TH024_05_Precipitacao

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5 - Precipitação
• Todas as formas de umidade emanadas da 
atmosfera e depositadas na superfície da 
terra:
– Chuva
– Granizo
– Neve
– Orvalho
– Geada
– Neblina
Maior contribuição para Q rios
1
Condensações superficiais
Condensação acontece nas camadas mais elevadas da atmosfera
5.1 - Generalidades
REGIME 
HIDROLÓGICO
Características 
físicas
Características 
topográficas
Características 
geológicas
Clima
Precipitação
Principal entrada
Evaporação
Redução do escoamento 
superficial → Atmosfera
Temperatura, vento, umidade
2
ANA. 2005. Caderno de Recursos 
Hídricos – Disponibilidade e 
Demandas de Recursos Hídricos no 
Brasil. 3
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
4
Variação temporal
5
9
http://www.simepar.br/site/internas/conteudo/monitoramento/telemetria/index.shtml#
5.2 - Precipitação - Formação
– Elemento básico: umidade 
atmosférica
– Mecanismo de resfriamento do ar
– Presença de núcleos higroscópicos (ou 
de condensação), para que haja 
condensação
– Mecanismo de crescimento das gotas
• Coalescência (colisão)
• Difusão
10
Sal, pólen, material 
particulado, 
fuligem, etc
5.3 – Fatores climáticos
• Fenômenos meteorológicos que influenciam:
– Posição da região em relação à circulação geral da 
atmosfera
– Ocorrência de umidade
– Distribuição da temperatura
– Vento
• Ver em Hidrometeorologia:
a. Atmosfera
b. Circulação geral da atmosfera e ventos
c. Umidade atmosférica
d. Temperatura
11
5.4 - Tipos de chuvas
• Ciclônica (frontal)
• Orográfica
• Convectiva
12
a) Chuva ciclônica
Chuvas frontais.
Provocadas por “frentes”; no 
Brasil predominam as frentes 
frias provindas do sul 
• Longa duração, intensidade 
baixa ou moderada, podendo 
causar diminuição da 
temperatura 
Interessam em projetos de 
obras hidrelétricas; controle 
de cheias regionais; 
navegação
Projetos em grandes baciasFonte: Villela & Mattos (1975)
13
b) Chuva orográfica
São provocadas por grandes 
barreira de montanhas
(ex.: Serra do Mar)
As chuvas são localizadas e 
intermitentes.
Possuem intensidade
bastante elevada.
Geralmente são 
acompanhadas de neblina.
14
c) Chuvas convectivas
“Chuvas de verão”
Ocorrem em dias quentes, 
geralmente no fim da tarde ou 
começo da noite;
Podem iniciar com granizo;
Podem ser acompanhadas de 
descargas elétricas e de rajadas de 
vento;
Interessam às obras em pequenas 
bacias, como para cálculo de 
bueiros, galerias de águas pluviais, 
etc 
Resultantes de convecções térmicas, que é um fenômeno provocado pelo forte 
aquecimento de camadas próximas à superfície terrestre, resultando numa rápida subida 
do ar aquecido. A brusca ascensão promove um forte resfriamento das massas de ar 
que se condensam quase que instantaneamente.
15
5.5 – Medição
• Pontual:
– Pluviômetros
– Pluviógrafos
– Disdrômetro
• Espacial:
– Radares
Ferré Gravoz M. & Pascual Peña, F.J. (1997)
16
a) Pluviômetros
Existem 
provetas de 
7, 10 e 
25mm
1 medida a cada 24h, normalmente 
às 7h da manhã.
Superfície receptora:
Ville de Paris: 400 cm2
Paulista: 500 cm2
Casella: 200 cm2
Snowdon 125 cm2
17
b) Pluviógrafos
Os registros dos pluviógrafos são indispensáveis para estudo de chuvas 
de curta duração.
Projetos de galerias pluviais 
Superfície receptora:
200 cm2
Registro contínuo dos dados de precipitação
19
Pluviógrafos
de peso
O receptor repousa 
sobre uma escala de 
pesagem que aciona a 
pena e esta traça um 
gráfico de precipitação 
sob a forma de um 
diagrama (altura de 
precipitação acumulada 
x tempo) 
20
Fita de pluviógrafo
Wilken, 1979
21
Pluviógrafos
de flutuador 
Muito semelhante ao 
pluviógrafo de peso.
A pena é acionada por 
um flutuador situado na 
superfície da água 
contida no receptor. 
22
Pluviógrafos
de caçambas basculantes
A caçamba é conectada 
eletricamente a um 
registrador, sendo que 
uma basculada equivale 
a 0,25 mm de chuva.
23
Gráficos
Altura Pluviométrica - É a altura de água precipitada (h), geralmente em mm.
Trata-se de uma medida pontual representativa da água precipitada por unidade 
de área horizontal.
Intensidade da precipitação - É a relação entre a altura pluviométrica e a 
duração da precipitação, expressa em geral em mm/h ou mm/min ou l/s*ha.
Duração - Período de tempo contado desde o início até o fim da precipitação.
24
c) Disdrômetro
25
http://www.thiesclima.com/disdrometer.html
d) Radar
Collier (1986)
50% dos casos →
diferenças superiores a 
30% que aqueles 
medidos por pluviógrafos
Estimativa da precipitação fora da localização 
exata dos registradores (pontuais), a 
interpolação de valores observados em 
pluviógrafos vizinhos pode, dependendo da 
distância entre eles, conduzir a erros superiores 
aos do radar.
Análise de erros de estimativas da intensidade de chuva por radar
26
d) Redes de monitoramento
Rede básica → recolhe permanentemente os elementos necessários 
ao conhecimento do regime pluviométrico de um País (ou Estado);
Redes regionais → fornece informações para estudos específicos de 
uma região.
Densidade da rede:
Brasil → um posto a cada 400 - 500 km2;
França → um posto a cada 200 km2;
Inglaterra → um posto a cada 50 km2;
Estados Unidos → um posto a cada 310 km2;
No Estado de São Paulo, o DAEE/ CTH opera uma rede básica com 
cerca de 1000 pluviômetros e 130 pluviógrafos, com uma densidade 
de aproximadamente um posto a cada 250 km2. (Ano!)
27
Ano!
Exercícios – Análise de pluviograma
28
Exercício 1
Exercício 2
5.6 - Processamento de dados pluviométricos
• Detecção de erros grosseiros
• Preenchimento de falhas
• Verificação de homogeneidade dos dados
Análises de consistência dos dados 
29
a) Detecção de erros grosseiros
PLUVIÔMETRO
• observações marcadas em dias que não existem (ex.: 31 de abril);
• quantidades absurdas (ex.: 1000 mm em um dia);
• erro de transcrição (ex.: 0,36 mm em vez de 3,6 mm).
PLUVIÓGRAFO
• defeito na sifonagem
30
b) Preenchimento de falhas








