretas, que é uma das características do próximo estágio.
O terceiro estágio, que vai dos sete aos onze ou doze anos, caracteriza-se pelo
egocentrismo intelectual e social. Nesse nível, a criança possui a capacidade de estabelecer
relações, coordenar pontos de vistas diferentes e integrá-los de modo lógico, denominado de
estágio operatório-concreto, ou também chamado de estágio da inteligência simbólica.
Segundo Dolle (1987):

26
[...] a inteligência operatório-concreta consiste, pois, em seriar, classificar, enumerar
os objetos e suas propriedades no contexto de uma relação do sujeito ao objeto
concreto direto e sem a possibilidade de raciocinar sobre simples hipóteses.

Nessa etapa, a criança possui uma inteligência em ação, dependente da relação entre o
sujeito e objeto. La Taille (1992) pontua que, no período pré-operatório, a criança ainda não
adquiriu a capacidade de reversibilidade, isto é, a capacidade de pensar simultaneamente o
estado inicial e final de alguma transformação efetuada sobre os objetos. Tal reversibilidade
será construída ao longo dos estágios operatório-concreto e formal.
Uma característica marcante deste estágio é a construção das classificações hierárquicas. A
criança torna-se consciente da estruturação do seu próprio pensamento argumentando,
posicionando e validando suas ideias aos demais.
Os jogos simbólicos, característicos deste estágio, evoluem para um tipo de jogo de imitação
do real. Assim, a criança tenta se adaptar ao ambiente externo, modificando suas
brincadeiras.
No final da fase pré-operacional, as crianças observam atentamente os jogos dos mais
velhos, embora nem sempre possam compreender as regras. Elas também mostram
uma evolução no sentido de que crianças mais novas seguem regras aprendidas
rigidamente, como se tivessem sido ditadas por alguma autoridade inquestionável.
Com o passar do tempo, consentem em modificá-las, se houver concordância dos
companheiros, ou mesmo em criar regras novas e originais. (RAPPAPORT,1982, p.
48).

O quarto estágio, denominado operatório-formal, estende-se dos 11 aos 15 anos de idade.
Nessa fase, a criança consegue raciocinar sobre hipóteses, formando esquemas conceituais
abstratos e executando operações mentais formais.

27
Segundo Wadsworth (1996) é neste momento que as estruturas cognitivas da criança
alcançam seu nível mais elevado de desenvolvimento. A representação agora permiteà
criança uma abstração total, não se limitando mais à representação imediata e nem às
relações previamente existentes. Agora, a criança é capaz de pensar logicamente, formular
hipóteses e buscar soluções, sem depender somente da observação da realidade.
Para Piaget, essa é a etapa final de equilíbrio, pois o indivíduo alcança o mais alto patamar
que o seguirá até a fase adulta. Observe a tabela abaixo, adaptada de Neto (1997, p. 35), no
qual se apresentam as classificações dos estágios cognitivos e suas contribuições ao
desenvolvimento matemático.
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS COGNITIVAS
Estágio Idade Noções Matemáticas

Sensório Motor
Meses
Maior / Menor

Noção de espaço.

Noção de formas.
0 – 1
1 – 4
4 – 8
8 – 11
11 – 18
18 - 24

Pré-Operatório
Anos Desenhos, ordem, contagem, figuras
geométricas, correspondência,
conservação do número e classificação
simples.
2 – 4
4 – 5
5 - 7

Operatório Concreto
7 - 8 Reversibilidade, classificação, seriação,
transitividade, conservação do tamanho,
distância, área e conservação da massa.
8 - 11 Classe inclusão, cálculo, frações,
conservação do peso e conservação do
volume.

Operatório Formal
11 - 13 Proporções e combinações.
13 - 15 Demonstração e álgebra.

