835573-Fundamentos_de_matemática_1 0_(Incompleta)

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Notas de Aula-Matemática para Biomedicina
Guilbert de Arruda Souza e Luana de Oliveira Justo
Vitória-2020
Sumário
1 Expressões Agébricas 3
1.1 Expressão Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Valor Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 M.M.C de Expressões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Equações e Inequações 7
2.1 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Equações de Grau 1 ou Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Equações de Grau 2 ou Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . 12
3 Inequações 14
3.1 Inequações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
1 Expressões Agébricas
1.1 Expressão Algébrica
Expressão algébrica é o conjunto de letras e números ligados entre si por
operações matemáticas, tais como adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.
Exemplo 1. Abaixo temos alguns exemplos de expressões algébricas:
(a) 3x+ 2y
(b)
x− 2
3x+ 4
(c)
√
2y + 1
O conjunto de letras e números ligados entre si por operações quaisquer,
exceto adição e subtração, é chamado termo. Expressões algébricas são usa-
das para substituir frases extensas por expressões simbólicas, por exemplo,
podemos substituir a frase "O dobro de um número"pela expressão "2x", ou
"O quadrado da soma de dois números"podemos substituir por "(x+ y)2".
Exercícios Propostos 1. Escreva cada frase abaixo usando expressões al-
gébricas:
(a) O triplo de um número somado com o seu quadrado. Resposta: (3x+x2)
(b) A raiz quadrada da diferença entre dois números distintos.
(c) O quociente entre a soma de um número com dois e a diferença entre
cinco e um outro número.
1.2 Valor Numérico
O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido atribuindo
valores às letras que aparecem nela.
Exemplo 2. O valor numérico da expressão 7x+3y é 13 para x = 1 e y = 2.
De fato, 7.1 + 3.2 = 7 + 6 = 13.
Exemplo 3. Uma chapa de zinco tem área de 6m2 a uma temperatura inicial
de 16◦C. Calcule sua área �nal a uma temperatura �nal de 36◦C, sabendo
que o coe�ciente de dilatação super�cial do zinco é igual β = 57× 10−6◦C−1.
3
Resolução 1. Podemos representar a área inicial por Ainicial, a área �nal,
podemos representar por Afinal, a temperatura inicial iremos representar por
tinicial e a temperatura �nal representaremos por tfinal. Assim, o problema
proposto pode ser representado pela expressão
Afinal = Ainicial · [1 + β · (tfinal − tinicial)]
Um número real α é uma raiz da expressão algébrica se o valor númerico
associado a α é 0 (zero).
1.3 Fatoração
O processo de decompor uma expressão algébrica em um produto de expres-
sões algébricas mais simples se chama fatoração e cada elemento da multi-
plicação é chamado de fator.
Podemos fatorar uma expressão algébrica usando alguns artifícios como:
colocar em evidência um fator comum, agrupar os termos, usar "quadrado da
soma e da diferença", usar a diferença de dois quadrados, usando trinômios
do segundo grau completando quadrados, dentre outros.
Exemplo 4. Considere os exemplos abaixo:
(a) 10x− 8x3 = 2x · (5− 4x2) (evidência de fator comum)
(b) a2 − b2 = (a+ b) · (a− b) (diferença de dois quadrados)
(c) (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 (quadrado da soma e da diferença)
(d) (x− y)2 = x2 − 2xy + y2 (quadrado da soma e da diferença)
(e) (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (soma e diferença de cubos)
(f) (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 (soma e diferença de cubos)
(g) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b) · (x + y) (evidência
de fator comum)
Exemplo 5. Fatore a expressão 6x2 − 5xy + y2:
Resolução 2. Note que, usando o exemplo acima item (g) e chamando a =
2x e b = −y, temos:
6x2 − 5xy + y2 = 2x(3x)− 2xy − 3xy + y2
= 2x(3x) + 2x(−y) + (−y)(−y)− y(3x)
= 2x(3x− y)− y(3x− y)
= (3x− y) · (2x− y)
4
Exercícios Propostos 2. :