++= C
C
x
B
B
x
A
A
x
x P
N
N
P
N
N
P
N
N
P
3
1
Onde:
Px é o valor de chuva que se deseja determinar;
Nx é a precipitação média anual do posto x ;
NA, NB e NC são, respectivamente, as precipitações médias anuais do 
postos vizinhos A, B e C, no mesmo período de Nx ;
PA, PB e PC são, respectivamente, as precipitações observadas no 
instante que o posto x falhou.
Pelo menos 3 postos, climaticamente homogêneos, localizados o mais próximo 
possível do posto com falhas, com um mínimo de 10 anos de dados.
Falhas devido:
• Ausência de observador
• Defeito do aparelho
31
Método de ponderação regional
Séries 
mensais ou 
anuais
32
Outros métodos de preenchimento de falhas:
Análise de regressões lineares, simples ou múltipla
Buscar correlação entre as precipitações do posto com falha e de um posto 
vizinho.
Método de ponderação regional baseado nas correlações com as 
estações vizinhas.
Uma variação do procedimento de cálculo
Estabelece-se regressões lineares entre o posto pluviométrico com falhas e 
cada um dos postos vizinhos. De cada uma das regressões lineares 
efetuadas obtém-se o coeficiente de correlação, r, e calcula-se Px:
xCxBxA
CxCBxBAxA
x
rrr
PrPrPr
P
++
++
=
Exercício 1
Preencher a falta de dados ocorrida no mês de janeiro no ano de 1963 no posto 
E5-46. Totais mensais dos meses de janeiro dos postos E5-51, E5-52 e E5-47, 
todos vizinhos ao ponto em questão, no período de 1958-1968, são disponíveis. 
PX(mm) PA(mm) PB(mm) PC(mm)
Ano E5-46 E5-51 E5-52 E5-47
1958 117,4 157,3 249,6 224,8
1959 125,3 241,6 374,6 265,1
1960 131,8 250,9 267,6 261,2
1961 159,4 55,6 121,8 57
1962 52,4 158,9 85,4 95,4
1963 344 276,6 231,4
1964 64,2 39,3 81,8 21,3
1965 174 253,3 285,4 290,6
1966 137,8 64,7 150,2 201,2
1967 168,3 126,1 170,3 123,2
1968 255,5 249,5 339,3 285,1
33
Exercício 2
Preencher a falta de dados ocorrida no mês de janeiro no ano de 1964 no postoE5-46. Totais mensais dos meses de janeiro dos postos E5-51, E5-52 e E5-47, 
todos vizinhos ao ponto em questão, no período de 1958-1968, são disponíveis. 
PX(mm) PA(mm) PB(mm) PC(mm)
Ano E5-46 E5-51 E5-52 E5-47
1958 117,4 157,3 249,6 224,8
1959 125,3 241,6 374,6 265,1
1960 131,8 250,9 267,6 261,2
1961 159,4 55,6 121,8 57
1962 52,4 158,9 85,4 95,4
1963 215,3 344 276,6 231,4
1964 39,3 81,8 21,3
1965 174 253,3 285,4 290,6
1966 137,8 64,7 150,2 201,2
1967 168,3 126,1 170,3 123,2
1968 255,5 249,5 339,3 285,1 35
c) Verificação de homogeneidade dos dados
Se houve alguma 
anormalidade na 
estação, como 
mudanças:
• de local
• nas condições do 
aparelho
• no método de 
observação
Fonte: Villela & Mattos (1975)
37
c.1) Análise de dupla-massa
Este método compara os valores acumulados anuais (ou sazonais) da 
estação X com os valores da estação de referência, que é usualmente a 
média de diversos postos vizinhos. 
0
0
P
M
M
P aa =
Onde:
Pa são os valores corrigidos/ajustados;
P0 são dados a serem corrigidos/ajustados;
Ma é o coeficiente angular da reta no 
período mais recente, anterior à sua 
inclinação brusca;
M0 é o coeficiente angular da reta no 
período a ser corrigido.
Verificação de homogeneidade dos dados
38
Método válido para séries mensais e anuais
Método não adequado para 
precipitações diárias nem 
precipitações intensas.
39
Indica uma proporcionalidade 
entre os dados
Indica uma mudança de tendência no 
posto a consistir, que pode ser 
causada por:
• erros sistemáticos (por exemplo, 
mudança do operador, que está 
fazendo a leitura do instrumento 
erroneamente), 
• alterações climáticas, como a 
construção de um lago artificial 
próximo ao local de medição
• etc
Principal causa: erros de transcrição 
dos dados (na leitura ou durante o 
processamento das informações)
Nenhuma tendência clara.
Indica, geralmente, que os 
postos em questão apresentam 