28
UNIDADE 6
CONCEITO DE NÚMERO
Objetivo: Reconhecer o conceito de número.

Quando perguntamos a um grupo de pessoas o que é número, notamos a princípio certo
constrangimento. Realmente, é estranho não termos, na ponta da língua, uma definição para
algo tão familiar. Usamos números o tempo todo em nossa vida: para tomar um ônibus, fazer
um pagamento, encontrar um endereço, etc.
Diante dessa pergunta, aos poucos as pessoas começam a organizar as ideias, e surgem
respostas como: “É quantidade”; “É um símbolo”; “É um símbolo que representa uma
quantidade”. Em geral, alguém corrige: “o símbolo não é um número; é numeral”.
Grandes pensadores também encontraram dificuldades para expressar a definição de
número, observe:
É a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie. (Baltzer, 1814-
1887)
É a adição sucessiva de uma quantidade. (Kant, 1724-1804)
È uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração. (Broutroux, 1845-1921)
É a classe de todas as classes equivalentes a uma classe. (Russel, 1872-1970)

Até cerca de 1960, a maior parte dos professores de matemática se limitava a transmitir aos
alunos noções relativas ao chamado conhecimento social, como as palavras símbolo que
designam as quantidades e a contagem de rotina.

29
A partir desse período, contudo, o movimento Matemática Moderna originou uma série de
mudanças no currículo. No mundo passou-se a enfatizar a importância da teoria dos
números no ensino de matemática desde a fase elementar, e ganharam espaço as
pesquisas de Piaget relativas à construção do número pela criança

Como teria nascido à ideia de número?

A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a
responsável por essa façanha. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de
contar objetos e coisa.
Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de
uma corda, marcas num osso.
Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem ao número.
Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números:

30

Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e
cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio.

Veja estes caçadores.

31
Para registrar os animais mortos numa caçada, eles se limitavam a fazer marcas numa vara.
Nessa época o homem se alimentava daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos,
sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se
melhor contra o frio. A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos
num pedaço de madeira ou em ossos de animais.
Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que
conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.
Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de
vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes passou a cultivar algumas plantas e
criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de
alimentos de que podia dispor.
E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar se
deslocando de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado
lugar, geralmente às margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de
construir sua própria moradia.
Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito
de número.
Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa
concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.
A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao contar as ovelhas,
o pastor separava as pedras em grupos de cinco.
Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira
ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.

32

33
UNIDADE 7
A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS
Objetivo: Verificar os métodos para a construção dos números.

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar
ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em
cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças,
sobretudo ao desenvolvimento do comércio.
Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas
necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-
se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.
Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o
começo da História.
Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita
intensidade e rapidez no Egito.
Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não
era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados
pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi
partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar
a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos.

34
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da
Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8
bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. Exemplo: 3 + 5 = 8.

A Teoria dos números segundo Piaget
Piaget vê o número como uma estrutura mental que cada criança constroi a partir de uma
capacidade natural de pensar e não algo aprendido do meio ambiente.
Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre três tipos de conhecimento
considerando suas fontes básicas e seu modo de estruturação: conhecimento físico,
conhecimento lógico-matemático e conhecimento social (convencional).
O conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da realidade externa e podem ser
conhecidas pelaobservação. Contudo, quando notamos diferença, esta diferença é um
exemplo de pensamento lógico-matemático.
O número é a relação criada mentalmente por cada indivíduo.
A criança progride na construção do conhecimento lógico-matemático pela coordenação das
relações simples que anteriormente ela criou entre os objetos.
A visão de Piaget sobre a natureza lógico-matemática do número está em agudo contraste
com a visão dos professores de matemática. Observe o fragmento de texto abaixo:
O número é uma propriedade dos conjuntos, da mesma maneira que a ideia de cor, tamanho
e forma se referem às propriedades do objeto. (Duncam et al. 1972)
O número de acordo com Piaget é uma síntese de dois tipos de relações que a criança
elabora entre os objetos. Uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica.

35
Segundo Piaget, a criança não sente a necessidade lógica de colocar os objetos numa
determinada ordem para assegurar-se de que não falta nenhum nem conta o mesmo objeto
duas vezes. Só pode-se assegurar que não deixamos de contar nenhum objeto, ou de que
não repetimos nenhum se o colocarmos em ordem. Contudo, não é necessário que a criança
coloque os objetos literalmente numa ordem espacial para arranjá-los numa relação
organizada. O importante é que possa ordená-los mentalmente como se vê no quadro 2.

Para quantificar os objetos como um grupo, a criança tem que colocá-los numa relação de
inclusão hierárquica. Esta relação, vista no quadro 3, significa que a criança inclui
mentalmente um em dois, dois em três, três em quatro, etc.

