Aula 3 Cálculo 2

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M
Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Notas de Aula no 3 — Turma Especial de Cálculo 2 – 2019/2
(Prof. Rolci Cipolatti)
Curvas Parametrizadas
As curvas planas que temos estudado em Cálculo 1 são representações geométricas de equações
envolvendo as variáveis x e y do plano cartesiano, como por exemplo a equação da parábola, y = x2,
a equação da circunferência unitária, x2 + y2 = 1, etc. Mas se quisermos descrever o movimento
de uma part́ıcula que se desloca no plano xy, devemos estabeler as coordenadas de sua posição em
cada instante t. Assim, sua posição pode ser estabelecida pelo vetor posição r(t) =
(
x(t), y(t)
)
,
com t variando em certo intervalo I ⊂ R.
Por exemplo, r1(t) = (t, t
2), t ∈ [0, 1], descreve o movimento de uma part́ıcula que percorre o
arco de parábola y = x2, com 0 ≤ x ≤ 1. Da mesma forma, r2(t) = (t
2, t4) descreve o movimento
de outra part́ıcula que percorre o mesmo o arco de parábola, ambas partindo do ponto A = (0, 0)
e chegando juntas ao ponto B = (1, 1), embora suas posições sejam diferentes em cada instante t
do intervalo (0, 1). De fato, observe que
r1
(
1
2
)
=
(
1
2
,
1
4
)
6=
(
1
4
,
1
16
)
= r2
(
1
2
)
.
Analogamente, uma part́ıcula que se desloca sobre a circunferência unitária, partindo do ponto
A = (1, 0) e dando uma volta completa com velocidade angular constante ω, tem sua posição em
cada instante t ∈ [0, 2π/ω] dada por r(t) =
(
cos(ωt), sen(ωt)
)
.
• Curvas planas parametrizadas
Os exemplos acima nos sugerem a seguinte definição.
Definição: Uma curva parametrizada no plano xy é qualquer função da forma
r : I → R2, r(τ) =
(
x(τ), y(τ)
)
,
onde I ⊂ R é um dado intervalo e as funções x(τ) e y(τ) são cont́ınuas em I. Neste caso, dizemos
que τ é o parâmetro e as funções x = x(τ) e y = (τ) são as equações paramétricas da curva.
Voce pode verificar facilmente que a curva r : [0,+∞) → R2 definida por
r(τ) =
(
e−τ cos(τ), e−τ sen(τ)
)
é uma espiral com origem no ponto A = (1, 0), tendendo ao ponto (0, 0) à medida em que τ tende
ao infinito.
Observação: Nas aplicações f́ısicas, o parâmetro t representa o tempo e a parametrização r(t)
descreve o vetor posição de uma part́ıcula em movimento. Entretanto, podemos escolhar a nosso
critário uma variável qualquer para o parâmetro. Por exemplo,
r(θ) =
(
cos(θ), sen(θ)
)
, θ ∈ [0, 2π],
1
descreve a circunferência unitário com centro na origem em função do ângulo θ.
Exemplo 1: A curva definida por r(θ) =
(
cos(θ), 2 sen(θ)
)
, ∀θ ∈ [0, 2π] é uma elipse no plano xy.
De fato, lembrando que sen2(θ) + cos2(θ) = 1, temos
{
x = cos(θ)
y = 2 sen(θ)
⇒
{
x = cos(θ)
y/2 = sen(θ)
⇒ x2 +
y2
4
= 1.
Exemplo 2: Descreva como se move uma part́ıcula em que seu vetor posição é definido por
r(t) =
(
sen
(
sen(t)
)
, cos
(
sen(t)
)
)
, t ∈ [0,+∞).
• Equação paramétrica da reta no plano
Seja P0 = (x0, y0) um ponto do plano e considere o vetor v = (v1, v1). Então, a reta que passa
por P0 e é paralela ao vetor v contém todos os pontos P da forma
P = P0 + τv , com τ ∈ R.