regimes pluviométricos 
distintos, não devem ser usados 
conjuntamente nos estudos 
hidrológicos
Média de postos vizinhosMédia de postos vizinhos
Média de postos vizinhosMédia de postos vizinhos
Exercício
40
Verifique a homogeneidade dos dados do Posto 1. Efetue correções, se 
necessário.
ANO
P
Média 
Região
Posto 1
1926 37,27 32,85
1927 35,61 28,08
1928 41,24 33,51
1929 35,6 29,58
1930 34,7 23,76
1931 53,23 58,39
1932 44,18 46,24
1933 31,88 30,34
1934 40,49 46,78
1935 40,47 38,06
1936 36,33 42,82
Solução
41
ANO
P P acumulado Declividade Corrigido
Média Posto 1 Média Posto 1 média Posto 1
1936 36.33 42.82 36.33 42.82
1.038
1935 40.47 38.06 76.8 80.88 0.940
1934 40.49 46.78 117.29 127.66 1.155
1933 31.88 30.34 149.17 158 0.952
1932 44.18 46.24 193.35 204.24 1.047
1931 53.23 58.39 246.58 262.63 1.097
1930 34.7 23.76 281.28 286.39 0.685
0.828
29.8
1929 35.6 29.58 316.88 315.97 0.831 37.1
1928 41.24 33.51 358.12 349.48 0.813 42.0
1927 35.61 28.08 393.73 377.56 0.789 35.2
1926 37.27 32.85 431 410.41 0.881 41.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 100 200 300 400 500
P
 a
c
u
m
u
la
d
a
 -
P
o
s
to
 1
P Acumulada - Média da região 
0
0
P
M
M
P aa =
Ma= 1,038
M0= 0,828
0,828
1,038
Onde:
Pa são os valores corrigidos/ajustados;
P0 são dados a serem corrigidos/ajustados;
Ma é o coeficiente angular da reta no período 
mais recente, anterior à sua inclinação 
brusca;
M0 é o coeficiente angular da reta no período 
a ser corrigido.
5.7 - Precipitação média histórica
43
P (mm)
Região Metropolitana de Curitiba
44
Variabilidade espacial e temporal
45
5.8 - Precipitações médias sobre
uma bacia hidrográfica 
• Método da média aritmética
• Método dos polígonos de Thiessen
• Método das isoietas
• Método da superfície
46
a) Método da média aritmética
onde P é chuva média na bacia;
Pi é a altura pluviométrica registrada em cada posto; 
n é o número de postos na bacia hidrográfica.
Observação: Este método só é recomendado para bacias menores 
que 5.000 km2, com postos pluviométricos uniformemente distribuídos 
e se a área for plana ou de relevo suave. Em geral, este método é 
usado apenas para comparações. 
Média aritmética das 
alturas pluviométricas 
dos postos localizados 
dentro da bacia.
47
n
P
P
n
i
i
== 1
b) Método dos polígonos de Thiessen
Polígonos de Thiessen são áreas de “domínio” de um posto pluviométrico. 
Considera-se que no interior dessas áreas a altura pluviométrica é a mesma 
do respectivo posto.
onde 
P é a precipitação média na bacia (mm);
Pi é a precipitação no posto i (mm);
Ai é a área do respectivo polígono, dentro da bacia (km
2);
A é a área total da bacia.
48
A
AP
P
ii
=
•Unir os postos 
adjacentes por 
linhas retas
•Traçar as
•mediatrizes destas 
retas
•Formando polígonos, cujos lados 
constituem os limites das áreas
de influência de cada estação
c) Método das isoietas
Isoietas são linhas indicativas de 
mesma altura pluviométrica. 
O espaçamento entre elas 
depende do tipo de estudo, 
podendo ser de 5 em 5 mm, 10 em 
10 mm, etc.
O traçado das isoietas é feito da 
mesma maneira que se procede 
em topografia para desenhar as 
curvas de nível, a partir das cotas 
de alguns pontos levantados.
49
onde 
P é a precipitação média na bacia (mm);
Pi é a média aritmética das duas 
isoietas seguidas i e i + 1;
Ai é a área da bacia compreendida 
entre as duas respectivas isoietas 
(km2);
A é a área total da bacia (km2).
Cálculo da precipitação média na 
bacia (método das isoietas):
50
A
AP
P
ii
=
d) Método da superfície de precipitação
• Vários métodos de interpolação:
– Krigging
– Inverso da distância
– Linear
– Splines
– Outros 
10
9
8
7
10 9
9,3 8,8 8,7 8,5 9
8,6 8,3 8 8,5
7,7 7,5
7
Precipitações medidas Interpolação
Fill & Mine 
(1998)
51
A
AP
P
n
i
ii
=