36

A reação das crianças pequenas à tarefa de inclusão de classes ajuda-nos a entender quão
difícil é construir a estrutura hierárquica.
Piaget e seus seguidores demonstraram que o número é alguma coisa que cada ser humano
constroi através da criação e coordenação de relações. Quando a criança não tem a
estrutura (mental) de número ela baseia seu julgamento no espaço, ou na percepção de
fronteiras.
A construção do número acontece gradualmente por “partes”, ao invés de tudo de uma vez,
para a construção dos grandes números, é importante facilitar o desenvolvimento dos
mesmos processos cognitivos que resultam na construção dos pequenos números.
Em conclusão, a estrutura lógico-matemática de número não pode ser ensinada, uma vez
que a criança tem que construir por si mesma.

1) É importante que a criança, para construir o conceito de número, seja colocada em
situações que provoquem a ideia de comparação de quantidade. Pesquise com professores
das séries iniciais como esse trabalho é desenvolvido.
2) Faça o teste de conservação de quantidade com crianças de 3 anos e anote suas
observações.
3) O que você entende por correspondência? Essa é a mesma ideia de Piaget?
4) Comente o método adotado por Piaget para explicar o conceito de número.

Dica para leitura: A Criança e o Número – Constance Kami.

37
UNIDADE 8
O CÁLCULO MENTAL
Objetivos: Desenvolver o conhecimento sobre a importância do cálculo mental.

De acordo com os PCNs (1997, v.3, p. 117) “pode-se dizer que se calcula mentalmente
quando se efetua uma operação, recorrendo-se a procedimentos confiáveis sem os registros
escritos e sem a utilização de instrumentos”.
Se analisarmos nossas escolas atualmente, verificamos que o ensino de matemática ainda
está centrado nos modelos tradicionais de arme e efetue. Essa prática tem mudado, mas de
forma ainda muito tímida.
O cálculo mental não aparece de forma espontânea só pelo fato de não utilizarmos o lápis e
papel. Exige que o aluno tenha experiências matemáticas significativas, isto é, que esteja
integrado sobre todo o processo de construção numérica, compreendendo cada operação e
seu algoritmo.
O domínio dos recursos para o cálculo indica uma aproximação com o cálculo que torne os
alunos capazes de escolher os procedimentos apropriados, encontrar resultados e julgar
suas validades. Aponta para o caminho da descoberta onde o aluno possa sentir a emoção
de perceber um caminho produtivo ou de uma solução encontrada numa estratégia ainda
não reconhecida antes.
O professor, enquanto mediador do processo de problematização deve ficar atento sobre os
caminhos apresentados durante a solução dos problemas. Não deve adiantar soluções e
nem deixar o aluno entregue a si mesmo, e sim, a partir de seus pequenos avanços, levá-lo a
observar, analisar, estabelecer relações, fazer conjecturas e comprovações, orientando-o,

38
assim, para chegar à descoberta dos conceitos matemáticos envolvidos nas atividades
propostas.
Quando o aluno utiliza o cálculo mental com o incentivo dos professores, desenvolvem
além de rapidez e exatidão nos resultados, muita segurança psicológica, grande
criatividade nas atividades com números e maior autonomia de raciocínio na
resolução de problemas. (TOLEDO, 1997).

O diálogo abaixo é um exemplo. Ao efetuar 420:2, um aluno encontrou resultado 20, o
professor ao perceber o erro perguntou:
 Qual a metade de 400?
 É 200, respondeu o aluno.
 Então a metade de 420 é maior ou menor que 200?
 Claro que é maior!
 Então a sua resposta está correta?
 Vixe! Acho que não!

Quanto maior a familiaridade dos alunos com o número, mais capazes serão de estabelecer
conexões e descobrir propriedades numéricas.
Desde as séries iniciais a criança precisa ter contato com técnicas de cálculo mental, de uma
forma não formal, e a todo instante em sala de aula o professor de matemática deve motivar
seu aluno a refletir e pensar numericamente.
Uma maneira de motivar o cálculo mental e criando situações de jogo. Segue exemplo de
uma situação extraída do livro Imenes e Lellis.

39

CÁLCULO MENTAL
Material: Baralho
Regras:
- Devem-se formar grupos de 4 jogadores;
- Cada grupo usa as cartas numéricas de um baralho comum, isto é, do 2 ao 10.
- Oito cartas são sorteadas e colocadas sobre a mesa, com o valor voltado para cima:

- O jogador que começa diz um número correspondente a um produto obtido com os valores
da mesa. Por exemplo, ele diz “Quinze”, porque na mesa há cartas que têm esse produto: 5
x 3 = 15.
- O próximo jogador que pegar essas cartas ganha as cartas e a rodada.
- Duas cartas substituem as que foram retiradas, e o jogador seguinte fala um novo
resultado.