Em termos de coordenadas, se P = (x, y), obtemos
(x, y) = (x0, y0) + τ(v1, v2) = (x0 + τv1, y0 + τv2) ⇔
{
x = x0 + τv1,
y = y0 + τv2.
Observe que se v1 6= 0, podemos recuperar a equação cartesiana da reta, eliminando o parâmetro
τ nas equações acima. De fato,
{
x = x0 + τv1,
y = y0 + τv2.
⇐⇒ τ =
y − y0
v2
=
x− x0
v1
,
de onde se conclui que y − y0 = m(x− x0), com m = v2/v1.
x
y
P0
~r(t)
Figura 1
Assim, o movimento retiĺınio uniforme de uma part́ıcula que parte do ponto P0 e se desloca com
velocidade constante v = (v1, v2) pode se descrito pela parametrização
r(t) = (x0 + tv1, y0 + tv2), t ∈ [0,+∞).
2
• Derivadas vetoriais
Dada uma curva parametrizada r(τ) =
(
x(τ), y(τ)
)
, τ ∈ I, dizemos que r(τ) é diferenciável em
τ0 se cada uma de suas coordenadas x(τ) e y(τ) é diferenciável em τ0. Neste caso, a derivada de
r(τ) em τ0 é, por definição, o vetor
r
′(τ0) =
dr
dτ
(τ0) =
(
x′(τ0), y
′(τ0)
)
.
Analogamente, se x(τ) e y(τ) são duas vezes diferenciáveis em τ0, dizemos que r(τ) é duas vezes
diferenciável em τ0
r
′′(τ0) =
d2r
dτ2
(τ0) =
(
x′′(τ0), y
′′(τ0)
)
.
Se t é o tempo e r(t) denota o vetor posição de uma part́ıcula que se desloca no plano, a sua
derivada r ′(t0) é a velocidade (vetorial) no instante t0 e r
′′(t0) é a aceleração (vetorial) no mesmo
instante. O módulo do vetor velocidade é denominado velocidade escalar da part́ıcula. Assim, se
uma part́ıcula se desloca de acordo com r(t) =
(
x(t), y(t)
)
, sua velocidade escalar é
v(t) := ‖r ′(t)‖ =
√
|x(t)|2 + |y(t)|2.
Observe que o vetor velocidade num dado instante t0 é sempre tangente à trajetória da part́ıcula
no ponto r(t0).
x
y
P0
d~r
dt (t0)
Figura 2
Quando uma mart́ıcula se desloca sob a influência de forças, seu movimento obedece a Segunda
Lei de Newton. No caso em que o movimento fica contido em um plano, essa lei se expressa por
d2r
dt2
(t) = F (t),
onde r(t) =
(
x(t), y(t)
)
é o vetor posição da part́ıcula no instante t e F (t) é a resultante das forças
que agem sobre a pat́ıcula no instante t.
Para exemplificar, consideremos o movimento de um projétil lançado de um certo ponto com
uma dada velocidade inicial, em duas situações: a primeira, no caso em que a única força que atua
sobre o projétil é seu próprio peso; a segunda, além do peso, consideramos a resitência do ar.
Exemplo 3: Um projétil de massa m é lançado da origem do sistema de coordenadas (suposto
sobre o solo) com velocidade inical v = (v1, v2). Supondo que a única força que atua sobre o
projétil é a força da gravidade, vamos descrever seu movimento a partir da Segunda Lei de Newton
e determinar o ponto onde ele cai e verificar que sua trajetória é uma parábola no plano xy.
3
Seja r(t) =
(
x(t), y(t)
)
o vetor posição do projétil. Então,
m
d2r
dt2
(t) = P(t), r(0) = (0, 0), r ′(0) = v = (v1, v2), (1)
onde P(t) = (0,−mg) e g denota a aceleração da gravidade. A equação (1) se expressa em
coordenadas cartesianas como o seguinte sistema de EDO e condições iniciais:







m
d2x
dt2
(t) = 0, x(0) = 0, x′(0) = v1,
m
d2y
dt2
(t) = −mg, y(0) = 0, y′(0) = v2.
