931761_Capítulo%2011%20-%20Regras%20de%20derivação

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Capítulo 11 – Regras de derivação 
Introdução 
 
Já aprendemos como encontrar a derivada de uma função por meio do gráfico (calculando a 
inclinação do gráfico em cada ponto) e como avaliar a derivada de uma função dada por 
uma tabela (encontrando a taxa de variação da função entre os dados apresentados). Vamos, 
neste capítulo, investigar regras que nos permitem achar derivadas de funções definidas por 
fórmulas. Para isso, usaremos a definição de função derivada, 
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
h


0
, 
e teremos sempre em mente que a derivada representa uma inclinação e é também uma taxa 
de variação. Neste capítulo estudaremos a derivação das funções algébricas – as lineares, as 
potências, as polinomiais e as racionais. 
 
11.1 O que nos diz o gráfico de uma função a respeito de sua derivada 
 
Ao estabelecer as regras de derivação, apelaremos para a análise do gráfico de cada função. 
Isso nos permitirá imaginar como deve ser a derivada antes mesmo de encontrá-la e nos 
ajudará a avaliar se o resultado encontrado é ou não o esperado. Com um exemplo, 
relembraremos o que nos diz o gráfico de uma função a respeito de sua derivada e, como 
consequência, o que nos diz a derivada a respeito da função. 
 
A Figura 11.1 mostra o gráfico da função   2xxf  . À esquerda de 0, essa função é 
decrescente e as tangentes estão inclinadas para baixo (têm inclinação negativa); à direita 
de 0, a função é crescente e as tangentes estão inclinadas para cima (têm inclinação 
positiva); no ponto 0, a tangente é horizontal. 
 
 
Figura 11.1 
 
 
168 
 
Como a derivada é a inclinação da tangente em cada ponto do gráfico, podemos afirmar que 
o sinal da derivada f  nos diz se a função está crescendo ou decrescendo. 
 
Se 0f em um intervalo, então, f é crescente nesse 
intervalo. 
Se 0f em um intervalo, então, f é decrescente nesse 
intervalo. 
Se 0f em um intervalo, então, f é constante nesse 
intervalo. 
 
O módulo da derivada nos fornece o módulo da taxa de variação da função. Assim, quando 
o módulo de f  for grande, o gráfico de f será muito inclinado para cima (se f  for 
positiva) ou muito inclinado para baixo (se f  for negativa). Também, quando o módulo de 
f  for pequeno, o gráfico de f será levemente inclinado, para cima ou para baixo, de acordo 
com o sinal de f  . 
 
11.2 Derivada de uma função constante 
 
O gráfico de uma função constante c)x(f  é uma reta horizontal, ou seja, uma reta 
paralela ao eixo x e sua inclinação é sempre igual a 0. Portanto, a derivada é igual a 0 em 
todos os pontos e podemos escrever: 
 
 
 
 
Na Figura 11.2, está o gráfico da função constante 3)x(f e o de sua derivada 0 )x(f . 
 
 
Figura 11.2 
 
Usando a definição de derivada e considerando c)x(f  , temos: 
0
00





 h
cc
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
hh
 
 
 
 
 
Se c)x(f  , então, 0 )x(f . 
 
169 
 
Exemplo 1 
A derivada de 7)x(f é 0 )x(f . 
 
Notação usual: 
Escrevemos )x(
dx
d 2 para indicar a derivada de 2x em relação à variável x. 
Usando essa notação, 07 )(
dx
d
 e )(
dx
d
 =0. 
 
11.3 Derivada de uma função linear 
 
O gráfico de uma função linear é uma reta e a inclinação de uma reta é constante. Isso 
significa que a derivada de uma função linear é uma constante. Como a inclinação de uma 
reta é o coeficiente da variável independente, podemos escrever: 
 
 
 
Na Figura 11.3, está o gráfico da função 53  x)x(f e o de sua derivada 3 )x(f . 
 
