931763_Capítulo%2012%20-%20Exame%20do%20comportamento%20de%20uma%20função%20por%20meio%20da%20derivada

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Capítulo 12 – Exame do comportamento de uma função por meio da derivada 
 
Introdução 
 
A função derivada, f  , está intimamente relacionada com a função f. Dizemos, por 
exemplo, que f  é a derivada de f e que f uma função primitiva de f  . Assim, podemos 
esperar que ter informações a respeito de f  nos permite ter também informações sobre a 
função f . Muitas das aplicações que poderemos fazer do Cálculo dependerão de nossa 
capacidade de analisar a derivada f  e, a partir das informações colhidas nessa análise, tirar 
conclusões sobre a função primitiva f . 
Neste capítulo, investigaremos como usar a derivada primeira e a derivada segunda para 
analisar o comportamento de uma função. 
 
12.1 O que f  nos diz a respeito de f 
 
A derivada f  nos diz se a função primitiva f está crescendo ou decrescendo. Também nos 
diz em que ponto a função f para de crescer e começa a decrescer e vice-versa. Vamos 
observar os gráficos que estão na Figura 12.1 
 
Figura 12.1 
No gráfico da esquerda, A é um ponto crítico da função f ; antes de A , a inclinação do 
gráfico é negativa e, por isso, a função f é decrescente; depois de A, a inclinação do 
gráfico é positiva e, portanto, a função f é crescente. No ponto A, ocorre uma mudança 
brusca na inclinação do gráfico: ela pula de um valor muito grande para um valor próximo 
de zero; isso quer dizer que  f A não está definida ou não existe. 
Podemos registrar essas observações, feitas no gráfico, por meio da Tabela 12.1. 
 
Tabela 12.1 
De modo semelhante, no gráfico da direita, D é um ponto crítico da função f ; antes de D, a 
inclinação do gráfico é negativa, quer dizer que a função f é decrescente; depois de D, a 
 
189 
 
inclinação do gráfico é positiva, significa que a função f é crescente. No ponto D, a 
inclinação do gráfico é zero, ou seja,  f D 0  . 
Podemos apresentar os resultados, colhidos nas observações feitas no gráfico, como 
indicado na Tabela 12.2. 
 
Tabela 12.2 
 
Na Figura 12.2, estão duas outras funções. A análise de cada um desses gráficos nos leva a 
tirar conclusões a respeito do sinal das respectivas derivadas; por outro lado, conhecer o 
sinal das derivadas nos traz informações sobre o comportamento das funções primitivas. 
 
Figura 12.2 
 
No gráfico da esquerda, o ponto B de abscissa Bx é um ponto crítico da função f; dizemos 
também que Bf (x ) é um valor crítico da função f. A inclinação do gráfico de f, à medida 
que x se aproxima de Bx , tende a ser arbitrariamente grande e a tangente à curva tende a 
ser uma reta vertical; isso faz com que Bf (x ) não exista. Para Bx x , a derivada f  é 
positiva e, em consequência, a função f é crescente. Já, para Bx x , a derivada f  é 
negativa e a primitiva f é decrescente. No ponto crítico B, a derivada passa de positiva para 
negativa; essa mudança de sinal da derivada, de + para , indica que B é um ponto de 
máximo da função f e que Bf (x ) é um valor máximo de f. 
 
De maneira semelhante, no gráfico da direita, o ponto C de abscissa Cx é um ponto crítico 
da função f e Cf (x ) é um valor crítico da função f. A derivada no ponto C vale zero, 
indicando que, nesse ponto, a tangente ao gráfico é uma reta horizontal; significa também 
que, em C, a função parou de crescer e começou a decrescer. Para Cx x , a derivada f  é 
positiva e a função f é crescente. Se Cx x , a derivada f  é negativa e a primitiva f é 
decrescente. No ponto crítico C, a derivada passa de positiva para negativa; quando o sinal 
da derivada f  muda de + para  em um ponto C, a função f tem um máximo e o valor 
desse máximo é Cf (x ) . Um resumo dessas informações está na Tabela 12.3. 
 
190 
 
 
Tabela 12.3 
 
Exemplo 1 
Determinar os pontos críticos de   3 2f x 2x 3x 12x 12    e investigar em que intervalos 
essa função é crescente ou decrescente. A seguir, esboçar o gráfico de f . 
 