= 1
Onde: 
P é a precipitação média na bacia;
Pi é a precipitação no pixel i, compreendido dentro da bacia;
Ai é a área do pixel i;
A é a área total da bacia.
Cálculo da precipitação média na bacia (método da superfície):
52
Exercício 3 – Precipitação média na bacia
Determinar precipitação média na bacia pelos 3 métodos apresentados.
(No método das isoietas, traçar isoietas de 100 em 100 mm)
Precipitação 
(mm)
P1: 1810
P2: 1830
P3: 2020
P4: 2000
P5: 1710
P6: 1690
P7: 1572
P8: 1700
P9: 2130
P10: 1920
53
Solução
Traçado das áreas pelo método de Thiessen
54
5.9 – Análise de frequência de 
precipitações
Determinar a magnitude das precipitações que poderiam ocorrer 
com uma determinada probabilidade.
Análise de 
frequência
Probabilidade é 
estimada a partir da 
frequência relativa
Análise de 
extremos
A - Eventos extremos máximos:
• Dimensionamento de vertedores, barragens, canais, obras de desvio de 
cursos de água, galerias pluviais, bueiros, pontes, etc.
B - Eventos extremos mínimos:
• Projetos de obras de irrigação, abastecimento de água, etc.
C - Avaliação da probabilidade de duração de períodos sem precipitação
55
Série de dados observados
• Série total
– Considera-se todos os dados observados
• Série anual
– Considera-se somente um dado por ano (por exemplo: o 
máximo ocorrido no ano), neste caso, número de eventos 
coincide com o número de anos.
• Série parcial
– Chuva intensa: considera-se toda precipitação superior a 
um valor pré-estabelecido, logo, pode-se ter mais de um 
evento por ano ou nenhum evento no ano, ou seja, número 
de eventos pode ser diferente ao número de anos.
56
Projetos de obras hidráulicas:
- Dimensões em função de considerações de ordem econômica
- Aceita-se certo RISCO que a estrutura venha a falhar durante sua vida útil
FREQÜÊNCIA de um evento
FREQÜÊNCIA que assumiram 
dada magnitude
FREQÜÊNCIA que foi igualado 
ou superado
ANÁLISE 
ESTATÍSTICA
PROBABILIDADE de ocorrência
57
Cálculo da freqüência (F)
• Dados são classificados em ORDEM DECRESCENTE
• A cada um é atribuído seu NÚMERO DE ORDEM m
• FREQÜÊNCIA que foiigualado ou superado um evento de 
ordem m é:
 