40
- O jogo termina quando acabar as cartas do baralho. O vencedor será quem guardou mais
cartas, porque acertou mais vezes a multiplicação.

Variação: Esse joga se torna mais difícil quando são usadas duas operações. Por exemplo,
com as cartas da mesa pode-se “cantar” o resultado 28, obtido com 3 x 10 – 2. Há várias
variações, que possibilitam o treino do cálculo mental.

PARA LEITURA
Sugestões de Atividades no site:
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/atividades-calculo-mental-
428276.shtml

41
UNIDADE 9
ORIGEM DOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
Objetivos: Conhecer a origem de alguns símbolos matemáticos.

Adição ( + ) e subtração ( – )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman
d’Eger publicada em Leipzig em 1489. Entretanto, representavam não à adição ou à
subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficits em
problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na
Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557. Os símbolos positivos enegativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em
tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar
a adição juntapondo as parcelas – sistema que ainda hoje adotamos quando queremos
indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação “mais”,
usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.

Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático
inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae
publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a
efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os
fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de

42
Leibniz encontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de
modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em
29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: “eu não gosto de X como um símbolo
para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o
produto entre duas quantidades por um ponto. Daí, ao designar a relação uso não um ponto
mas dois pontos, que eu uso também para a divisão.”
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e,
1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é
indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo
Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes – e:

Sinais de relação ( =, < e > )
Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da
Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No
seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões
iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557.
Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma
abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade, em fins do século XVI, por
dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso,
ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito
contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

43
Historia dos símbolos matemáticos
Símbolos Aoo Autor

1228 Fibonacci
3 · 4 1464 Regiomontano
3 + 4
4 - 3

1489

Widmann
2 + 3 = 5 1557 Recorde
30º 1571 Reinhold
decimais 1585 Stevin
2,17 1617 Naiper
log 27 1624 Kepler
1629 Girard
3 < 4
4 > 3

1631

Harriot
25 1637 Descartes

1675 Leibniz
f(x) 1734 Euler
p 1736 Euler
e 1739 Euler
sen, cos 1753 Euler
S, D 1755 Euler
i 1777 Euler
Ângulos a, b 1816 Crelle

44
UNIDADE 10
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE I
Objetivos: Desenvolver técnicas para trabalhar a Adição.

Adição
Adição é uma das operações básicas da álgebra. Na sua forma mais simples,adição combina
dois números (termos, somandos ou parcelas), em um único número, a soma. Adicionar mais
números corresponde a repetir a operação. Por extensão a adição de 0, um ou um número
infinito de números pode ser definida, veja abaixo.
Para uma definição da adição no âmbito dos números naturais.
Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de recta dados
determinar outro cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.
A familiaridade do aluno com a adição facilita muito o trabalho pedagógico, que consistirá
basicamente em planejar situações adequadas ao estágio em que eles se encontram.

Como trabalhar a adição
Primeiramente devemos utilizar de situações práticas que contribuam para que o aluno
construa o conceito de adição, utilizando os mais diversos recursos didáticos que forem
necessários.
As operações devem sempre ser apresentadas como uma situação-problema que faça parte
do cotidiano do aluno; são atividades bem mais interessantes do que simplesmente usar o
recurso de arme e efetue.

45
Para Kami (1986), contar é um meio de se obter cada resposta separadamente, sem colocá-
la em relação com o conhecimento anterior. O reagrupamento mental, ao contrário é um
meio de produzir um conhecimento novo em relação ao que já se sabe.
Cabe destacar que ao se trabalhar com as propriedades da adição a criança só incorpora a
ideia de comutatividade aos 7 ou 8 anos, nessa fase os alunos possuem dificuldades ligadas
a inclusão de classe.
O interessante é que inicialmente a criança disponha dos mais diversos materiais para
efetuar suas contagens (palitos, feijões, grãos, etc.), para que posso manipulá-los à vontade,
representando as quantidades das situações propostas.