1. Fatore as expressões abaixo:
(a) x4 − 16
(b) x8 − 1
(c) t3 − 216
2. Se x2 + 9x+ 20 = (x− a) · (x− b), quais os valores de a e b?
3. Simpli�que a expressão
x2 − 16
2x− 8
4. Simpli�que a expressão
x4 + x3 − 6x2
x3 − 9x
{Para entender melhor o próximo teorema, veja a seção polinômios}
Podemos pensar na expressão algébrica como um polinômio e conhecendo
uma raiz, podemos fatora-lo usando o seguinte teorema:
Teorema 1.1. Seja P (x) um polinômio de grau n ≥ 1 com coe�cientes
complexos (em especial, coe�cientes reais). Se α é uma raiz de P (x), então
(x − α) é um fator de P (x), isto é, P (x) = (x − α) · Q(x) onde Q(x) é um
polinômio de grau n− 1.
Exemplo 6. Fatore a expressão algébrica x3 − 3x+ 2.
Resolução 3. Considerar o polinômio P (x) = x3 − 3x + 2, note que α = 1
é uma raiz da expressão, portanto P (x) = (x − 1) · Q(x), onde Q(x) é um
polinômio de grau 2.
1.4 M.M.C de Expressões Algébricas
O m.m.c (mínimo múltiplo comum) de expressões algébricas é o produto dos
fatores comuns e não comuns que aparecem na decomposição das expressões,
cada fator é tomado uma única vez, com o maior expoente comparando os
termos da expressão.
Exemplo 7. Calcule o M.M.C entre x2 − 16 e x2 + 4x
Resolução 4. Note que x2 − 16 = (x + 4) · (x− 4) e x4 + 4x = x · (x + 4),
portanto
m.m.c(x2 − 16, x2 + 4x) = x · (x+ 4) · (x− 4)
5
Exercícios Propostos 3. Resolva os exercícios abaixo:
1. Determine o m.m.c das expressões algébricas:
(a) (x2 − 1) e (x− 1)
(b) (x+ 2) ; (x+ 3) e (x2 + 2)
(c) (x3 − 1) e (x2 + 2)
2. Simpli�que as expressões:
(a)
x3 − 1
x− 1
(b)
x2 + 2x− 1
x− 1
(c)
x3 + x2 − x− 1
(x− 1) · (x+ 1)
(d)
x2 − 3x+ 2
x2 − 1
3. Fatore as expressões algébricas:
(a) x2 + 2x+ 1
(b) x2y4 − 16xy2z + 16z2
(c) x3 − x
(d) 9x4 − 1
(e) 20− 5a2
(f) 9x4 − 4
(g) a3 − b3 − a · (a2 − b2) + b · (a− b)2
4. Se a = 3, b = −2 e c = −1, determine o valor da expressão algébrica
ab+ c2 + 6
b2
− [−1
2
]−3
5. Encontre o valor da expressão
a+ b
1− ab
para
1
2
e
1
3
.
6
2 Equações e Inequações
2.1 Equações
Uma expressão algébrica que contém uma igualdade é chamada de equação.
As equações são usadas para descrever e resolver problemas matemáticos
envolvendo valores desconhecidos de alguma grandeza.
Exemplo 8. Considere os exemplos abaixo:
(a) 10x− 8 = 2
(b) a2 − b2 = (a+ b)
(c) (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2
Exemplo 9. Um garoto vai a uma loja de doces com R$30, 00 (trinta reais)
para comprar doces para ele e seus amigos. Cada doce custa R$4, 00 (quatro
reais) e além disso, o garoto precisa comprar uma sacola pelo custo de R$2, 00
(dois reais). Quantos doces o garoto poderá comprar?
Resolução 5. Podemos usar uma equação para descrever o problema acima.