 
Figura 11.3 
 
Exemplo 2 
a) 2122  )x(
dx
d
; b) se 74  xy , então, 4y ; c) 
5
1
8
5
 )
t
(
dt
d
. 
 
Podemos deduzir essa regra algebricamente. Sendo bmx)x(f  , temos: 
 
m)m(lim
h
mh
lim
h
)bmx(b)hx(m
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
hhhh





 0000
 
Observação: A simplificação dos termos da fração 
h
mh
 é possível porque 0h . 
 
 
Se bmx)x(f  , então, minclinação)x(f  . 
 
170 
 
11.4 Derivada de uma constante multiplicada por uma função 
 
A Figura 11.4 traz o gráfico da função )x(fy  e o gráfico de um múltiplo de f, a função 
)x(fy 2 . Quando multiplicamos f por uma constante c, os zeros permanecem 
inalterados e os picos e vales ocorrem para os mesmos valores de x. O que muda é a 
inclinação da curva em cada ponto. Se a constante c for maior do que 1, o gráfico ficará 
esticado e suas ladeiras mais inclinadas; em outros termos, as inclinações do gráfico ficam 
ampliadas por um mesmo fator de escala. 
 
 
 
Figura 11.4 
 
Considerando que a derivada é a inclinação em cada ponto, podemos escrever: 
 
Se )x(fcy  , então, )x(fcy  . 
 
 
 
 
 
 
 
171 
 
Exemplo 3 
a) Se a derivada de 3y x é 2y 3x  , podemos afirmar que a derivada de 3y 7x é 
2 2y 7.(3x ) 21x   . 
b) Sabendo que a derivada de xseny  é xcosy  , podemos afirmar que a derivada de 
xseny 3 é xcosy 3 . 
c) Se a derivada de   xexf  é   xexf  , então, a derivada de   xexg
5
3
 é 
  xexg
5
3
 . 
A Figura 11.5 traz o gráfico da função )x(fy  e o gráfico de um múltiplo de f, a função 
)x(fy
2
1
 . Aqui, multiplicamos f por uma constante 
2
1
c , que está no intervalo  10, . 
Também nesse caso, os zeros permanecem inalterados e os picos e vales ocorrem para os 
mesmos valores de x; o que muda é a inclinação da curva em cada ponto. Como 10  c , 
o gráfico fica encolhido e suas ladeiras menos inclinadas; em outros termos, as inclinações 
do gráfico ficam reduzidas por um mesmo fator de escala. 
 
 
 
 
 
Figura 11.5 
Considerando que a derivada é a inclinação em cada ponto, chegamos à mesma conclusão 
anterior e podemos escrever: 
 
Se )x(fcy  , então, )x(fcy  . 
 
 
 
172 
 
Exemplo 4 
Sabendo que a derivada de xlny  é 
x
y
1
 , podemos afirmar que a derivada de 
xlny
4
1
 é 
xx
.y
4
11
4
1
 . 
 
Se a derivada de 3y x é 2y 3x  , podemos afirmar que a derivada de 3
2
y x
5
 é 
2 22 6y (3x ) x
5 5
    . 
Na Figura 11.6 estão os gráficos de )x(fy
2
1
 e de )x(fy
2
1
 . Multiplicando por uma 
constante negativa, o gráfico sofre uma rotação em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
Figura 11.6 
 
O que era subida vira descida e o que era descida vira subida; de modo semelhante, o que 
era pico passa a ser vale e vice-versa, enquanto os zeros permanecem os mesmos. 
Consequentemente, as inclinações mudam de sinal. Ainda assim, podemos escrever: 
 
Se )x(fcy  , então, )x(fcy  . 
 
 
 
173 
 
 
Exemplo 5 
a) Se a derivada de 3y 5x é 2y 15x  , podemos afirmar que a derivada de 3y 5x  é 
2y 15x   . 
b) xcos)xsen(
dx
d
33  . 
c) 
t
)tln(
dt
d 5
5  . 
d) Se )x(y 743  , então, 34y . 
 