O Material Cuisinaire
O material cuisenaire é constituído por uma série de barras de madeira, sem divisão em
unidades e com tamanhos variando de uma até dez unidades. Cada tamanho corresponde a
uma cor específica.
O material auxilia a compreensão de alguns conceitos básicos para os alunos das séries
iniciais, como a sucessão de números naturais ou a decomposição de uma adição em
diferentes parcelas. Nas atividades, os conceitos trabalhados são: sucessor, antecessor,
estar entre, antes de, depois de, maior e menor.

Origem
O material cuisenaire foi criado pelo professor belga Georges Cuisenaire Hottelet (1891-
1980) depois de ter observado o desespero de um aluno, numa de suas aulas. Decidiu criar
um material que ajudasse no ensino dos conceitos básicos da Matemática. Então cortou
algumas réguas de madeira em 10 tamanhos diferentes e pintou cada peça de uma cor
tendo assim surgido a Escala de Cuisenaire.

46
Durante 23 anos, Cuisenaire estudou e experimentou o material que criara na aldeia belga
de Thuin. Só 23 anos depois da sua criação (a partir de um encontro com outro professor – o
egípcio Caleb Gattegno), é que o seu uso se difundiu com enorme êxito. O egípcio, radicado
na Inglaterra, passou a divulgar o trabalho de Cuisenaire – a quem chamava de Senhor
Barrinhas. Levou apenas 13 anos para passar a ser conhecido nas escolas de quase todo o
mundo.
Feito originalmente de madeira, o Cuisenaire é constituído por modelos de prismas
quadrangulares com alturas múltiplas da do cubo – representante do número 1 – em 10
cores diferentes e 10 alturas proporcionais.

47

Com o material pode-se trabalhar o conceito de várias operações, um exemplo para
desenvolver o conceito de adição de forma concreta seria, propondo aos alunos que façam
adições equivalentes usando as barras e registrando o que descobriram.
Esse é simplesmente mais um material com grande possibilidade de interação, mas sua
utilização como de qualquer outro material depende exclusivamente do professor.

Antes de dar continuidades aos seus estudos é fundamental que você acesse sua
SALA DE AULA e faça a Atividade 1 no “link” ATIVIDADES.

48

TEMA I
Do ponto de vista pedagógico é fundamental o aspecto propiciado pela experiência com
jogos matemáticos. Aspessoas não ficam na posição de meras observadoras, tomando
conhecimento de novos fatos, e transformam-se em elementos ativos, na tentativa de ganhar
a partida ou na busca de caminhos para a solução do problema posto a sua frente.
Certamente que tal atitude é extremamente positiva para a aprendizagem das ideias
matemáticas subjacentes aos jogos.
Cite algumas experiências que você já teve com a utilização de jogos Matemáticos na sala
de aula.

49
UNIDADE 11
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE II
Objetivos: Desenvolver técnicas para trabalhar a subtração..

Subtração
Diferente da adição a subtração não é uma operação simples de ser trabalhada.
Primeiramente, o raciocínio da criança se concentra em aspectos positivos da ação,
percepção e cognição. Os aspectos negativos, como inverso e recíproco, só são construídos
mais tarde.
Em segundo lugar, porque subtração tem um aspecto afetivo adverso, pois está ligada a
situação de perda.
E por último a subtração envolve diferentes conceitos como: tirar, comparar e completar.

A ideia de tirar
O que se percebe hoje é que professores ainda desenvolvem somente este conceito na
subtração, “que esta conta serve para tirar”. Apresenta-se o todo e dele tira-se uma parte.

50

A ideia de comparar
A ideia de comparar está presente nas situações que confrontamos duas quantidades
independentes. Ocorre também em casos que envolvam a comparação de uma parte com o
todo e depois com a outra parte, o que para a criança cria certa dificuldade.

A ideia de completar
A ideia de completar aparece em situações nas quais o cálculo começa por uma parte e
completa-se até chegar ao todo.
Exemplo: O meu álbum tem 54 figurinhas e só tenho 45 reais. Quanto falta para completá-lo?

A maior parte dos livros didáticos enfatiza somente a ideia de “tirar”.

Como trabalhar a subtração

51
Para Piaget , embora toda situação de subtração é interpretada em relação ao todo, há
diferenças no modo de se trabalhar essa relação.
a) Nas situações de tirar, a criança pensa primeiro no todo e depois remove uma parte
dele; são ações sucessivas (TOLEDO, 1997).
b) Na situação de comparar, há dois todos cujos elementos devem ser colocados em
correspondência um a um (TOLEDO, 1997).