Para achar os pontos críticos e em que intervalos f é crescente ou decrescente, usaremos 
sua derivada:   2f x 6x 6x 12    . 
a) Os pontos críticos são pontos em que  f x 0  . 
  2 2
1 3
f x 6x 6x 12 0 x x 2 0 x x 1 ou x 2
2

               
Os valores críticos de f são  f 1 19  e  f 2 8  . 
 
a) Para saber em que intervalos f cresce ou decresce, determinamos a variação de sinal da 
derivada f . Para isso, depois de achar os zero da derivada ou os valores para os quais a 
derivada não existe, podemos montar uma tabela, como a mostrada a seguir: 
 
Tabela 12.4 
Observação: Um modo simples de achar o sinal da derivada, nos intervalos em que seu domínio é separado 
pelos pontos críticos, é atribuir um valor a x em cada um desses intervalos e achar o valor de 
f  nesse ponto. Por exemplo, já que  f 2 12   , sabemos que f  é positiva para x 1  e, 
portanto, f é crescente para x 1  . 
 
 
Do exame da variação de sinal, concluímos que a função   3 2f x 2x 3x 12x 12    é 
crescente nos intervalos  1 , e  ,2 ; e que é decrescente em  21, . 
 
 
191 
 
b) Para esboçar o gráfico, é recomendável que se plotem alguns pontos da função. Em 
geral, escolhem-se os pontos de máximo ou de mínimo e, ainda, o ponto de interseção da 
curva com o eixo y. No caso que estamos estudando, temos: 
 
 
 
1
2
3
P 1,f ( 1) ( 1, 19) ponto de máximo local.
P 2, f (2) (2, 8) ponto de mínimo local.
P 0, f (0) (0, 12) ponto de interseção com o eixo y.
     
   
  
 
Na Figura 12.3, está um esboço do gráfico da função   3 2f x 2x 3x 12x 12    , feito 
no Winplot. 
 
Figura 12.3 
 
Observação: 
A finalidade de se fazer o esboço do gráfico é visualizar o comportamento da função. Muitas vezes, para 
isso, precisaremos usar unidades diferentes sobre os eixos coordenados. Nesse exemplo, para poder ver os 
pontos de máximo e de mínimo, fixamos o domínio em 8 x 8   e a imagem em 40 y 40   . 
 
 
12.2 O que nos diz f  a respeito da derivada f  e da primitiva f 
 
A derivada     
d
f x f x
dx
  é uma função e, por isso, podemos calcular a sua derivada 
indicada por     
d
f x f x
dx
  . Essa nova função f  é a derivada segunda de f e a 
derivada primeira de f  . (A leitura do símbolo f  é: “f duas linhas”.) 
Se  y f x , então     y f x f f x     . 
Usa-se também a notação 
2
2
d y d dy
y
dx dx dx
 
    
 
. (A leitura do símbolo 
2
2
dx
yd
 é: “d dois y, d x 
dois”; ou ainda “derivada segunda de y em relação a x”.) 
 
A derivada de uma função nos diz se a função está crescendo ou decrescendo. Com base 
nesse fato, podemos afirmar que f  , que é a derivada de f  , nos diz se f  , a taxa de 
variação de f , está aumentando ou diminuindo. 
 
 
192 
 
 
Se f 0  em um intervalo, então f  é crescente nesse intervalo. 
 
Se f 0  em um intervalo, então f  é decrescente nesse intervalo. 
 
 
 
A Figura 12.4 apresenta o gráfico de uma função f . Analisando a variação de sinal de f , 
podemos obter informações a respeito de f  . 
 
 
Figura 12.4 
 
A inclinação do gráfico decresce da esquerda para a direita; antes de Cx é positiva, em Cx 
é nula e depois de Cx é negativa. Esse comportamento sugere que f  é uma função 
decrescente e que, portanto, sua derivada f  é negativa. Além disso, podemos observar que 
o gráfico de f é côncavo para baixo e também que C é um ponto de máximo. 
 
O gráfico da função f, representado na Figura 12.5, tem concavidade voltada para cima. 
Notamos que a derivada f  é crescente (cresce da esquerda para a direita) e, por isso, sua 
derivada f  é positiva. 
 
Figura 12.5 
 
Ainda podemos observar que D é um ponto de mínimo. Em um ponto de mínimo, a 
derivada f  muda de sinal: passa de negativa para positiva, indicando que, nesse ponto, a 
função f parou de decrescer e começou a crescer. Por sua vez, em um ponto de mínimo, a193 
 
derivada segunda, f  , é positiva. Abaixo, resumimos as informações que o sinal da 
derivada segunda nos fornece a respeito da forma do gráfico da função f, se é côncavo para 
cima ou para baixo. 
 