1+
=
n
m
xXF T 
n
m
xXF T =
Método Califórnia Método de Kimbal
n: Número de anos de observação
m: Número da ordem de maior cheia ou número de 
vezes que um evento foi igualado ou superado
58
Probabilidade empírica
Período de retorno (Tr)
][
1
T
r
xXP
T

=
Período de retorno = Tempo de recorrência = Tr (anos)
Período de tempo médio em que um determinado evento deve 
ser igualado ou superado pelo menos uma vez.
Sendo xT o evento associado ao tempo de recorrência Tr
Séries 
anuais:
Séries 
parciais: ( ) 
=
−==
n
i
i
T
r
xXPiNP
T 1
][1][
1
Sendo N o número de eventos em um ano qualquer e
n o número máximo de eventos em um ano 59
Probabilidade de 
excedência
][
1
T
r
xXP
T

=
Eventos extremos mínimos:
Sendo xT o evento associado ao tempo de recorrência Tr
Séries 
anuais:
Séries 
parciais: ( ) 
=
−==
n
i
i
T
r
xXPiNP
T 1
][1][
1
Sendo N o número de eventos em um ano qualquer e
n o número máximo de evento em um ano
60
Probabilidade 
acumulada
Período de retorno (T)
 RXP
Tr

=
1
Período de retorno = Tempo de recorrência = Tr (anos)
Período de tempo médio em que um determinado evento é 
igualado ou superado pelo menos uma vez [X ≥ R]
Por exemplo: 
Uma chuva acontece acima de um determinado valor. A probabilidade dessa chuva 
ser igualada ou superada é de 5%. 
O tempo de retorno é de 1/0,05 = 20 anos. Isso significa que:
→em média, há uma expectativa de ocorrência da chuva ser igualada ou excedida 
uma vez a cada 20 anos
→a probabilidade de ocorrer falha de 5%
61
Considere evento de 
magnitude R com tempo de 
recorrência Tr
Exercício 4
As seguintes precipitações diárias (consideradas extremas acima de 85 mm) 
foram observadas na estação em estudo:
Ano Eventos
1 1965 126 (03/4) 95 (23/10)
2 1966 105 (27/8)
3 1967 137 (14/7) 89 (05/12)
4 1968 95 (21/6)
5 1969 Máxima precipitação: 58 (04/9)
6 1970 100 (25/5)
7 1971 95 (09/9) 100 (01/11)
8 1972 110 (30/8)
9 1973 131 (31/7) 147 (04/9) 85 (03/10)
10 1974 85 (02/3)
Qual o tempo de recorrência de uma precipitação de 100 mm?
Faça a análise por séries anuais
62
Solução
Série anual
Ordem 
decrescente
m Probabilidade Tr (anos)
126
105
137
95
58
100
100
110
147
85
a) Análise por séries anuais
147
137
126
110
105
100
100
95
85
58
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,09 
0,18 
0,27 
0,36 
0,45 
0,55 
0,64 
0,73 
0,82 
0,91 
11,00 
5,50 
3,67 
2,75 
2,20 
1,83 
1,57 
1,38 
1,22 
1,10 
63
65
Problema prático: Como estimar uma 
chuva com um período de retorno de 
10000 anos, se a série de dados de 
chuva é de 10, 20 ou 30 anos?
Para Tr << número de anos de observação (n → infinito)
F → P (probabilidade real)
Para Tr maiores (menos freqüentes)
A repartição de freqüência deve ser ajustada a uma lei 
probabilística teórica para cálculo mais correto da 
probabilidade
66
Ajuste das Distribuições 
Teóricas de Probabilidades
67
Para análise de dados de chuva:
Distribuição Normal;
Distribuição de Gumbel;
Distribuição Exponencial;
Distribuição Log-Normal;
Outras.
Procedimento padrão:
1) Definir a série, por exemplo: Precipitação anual
2) Análise de consistência de dados (Investigação da homogeneidade dos dados: 
se todos os dados se referenciam a anos nos quais não ocorreram interferências 
importantes nas condições naturais, ou seja, se todos os elementos da amostra 
provêm de uma única e idêntica população)
3) Escolher a distribuição de probabilidades teórica a ser usada;
4) Verificar o ajuste da distribuição teórica em relação aos valores observados 
(Teste de aderência da distribuição de probabilidades adotada);
5) Utilizar a distribuição teórica ajustada para o cálculo da chuva com uma 
determinada probabilidade de ocorrência ou período de retorno.
Escolha da Distribuição de Probabilidades
69
Qual a melhor distribuição teórica?
Critério visual:
(gráfico: frequências amostrais x probabilidades teóricas);
Índices de adequação de ajuste: 
(Testes do Qui-quadrado e Kolmogorov-Smirnov);
Critério de Robustez
70
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0 2 4 6 8 10 12 14
Tempo de recorrência (anos)
P
re
ci
p
it
a
çã
o
 d
iá
ri
a
 m
á
x
im
a
 (
m
m
)
dados amostrais
Normal
Gumbel
Exponencial
Critério visual
Teste do Qui-Quadrado
Prova de χ2
Cálculo de uma certa função do quadrado das diferenças entre 
freqüências observadas e freqüências teóricas esperadas
Se valor da função é 
pequeno em relação 
ao valor tabelado
Ajuste é satisfatório
71
Teste de aderência ou teste de adequação de ajuste
Teste de Komolgorov-Smirnov
77
Teste de aderência ou teste de adequação de ajuste
Pode ser utilizado para avaliar as hipóteses:
Ho: Os dados seguem uma distribuição normal
H1: Os dados não seguem uma distribuição normal
Este teste observa a máxima diferença absoluta entre a função de distribuição 
acumulada assumida para os dados (F(x)), neste caso a Normal, e a função 
de distribuição acumulada empírica dos dados (Fn(x)).
Estas funções correspondem a distância máxima vertical entre os gráficos de 
F(x) e Fn(x) sobre a amplitude dos possíveis valores de x:
http://www.portalaction.com.br/content/62-teste-de-kolmogorov-smirnov
Como critério, compara-se esta diferença com um valor crítico, para um 
dado nível de significância (Tabela).
Se Dn é maior que o valor crítico, rejeita-se a hipótese de normalidade dos 
dados. Caso contrário, não se tem evidências para rejeitar a hipótese de 
normalidade dos dados.
𝐷+ = 𝑚á𝑥 𝐹 𝑥𝑖 − 𝐹𝑛(𝑥𝑖)
𝐷− = 𝑚á𝑥 𝐹 𝑥𝑖 − 𝐹𝑛(𝑥𝑖−1)
𝐷𝑛 = 𝑚á𝑥(𝐷
+, 𝐷−)
http://www.portalaction.com.br/content/62-teste-de-kolmogorov-smirnov
78
Tabela de valores críticos para a estatística do teste de Komolgorov-Smirnov
Nível de Significância α
n 0,2 0,1 0,05 0,01
5 0,45 0,51 0,56 0,67
10 0,32 0,37 0,41 0,49
15 0,27 0,30 0,34 0,40
20 0,23 0,26 0,29 0,36
25 0,21 0,24 0,27 0,32
30 0,19 0,22 0,24 0,29
35 0,18 0,20 0,23 0,27
40 0,17 0,19 0,21 0,25
45 0,16 0,18 0,20 0,24
50 0,15 0,17 0,19 0,23
Valores 
maiores
1,07
𝑛
1,22
𝑛
1,36
𝑛
1,63
𝑛
Exemplos
79
Totais anuais precipitados
Distribuição Normal
Chuvas máximas anuais 
Distribuição Normal
Distribuição de Gumbel
Distribuição Exponencial
a) Freqüência de totais anuais