O ideal é que essas duas situações sejam exploradas logo nas séries iniciais da Educação
Básica.
Quanto mais o aluno trabalhar com o concreto e situações rotineiras de seu dia a dia, maior a
possibilidade ele terá de superar suas dificuldades na subtração.

Emprestar: Controvérsias
O termo emprestar é considerado bastante inadequado, pois pede-se emprestado
mas não se paga o empréstimo. Além disso, o aluno que não compreende bem o
progresso de agrupamento e trocas e só faz contas com lápis e papel, sem agir
sobre materiais de contagem, não entende por que pede 1 emprestado e recebe 10.
Quando se usar o termo “troca”, no entanto, fica claro que sempre se troca uma
nota de dinheiro por outras que, somadas, representamo mesmo valor da primeira.
Assim, no problema que acabamos de ver, trocou-se uma nota de T$ 10 por dez
notas de T$ 1, ou seja trocou-se 1 dezena por 10 unidade. (TOLEDO, 1997).

52
UNIDADE 12
NÚMEROS E OPERAÇÕES – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Objetivos: Conhecer algumas atividades com adição e subtração.

1) Estrela Numerada.
Peça para os alunos para acessarem esse desafio. Ele mostra uma estrela dividida em
pequenos triângulos, cada um deles com um valor no seu interior.

Colorindo alguns triângulos, vizinhos entre si, é possível formar triângulos maiores, como os
mostrados na figura.
Para vencer o desafio, é necessário colorir três triângulos, de forma que, em cada um deles,
a soma dos valores mostrados seja igual a 36. Mostre aos alunos que, dentro da estrela,
podem ser formados triângulos de diversos tamanhos.

53

Lembre à turma que, para ganhar pontos no ranking, deve resolver o desafio sem olhar a
resposta.
Nesse desafio, não é necessária muita interferência. Deixe que os alunos tracem suas
próprias estratégias para encontrar a solução. Se alguns tiverem dificuldade, permita que
sejam ajudados por algum colega, com o cuidado de que a ajuda sejam dicas, sem que a
solução seja dada.

2) Acerte o Alvo
Neste desafio, os alunos deverão posicionar seis flechas nos círculos do alvo, de forma que
a soma dos pontos indicados seja igual a 100.
Aqui, vale a pena investir em estratégias. Sugira aos alunos que usem papel e lápis para
fazer algumas somas com os valores do alvo, tentando obter o resultado 100 com 6 parcelas
(aproveite para apresentar o vocabulário correto: “soma” ou “total”, “parcelas”, etc.).

54
Verifique se algum aluno obtém, por exemplo, um resultado muito alto e pergunte o quanto
ele deve subtrair para chegar a 100. Ele deverá verificar se, substituindo um dos valores, não
conseguirá diminuir o resultado total.
Outra estratégia é tentar obter uma soma parcial, como 50, por exemplo, e repeti-la para
obter 100.

3) Quebra-Cabeça Numérico
Nesta atividade, será usado apenas o nível 1 do desafio.
O quebra-cabeça mostra números e sinais arranjados em colunas lado a lado. O objetivo é
organizar as colunas para que formem sentenças matemáticas corretas. Para isso, é
possível trocar as colunas de lugar, selecionando uma delas e clicando nas setas, ou girá-
las, virando as colunas “de ponta-cabeça”. O giro é feito clicando-se nas setas que formam
um“S”.
O primeiro nível do desafio não deve oferecer grandes dificuldades aos alunos, pois só
apresenta operações de adição e subtração. Como dica, sugira aos alunos que tentem
organizar uma das linhas e, depois, verifiquem o que está errado nas outras para fazer a
correção

55
Na solução, mostrada a seguir, você verá que duas das sentenças matemáticas mostram o
“resultado” antes da “operação”:
8 = 6 + 2
2 = 2 + 0

Nas séries iniciais, os alunos habituam-se a ver “o sinal de igual (=) como um símbolo
unidirecional que precede a resposta numérica” (KIERAN, 1981, citado por BOOTH, 1997, p.
27. In LANGER E VIANNA, 2004). Mas, como eles perceberão mais tarde, ao iniciarem o
estudo da álgebra, o sinal de igual representa a equivalência entre duas sentenças e,
portanto, não importa que o “resultado” venha antes, desde que a igualdade seja verdadeira.
Assim, se houver questionamentos nesse sentido por parte dos alunos, reforce o conceito de
igualdade. Isso poderá ser feito com a transcrição de sentenças matemáticas para a forma
textual:
— Seis mais dois é igual a oito.
— Oito é o mesmo que seis mais dois.
— Oito é igual a seis mais dois.

