Live 1 - Cálc IV

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Facilitadora: Joacilia Mazzini Marques de Souza 
Joacilia.souza@cursos.univesp.br 
4ª feira 20h 
Live #1: Sequências 
 
Cálculo IV – MCA004 
1 
Material base: Aulas da semana 1 e 2 (AVA) 
mailto:Joacilia.souza@cursos.univesp.br
Sumário 
• Revisão Semana 1 
• Exercícios Semana 1 
• Revisão Semana 2 
• Exercícios Semana 2 
• Lembretes de atividades 
2 
Revisão 
• Sequências: diversos tipos. Ex. PA, PG etc 
 
 
3 
𝜋 = 3,14159… 
2
3
= 0,6666… 
 2,01001000100001… 
 3, 7, 11 , 15 , 19, ... 
 
 𝑎1= 3. r =4. 
 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑟, 𝑛 ≥ 1 
 
 𝑎𝑛 = 3 + 𝑛 − 1 4 = 3 + 4𝑛 − 4 = 4𝑛 − 1 3, 6, 12, 24, 48, ... 
 
𝑎1= 3. q= 2. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1∙𝑞
𝑛−1 = 3∙2 𝑛−1 , para n ≥1. 
PG 
PA 
𝒇:ℕ → ℝ 
4 
Escrevemos 𝒇 𝒏 = 𝒂𝒏 
 
Sequências podem começar com 𝒏 = 𝟎 
(𝒂𝟎) ou 𝒏 = 𝟏 (𝒂𝟏) 
 
Sequências crescentes: 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+𝟏 
 
Sequências estritamente crescentes: 
𝒂𝒏 < 𝒂𝒏+𝟏 
5 
1. Uma Progressão Aritmética é 
crescente se e só se sua razão é 
positiva. 
2. Uma Progressão Geométrica é 
crescente se e só se o primeiro 
termo é positivo e a razão é maior 
do que 1. 
3. Uma sequência numérica é limitada 
superiormente se e só se existe 
𝑴 ∈ ℝ tal que 𝒂𝒏 ≤ 𝑴 , ∀ 𝒏 ≥ 𝟏 
4. Polinômio de Taylor: ex≈1+x+
𝒙𝟐 
𝟐!
+⋯+
𝒙𝒏
𝒏!
 
5. Série de Taylor:ex=1+x+
𝒙𝟐 
𝟐!
+⋯+
𝒙𝒏
𝒏!
+... 
6 
1. Progressão aritmética 
2. Progressão geométrica 
3. Lei de Recorrência: a1, a2, 
a3=a1+a2 (seq. de Fibonacci) 
4. Convergente: 
Se ∃ L ∈ ℝ | lim
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝑳 ↔ ∀ℰ > 𝟎, ∃ n0 
∈ ℕ tal que n ≥n0 |an-L|< ℰ 
Divergente L = ± ∞, oscila 
 
 
Teoremas 
1. Propriedades operatórias básicas (limite das 
somas = soma dos limites, etc) 
2. (an)n ∈ ℕ sequência 
 
7 
Teoremas 
𝑎𝑛 =
ln 𝑛
𝑛
=
∞
∞
 , 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≥ 1 
8 
Teoremas 
Obs: Radianos é o único sistema de medida de 
ângulos em que limite fundamental 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 
sen’x=cos x , em qualquer outro sistema isso não 
é verdadeiro! 9 
EXERCÍCIO 1 
Numa P.A. em que a1 = -11, o décimo quinto 
termo é igual a nove vezes o quinto termo. 
Determine a expressão dos termos gerais. 
 
10 
EXERCÍCIO 2a 
11 
EXERCÍCIO 2b 
12 
EXERCÍCIO 2c 
13 
logab = x 
a = base do logaritmo 
b = logaritmando 
x = logaritmo 
O logaritmo do número 1, em qualquer base sempre, será igual a 0. 
loga1 = 0, pois a
0 = 1 
O logaritmo de qualquer número a, na própria base a, será igual a 1. 
logaa = 1, pois a
1 = a 
O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 
logaa
m = m, pois m·logaa = m·1 = m 
A potência de base a e expoente logab é igual a b. 
alogab = b, pois logab = x → a
x = b 
Dois logaritmos são iguais quando seus logaritmandos forem iguais. 
logab = logac ↔ b = c 
 
Fonte: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-logaritmos.htm 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/potenciacao.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-logaritmos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-logaritmos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-logaritmos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-logaritmos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-logaritmos.htm
EXERCÍCIO 2c 
14 
Exercício 3 
15 
Exercício 4 
16 
Revisão 
• Sequências crescentes e limitadas (superior ou 
inferiormente) 
Se uma sequência numérica é crescente e 
limitada superiormente, então ela é 
convergente. 
• ℝ formam um conjunto completo, já ℚ, não 
 Em ℚ não há 
 convergência (em 
um número ℚ) 
 