Integrando duas vezes cada uma das equações acima e considerando as condições iniciais, obemos
x(t) = v1t, y(t) = −
1
2
gt2 + v2t.
Para descrever a equação da trajetória, vamos eliminar o parâmetro t nas equações. Assim, se
v1 6= 0, temos t = x/v1. Substituindo na segunda equação, obtemos
y = −
1
2
g(x/v1)
2 + v2x/v1 = x
(
v2
v1
−
g
2v21
x
)
,
que é a equação de uma parábola que corta o eixo x nos pontos (0, 0) e (2v1v2, 0).
Exemplo 4: O mesmo projétil é relançado nas mesmas condições do Exemplo 3, mas agora vamos
considerar a resistência do ar, que submete o projétil em cada instante do movimento a uma força
proporcional à sua velocidade, atuando na direção contrária ao movimento. Nesse caso, a Segunda
Lei de Newton toma a forma,
m
d2r
dt2
(t) = P(t)− α
dr
dt
(t), r(0) = (0, 0), r ′(0) = v = (v1, v2), (2)
onde α > 0 é o coeficiente de propocionalidade devido à viscosidade do ar.
A equação (2) se expressa em coordenadas cartesianas como o seguinte sistema de EDO e
condições iniciais:







m
d2x
dt2
(t) = −α
dx
dt
, x(0) = 0, x′(0) = v1,
m
d2y
dt2
(t) = −mg − α
dy
dt
, y(0) = 0, y′(0) = v2.
Podemos fazer uma redução de ordem nas equações acima lembrando que
d2r
dt2
(t) =
dv
dt
(t),
onde v(t) = (vx(t), vy(t)) denota o vetor velocidade no instante t. Assim, em coordanadas





m
dvx
dt
(t) = −αvx(t), vx(0) = v1,
m
dvy
dt
(t) = −mg − αvy(t) vy(0) = v2.
4
O sistema acima envolve duas equações lineares de primeira ordem, cuja solução é dada por
x′(t) = vx(t) = v1e
−(α/m)t e y′(t) = vy(t) =
(
v2 +
mg
α
)
e−(α/m)t −
gm
α
.
Integrando em tcada uma das derivadas acima, obtemos
x(t) =
v1m
α
(
1− e−(α;/m)t
)
e y(t) =
m
α
(
v2 +
mg
α
)(
1− e−(α/m)t
)
−
mg
α
t.
• Comprimento de arco de curva paramerizada
Seja r : I → R2, r(τ) =
(
x(τ), y(τ)
)
, onde I = [a, b], uma curva diferenciável. Se dividirmos
o intervalo [a, b] em n partes iguais, podemos aproximar a curva pela poligonal cujos vértices são
os pontos de coordenadas r(τ0), r(τ1), . . . , r(τn−1), r(τn), onde τi = a + i∆τ , ∆τ = (b − a)/n,
i = 0, 1, . . . , n.
x
y
P0
Figura 3
O comprimento Ln dessa poligonal é
Ln =
n
∑
i=1
‖r(τi)− r(τi−1)‖ =
n
∑
i=1
√
(
x(τi)− x(τi−1)
)2
+
(
y(τi)− y(τi−1)
)2
.
Se r(τ) é diferenciável, segue do Teorema do Valor Médio que existe ξi e ηi no intervalo (τi−1, τi)
tais que
x(τi)− x(τi−1) = x
′(ξi)∆τ e y(τi)− y(τi−1) = y
′(ηi)∆τ,
de modo que podemos escrever
Ln =
n
∑
i=1
√
x′(ξi)2 + y′(ηi)2∆τ,
que é uma soma de Riemann para a função τ 7→ ‖r ′(τ)‖. Logo, fazendo n tender ao infinito na
soma acima, obtemos
L = lim
n→+∞
Ln =
∫ b
a
√
x′(τ)2 + y′(τ)2 dτ =
∫ b
a
‖r ′(τ)‖ dτ.
5