 
Se   0 xf em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para cima nesse 
intervalo. 
Se   0 xf em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para baixo nesse 
intervalo. 
 
 
Exemplo 2 
Analisar o comportamento da função   3 2f x 2x 12x 18x 2    e esboçar seu gráfico. 
 
a) Usaremos a derivada primeira, para achar os pontos críticos e os intervalos de 
crescimento ou de decrescimento da função. 
    2f x 6x 24x 18 6 x 1 x 3       
Os pontos críticos são os pontos em que  f x 0  . A forma fatorada da derivada indica 
que x 1 e x 3 são os pontos críticos de f . Os valores críticos de f são   61 f e 
 f 3 2  . A interseção com o eixo y é  f 0 2  . 
 
 
Tabela 12.5 
 
b) Usaremos a derivada segunda para determinar a concavidade e os pontos de inflexão 
do gráfico de f. 
    f x 12x 24 12 x 2     
Analisando o sinal da derivada segunda, obtemos informações a respeito da 
concavidade do gráfico de f . Nesse exemplo, f  tem uma única raiz 2x . 
f  é negativa para 2x e é positiva para 2x . Assim, o gráfico de f é côncavo para 
baixo à esquerda de 2x e é côncavo para cima à direita de 2x . O ponto 2x é 
um ponto de inflexão porque nele a curva muda de concavidade. 
 
 
194 
 
 
Tabela 12.6 
 
c) A Figura 12.6 traz um esboço do gráfico de   218122 23  xxxxf . 
 
Figura 12.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
195 
 
12.3 Gráfico de funções 
Uma das aplicações da derivada é o estudo dos aspectos qualitativos de uma função, tais 
como, por exemplo: os intervalos em que a função cresce ou decresce, em que pontos 
assumem um valor máximo ou mínimo, em que intervalos seu gráfico tem concavidade 
voltada para cima ou para baixo e quais seus pontos de inflexão. 
Neste item, são apresentados cinco estudos nos quais se retomam conceitos discutidos em 
capítulos anteriores e usa-se a derivada para analisar alguns aspectos de funções. Para isso, 
cumpriremos o roteiro a seguir descrito para o estudo de uma função y f (x) . 
A. Domínio da função 
Comece por determinar o conjunto de valores de x para os quais f(x) está definida. 
 
B. Interceptos 
O intercepto y é f(0) e nos diz onde a curva corta o eixo y. Para achar o intercepto y, 
faça x igual a zero na equação da função. 
O intercepto x é obtido fazendo f (x) 0 e resolvendo essa equação para x. Você 
pode omitir este cálculo se a equação for difícil de resolver. 
 
C. Assíntotas 
(i) Assíntotas horizontais: se 
x
lim f (x) L

 ou 
x
lim f (x) L

 , então a reta y L é 
uma assíntota horizontal da curva y f (x) . 
(ii) Assíntotas verticais: A reta x a é uma assíntota vertical da curva y f (x) se 
pelo menos uma das quatro afirmativas seguintes for verdadeira: 
 
x a
lim f (x)

  ou 
x a
lim f (x)

  ou 
x a
lim f (x)

  ou 
x a
lim f (x)

  . 
 
D. Intervalos de crescimento e decrescimento 
Para determinar esses intervalos, use o teste de crescimento e decrescimento de uma 
função. Calcule a derivada primeira e estude a variação de sinal de f  : nos 
intervalos em que a derivada f  é positiva, f é crescente e, nos intervalos nos quais 
f  é negativa, f é decrescente. 
 
E. Valores máximos e mínimos 
Encontre os números críticos de f (os números c nos quais f (c) 0  ou f (c) não 
existe). Use então o teste da derivada primeira: se f mudar de positiva para 
negativa em um número crítico c, então f (c) é um máximo local; se f mudar de 
negativa para positiva em um número crítico c, então f (c) é um mínimo local. 
 
F. Concavidade e ponto de inflexão 
Calcule a derivada segunda, f  , e use o teste da concavidade: a curva é côncava 
para cima se f (x) 0  , e é côncava para baixo se f (x) 0  . Os pontos de inflexão 
ocorrem quando a concavidade muda de sentido. 
 