Sendo x a quantidade de doces que o garoto poderá comprar com R$30, 00, o
problema pode ser expresso através da equação
4x+ 2 = 30
Uma equação possui duas partes chamados de membros, a parte que está
posicionada do lado esquerdo da igualdade da equação é chamada de primeiro
membro, a parte da equação posicionada do lado direito da igualdade da
equação é chamada de segundo membro. Cada parcela da equação se chama
termo. As letras em uma equação representam os valores desconhecidos e
são chamadas de incógnitas.
A solução de uma equação é o valor tal que, substituindo a incógnita por
ele, a igualdade é verdadeira. No exemplo anterior, x = 7 é a solução do
problema. Podemos pensar em uma estratégia para resolver uma equação,
nessa estratégia, tentamos "isolar"a incógnita de um lado da igualdade, por
exemplo, dada a equação
4x+ 2 = 30
buscamos um número tal que multiplicado por 4, somando 2, o resultado é 30
portanto, para determinar x, devemos subtrair 2 e dividir o restante por 4.
Uma equação não se altera quando adicionamos, subtraímos, multiplicamos
ou dividimos um mesmo número a cada um de seus membros, portanto,
7
qualquer operação efetuada de um lado da igualdade, deve ser efetuada do
outro lado da igualdade, como efetuamos abaixo:
4x+ 2 = 30
4x+ 2− 2 = 30− 2
4x = 28
4x
4
=
28
4
= 7
x = 7
Para facilitar a compreensão do processo, muitas vezes usamos a expressão
"passar para o outrolado com o sinal contrário", representando a operação
efetuada nos dois lados da igualdade.
Nas equações com apenas uma incógnita, o grau é determinado pelo maior
expoente que aparece na incógnita.
Exemplo 10. .
(a) 2x4 + 3x+ 2 = 3 (grau 4)
(b) y5 + 2y4 + y3 + y = 5 (grau 5)
Se a equação possui mais de uma incógnita, o grau é a maior quantidade
de incógnitas multiplicadas nos monômios da equação.
Exemplo 11. .
(a) x4y2 + 3xy2 + 2x3 = 3 (grau 6)
(b) y6 + 2y4x+ y3x2 + y = 5 (grau 6)
As soluções de uma equação cujo segundo termo é igual a 0 (zero) são
chamadas de raízes da equação.
8
2.2 Equações de Grau 1 ou Primeiro Grau
As equações de primeiro grau em uma variável são equações na forma ax+b =
c onde a, b, c ∈ R, a 6= 0. A solução da equação é c− b
a
.
De fato:
ax+ b = c
ax+ b− b = c− b
ax = c− b
ax
a
=
c− b
a
x =
c− b
a
Abaixo temos alguns exemplos de resolução de equações de primeiro grau
usando a expressão de passar ou transpor um termo de um membro para o
outro trocando seu "sinal", ou operação, tomando a operação inversa.
Exemplo 12. Resolva a equação de primeiro grau 4x+ 3 = 5.
4x+ 3 = 5
4x+ 3− 3 = 5− 3
4x = 2
4x
4
=
2
4
x =
2
4
=
1
2
Exemplo 13. Resolva a equação de primeiro grau
2x+ 5
3
=
x+ 4
2
.
2x+ 5
3
=
x+ 4
2
2 · (2x+ 5) = 3 · (x+ 4)
4x+ 10 = 3x+ 12
4x− 3x = 12− 10
x = 2
9
Exemplo 14. IMC é a sigla que usamos para índice de massa corpórea. A
organização mundial de saúde adota o IMC para calcular o peso ideal de uma
pessoa.O peso de uma pessoa é considerado normal quando o IMC está entre
18, 5 e 24, 9. Considere uma pessoa com peso P e altura h, o IMC da pessoa
é calculado usando usando a equação
IMC =
P
h2
Se um indivíduo possui 1, 85 de altura e IMC = 32, 14, qual é o seu peso
P?