17 
Exemplos 
0,9 ; 0,99; 0,999 ; ... converge para 0,99999... = 1 
 
1,1; 1,01; 1,001; 1,0001 ... converge para 1,0000....= 1 
 
 
18 
Revisão – Séries convergentes 
“Uma série CONVERGENTE é uma soma 
de infinitas parcelas que tem um valor 
FINITO” 
 
19 
IDEIA RIGOROSA: Dada uma sequência numérica 𝒂𝒏 
consideramos uma NOVA SEQUÊNCIA, 𝑺𝒏 
das somas parciais (finitas) da primeira sequência: 
 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏+ 𝒂𝟐+ 𝒂𝟑 + ...+ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒊
𝒏
𝟏 
A série 𝒂𝒏
∞
𝟏 é CONVERGENTE, e converge a L (finito) , se 
e só se 
 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝑺𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝟏+ 𝒂𝟐+ 𝒂𝟑 + ...+ 𝒂𝒏 = L 
 
20 
 𝒂𝒏
∞
𝟏 = 𝑳  A quantidade de parcelas é infinita. 
 
 Atenção! É um novo conceito de soma. 
Se 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝑺𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝟏+ 𝒂𝟐+ 𝒂𝟑 + ...+ 𝒂𝒏 = ∞ (±∞) 
 
ou, se não existir 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝑺𝒏 , diremos que a série 
 
 𝒂𝒏
∞
𝟏 é DIVERGENTE 
CRITÉRIO DO TERMOS GERAL 
 
21 
 Se 𝑎𝑛
∞
1 é convergente então lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 
 
𝑎𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 → 𝐿 − 𝐿 = 0 
Consequência importante: 
 Se 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂𝒏 ≠ 0 então 𝒂𝒏
∞
𝟏 é divergente! 
 
 
𝟐𝒏
𝟓𝒏+𝟏
∞
𝟏 é divergente, pois 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝟐𝒏
𝟓𝒏+𝟏
 = 
𝟐
𝟓
 ≠ 0. 
 
 
22 
 Esta é uma Condição Necessária. 
 Muitas vezes usamos na negativa! 
Pergunta natural: a condição é suficiente? 
 
 𝒂𝒏 → 0 ⇒ 𝒂𝒏
∞
𝟏 converge ? 
R: Não! 
Ex. É Divergente ! 
 
 
 
Séries convergentes 
23 
RESUMINDO: 
 𝒂𝒏
∞
𝟏 converge ⇒ 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 0. 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂𝒏 ≠ 0 ⇒ 𝒂𝒏
∞
𝟏 diverge. 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 0 ⇒ Nada se conclui ! 
 
 
Sequências numéricas 
24 
Exemplos 
25 
No ex. 2: como o número do 
expoente cresce também, não 
é possível calcular o limite da 
mesma forma que no ex. 1. 
Etapas envolveriam: 
- Mostrar que sequência é 
crescente; 
- Que a sequência é limitada 
- Concluir que o limite existe 
- Dar um nome para o limite e 
estudar o valor deste. 
Aplicações da sequência com e 
26 
Séries numéricas 
• Séries numéricas são uma soma infinita 
convergente, onde o convergente é um limite 
finito, ℝ. 
Definição: 
Seja (an)n ∈ ℕ 
Diz-se que a série 𝑎𝑖
∞
𝑖=1 converge a L (L∈ℝ) 
Se lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝐿 
 
27 
Soma dos n 
termos de PG 
28 
29 
Condição necessária para série 
convergir! 
Teorema: 𝑎𝑖
∞
𝑖=1 converge  a10 
Demonstração: Sn = a1 + a2 + ... + an 
 Sn = a1 + a2 + ... + an-1 
 an= Sn-Sn-1, com n ∞, L-L=0 
30 
Critérios da convergência 
• Critério da comparação: 
31 
Demonstração 
32 
 
1
2𝑛 + 1
∞
𝑛=1
 
(
1
3
 ,
1
5
 ,
1
9
) 
2n+1 > 2n, ∀ n ≥ 1 
1
2𝑛+1
 < 
1
2𝑛
 
 
Como 
1
2𝑛
 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒∞𝑛=1 
(PG de q=1/2) 
A outra série “pertubada” 
também. 
Exercício 1(2,5pts): Decida se as sequências 
são convergentes ou divergentes 
33 
Exercício 1(2,5pts): Decida se as sequências 
são convergentes ou divergentes 
34 
Exercício 1(2,5pts): Decida se as sequências 
são convergentes ou divergentes 
35 
Exercício 2(2,5pts): Calcule os limites 
36 
Exercício 2(2,5pts): Calcule os limites 
37 
Exercício 3(2,5pts): Decida se as séries 
são convergentes 
38 
Exercício 3(2,5pts): Decida se as séries 
são convergentes 
39 
Exercício 3(2,5pts): Decida se as séries 
são convergentes 
40 
Exercício 4(2,5pts): calcule o valor de 
41 
Lembretes 
42 
Exemplo – Semana 3 
• Sequencia 
𝑛2
2𝑛 − 1
−
𝑛2
2𝑛 + 1
=
𝑛
2 −
1
𝑛
−
𝑛
2 +
1
𝑛
=
𝑛
2
−
𝑛
2
= 0 
 
Converge ou diverge? 
𝑒𝑛
𝑛2
=
𝑒𝑛
𝑛
.
1
𝑛
 
 
𝑒𝑛
2𝑛
=
𝑒𝑛
2
 
43