56
UNIDADE 13
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE III
Objetivos: Desenvolver conceitos básicos de multiplicação e divisão.

13.1 – Multiplicação
Na maioria das escolas a multiplicação é vista somente como uma “adição de parcelas
iguais”. Faz-se necessário que o docente tenha em mente que a multiplicação é uma
importante ferramenta para contagem, e oferece os primeiros contatos do aluno com as
noções de proporcionalidade.
Nas séries iniciais o que realmente pretende-se é que a criança tenha o conceito de adição
de parcelas iguais, para isso pode-se usar das ideias de formação de grupos com número de
elementos iguais.
Exemplo:
a) Formar 5 equipes, com 6 alunos cada. Será que usaremos todos os alunos da classe?
b) Tenho uma sacola de balase distribua igualmente entre seus colegas.

I) Usando as barras de Cuisenaire podem ser trabalhadas como na adição um recurso
explorador para multiplicação.
Exemplo: Construa um muro com 12 barras de valor 1. Depois, construa outros muros do
mesmo tamanho, formados apenas por barras da mesma cor.

57
II) Usando papel quadriculado podemos formalizar conceitos de área utilizando ladrilhos de 1
cm x 1 cm, e pedir para os alunos calculem quantos ladrilhos há nesse piso.
A princípio, a maioria das crianças conta os quadrados de uma a um. Mas assim, que
perceberem que todas as fileiras têm a mesma quantidade de ladrilhos passam a adição com
parcelas iguais, e a seguir a multiplicação.
III) Após trabalhar com ladrilhamento pode-se ainda familiarizar os alunos com o processo de
visualização espacial, propondo situações de empilhamento, dessa forma estamos
preparando os alunos para o conceito de volume.

13.2 – Divisão
A divisão está relacionada com a subtração. Na verdade, ela é uma subtração reiterada de
parcelas iguais, por isso apresenta questões semelhantes às daquela operação.
A divisão deve estar ligada a ideia de repartir igualmente e medir.
A ideia de Repartir
Observe essa situação: Carlos tem 45 figurinhas e deseja reparti-las entre seus 6 colegas.
Como poderá fazer isso?
Inicialmente, ele provavelmente distribuirá uma a uma, até perceber que se torna impossível
repartir em partes iguais.
A ideia de Medir
Uma doceira tem 60 bombons e deseja com eles colocar 7 bombons em cada caixa, quantas
caixas ela conseguirá completar?
Temos aqui uma situação contrária à anterior, pois, sabemos os elementos de cada grupo,
mas não sabemos quantos grupos serão formados. Essa é a ideia de medir.

58
O que é preciso saber para fazer uma divisão?
Observe o artigo de Humberto Luis de Jesus, colaborador do Mathema sobre divisão:
Se você respondeu que para fazer uma divisão é preciso conhecer a tabuada e as outras
três operações elementares – adição, subtração e multiplicação –, acertou... Em parte.
Para Miguel e Miorim 1 (1986), essa operação é a que mais apresenta dificuldade não só
para quem ensina, mas, principalmente, para quem aprende.
Neste artigo pretende-se mostrar, por meio dos conceitos relacionados à operação de
divisão, a veracidade da afirmação anterior e sugerir uma organização do planejamento da
divisão nos anos iniciais da escolaridade básica.
Antes de tudo, deve-se considerar que a lista de conceitos presentes no início deste texto
responde à questão que o intitula, quando a divisão é concebida exclusivamente como uma
técnica operatória. Porém, há muito mais conhecimento relacionado ao conceito divisão.
Primeiramente, é fundamental que o professor proponha aos seus alunos atividades
envolvendo o significado da divisão em matemática, em contraposição aos significados
construídos em situações do cotidiano.
Geralmente, parte-se do pressuposto de que relacionar divisão e dividir em partes iguais já é
do domínio de todos os alunos, e não se exploram as divisões espontâneas naturalmente
realizadas pelas crianças em suas interações sociais. Nessas divisões, nem sempre o todo é
dividido em partes iguais e nem sempre o resto deve ser menor que o divisor.
Relacionado ao significado da divisão em matemática, é essencial também propor atividades
cujo objetivo seja a natureza do todo a ser dividido: contínuo ou discreto. De acordo com
Miguel e Miorim (1986): “(...) um todo é discreto quando é formado por um número finito de
elementos (conjunto contável) e admite, teoricamente, que não podem ser quebrados” e “um
todo é contínuo quando é formado por um número infinito de elementos (pontos) e admite,
teoricamente, divisibilidade infinita (...) (p. 45).