32, 14 =
P
(1, 85)2
(32, 14) · (1, 85)2 = P
109, 99915 = P
Exercícios Propostos 4. Agora é sua vez, resolva os exercícios abaixo:
1. Resolva as equações abaixo:
(a) 9x− 2 = 7
(b)
x
2
= 16
(c) 7y − 10 = y + 5
(d)
x+ 4
2
= 6
(e) 8x+ 7 = 3x+ 2
(f)
x+ 4
2
=
x+ 3
3
2. Se não levamos em consideração o fator RH, dividimos os tipos san-
guíneos em quatro grupos, são eles: A, B, AB e O. Em um estudo
envolvendo 8.000 pessoas, constatou-se que 4.532 possuem tipos sanguí-
neos A ou AB, 3.220 possuem tipo sanguíneo B ou AB e 2.327 pessoas
possuem tipo sanguíneo O. Quantas pessoas possuem o tipo sanguíneo
AB?
3. Em um hospital, um paciente recebe uma prescrição médica de 2.000 mg
de dipirona endovenosa (EV). Neste hospital existe disponível dipirona
em frascos de 500 mg/ml em ampolas de 1 ml. Escreva uma equação
que determine a quantidade de dipirona em relação a quantidade de
ampolas. Quantas ampolas devem ser administradas no paciente citado
no exercício?
10
4. Para um paciente de 18 kg foi prescrito um antibiótico que devera ser
ministrado 50 mg/kg a cada 24 horas. No medicamento há 200 mg de
antibiótico em 1 ml de solução. Monte uma equação que determine
a quantidade de solução, em ml, de medicação a ser ministrada em
relação ao peso do paciente. Qual a quantidade a ser ministrada no
paciente citado no exercício?
5. Fórmula de Fried. A fórmula de Fried é usada para crianças de até
1 (um) ano de idade, a fórmula é:
c =
I
150
·D
onde:
• c- é a dose que deve ser aplicada à criança.
• I- é a idade da criança em meses
• D- é a dose aplicada em um adulto
Dito isso, suponha que uma criança de sete meses deve ser medicada
com certa medicamento. Qual deve ser a dose ministrada à criança se
a dose ministrada em um adulto é de 300mg?
6. Fórmula de Young A fórmula de Young é usada para crianças com
idade acima de 1 (um) , a fórmula é:
c =
I
I + 12
·D
onde:
• c- é a dose que deve ser aplicada à criança.
• I- é a idade da criança em anos completos
• D- é a dose aplicada em um adulto
Dito isso, suponha que uma criança de sete anos de idade, deve ser
medicada com certa medicamento. Qual deve ser a dose ministrada à
criança se a dose ministrada em um adulto é de 300mg?
11
2.3 Equações de Grau 2 ou Segundo Grau
Vamos pensar no seguinte problema: Determine dois números, x e y, tais que
a soma é igual a 5 e a multiplicação somada por 2 é igual 8. No problema
proposto buscamos dois números x e y tais que:{
x · y + 2 = 8
x + y = 5
Sabendo que x+ y = 5, temos que y = 5−x, portanto, substituindo y na
equação x ·y+ 2 = 8, obtemos x · (5−x) + 2 = 8. Efetuando a multiplicação,
temos como resultado a equação
5x− x2 + 2 = 8
Reorganizando a equação, ela tem a forma
−x2 + 5x− 6 = 0
A equação acima é uma equação de grau 2 em uma variável. A forma geral
de equações de segundo grau em uma variável é ax2 + bx + c = 0, onde
a, b e c ∈ R e a 6= 0. O coe�ciente a é o coe�ciente principal, b é o coe�ciente
secundário e c o termo independente.