−
−==
z
z
T duexXPzF
2/2
2
1
][)(

Precipitação Total Anual
= Soma de totais diários
A distribuição de F se 
aproxima da Lei de Gauss
P[X≤xT] – probabilidade de um total anual qualquer ser inferior ou igual a xT
xT – uma determinada precipitação total anual, evento associado ao Tr
z – variável reduzida

−
=
x
z
Teoria das Probabilidades 
Teorema do limite central
Satisfeitas certas condições,
a soma de variáveis aleatórias ≈ normalmente distribuída
( tende a seguir Lei de Gauss de distribuição de probabilidades)
µ - média (do universo) → média da
amostra (x)
σ – desvio-padrão (do universo) →
desvio da amostra (S)
(função linear de x)
80
Valores tabelados de F(z)
Área sob a curva Normal

−
−==
z
z
T duexXPzF
2/2
2
1
][)(


−
=
x
z
z0
z0 81
zz 00
  )(1 zFxXP T −=  )(zFxXP T =
82
][)( TxXPzF =
µ - média aritmética
Como:
σ - Desvio padrão:
)(1
1
][
1
zFxXP
T
t
r
−
=

=
)(
1
][
1
zFxXP
T
t
r =

=
Eventos extremos 
máximos
Eventos extremos 
mínimos
83
Ajuste da Lei de Gauss em forma gráfica
Tabela:
F(z)