59
Sendo assim, um grupo de pessoas é um exemplo de um todo discreto, enquanto um
retângulo é um exemplo de um todo contínuo.
A natureza do todo interfere no ato de dividir, como, por exemplo, um grupo de 15 pessoas
só pode ser dividido em 1, 3, 5 ou 15 partes iguais, enquanto um pedaço de barbante pode
ser dividido, teoricamente, em qualquer número de partes iguais.
Outro aspecto relevante para a aprendizagem da divisão envolve as duas ideias relacionadas
à divisão: a ideia de repartir e a ideia de medir; que se relacionam a diferentes contextos de
problemas.
A primeira dessas ideias ocorre em problemas em que é necessário dividir igualmente certa
quantidade de objetos entre determinado número de grupos e se deve encontrar quantos
objetos ficam em cada grupo e quantos restam. Um exemplo simples disso é o problema:
Distribuindo 108 figurinhas entre 3 crianças, quantas figurinhas recebe cada uma delas?
Por sua vez, a ideia de medir ocorre em situações em que é preciso dividir igualmente
determinada quantidade de objetos, em grupos, sabendo-se quantos elementos comporão
cada grupo, precisando-se encontrar quantos grupos são formados e quantos objetos
sobram ao final. Por exemplo: Quantos pacotes, com 3 figurinhas cada um, são feitos com
108 figurinhas?
Dependendo da abordagem dada à operação de divisão, os alunos resolvem somente
problemas envolvendo a ideia de distribuir, porém é a ideia de medir que dá significado às
divisões do tipo 20 ÷ 2,5, quando se propõe, por exemplo, o problema: Quantos pedaços de
barbante de 2,5 m de comprimento é possível fazer com 20 m de barbante?
Deve ser considerado também o papel que o resto desempenha em um problema de divisão,
e as três situações a seguir ilustram a importância e os diferentes significados que o resto da
divisão pode ter:
1) Juliana tem cinco barras de chocolate que precisa dividir igualmente com seu irmão. Qual
é a quantidade de chocolate que cada um receberá?

60
2) A gata de Juliana teve cinco gatinhos que ela deseja distribuir igualmente a quatro
crianças na rua. Quantos gatinhos cada criança ganhará?
3) Um pequeno barco faz a travessia de pessoas de uma margem à outra de um rio. A cada
viagem ele leva apenas duas pessoas além do barqueiro. Quantas viagens o barco deve
fazer para levar sete pessoas até o outro lado?
Em função dos múltiplos aspectos e ideias envolvidos na divisão, constata-se que a
introdução prematura de uma técnica operatória sem associá-la ao conceito de divisão no
sentido da matemática e às propriedades que relacionam os termos de uma divisão entre si
pode-se constituir em um sério obstáculo para a compreensão da própria técnica operatória.
Por esse motivo, as atividades de introdução da divisão devem ser orientadas para a
aprendizagem dos significados e relações citados até aqui.
No entanto, a própria técnica operatória pode e deve ser cuidada para ganhar significado e
se tornar um instrumento utilizado pelo aluno com controle sobre a melhor e mais prática
forma de fazê-lo.
Para isso, iniciar a técnica da divisão pelo algoritmo americano, relacionando as etapas
desse procedimento com as tabuadas e com o cálculo por estimativa, tem a vantagem de
introduzir a técnica em estreita relação com as ideias da divisão e com o significado do resto.
O algoritmo americano permite ao aluno maior controle do resultado e evita erros muito
comuns, como as dificuldades encontradas quando há zeros intercalados no dividendo ou no
quociente.
A estimativa em cada etapa do algoritmo americano e a estimativa do quociente como um
todo mostram que a passagem do algoritmo americano para o convencional, baseado na
decomposição do dividendo nas ordens do sistema de numeração, se torna muito natural
para o aluno, pois ele compreende o significado do que está sendo feito e passa a optar pela
forma mais prática de cálculo