196 
 
 
G. Esboço do gráfico 
Usando as informações obtidas nos itens A – F, esboce o gráfico da função y f (x)
. Coloque as assíntotas como linhas tracejadas. Marque os interceptos, os pontos de 
máximo e de mínimo e os pontos de inflexão. Faça a curva passar por esses pontos, 
subindo ou descendo de acordo com o item D e com concavidade de acordo com o 
item F. Depois, se possível, use um aplicativo computacional para verificar se o 
gráfico que você traçou se assemelha ao traçado pela máquina. 
 
Exemplo 1 
 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 3 2f (x) x 9x 15x 50    . 
 
Solução 
A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função polinomial, D . 
B. O intercepto y é 3 2f (0) 0 9 0 15 0 50 50       ; a curva corta o eixo y no ponto 
(0,50) . A equação f (x) 0 é do terceiro grau e de difícil solução; por isso não 
determinamos o intercepto x. 
C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função polinomial. 
D. Crescimento e decrescimento 
A derivada é 2f (x) 3x 18x 15    . Resolvendo a equação 23x 18x 15 0   , 
obtemos as raízes x 1 e x 5 . Assim, podemos estabelecer a variação de sinal da 
derivada e encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
 
 
Dado que f (x) 0  quando x 1 ou x 5 e que f (x) 0  para 1 x 5  , a função f 
é crescente nos intervalos  ,1 e  5, , sendo decrescente no intervalo  1,5 . 
E. Valores máximos e mínimos 
Os números críticos são x 1 e x 5 . Como f  muda de positiva para negativa em 
x 1 , 3 2f (1) 1 9 1 15 1 50 57       é um máximo local; por outro lado, já que f  
muda de negativa para positiva em x 5 , 3 2f (5) 5 9 5 15 5 50 25       é um 
mínimo local. 
F. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é f (x) 6x 18   . Resolvendo a equação 6x 18 0  , obtemos 
a raiz x 3 e podemos obter a variação de sinal da derivada segunda. 
 
 
197 
 
 
 Como f (x) 0  para x 3 , a curva tem concavidade voltada para baixo no 
intervalo  ,3 e como f (x) 0  para x 3 , a curva tem concavidade voltada 
para cima no intervalo  3, . O ponto x 3 é um ponto de inflexão. 
 
G. Esboço do gráfico 
Na Figura 12.7 estão os gráficos da função 3 2f (x) x 9x 15x 50    e da sua 
derivada 2f (x) 3x 18x 15    , feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 12.7 
 
 
Exemplo 4 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 2f (x) x 10x 24    . 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função polinomial, D . 
 
B. O intercepto y é 2f (0) 0 10 0 24 24      ; a curva corta o eixo y no ponto (0,24)
. Resolvendo a equação f (x) 0 , temos 
2 10 14x 10x 24 0 x x 2 ou x 12
2
 
         

. 
 Os interceptos x são os pontos ( 2,0) e (12,0) . 
 
C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função polinomial. 
 
 
 
198 
 
D. Crescimento e decrescimento 
 
A derivada é f (x) 2x 10    . Resolvendo a equação f (x) 0  , obtemos 
2x 10 0 x 5     . Assim, podemos estabelecer a variação de sinal da derivada e 
encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
 
E. Dado que f (x) 0  quando x 5 e que f (x) 0  para x 5 , a função f é crescente 
nos intervalos  ,5 e decrescente no intervalo  5, . 
F. Valores máximos e mínimos 
O único número crítico é x 5 . Como f  muda de positiva para em x 5 , 
2f (5) 5 10 5 24 49      é um máximo local. 
G. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é f (x) 2   . Como a derivada segunda é negativa para 
qualquer valor de x, a curva tem concavidade voltada para baixo. A derivada 
segunda não muda de sinal e por isso a função não tem ponto de inflexão.H. Esboço do gráfico 
Na Figura 12.8 estão os gráficos da função 2f (x) x 10x 24    e da sua derivada 
f (x) 2x 10    , feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 12.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
199 
 
Exemplo 5 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 
2x
f (x)
x 1


. 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais diferentes de 1, }1/{  xxD . 
B. O intercepto y é 
2 0
f (0) 0
0 1

 

; a curva corta o eixo y no ponto (0,0) . O intercepto x é 
x 0 . 
C. Assíntotas 
 Como 
x x x
2x 2x
lim lim lim 2 2
x 1 x  
  

, a reta y 2 é assíntota da curva 
2x
f (x)
x 1


, à 
direita. 
 Também 
x x x
2x 2x
lim lim lim 2 2
x 1 x  
  

, o que indica que a reta y 2 é assíntota 
horizontal à esquerda. 
 Como 
x 1
2x
lim
x 1
 

, a reta x 1 é assíntota vertical (quando x se aproxima de 1, pela 
direita, a função assume valores positivos arbitrariamente grandes); o 
x 1
2x
lim
x 1
 

 
indica que a reta vertical x 1 é uma assíntota da curva
2x
f (x)
x 1


 e que, á medida 
que x se aproxima de 1 pela esquerda, a função assume valores negativos 
arbitrariamente grandes em módulo. 
 