A derivada do produto de uma constante por uma função pode ser obtida algebricamente: 
 
 
h 0
h 0 h 0
d cf (x h) cf (x)
cf (x) lim
dx h
f (x h) f (x) f (x h) f (x)
limc. c.lim cf (x)
h h

 
 

   
  
 
 
11.5 Derivadas de somas e de diferenças 
 
Na Tabela 11.1 estão listados os valores das funções )x(f e )x(g ; também nela aparecem 
os valores da soma )x(g)x(f  . 
 
x )x(f )x(g )x(g)x(f  
0 10 0 10 
1 11 2 13 
2 13 4 17 
3 16 6 22 
4 20 8 28 
5 25 10 35 
6 31 12 43 
7 38 14 52 
Tabela 11.1 
Quando somamos os incrementos de )x(f e )x(g , obtemos os incrementos de 
)x(g)x(f  . Assim, por exemplo, quando x varia de 2 até 3, o valor da função )x(f 
passa de 13 para 16, ficando acrescido de 3; por sua vez, a função )x(g vai de 4 para 6 e 
sofre um aumento de 2; enquanto isso, a soma )x(g)x(f  tem um acréscimo de 
    .523461316  
A análise da Tabela 10.1 nos possibilita afirmar que a taxa de crescimento de )x(g)x(f  
é a soma da taxa de crescimento de )x(f com a taxa de crescimento de )x(g . Como a 
derivada é uma taxa de crescimento, podemos escrever: 
 
 
 
174 
 
 
        xgxfxgxf
dx
d
 
De modo análogo, a taxa de variaçãode )x(g)x(f  é a diferença entre as taxas de 
variação de )x(f e de )x(g . Usando a notação de derivada, que é uma taxa de variação, 
escrevemos: 
 
        xgxfxgxf
dx
d
 
 
 
Exemplo 6 
 
Se 54  x)x(f , 16  x)x(g e )x(g)x(f)x(k  , determine )x(k . 
 
Solução 
 
Podemos resolver o problema de duas maneiras: 
 
a) Usando a regra de derivação de uma soma: 
      264  xgxfxk 
 
b) Determinando uma fórmula para  xk e, depois, calculando )x(k : 
    621654  xxx)x(g)x(f)x(k 
   2 xk 
 
Usando a definição de derivada, justificaremos, a seguir, a regra de derivação da diferença: 
 
    
        
h
xgxfhxghxf
limxgxf
dx
d
h


0
 
 
 
   
 
   
 















     
.xgédesseitelimO.xfédesseitelimO
h h
xghxg
h
xfhxf
lim
0
 
 
    xgxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
175 
 
11.6 Derivada de funções potências 
 
As funções potências são dadas pela fórmula   nxxf  . Vamos mostrar que a derivada 
dessas funções é   1 nn xnx
dx
d
. Aplicando essa regra, temos, por exemplo: 
  34 4 xx
dx
d
 ,   43 3   xx
dx
d
 e    3231
3
1  xx
dx
d
. 
 
Mostraremos primeiro, que essa regra é válida para n inteiro e positivo, utilizando a 
definição de derivada: 
   
h
xhx
limx
dx
d n
n
h
x 
0
 
Precisamos aqui da expansão binomial: 
 
 
  
.hdealtasmaispotênciasouhcontendoTermos
nnnnn h...hx
nn
hxnxhx
2
221
2
1


  
Usando a expansão binomial, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
n n
n
h 0
n n 1 n 2 2 n n
h 0
n 1 n 2 n 1
h 0
n 1 n 2 n 1 n 1
h 0
n
x h xd
x lim
dx h
n n 1
x n x h x h ... h x
2
lim
h
n n 1
h n x x h ... h
2
lim Fatorando h no numerador.
h
n n 1
lim n x x h ... h Os termos tendem a 0,exceto n x
2
n x

 

  

   


 

 
     
 
 
   
 
 
 
     
 
 1
 
 Essa regra permanece válida quando o expoente é um inteiro negativo ou uma fração. A 
prova disso será apresentada em outra oportunidade. 
 