Exemplo 15. Como exemplos, apresentamos abaixo algumas equações de
segundo grau
(a) 2x2 + 3x+ 2 = 5; a = 2, b = 3 e c = −3
(b) 3x
2
2
+ 2x+ 1 = 0; a = 3
2
, b = 2 e c = 1
As equações de segundo grau com coe�cientes reais (a, b e c ∈ R) podem
apresentar até duas soluções reais, tais soluções podem ser obtidas através
da fórmula de Bhaskara. Para utilizar a fórmula de Bhaskara, precisamos
apenas dos coe�cientes da equação e através dela obtemos as soluções
x1 =
−b+
√
∆
2a
x2 =
−b−
√
∆
2a
onde ∆ = b2 − 4ac e é chamado de discriminante.
Se ∆ > 0, a equação possui duas soluções reais, quando ∆ = 0, a equação
possui apenas uma solução real, quando ∆ < 0, a equação não possui solução
real.
12
Exemplo 16. Abaixo apresentamos a resolução de algumas equações de se-
gundo grau.
(a) 3x2 + 3x− 6 = 0
Resolução 6. Note que ∆ = 32 − 4 · 3 · (−6) = 81, portanto
x1 =
−3 +
√
81
2 · 3
= 1
x2 =
−3−
√
81
2 · 3
= −2
A equação apresenta duas soluções reais, são elas 1 e −2, de fato, note
que
3 · 12 + 3 · 1− 6 = 0
3 · (−2)2 + 3 · (−2)− 6 = 0
(b) x2 − 2x+ 1 = 0
Resolução 7. Note que ∆ = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 81, portanto
x1 =
−(−2) +
√
0
2 · 1
= 1
x2 =
−(−2)−
√
0
2 · 1
= 1
(c) 2x2 + x+ 1 = 0
Resolução 8. Note que ∆ = (1)2 − 4 · 2 · 1 = −7 < 0, portanto a
equação não possui solução real, apenas soluções complexas, assunto
que foge do objetivo dessas notes.
(d) x2 − 5x+ 2 = −4
Resolução 9. Primeiro devemos colocar a equação acima na forma
geral ax2 + bx + c = 0, a equação acima �ca x2 − 5x + 6 = 0, assim
∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 1, e as soluções são
x1 =
−(−5) +
√
1
2 · 1
= 3
x2 =
−(−5)−
√
1
2 · 1
= 2
13
Exercícios Propostos 5. Resolva os exercícios abaixo.
1. Determine se as equações abaixo possuem soluções reais, no caso a�r-
mativo, determine as soluções.
(a) x2 − x− 20 = 0
(b) x2 − 3x− 4 = 0
(c) x2 − x+ 3 = 2
(d) 2x2 + 3x+ 5 = 0
(e) 3x2 + 5x+ 5 = 3
(f) x2 − 1 = 0 (Note que, nesse caso, b = 0)
(g) x2 + 9x+ 14 = 0
(h) 5x2 − 4x+ 1 = 0
(i) x2 + 3x− 1 = 0
(j) x2 + 4x− 2 = −4
(k) x2 + 3x− 1 = 0
2. Um garoto possui 5 metros de barbante e deseja posiciona-lo no chão
formando um retângulo com área igual a 6 metros quadrados. Qual
deve ser a dimensão de cada lado desse retângulo?
3. Considere um homem com IMC (Índice de Massa Corpórea) igual a
18, 5, o que é considerado normal. Se este homem possui peso P igual
a 59, 64 kg, qual é a sua altura h?
IMC =
P
h2
3 Inequações
O Índice de Massa Corpórea (IMC) é um parâmetro adotado pela OMS
(Organização Mundial de Saúde) para determinar se determinado indivíduo
esta com o peso ideal. O IMC é dado pela equação
IMC =
P
h2
onde P é o peso e h é a altura do indivíduo, e é interpretado segundo a
seguinte tabela:
14
IMC Classi�cação Obesidade (grau)
IMC < 18, 5 Magreza 0
18, 5 ≤ IMC ≤ 24, 9 Normal 0
25, 0 ≤ IMC ≤ 29, 9 Sobrepeso grau I
30, 0 ≤ IMC ≤ 39, 9 Obesidade grau II
40, 0 < IMC Obesidade Grave grau III
A tabela acima apresenta os sinais < e ≤, que são as desigualdades maior
(menor ) e maior igual (menor igual) respectivamente. Dados os números
reais a e b, se escrevemos a < b, signi�ca que a é menor que b (ou b é maior
que a) e se escrevemos a ≤ b, signi�ca que a é menor ou igual a b (ou b é
maior ou igual que a).
Exemplo 17. Sabemos que 3 é menorque 4, podemos escrever 3 < 4 mas
também é verdade que 3 ≤ 4. Note que a escrita 4 ≤ 4 também é verdadeira.
De�nição 1. Uma inequação é uma expressão algébrica envolvendo uma
desigualdade. Quando a inequação envolve uma incógnita, solucionar uma
inequação é determinar o conjunto de números reais que satisfazem aquela
desigualdade.
Exemplo 18. Con�ra algumas inequações com incógnitas:
(a) 3x+ 2 < 4x+ 2
(b) 2x2 + 3 ≥ 4
(c) x+ 2 ≤ 3x+ 1
As desigualdades possuem algumas propriedades que auxiliarão na reso-
lução das mesmas. Se a, b, c ∈ R, então:
1. Se a < b ou a ≤ b, então a+ c < b+ c e a+ c ≤ b+ c
2. Se a < b e c > 0, então a · c < b · c
3. Se a < b e c < 0, então a · c > b · c
Exemplo 19. Con�ra algumas inequações com incógnitas:
(a) 3x < 4 então 3x− 4 < 4− 4 = 0 e portanto 3x− 4 < 0
(b) 2x ≥ 4 então 1
2
· 2x ≥ 4
2
pois
1
2
> 0
(c) 2 ≤ 3 então −3 · 2 ≥ −3 · 3
15
3.1 Inequações de Primeiro Grau
Suponha que você precise ir até um bairro vizinho para comprar um produto
que custe R$3, 00 (três reais) a unidade, para ir até este bairro, você pre-
cise pagar uma passagem custando R$10, 00 (dez reais) ida e volta e, para
custear tudo isso, você tenha disponível R$700, 00 (setecentos reais). Qual a
quantidade máxima desse produto você poderá comprar?
Para representar matematicamente o problema acima, podemos usar ine-
quações. Representando o produto acima pela letra x, o problema acima
pose ser representado pela inequação
3x+ 10 ≤ 700
Seja a, b, c ∈ R, uma inequação de primeiro grau é toda equação que pode
ser escrita em uma das formas abaixo:
1. ax+ b < c
2. ax+ b ≤ c
3. ax+ b > c
4. ax+ b ≥ c
Para resolver uma inequação de primeiro grau seguimos o mesmo processo
de resolução de equações de primeiro grau, nesse processo, "isolamos"a in-
cógnita de um lado da desigualdade usando as propriedades de desigualdades
apresentadas na seção anterior. Como exemplo, vamos resolver o problema
apresentado no inicio da seção
3x+ 10 ≤ 700
3x ≤ 700− 10
1
3
· 3x ≤ 690
3
x ≤ 230
Portanto, a quantidade máxima que poderá ser comprada do produto é
230.
Para melhor compreensão, faremos mais alguns exemplos.
16
Exemplo 20. .
2x+ 10 ≥ 200
2x ≥ 200− 10
1
2
· 2x ≥ 190
2
x ≥ 95
Portanto, o conjunto solução para a inequação acima é S = {x ∈ R|x ≥ 95}.
Exemplo 21. .
−2x+ 10 ≥ 200
−2x ≥ 200− 10
−1
2
· −2x ≤ −190
2
x ≤ −95
Portanto, o conjunto solução para a inequação acima é
S = {x ∈ R|x ≤ −95}.
17