D. Crescimento e decrescimento 
 A derivada é 
2
2
f (x)
(x 1)

 

. Como o denominador é um quadrado e o numerador é 
negativo, a derivada é negativa para todo x do domínio da função. 
 
 
 
Dado que f (x) 0  para todo x do domínio, a função f é sempre decrescente. 
 
E. Valores máximos e mínimos 
Não existe ponto crítico para esta função e, portanto, como seu domínio é a união de 
dois intervalos abertos, ela não tem pontos de Máximo e nem de mínimo. 
 
 
 
200 
 
 
F. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é 
3
4
f (x)
(x 1)
 

. A variação de sinal da derivada segunda está 
no quadro abaixo. 
 
 
Como f (x) 0  para x 1 , a curva tem concavidade voltada para baixo no 
intervalo  ,1 e como f (x) 0  para x 1 , a curva tem concavidade voltada 
para cima no intervalo  1, . A curva não tem ponto de inflexão. 
 
G. Esboço do gráfico 
 Na Figura 12.9 estão os gráficos da função 
2x
f (x)
x 1


 e da sua derivada 
2
2
f (x)
(x 1)

 

, feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 12.9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
201 
 
 
Exemplo 4 
 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 4 3f (x) 2x 8x 100   . 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função polinomial, D . 
B. O intercepto y é 4 3f (0) 2 0 8 0 100 100      ; a curva corta o eixo y no ponto (0,100)
. A equação f (x) 0 é do quarto grau e de difícil solução; por isso não determinamos o 
intercepto x. (No gráfico que está no item G, pode-se observar que a curva não corta o 
eixo horizontal, logo, não existe intercepto x.) 
C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função polinomial. 
D. Crescimento e decrescimento 
 A derivada 3 2f (x) 8x 24x   . Resolvendo a equação f (x) 0  , temos 
 3 2 28x 24x 0 8x (x 3) 0 x 0 ou x 3        . 
 Assim, podemos estabelecer a variação de sinal da derivada e encontrar os intervalos de 
crescimento e decrescimento da função. 
 
 
 
Dado que f (x) 0  quando x 3 e que f (x) 0  para x 3 (x 0)  , a função f é 
crescente nos intervalos  3, e é decrescente no intervalo  ,3 . 
E. Valores máximos e mínimos 
Os números críticos são x 0 e x 3 . Como f  não muda de sinal em x 0 , 
4 3f (0) 2 0 8 0 100 100      não é nem máximo e nem mínimo. Por outro lado, já que 
f  muda de negativa para positiva em x 3 , 4 3f (3) 2 3 8 3 100 46      é um 
mínimo local. 
F. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é 2f (x) 24x 48x   . Resolvendo a equação 224x 48x 0  para 
x, obtemos 224x 48x 0 24x(x 2) 0 x 0 ou x 2        . Com essas raízes, 
podemos obter a variação de sinal da derivada segunda. 
 
 
 
202 
 
Como f (x) 0  para 0 x 2  , a curva tem concavidade voltada para baixo no 
intervalo  0,2 e como f (x) 0  para x 0 ou x 2 , a curva tem concavidade 
voltada para cima nos intervalos  ,0 e  2, . Os pontos x 0 e x 2 são pontos 
de inflexão. 
 
G. Esboço do gráfico 
 Na Figura 12.10 estão os gráficos da função 4 3f (x) 2x 8x 100   e da sua derivada 
3 2f (x) 8x 24x   , feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 12.10 
 
 
 
Exemplo 5 
 
Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 1 3f (x) 9000x . 
 