  1 nn xnx
dx
d
 
A regra é válida para toda constante n pertencente aos reais. 
 
 
 
 
 
 
 
176 
 
Exemplo 7 
Determinar a derivada da função   2xxf  . Plotar em um mesmo sistema o gráfico de f e 
o gráfico de f  e, comparando esses gráficos, verificar se f  tem as características 
esperadas. 
 
Solução 
a) Cálculo da derivada:     xx
dx
d
xf 22  . 
b) Na Figura 11.7 está o esboço dos gráficos de f e de f  : 
 
 
 
Figura 11.7 
 
c) Para 0x , a função   2xxf  é decrescente e a função   xxf 2 é negativa. 
Para 0x , a tangente ao gráfico de   2xxf  é horizontal e, nesse ponto, o valor da 
derivada é   0020  .f . Para 0x , a função   2xxf  é crescente e a função 
  xxf 2 é positiva. Essas três características da derivada eram esperadas, a partir da 
análise do gráfico da função. 
 
 
Exemplo 8 
Determinar a derivada da função   5xxf  . Plotar em um mesmo sistema o gráfico de f e o 
gráfico de f  e, comparando esses gráficos, verificar se f  tem as características esperadas. 
 
Solução 
 
a) Cálculo da derivada:   45 xxf  . 
b) Na Figura 11.8 está o esboço do gráfico de   5xxf  e de   45 xxf  . 
 
 
 
 
177 
 
 
Figura 11.8 
 
c) Conforme esperado, a derivada   45 xxf  é positiva para todo 0x , fato que indica 
que a função   5xxf  é estritamente crescente. Como   0050 4  .f , o gráfico de 
  5xxf  tem inclinação 0 para 0x . 
 
 
11.7 Derivadas de polinômios 
 
Aprendemos a derivar potências, funções multiplicadas por uma constante, somas e 
diferenças. Por exemplo: 
 
a)     2233 123444 xx.x
dx
d
x
dx
d
 
b)         233434 387272 xx
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xx
dx
d
 
 
Utilizando simultaneamente essas regras, podemos derivar qualquer polinômio e mesmo 
expressões algébricas que não sejam polinômios. 
 
Exemplo 9 
 
Encontre a derivada de cada uma das funções: 
a)   223 26  xxxf 
b)  
t
tttg
7
33 5  
c)  
xx
xxk
2
110
5
2
 
 
 
 
 
 
 
178 
 
 
 
Solução 
a)        223 26 
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xf    tetanconsumaé2 
 xx 2218 2  
 
b)        1215 733  t
dt
d
t
dt
d
t
dt
d
tg 
 2214 7
2
3
15   ttt 
 
2
4 7
2
3
15
tt
t  
 
c)        21221
2
1
105   x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xk 
 23321
4
1
20
2
5   xxx 
 
233 4
120
2
5
xxx
 
 
 
 
11.8 Derivadas de produtos 
 
À primeira vista, parece que a derivada de um produto deveria ser o produto da derivada de 
cada um dos fatores. Assim, para     xxxxf  353 , teríamos: 
        3913353 223  xxxx
dx
d
.x
dx
d
xf . 
Contudo, se antes de derivar, efetuarmos o produto, teremos: 
      xxxxxxxxf 535353 2343  
 e 
   561512 23  xxxxf , 
um resultado completamente diferente do obtido antes. 
 
Mostraremos, por meio de um exemplo, que a derivada da função   vuxf  é a função 
  vuvuxf  . Nessa fórmula u e v são funções da variável x ; 
dx
df
f  é a derivada 
de f em relação a x; 
dx
du
u  indica a derivada de u em relação a x e 
dx
dv
v  é a derivada 
de v em relação a x. 
 
 
179 
 
Observação: 
Até aqui utilizamos a notação f  para indicar a derivada da função f e ainda a notação 
 y
dx
d
 para caracterizar a derivada de y em relação a x . Se  xfy  , ou seja, se a 
variável y depende da variável x , também é usual escrever: 
 
dy
f x .
dx
 
Essa notação é devida ao alemão G. W. Leibnitz (1646-1716), um dos matemáticos que 
trabalharam no desenvolvimento do Cálculo no século XVII. É uma notação que nos 
lembra de que a derivada é o limite de quocientes da forma 
 
xdevaloresentreDiferença
ydevaloresentreDiferença
x
y



 
Assim, podemos pensar que 
x
y
lim
dx
dy
)x(f
x 


 0
. A notação 
dx
dy
 nos permite determinar 
facilmente a unidade da derivada: a unidade de 
dx
dy
é a unidade de y dividida pela unidade 
de x . Por exemplo, se  tfs  é a posição de um objeto em movimento, no instante t, 
então    
dt
ds
tftv  é a velocidade do objeto no instante t, já que esse quociente sugere 
uma distância, ds , dividida por um tempo, dt . De modo análogo, podemos reconhecer 
 xf
dx
dy
 como a inclinação do gráfico de  xfy  , lembrando que a inclinação é o 
limite do incremento vertical, dy , sobre o limite do incremento horizontal, dx . 
 
Para analisar como deve ser a derivada de um produto, vamos estudar o seguinte problema: 
A quantidade q de vendas de certo tipo de tênis depende do preço p. Por sua vez, p 
varia de acordo com x, o custo unitário de produção desse calçado. A receita total, 
R, obtida com a venda dos tênis é dada por qpR  . 
A Tabela 11.2 traz alguns possíveis valores para 
x custo unitário de produção 
 p g x preço de venda de cada tênis  
 q k x quantidade de vendas de tênis  
R pq receita total obtida com a venda de tênis  
 
x p q qpR  
10 110 600 60 000 
11 110 550 60 500 
12 120 500 60 000 
13 130 450 58 500 
14 140 400 56 000 
15 150 350 52 500 
Tabela 11.2 
 
180 
 
 
Usaremos R , o incremento de R , para indicar uma diferença entre valores de R . Com 
essa notação,    xRxxRR  . 
O incremento, R , é obtido como a seguir exposto: 
   qppqqppqqqppRR  
Como qpR  , temos: 
   pqqppqqppqRqqppR  
 qppqqpR  
Por exemplo, quando x varia de 12 para13, no caso em questão, temos: 
    501010500501206000058500  ...R 
 500500060001500 R 
 15001500 R 
Dividindo os dois membros da igualdade qppqqpR  por x , temos: 
x
p
q
x
p
q
x
q
p
x
R











 
 
Para calcular o limite quando 0x , vamos examinar separadamente cada um dos termos 
dessa igualdade: 
   
 
dx
dR
xR
x
xRxxR
lim
x
R
lim
xx






 00
 
 xqp
x
q
limp
x
q
plim
xx






 00
 
 xpq
x
p
limq
x
p
qlim
xx






 00
 
    00
00000















.xp.xqxlim.
x
p
lim.
x
q
limx.
x
p
.
x
q
lim
x
p
qlim
xxxxx
 
Considerando esses limites, podemos escrever: 
 
x
p
qlim
x
p
limq
x
q
limp
x
R
lim
xxxx 










 0000
 
      xpqxqpxR  
 ou 
 
dx
dq
p
dx
dp
q
dx
dR
 
 
Regra do produto 
  vuvuvu  
Em palavras: 
A derivada de um produto é a derivada do primeiro fator multiplicada pelo 
segundo, mais o primeiro fator multiplicado pela derivada do segundo. 
 
 
 
 
 
181 
 
 
Exemplo 9 
Uma partícula move-se segundo a equação da posição    90353 2  tttts , sendo t 
medido em segundos e s em metros. Determine a velocidade dessa partícula no instante 
3t . 
 
Solução 
 
a) Cálculo da função velocidade,    tstv  : 
           9035390353 22 tttttttstv 
    35690353
2
1 2  tttt
t
 
b) Cálculo de  3v , que é a velocidade no instante 3t : 
      351839010527
32
1
3 v 
   smv 3153  
 
 
11.10 Derivadas de quocientes 
 
Para derivar a função  
v
u
xf  , podemos usar a regra do produto. Como  xf.vu  , 
temos:    xf.vxf.vu  . Resolvendo para  xf  , obtemos: 
       
2v
vuvu
xf
v
v
u
.vu
xfxfvuxf.v



 
 
Regra do quociente 
2v
vuvu
v
u 








 
Em palavras: 
A derivada de um quociente é igual à derivada do numerador vezes o 
denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, 
tudo sobre o denominador ao quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
182 
 
 
Exemplo 10 
Determine a equação da tangente à curva 
1
3



x
xx
y no ponto  102,P  . 
Solução 
 
a) Cálculo da inclinação da curva em um ponto qualquer: 
 
      
 2
33
1
11






x
xxxxxx
y 
 
     
   2
23
2
32
1
132
1
1113






x
xx
x
xxxx
 
b) Cálculo da inclinação da tangente no ponto  102,P  : 
   3
1
11216
2 

 ym 
c) Equação da tangente: 
  2310  xy ou 43  xy . 
 
11.11 A regra da cadeia 
 
Consideremos a função composta   xgfy  , sendo f a função de fora e g a de dentro. 
Supondo  xgz  , podemos escrever que  zfy  . A análise dessas funções nos permite 
afirmar que uma pequena variação de x, denotada por x , provoca uma pequena variação 
em z, indicada por z . Por sua vez, z gera uma pequena variação y na variável y. Em 
outros termos, podemos dizer que uma pequena variação em x provoca uma cadeia de 
variações nas outras variáveis. Como x e z não são iguais a zero, podemos afirmar: 
x
z
.
z
y
x
y







 
No limite, quando x , y e z ficam cada vez menores, temos: 
 
x
z
lim.
z
y
lim
x
y
lim
xzx 






 000
  
dx
dz
.
dz
dy
dx
dy
 
 
Regra da cadeia 
dx
dz
.
dz
dy
dx
dy
 
Se   xgfy  , então,     xg.xgfy  
Em palavras: 
A derivada de uma função composta é igual a derivada da função de fora, 
composta com a de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro. 
 
 
 
 
183 
 
Exemplo 11 
Determinar a inclinação da curva  52 24 xxy  no ponto de abscissa 50,x  . 
 
Solução 
 
a) Cálculo da inclinação da curva em um ponto qualquer. 
 Aqui, xxz 24 2  é a função de dentro e 5zy  é a função de fora. 
Como 28  x
dx
dz
 e 45 z
dz
dy
 , podemos escrever: 
     28245285 424  xxxx.z
dx
dz
.
dz
dy
y 
b) Cálculo da inclinação da curva no ponto de abscissa 50,x  . 
   4806251 4  ..y 
 
Exemplo 12 
 
O comprimento L , em centímetros, de uma barra de metal depende da temperatura 
ambiente, CT 0 , que, por sua vez, depende do tempo t , medido em horas. Supondo que o 
comprimento aumente cm2 para todo aumento de C01 e que a temperatura esteja 
aumentando a uma taxa de C03 por hora, determine a que taxa o comprimento está 
variando. 
 
Solução 
 
De acordo com os dados do problema, temos: 
Ccm
dT
dL
atemperaturdaiaçãovaràrelaçãoem
ocomprimentdoiaçãovardeTaxa 02 
 
hC
dt
dT
tempodoiaçãovaràrelaçãoem
atemperaturdaiaçãovardeTaxa 03 
Queremos calcular a taxa segundo a qual o comprimento, L, está aumentado em relação ao 
tempo, ou seja, dtdL . Como o comprimento, L, é uma função da temperatura T e como T é 
uma função do tempo t, podemos escrever, pela regra da cadeia: 
 
h
cm
h
C
.
C
cm
dt
dT
.
dT
dL
dt
dL
632
0
0












 
Assim, o comprimento da barra de metal está aumentando a uma taxa de hcm6 . 
 
 
 
 
 
 
184 
 
Questionário 11 
 
 
As regras de derivação devem ser decoradas. Para adquirir bom manejo dessas regras, 
precisamos praticá-las até que elas nos sejam bem familiares. Estude esse assunto no seu 
livro de Cálculo. Em geral, os livros têm muitos exercícios de derivação; faça o maior 
número que você puder. Certamente, isso lhe garantirá maior agilidade mental, o que 
implicará em melhor eficiência nas atividades do seu Curso. 
 
1) Escreva as regras de derivação das seguintes funções, em símbolos matemáticos e 
em palavras: 
a) Função constante. 
b) Função resultante do produto de uma constante por uma função. 
c) Função soma. 
d) Função diferença. 
e) Função produto. 
f) Função quociente. 
g) Função composta. (Regra da cadeia.) 
 
2) Dê um exemplo para cada uma das seguintes regras de derivação, sendo u e v 
funções da variável x, a uma constante e n um número real não-nulo: 
a)   vuvu  
b)   vava  
c)   vuvuvu  
d) 
2v
vuvu
v
u 








 
e)   u.
u
u 

2
1
 
f)   v.vnv nn  1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
185 
 
Exercícios 11 
 
1. Suponha que f (5) 1, f (5) 6, g(5) 3 e g (5) 2      . Calcule os valores de: 
a) (fg) (5) b) 
f
(5)
g
 
 
 
 c) 
g
(5)
f
 
 
 
 
2. Suponha que f (3) 4, g(3) 2, f (3) 6 e g (3) 5      . Calcule os valores de: 
a) (f g) (3) b) 
f
(3)
g
 
 
 
 c) (fg) (3) d) 
f
(3)
f g
 
 
 
 
3. Calcule a derivada de cada uma das funções: 
a) 4f (x) x b) 7f (x) x c) 11f (x) x 
d) 5f (x) 3 x e) 4
1
f (x) x
4
 f) 5
3
f (x) x
5
 
g) 6f (x) 7x  h) 
7x
f (x)
7
 i) 3
7
f (x) x
4
  
 
4. Calcule a derivada de cada uma das funções: 
a) 
3 2x x
f (x) 2x 1
3 2
    b) 7 3f (x) 3 x x  c) 7 3f (x) 3x 7x  
d) f (x)  2 5
1 1
f (x) x x
7 2
  e) 3 2f (x) 7x 2x 5x 1    f) 5 2f (x) x 8x  
f) 4 3 2f (x) x 3x 2x 7x 5     g) 5 4 3 2f (x) x x x x x 1      
h) 4 3 2f (x) x 3x 2x 7x 5     i) 2f (x) ax bx c   
j) 2f (x) qx tx 7   l) 5 4f (t) 4t 5t 23t    
m) 2f (u) au bu c   n) 4 2f (v) kv 3kv 7kv 2k    
 
5. Primeiramente, esboce o gráfico da função 2f (x) x 5x 6   . A seguir: (a) 
determine a função derivada f (x) ; (b) escreva a equação da tangente ao gráfico def (x) no ponto de abscissa x 3 ; (c) estude a variação de sinal da derivada f (x) ; (d) 
escreva as coordenadas do ponto do gráfico de 2f (x) x 5x 6   em que a tangente 
é horizontal. 
6. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 3 2f (x) x 7x 4x 5   
no ponto onde x 2 . 
7. Ache os pontos sobre a curva 3 2y x x x 1    nos quais a tangente é horizontal. 
8. Determine a equação das retas que passam pelo ponto (2, 3) e que são tangentes à 
parábola 2y x x  . 
9. Ache uma parábola com equação 2y ax bx  cuja reta tangente em (1,1) tenha por 
equação y 3x 2  . 
 
186 
 
10. Determine a equação da reta tangente à curva 
x
y
x 1


 no ponto de abscissa x 4 . 
11. Dada a função 2f (x) x 5x 13   : (a) determine o intervalo em que f é crescente e 
o intervalo em que f é decrescente; (b) determine em que ponto do gráfico de f a 
tangente é nula; (c) a partir dos resultados encontrados nos itens (a) e (b), esboce o 
gráfico da função 2f (x) x 5x 13   . 
12. A partir do sinal de f (x) , esboce o gráfico de cada uma das funções dadas a seguir: 
a. 2f (x) 5x 20x 47   
b. 2f (x) 2x 4x 25    
c. 3f (x) x 12x 17   
d. 3f (x) x 27x 60   
e. 3f (x) 2x 54x 10    
13. A temperatura  em um forno varia com o tempo t de acordo com a expressão 
3 2(t) 0,02t 0,2 t 110    , sendo o valor de medido em 0 C e t , em minutos. 
Determine a taxa de variação de  em relação a t no instante t 10min . 
14. Determine a equação da tangente ao gráfico de cada função no ponto dado: 
a. 3 2y 6x 4x 2x, x 2.    
b. 4 3f (x) 3x 4x 6x 2, x 4.      
c. 5
7
g(t) 3t 5 t , t 1.
t
    
d. 2
2
12 1
y 3t , t 4.
tt
    
e. 
2x 1
y , x 2.
x

   
f. 
7 6 3
2
s 5s s
f (s) , s 1.
s
 
   
g. 
2 3
4
t t 1
g(t) , t 3.
t
 
  
15. O gráfico da função 3 2y x 9x 16x 1    tem inclinação 5 em dois de seus pontos. 
Encontre as coordenadas destes pontos. 
 
187 
 
16. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 2f (t) t 10t 12   , sendo t 
medido em segundos e a distância, em metros. Determine: 
a) A velocidade dessa partícula no instante t 3s . 
b) Em que momento(s) a partícula está em repouso. 
c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido positivo. 
d) A distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos. 
17. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 
2
t
s(t)
t 1


, sendo t medido 
em segundos e a distância em metros. Determine: 
a) A velocidade dessa partícula no instante t 3s . 
b) Em que momento(s) a partícula está em repouso. 
c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido negativo. 
d) A distância total percorrida durante os 10 primeiros segundos. 
 
18. A função posição de uma partícula é dada por 3 2s(t) t 4,5t 7t   , com t medido 
em segundos e a distância em metros. Determine o instante em que a partícula 
atinge a velocidade de 5m s . 
19. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 2s(t) t 4t 3   , sendo t 
medido em segundos e a distância, em metros. Determine: 
a) A velocidade dessa partícula no instante t 4s . 
b) Em que momento a partícula está em repouso. 
c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido negativo. 
d) A distância total percorrida durante os 6 primeiros segundos. 
 
20. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 3 2f (x) 2x 2x 1   no 
ponto (1,1) . 
21. Se 2f (x) 13 8x 2 x e f (p) 4    , determine o valor de p . 
22. Encontre os intervalos nos quais f (x) 1  , sendo 3 2f (x) 4x 6x 23x 7    . 
23. Uma bola é largada de um balão que está a 380m de altura. A altura da bola acima 
do solo é dada pela função 2h(t) 380 5t  , sendo t medido em segundos e h em 
metros. Com base nessas informações: 
a) Determine a velocidade da bola em um instante t. Qual é o sinal dessa 
velocidade? Por que isto já era esperado? 
b) Verifique que a aceleração da bola é constante. Qual é o valor desta constante? 
c) Em que instante a bola bate no solo e qual é a sua velocidade neste instante? Dê 
sua resposta em metros por segundo e em quilômetros por hora.