−
=
x
zPara cada x
Calcula-se:
Gráfico:
Precipitação anual
Tr (anos)P (%)
Escala vertical →
Lei de Gauss é 
linearizada
papel probabilístico 
aritmético-normal
84
85
Uso de papéis de probabilidade, 
pontos conhecidos de uma 
distribuição normal:
P[X=µ] = F(0) = 50%
P[X < (µ - σ)] = F(-1) = 15,87%
P[X < (µ + σ)] = F(1) = 84,13%
T(anos) Probabilidade esperada (%)
Máxima Mínima
2 50 50
5 80 20
10 90 10
20 95 5
50 98 2
100 99 1
1000 99,9 0,1
10000 99,99 0,01
Reta passa por esses 3 pontos.
86
−
=
x
zF(z)
Obs:
Exercício 5
FREQÜÊNCIA DE TOTAIS ANUAIS PRECIPITADOS 
O quadro ao lado apresenta os totais 
anuais precipitados em Curitiba no 
período de 1949-1963. 
a) Qual a estimativa da probabilidade 
e do tempo de recorrência de se ter 
uma precipitação total inferior a 1000 
mm em um ano qualquer?
b) Determinar a precipitação que 
ocorrerá pelo menos uma vez a cada 
100 anos.
Ano P (mm)
1949 1234
1950 1470
1951 1190
1952 1386
1953 1267
1954 1730
1955 1462
1956 1197
1957 2165
1958 1432
1959 1205
1960 1630
1961 1683
1962 1167
1963 1408
87
Solução
Média = µ = 1442 mm
Desvio padrão = σ = 272 mm

−
=
x
z
272
1442−
=
x
z
Para x = 1000 mm → z = -1,63
Tr para P ≤ 1000 mm:
anos
XP
Tr 19
0516,0
1
]1000[
1
==

=
Solução item a: Solução item b:
𝑃 𝑋 ≥ 𝑥𝑇 =
1
𝑇𝑟
=
1
100
𝑃 𝑋 ≥ 𝑥𝑇 = 1 − 𝐹 𝑧
1 − 𝐹 𝑧 =
1
100
𝐹 𝑧 = 0,99
F(z) → Tabela → z = 2,33
272
1442−
=
x
z
x = 2076 mm
Poderá ocorrer pelo menos uma vez 
uma P ≥ 2076mm num período de 
100 anos
Poderá ocorrer pelo menos uma vez 
uma P ≤ 1000mm num período de 
19 anos
→ Tabela: F(-1,63) = 0,0516, ou 
seja, 5,16%
88
89
P 
ordenado m
F=
m/(n+1)
Tr = 
1/F
z=
(x-µ)/σ (tabela1) Pr ** Tr **
Média= 1442
Desvio padrão= 272

−
=
x
z
Pr **
Probabilidade de 
ser igualado ou
superado
Teórico
Observado
2165,2
1730,0
1683,3
1629,8
1469,9
1462,0
1431,9
1407,9
1386,4
1266,5
1233,9
1204,5
1196,5
1190,2
1167,1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,0625
0,1250
0,1875
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
0,5625
0,6250
0,6875
0,7500
0,8125
0,8750
0,9375
16,00
8,00
5,33
4,00
3,20
2,67
2,29
2,00
1,78
1,60
1,45
1,33
1,23
1,14
1,07
2,66
1,06
0,89
0,69
0,10
0,07
-0,04
-0,12
-0,20
-0,64
-0,76
-0,87
-0,90
-0,92
-1,01
0,4961
0,3554
0,3133
0,2549
0,0398
0,0279
0,016
0,0478
0,0793
0,2389
0,2764
0,3078
0,3159
0,3212
0,3438
0,0039
0,1446
0,1867
0,2451
0,4602
0,4721
0,516
0,5478
0,5793
0,7389
0,7764
0,8078
0,8159
0,8212
0,8438
256,41
6.92
5.36
4.08
2.17
2.12
1.94
1.83
1.73
1.35
1.29
1.24
1.23
1.22
1.19
Empírico
Assumido
b) Freqüência de precipitações mensais e 
trimestrais
Interesse: conhecer a distribuição de totais precipitados em 
intervalos menores que um ano 
Procedimento semelhante ao da Precipitação Anual:
- Freqüências avaliadas: Método da Califórnia ou de Kimbal
No entanto, em geral, a distribuição desses dados em torno da média é:
- Assimétrica e
- Não obedece a Lei de Gauss
Procurar a distribuição 
adequada
Quando dados plotados no papel probabilístico aritmético-normal 
não apresentam tendência de se alinharem segundo uma reta
90
c) Frequências de precipitações intensas 
de curta duração
Intensidade Duração Freqüência Distribuição
Análise 
regional dos 
dados
Não se aplica o teorema do limite central.
Outros métodos de análise devem ser aplicados.
Relação:
91
c.1) Intensidade-duração
• Dados: Pluviogramas
• Para diversas durações: as máximas intensidades ocorridas 
durante uma dada chuva
• Durações usuais: 
– 5, 10, 15, 30 e 45 min
– 1, 2, 3, 6, 12, 24 h
92
Curvas de Intensidade e duração
Precipitações 
que ocorrem 
em Curitiba 3 
vezes em 31 
anos 
93
Equação Intensidade-duração
i - intensidade média de chuva em mm por hora
t - duração em minutos
C, t0 e n - constantes 
Em geral:
94
ntt
C
i
)( 0+
=
c.2) Intensidade-freqüência
• Previsão das máximas precipitações que possam vir a ocorrer em uma 
localidade com determinada freqüência.
• Máximas intensidades médias prováveis de precipitações intensas.
• Máximas quantidades precipitadas em um ou mais dias consecutivos.
Em geral, as distribuições de valores extremos de grandezas 
hidrológicas, como a chuva e vazão, ajustam-se satisfatoriamente à 
distribuição de Gumbel:
yeexXP
−−−= 1][
onde:
P = probabilidade de um valor extremo X ser maior ou igual a um dado valor x;
T = período de retorno;
y = variável reduzida de Gumbel.
)45,0(
7797,0
1


+−= XXy
95Gumbel será visto 
em Cheias!
c.3) Intensidade-duração-freqüência
Em geral:
ntt
C
i
)( 0+
=
i - intensidade máxima média (mm/min.) para duração t; 
t0, m e n são parâmetros a determinar 
K – fator de frequência
m
rTKC .=
n
m
r
tt
TK
i
)(
.
0+
=
98
99
n – coeficiente angular das retas;
m – espaçamento das curvas para vários T.
K – determina a posição vertical das linhas.
t0 - valor constante que deve ser adicionado aos valores de t para que o 
conjunto de linhas levemente curvadas → reto no papel bi logarítmico.
n
m
r
tt
TK
i
)(
.
0+
=
log i = (log K + m log Tr) – n log (t + t0)
y A x y = A + B x
100
K
t0 
n
m
r
tt
TK
i
)(
.
0+
=
101
Graficamente: curvas intensidade – duração parametrizadas em 
função do Tr.
Gráfico Intensidade-duração-freqüência 
Ábaco de chuvas intensas
102
Equações Intensidade-duração-freqüência
( ) 025,1
172,0
22
.7,3462
+
=
t
T
i r
15,1
217,0
)26(
.5950
+
=
t
T
i r
Para São Paulo
(eng. Paulo Sampaio Wilken)
25 anos (1935-1960)
Para Rio de Janeiro
(eng. Ulysses Alcântara)
33 anos (1922-1945;1949-1955;1958-1959)
Para Curitiba
(eng. Parigot de Souza)
31 anos (1921-1951)
i é a intensidade da chuva em mm/h, Tr é o período de 
retorno em anos e t é a duração da chuva em minutos 
Para 5 ≤ t ≤ 120 min
103
74,0
15,0
)20(
.1239
+
=
t
T
i r
Chuvas intensas para várias localidades
104Atlas do Paraná 
d) Freqüência de dias sem precipitação
• Contar número máximo de dias consecutivos sem 
chuva em cada ano (série anual)
• Ordenar em ordem decrescente
• Estimar freqüência: f = m/(n+1)
• Estimar Tr = 1/f
• Plotar 
– (número máx de dias consecutivos sem chuva) x Tr
Objetivo: conhecer número máximo de dias consecutivos sem 
precipitação, que pode acontecer com dado Tr
105
e) Variação das precipitações com a área
Ábaco do U.S Weather Bureau
A relação entre a chuva média na área e a chuva num ponto tende a diminuir à medida que 
a área cresce.
4.10 - Obras hidráulicas e Tr
Quanto maior Tr → Maior Q → mais seguras e caras as obras
Barragens 1.000 a 10.000 anos
Galerias de águas pluviais 5 a 10 anos
Canais em terra 10 anos
Pontes e bueiros mais importantes, e que 
dificilmente permitirão ampliações futuras
25 anos
Obras em geral em pequenas bacias urbanas 5 a 50 anos
107
Referências bibliográficas
• Villela & Mattos. 1975. Hidrologia Aplicada. São Paulo: 
McGrawHill.
• Pinto et al. 1976. Hidrologia Básica. São Paulo: Ed. Edgard 
Blücher Ltda.
• Fill, H.D. & Mine, Miriam. 1989. Hidrologia. Notas de aulas, 
cap. 3, Curso de Pós-graduação em Engenharia Hidráulica.
• Mauad & Wendland. Hidrologia e Recursos Hídricos. Escola de 
Engenharia de São Carlos.
• Naghettini & Andrade Pinto. 2007. Hidrologia estatística. 
CPRM. Download gratuito do livro: http://www.cprm.gov.br/
110