Solução 
 
A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função potência com expoente 
fracionário de denominador ímpar, D . 
B. O intercepto y é 1 3f (0) 9000 0 0   ; a curva corta o eixo y no ponto (0,0) . A raiz da 
equação f (x) 0 é x 0 que é o intercepto x. 
C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função potência. 
D. Crescimento e decrescimento 
 A derivada é 2 3
2 3
300
f (x) 300x
x
   . A derivada f (0) não existe e, portanto, x 0 é 
um valor crítico da função. A variação de sinal da derivada e os intervalos de 
crescimento e decrescimento da função estão mostrados na tabela a seguir. 
 
 
203 
 
 
Dado que f (x) 0  para todo x 0 , a função f é sempre crescente. 
 
E. Valores máximos e mínimos 
O número crítico é x 0 . Como f  não muda de sinal nesse valor de x, f (0) 0 não é nem 
máximo e nem mínimo da função f. 
F. Concavidade e pontos de inflexão 
A derivada segunda é 5 3
5 3
200
f (x) 200 x
x
      . A derivada segunda, como era de se 
esperar, não está definida para x 0 . A variação de sinal da derivada segunda e a 
concavidade da curva estão apresentadas na tabela a seguir. 
 
 
Como f (x) 0  para x 0 , a curva tem concavidade voltada para baixo no intervalo 
 ,0 e como f (x) 0  para x 0 , a curva tem concavidade voltada para cima no 
intervalo  0, . O ponto x 0 é um ponto de inflexão. 
 
G. Esboço do gráfico 
Na Figura 12.11 estão os gráficos da função 1 3f (x) 9000x e da sua derivada 
2 3
300
f (x)
x
  , 
feitos no Graphmática. 
 
 
Figura 12.11 
 
204 
 
Questionário 12 
Estude em seu livro de Cálculo o assunto crescimento e decrescimento de uma função. 
Preste atenção nos exemplos resolvidos. Tente responder às questões que vêm a seguir. 
 
1) O que são pontos críticos de uma função? Dê um exemplo. 
2) O que é um ponto de máximo local? Dê um exemplo. 
3) O que é um ponto de mínimo local? Dê um exemplo. 
4) O que diz a derivada primeira f a respeito da função primitiva f ? Dê um exemplo. 
5) O que diz a derivada segunda f  a respeito do gráfico da função f ? Dê um exemplo. 
 
 
Exercícios 12 
 
1. Decida, em cada caso, se a derivada f (x) é negativa, positiva ou nula. 
 
2. Escreva o valor de 0f (x ) para cada uma das funções mostradas. 
 
 
3. A partir do exame do gráfico, escreva, para cada intervalo  i i 1x , x  , escreva se a 
derivada é positiva, negativa ou nula e, em correspondência, se a função y f (x) é 
crescente, decrescente ou constante. 
 
 
 
205 
 
4. Faça corresponder, a cada gráfico, uma das frases: 
 No intervalo I, a derivada f (x) é positiva e a função y f (x) é crescente. 
 No intervalo I, a derivada f (x) é negativa e a função y f (x) é decrescente. 
 No intervalo I, a derivada f (x) é nula e a função y f (x) é constante. 
 
 
5. Em cada intervalo  i i 1x , x  , classifique a função apresentada como crescente, 
decrescente ou constante, e indique o sinal de sua respectiva derivada. 
 
 
6. Em cada intervalo  i i 1x , x  , classifique a função apresentada como crescente, 
decrescente ou constante, e indique o sinal de sua respectiva derivada. 
 
 
 
 
 
206 
 
7. Para cada um dos números a, b, c, d, e, r, s, e t, estabeleça se a função cujográfico está 
abaixo tem um máximo ou um mínimo local, um máximo ou um mínimo absoluto, ou 
nem um máximo e nem um mínimo. 
 
 
 
8. Use o gráfico da função derivada f  , dado abaixo, para decidir: 
a) Em que intervalos a função f está crescendo ou decrescendo. 
b) Em que valores de x a função f tem um máximo ou um mínimo local. 
 
 
 
9. Esboce o gráfico de cada uma das funções: 
 
2 2
3 2
2
1
a)y x 2x b)y 2 x x c)y x
x
1
d)y e)y x 3 x f )y 2x 3x 1
x x
      
     

 
 
10. Use um aplicativo computacional para traçar o gráfico de cada função e o gráfico de 
sua derivada. 
A partir da análise desses gráficos, determine: (i) os intervalos em que a função é 
crescente ou decrescente; (ii) os valores de máximo ou um mínimo locais. 
 
 
 
 
 
 
207 
 
11. Em cada um dos itens a seguir, esboce o gráfico de uma função com todas as 
propriedades enunciadas: