Cálculo Diferencial UEMAnet

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Cleilson Pires
CÁLCULO
DIFERENCIAL
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Cleilson Pires
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Projeto Gráfico e Diagramação
Josimar de Jesus Costa Almeida
Capa
Yuri Almeida
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO - UEMA
Pires, Cleilson
Cálculo diferencial [e-Book]. / Cleilson Pires. – São Luís: 
UEMA; UEMAnet, 2019.
48 f.
ISBN: 
 
1. Números reais. 2. Função Real. 3. Derivação. 4. Gráfico. 
I. Título. 
 
CDU: 517.2
Física Licenciatura
1 NÚMEROS REAIS, LIMITES E CONTINUIDADE
1.1 Números Reais, definição e apresentação
1.2 Limite de Função Real de uma Variável Real
1.3 Continuidade de Função Real de uma Variável Real
 Resumo
 Referências
2 DERIVADAS E REGRAS DE DERIVAÇÃO
2.1 Derivada de Função Real de uma Variável Real
2.2 Regras de Derivação
2.3 Regra da Cadeia
 Resumo
 Referências
3 DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES
3.1 Derivada das funções elementares
3.2 Derivadas envolvendo problemas de Máximos e Mínimos de Função Real
3.3 Aplicações da Derivada em Esboço de Gráficos.
 Resumo
 Referências
SUMÁRIO
Física Licenciatura
Caro(a) estudante,
Odesenvolvimento desta produção foi criteriosamente pensado e direcionado 
para os iniciantes da disciplina Cálculo Diferencial. Neste e-Book, 
relembramos diversos saberes primários da Matemática, que servem 
como elementos essenciais ao entendimento da disciplina, desenvolvemos e os 
empregamos em situações direcionadas a uma signifi cância mais complexa. 
O estudo de Cálculo Diferencial está vinculado aos mais diversos temas estudados 
nas áreas de afi nidade da Matemática, principalmente quando se trata dos 
movimentos e de suas variações, havendo crescimento ou decrescimento de forças 
produzindo aceleração, o cálculo é a Matemática a ser empregada.
Este material foi desenvolvido com a fi nalidade de lhe auxiliar durante seus estudos 
iniciais de cálculo.
O e-Book está organizado em três Unidades, cada uma sortida de elementos 
importantes para o estudo de limites e derivadas, em que descrevemos o 
comportamento de funções à medida que o seu argumento se aproxima de um 
determinado valor, assim como a taxa de variação instantânea da função em relação 
a uma variável.
Bons Estudos!
 APRESENTAÇÃO 
5Física Licenciatura
OBJETIVOS
• Conhecer o conjunto dos números reais;
• Entender a empregabilidade dos números reais em situações cotidianas, assim como 
a noção intuitiva de limite e continuidade;
• Compreender as diversas aplicações dos números reais no estudo de funções 
matemáticas.
1.1 Números Reais, defi nição e apresentação
Um número real é defi nido através de um valor que simboliza uma quantidade em uma 
linha contínua, denominada Reta Real.
Fonte: https://esquadraodoconhecimento.fi les.wordpress.com/2015/04/nc3bameros-reais.png
Os números reais, não podem ser contados integralmente, uma vez que são pontos 
sobre uma linha reta infi nita, englobando números racionais e irracionais.
Existem alguns tipos especiais de representação de um número real: representação 
fi nita, infi nita periódica e infi nita não-periódica. 
1NÚMEROS REAIS, LIMITES E 
CONTINUIDADE
6Física Licenciatura
Exemplos: 
7
8 = 0,875 8
7 = 1,142857142857 … 2 = 1,414213562373 …
Explicando: o primeiro número, 
7
8
 se define como um decimal de solução finita (0,875), 
o segundo numeral, 8
7
 parte de sua solução é definida por decimal que se repete 
periodicamente (142857) e a expressão √2 tem parte de sua solução vinculada a decimal 
infinito que não se repete (4142135...).
Quando se faz menção aos conjuntos numéricos, o conjunto dos números reais é 
representado pela letra R (O conjunto dos reais é representado pela letra maiúscula R e 
é formado pelos números naturais, inteiros, racionais e irracionais.).
Para se representar números reais geometricamente, faz-se a representação através 
de uma reta, em que, simbolicamente, atribui-se uma letra para designar a origem e, 
geralmente à direita desta, escreve-se outra letra, em que a distância entre essas duas 
letras representa uma unidade de medida.
Atribuindo as letras A, O e B, sobre uma reta, os números reais poderão ser representados 
por cada ponto sobre essa reta. As letras A, O e B serão definidas como coordenadas 
e a reta será chamada de reta real (Figura 1). Os números reais positivos estarão 
representados à direita de O e os negativos, à esquerda de O.
Figura 1 – Reta real
A O B
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Se, simbolicamente, dois números a e b são números reais, tal que a é menor que b, 
escrevendo a < b (a menor que b), se b – a tiver como solução um número positivo. 
Então isso será equivalente a b > a (b maior que a). Na reta real, numericamente, a 
estará à esquerda de b. A expressão a ≤ b (a menor ou igual a b), indicará que a < b (a 
menor que b) ou a = b (a igual a b).
7Física Licenciatura
Importante saber que entre dois números reais quaisquer, há infinitos números racionais 
e infinitos números irracionais (Figura 2).
Figura 2 – Reta real numérica
-1 O 1
− 2
2
2
2
- ¾ - ½ ½ ¾
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Dentre as propriedades de um número real, destacam-se o sinal e a magnitude. Numa 
reta real, o sinal de um número a indica a posição do número em relação ao ponto de 
origem (O), na mesma reta. A magnitude do número real a, indica a distância entre este 
e o ponto de origem (O) na reta real. 
O valor absoluto ou módulo de um número real a, é notadamente sua magnitude.
𝑎 = � 𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 ≥ 0
−𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 < 0 
Em intervalos numéricos, os números reais utilizarão notação padrão. Tomemos 
como exemplo, dois números reais a e b, com a < b (a menor que b). Existirão quatro 
possibilidades de intervalos com extremidades a e b (Figura 3).
Para [a, b] (intervalo fechado), teremos o conjunto com todos os números reais x, tais 
que a ≤ x ≤ b.
Ou [a,b] = {x ϵ R / a ≤ x ≤ b}
Para ]a, b[ (intervalo aberto), teremos o conjunto com os números reais x, tais que a < x < b. 
Ou ]a, b[ = {x ϵ R / a < x < b}
Para [a, b[ (intervalo semiaberto), teremos o conjunto com os números reais x, tais que 
a ≤ x < b.
Ou [a, b[ = {x ϵ R / a ≤ x < b}
Para ]a, b] (intervalo semiaberto), teremos o conjunto com os números reais x, tais que 
a < x ≤ b.
Ou ]a, b] = {x ϵ R / a < x ≤ b}
8Física Licenciatura
Figura 3 – Intervalos de números reais
Fonte: Elaborado pelo Autor (2019).
Quando o intervalo é considerado infinito (-∞, ∞), atribui-se ao intervalo, toda a reta real R.
Quando o intervalo é considerado semi-infinito, isto significa que pode ser aberto ou 
fechado, contendo sua extremidade finita.
Assim: [a, ∞[ = {x ϵ R | a ≤ x < ∞} e ]-∞, b] = {x ϵ R | -∞ < x ≤ b} 
Exercícios propostos
1 Observando os numerais, muitas vezes presentes em nosso cotidiano, classifique-
os, utilizando os termos, irracional, racional e inteiro.
a) 
34
14
b) 4,161616...
c) 164
d) − 36
e) -8
f) 0,875
g) 3 − 2
9Física Licenciatura
2 Represente através de intervalos sobrereta numérica, os valores de a que são 
satisfatórios às condições apresentadas. 
a) a2 ≥ 9
b) a ≤ −
6
4
c) -4 ≤ a ≤ 6
d) a3 < 32
3 Torne as sentenças verdadeiras, substituindo o conectivo e pelos símbolos <, > ou =.
a) 7
8
 e 0,875
b) 3 e 1,732
c) 2 e 325
d) 0,166 e 
1
6
 
4 Determine o conjunto C = {x ϵ R | x ≤ 6}.
5 Encontre C = �
𝑎 − 2
𝑎 ∈ 𝑅 | 𝑎 = 1, 2, 3, … �
1.2 Limite de Função Real de uma Variável Real
O conceito de limite é utilizado no intuito de expor como se comporta uma função nos 
instantes de aproximação de determinados valores.
1.2.1 Noção intuitiva de Limite
Consideremos uma função f(x) = x2 - 3, desta forma, essa função está definida para todo 
x ∈ R.
10Física Licenciatura
Exemplo:
Se x = 1, então f(1) = 12 - 3 = -2, deste feito, dizemos que a imagem para x = 1 é igual 
a – 2.
Representação gráfica:
Figura 4 – Representação gráfica da função {f(x) = x² - 3 | -5 ≤ x ≤ 5}.
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Se pensarmos em outra função, do tipo 𝑔 𝑥 = 
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
 , observando, percebemos que 
essa função estará definida para todo 𝑥 ∈ 𝑅 − [1]
A variável x não assumirá o valor 1 na função g(x), para tanto, veremos o comportamento 
dessa função se x se aproximar de 1.
Entretanto, ao estudarmos limite, visamos estabelecer o comportamento de uma função 
em uma periferia de um ponto. Na situação da função f(x), percebemos que qualquer 
11Física Licenciatura
valor atribuído a x, determinará um único valor para f(x). Porém, no caso da função g(x), 
há o ponto x = 1 que gera indeterminação, pois a razão terá denominador de igualdade 
zero.
Veremos os valores assumidos pela função 𝑔 𝑥 = 
𝑥2 − 1
𝑥 − 1 , quando o valor de x se 
aproximar de 1, pela esquerda e pela direita, através das tabelas a seguir.
Tabela 1 – Valores para x, aproximando de 1, pela esquerda
X 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
g(x) 1 1,25 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Tabela 2 – Valores para x, aproximando de 1, pela direita
x 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
g(x) 3 2,75 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Ao observarmos os valores obtidos em cada tabela, verificamos que g(x) poderá assumir 
valores muito próximos de 2, desde quando aproximarmos x de 1. 
Portanto, concluímos que o limite da função g(x), quando x se aproxima de 1 é igual a 2. 
Assim,
lim
𝑥→1
𝑔 𝑥 = 2 ou ainda, lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1 = 2
1.2.2 Definição de Limite
Suponhamos que f(x) esteja definida para todo x próximo de a, porém não necessariamente 
no valor de a. Diz-se que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a B.
Logo, escreve-se: 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝑩
12Física Licenciatura
Assim, podemos dizer que f(x) converge a B, quando x tende a a, mas x ≠ a.
Exemplos:
a) Sabendo que f(x) = 2x + 3 e fazendo a = 1. Observamos que quando x se aproxima 
de 1, 2x se aproxima de 2 e 2x + 3 se aproximará de 5. 
 Então, 𝒍𝒊𝒎𝒙→1 𝒇 𝒙 = 5
 Agora, façamos a = –2, para a mesma função f(x). Vemos que, se x estiver próximo 
de –2, com x ≠ –2, logo 2x estará tendendo a –4 e 2x + 3 tenderá a –1. 
 Então, 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−2
𝒇 𝒙 = −1
b) Sendo 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐
(𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎) = 𝟑𝟎. Observamos que, caso x se aproxime de –2, 4x² 
estará tendendo a 8, 6x estará tendendo a –12 e 4x² – 6x + 10 estará tendendo a 
8 – (–12) + 10 = 30.
c) Dada a função 𝒇 𝒙 =
𝒙2 − 16
𝒙 − 4
 e assumindo a = 4. Observaremos que f não estará 
definida para 4, pois o numerador e denominador terão valores iguais a zero. Porém, 
para x ≠ 4, teremos:
 
 
𝑥2 − 16
𝑥 − 4 =
𝑥 − 4 . (𝑥 + 4)
𝑥 − 4 = (𝑥 + 4)
 
 Logo, se x se aproximar de 4, 
𝒙𝟐−𝟏𝟔
𝒙−𝟒 se aproximará de 8. 
 
 Então, 𝒍𝒊𝒎
𝒙→4
𝒇 𝒙 =
𝒙2 − 16
𝒙 − 4 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→4
𝒙 + 4 = 8
d) Determinar a solução da função 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1
4𝒙 − 1
𝒙2 − 1
 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→1
4𝒙 − 1
𝒙2 − 1 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1
2 𝒙 − 1
𝒙2 − 1 .
𝒙 + 1
𝒙 + 1
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1
2(𝒙 − 1)
𝒙 − 1 . 𝒙 + 1 . ( 𝒙 + 1�
13Física Licenciatura
 Finalizando,
 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→1
2
𝒙 + 1 . ( 𝒙 + 1�
= 
2
4 =
1
2
e) Encontre a solução para 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1
4𝒙3 + 6𝒙 − 10
8𝒙2 − 6𝒙 − 2
 
Para esse exemplo, usaremos inicialmente, o Teorema de D’Alembert (Pesquisar 
em: IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de Matemática elementar. São Paulo: Atual, 
1977. (Ver p.71)
Onde se lê: Um polinômio f(x) é divisível por (x – a), a ϵ R, se e somente se, a é uma 
raiz de f(x), isto é, f(a) = 0. 
E em seguida, o dispositivo de Briot-Ruffini (Pesquisar em: IEZZI, Gelson et al. 
Fundamentos de Matemática elementar. São Paulo: Atual, 1977. (Ver p.72)
Observando a função, percebemos que para x = 1, teremos tanto o numerador, quanto o 
denominador nulos. Portanto, segundo o Teorema de D’Alembert, ambos são divisíveis 
por x – 1.
Então,
1.2.2.1 Proposição (Unicidade do Limite)
O limite de uma sucessão convergente é único.
Se 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = 𝑩1 𝒆 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝑩2, então B1 = B2. Se o limite de uma função num ponto 
existe, então ele é único.
14Física Licenciatura
1.2.2.2 Principais propriedades dos limites
Se 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 𝒆 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒈 𝒙 existem, e z é um número real qualquer, logo:
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎[𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 
b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑧. 𝑓 𝑥 = 𝑧. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎[𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) =
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) . 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
e) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑧 = 𝑧
Exercícios propostos
1 Com base nas propriedades, desenvolva os limites a seguir.
a) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
6𝒙2 − 16
2𝒙 − 4
b) 𝒍𝒊𝒎𝒙→2(6𝒙2 − 10𝒙 + 4�
c) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
(2𝒙5 − 12𝒙4 + 14�
d) 𝒍𝒊𝒎𝒙→3 𝒙 − 1)2(𝒙 + 1
e) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1
2𝒙2 + 8𝒙 − 10
2𝒙2 − 2
2 Determine os limites a seguir.
a) 𝒍𝒊𝒎𝒙→2
8 − 2𝒙2
4 + 2𝒙
b) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→3
2𝒙2 − 8𝒙 + 6
2𝒙2 − 2𝒙 − 12
15Física Licenciatura
c) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1
2𝒙3 − 2
10𝒙 − 10
d) 𝒍𝒊𝒎𝒙→−1
1 − 𝒙2
𝒙 + 2 + 𝒙
e) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→7
2− 𝒙 − 3
𝒙2 − 49
1.3 Continuidade de Função Real de uma Variável Real
Tendo-se uma função f e um número k. Calculando-se 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒌𝒇(𝒙) e f(k), comparando 
os resultados e sendo válida a igualdade entre ambos, então diz-se que a função f é 
contínua em k.
Ou seja, lim
𝑥→𝑘
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑘)
De acordo com essa definição, uma função f será contínua no ponto k, se:
I. f estiver definida em k;
II. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒌
𝒇 𝒙 existir;
III. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒌
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒌 .
Exemplos:
a) Determinar se a função f(x) = é contínua no ponto indicado.
 Solução: lim
𝑥→4
2𝑥2−32
16−4𝑥 = lim
𝑥→4
2 𝑥−4 (𝑥+4)
4(4−𝑥) = lim
𝑥→4
− 2(𝑥+4)
4 = −4 (i)
 Encontrando a imagem da função, temos: f(4) = 4(4) – 8 = 8 (ii)
16Física Licenciatura
 Vemos através de (i) e (ii), que 𝒍𝒊𝒎𝒙→4 𝒇 𝒙 ≠ 𝒇 4 , logo a função não é contínua no 
ponto x0 = 4.
b) Verificar se a função , é contínua no ponto indicado.
 Solução: 𝒍𝒊𝒎𝒙→1+
2 − 2𝒙2
𝒙 − 1
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1+
2[ 1 − 𝒙 1 + 𝒙 ]
𝒙 − 1
.
𝒙 + 1
𝒙 + 1
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1+
2[ 1 − 𝒙 1 + 𝒙 ]( 𝒙 + 1�
𝒙 − 1
= 2𝒍𝒊𝒎
𝒙→1+
− 1 + 𝒙 ( 𝒙+ 1� = −8
 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→1−
4𝒙2 − 4
1 − 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1−
4(𝒙2 − 1)
1 − 𝒙
= 4 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1−
−
𝒙 − 1 (𝒙 + 1)
1 − 𝒙 = 4 𝒍𝒊𝒎
𝒙→1−
− 𝒙 + 1 = 4 −2 = −8
Como calculamos, os limites laterais foram encontrados com valores iguais, (i) e (ii), 
assim 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒈 𝒙 = −𝟖.
Se calcularmos a imagem, teremos: g(1) = 2 – 10(1) = – 8.
Sendo 𝒍𝒊𝒎𝒙→1𝒈 𝒙 = 𝒈(1), então a função será contínua no ponto x0 = 1.
Exercícios propostos
1 Calcule o valor de k, k ∈ R, de maneira que as funções sejam contínuas no ponto x0.
a) 𝑓 𝑥 = � 3𝑘𝑥2 + 2, 𝑥 < 1 
 𝑥 − 2, 𝑥 ≥ 1 𝑥0 = 1
(i)
(ii)
17Física Licenciatura
b) 𝑔 𝑥 = � 𝑘𝑥
2 + 2, 𝑥 ≠ 1 
 𝑘2, 𝑥 = 1 𝑥0 = 1
1.3.1 Propriedades das funções contínuas
Se duas funções f e g forem contínuas em um ponto x0, logo: 
I. f ± g será contínua para x0;
II. f . g será contínua para x0;
III. f ÷ g será contínuapara x0, com g(x0) ≠ 0.
1.3.2 Limites no infinito
Quando o valor de x, numa função, cresce indefinidamente (x→+∞) ou quando decresce 
indefinidamente (x→-∞). Nesses casos, a função poderá se aproximar de um valor 
numérico, poderá crescer indefinidamente ou decrescer indefinidamente. 
Se tivermos como exemplos, as funções:
 
 
𝑥 =
2
𝑥 + 2 (𝐼)
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 (𝐼𝐼)
ℎ 𝑥 = 2− 𝑥2 (𝐼𝐼𝐼)
18Física Licenciatura
Seus gráficos serão:
Exercícios propostos
1 Determinar os limites.
a) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→4
𝒙2
𝒙 − 4
b) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→2
𝒙 − 4
𝒙 − 2 2
c) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→2
2𝒙 − 5
𝒙 − 2 2
d) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→+∞
5
3𝒙2 − 2𝒙3 + 6
e) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→5+
6− 2𝒙
2𝒙 − 10
I - Gráfico da função II - Gráfico da função III - Gráfico da função
𝑓 𝑥 =
2
𝑥 + 2 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 ℎ 𝑥 = 2 − 𝑥2
Em (I): lim
𝑥→+∞
2
𝑥 + 2 = 0 + 2 = 2
Em (II): lim
𝑥→+∞
𝑥 + 2 = +∞
Em (III): lim
𝑥→+∞
2 − 𝑥2 = −∞
19Física Licenciatura
1.3.3 Limite fundamental trigonométrico
O limite fundamental trigonométrico, que faz referência ao limite cuja indeterminação é 
do tipo 0/0 e envolve a função trigonométrica f(x) = sem (x), é de extrema relevância 
para a matemática, pois a partir dele, se resolve diversos problemas matemáticos.
Exemplos:
Calcular os limites a seguir:
a) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒔𝒆𝒏(2𝒙)
𝒙 
Solução: 𝒍𝒊𝒎𝒙→0
𝒔𝒆𝒏(2𝒙)
𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
2
𝒔𝒆𝒏(2𝒙)
2𝒙 = 2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒔𝒆𝒏(2𝒙)
2𝒙
Fazendo 2x = k, teremos: 2. 𝒍𝒊𝒎
𝒌→0
𝒔𝒆𝒏(𝒌)
𝒌 = 2. 1 = 2.
De uma forma geral, ∀ 𝒂 ∈ 𝑹∗, 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙)
𝒂𝒙 = 1.
b) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒔𝒆𝒏(7𝒙)
𝒔𝒆𝒏(4𝒙)
Solução: 
c) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 1
𝒙
Solução: 
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒄𝒐𝒔2 𝒙 − 1
𝒙. [𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 1]
𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 1
𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 1
𝒙 .
𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 1
𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 1
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
−𝐬𝐞𝐧2 𝒙
𝒙. [𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 1 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝐬𝐞𝐧 𝒙
𝒙 .
−𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 1 = 1.
0
1 + 1 = 0
20Física Licenciatura
Exercícios propostos
1 Usando o limite trigonométrico fundamental, solucione os limites a seguir.
a) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
𝒔𝒆𝒏(6𝒙)
5𝒙
b) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
1− 𝒄𝒐𝒙(𝒙)
𝒙2
c) 𝒍𝒊𝒎
𝒙→0
6𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
2𝒙 + 3𝒔𝒆𝒏(𝒙)
RESUMO
Nesta Unidade estudamos, o conceito simplificado de números reais, limites e 
continuidades de funções reais, representados em diversos momentos, através de 
números fracionários com razão finita, infinita periódica e infinita não-periódica, assim 
como funções matemáticas de única variável real.
BOULOS, Paulo. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Makron Books, 1999. 1v.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 1v.
LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. 3.ed. Rio de Janeiro: Harbra, 1994.1v.
21Física Licenciatura
OBJETIVOS
• Conhecer e aplicar as regras básicas de derivação de uma função real, a fi m de facilitar 
a resolução de problemas, envolvendo polinômios que apresentam alto grau em seus 
expoentes;
• Desenvolver habilidades, empregando métodos facilitadores para a obtenção de 
solução de derivadas de funções compostas.
2.1 Derivada de Função Real de uma Variável Real
No estudo matemático de cálculo, a derivada em um ponto de uma função y = f(x) 
representa a variação instantânea de y em relação a x. Em termos geométricos, a 
derivada num ponto x = a de y = f(x) representa a inclinação da reta tangente ao gráfi co 
desta função no ponto (a, f(a)).
2.1.1 A reta tangente
Em geometria, a tangente a uma curva em um de seus pontos, é uma reta que a toca em 
um único ponto. 
Inicialmente, analisaremos uma reta se aproximando de uma circunferência, até tocá-la 
num ponto único.
2DERIVADAS E REGRAS DE 
DERIVAÇÃO
22Física Licenciatura
Figura 5 – Posição entre reta e circunferência
s
s s s
Q
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Na situação ilustrada acima, a reta “s” é tangente à circunferência no ponto Q.
Exemplos de retas tangentes num ponto Q:
Figura 6 – Posição entre retas e curvas
(I) (II) (III)
Q Q Q
R
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
No gráfico (III), a reta toca a curva em dois pontos Q e R, porém é tangente no ponto Q.
Exemplos de retas não tangentes num ponto R:
Figura 7 – Retas não tangentes num ponto R
R
(II) (III)
R
Q
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
23Física Licenciatura
Determinando a equação da reta tangente a uma curva num ponto de seu domínio, 
analisando a Figura 8, teremos:
Figura 8 – Retas no gráfico y = f(x)
y
x
Q
R
s
t
f
βα
x0 x
y0
y
U
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Em análise ao que ilustramos, temos os pontos Q (x0, y0) e R (x, y) sobre o gráfico da 
função y = f(x), que representa uma curva definida num intervalo aberto. Fazendo Q um 
ponto fixo e R um ponto móvel sobre a curva, s uma reta que passa pelos pontos Q e R, 
formando o ângulo de inclinação α e t uma reta tangente à curva da função no ponto Q, 
formando o ângulo de inclinação β. 
Verificando que se forma o triângulo retângulo QRU sob a curva, calcularemos o coeficiente 
angular da reta s através da tangente do ângulo α.
𝒕𝒈 𝜶 =
𝒚 − 𝒚0
𝒙 − 𝒙0
Como dissemos anteriormente, caso o ponto R se mova sobre a curva de f, em sentido 
ao ponto Q, teremos a aproximação entre as retas s e t, os ângulos α e β se aproximarão, 
logo a tg(α) também se aproximará da tg(β). Desta forma, usando a notação de limites, 
teremos a notação de igualdade, em que o limite da tangente do ângulo alfa, com o ponto 
R tendendo ao ponto Q, igual à tangente do ângulo beta.
𝒍𝒊𝒎
𝑹→𝑸
𝒕𝒈 𝜶 = 𝒕𝒈(𝜷)
24Física Licenciatura
Se R tender a Q, então x tenderá a x0, logo o limite se comportará da seguinte forma:
𝒍𝒊𝒎
𝑹→𝑸
 𝒕𝒈 𝜶 = 𝒕𝒈 𝜷 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙0
𝒚 − 𝒚0
𝒙 − 𝒙0
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙0
 
𝒇(𝒙)− 𝒇(𝒙0)
𝒙 − 𝒙0
= 𝒕𝒈(𝜷)
Então, concluímos que o limite da razão entre a diferença das funções dos pontos e a 
diferença dos pontos envolvidos no gráfico se iguala à tangente do ângulo beta.
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙0
 
𝒇(𝒙)− 𝒇(𝒙0)
𝒙 − 𝒙0
= 𝒕𝒈(𝜷)
2.1.2 Equação da reta tangente
Em posse dos dados anteriores, poderemos calcular a equação da reta tangente t, pois 
temos o coeficiente angular e um ponto pertencente a seu gráfico. Portanto, a equação 
da reta t será:
I) 𝒎 = 𝒚−𝒚0
𝒙−𝒙0) = (𝒚 − 𝒚0) = 𝒎. (𝒙 − 𝒙0), se o limite de m existir;
II) 𝒙 = 𝒙0 se 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙𝟎
𝒇 𝒙 −𝒇(𝒙𝟎)
𝒙−𝒙𝟎
 for infinito.
Exemplos:
a) Determinar a equação da reta tangente à função f(x) = 2x², no ponto de abscissa 
x0 = 2.
 Solução:
 Inicialmente, teremos que encontrar os valores de m e y.
 Logo, 𝒚 = 𝒇 𝒙 → 𝒚 = 𝒇 2 = 2. 2 2 = 8.
 e 𝒎 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙0
𝒇(𝒙)− 𝒇(𝒙0)
𝒙 − 𝒙0
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→2
2𝒙2 − 8
𝒙 − 2 𝒖𝒔𝒆 𝒐 𝒅𝒊𝒔𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒅𝒆 𝑩𝒓𝒊𝒐𝒕 − 𝑹𝒖𝒇𝒇𝒊𝒏𝒊 = 2𝒙 + 4 = 8.
25Física Licenciatura
 Se 𝒎 = 𝒚−𝒚0
𝒙−𝒙0) = (𝒚 − 𝒚0) = 𝒎. (𝒙 − 𝒙0)
 Então a equação da reta tangente será dada pela expressão simplificada y = 8x – 8.
 𝒚− 8 = 8. 𝒙 − 2 𝒐𝒖 𝒚 = 8𝒙 − 8
Figura 9 – Gráfico da reta tangente à curva y = 2 x 2, no ponto x0=2
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
26Física Licenciatura
Exercícios propostos
1 Determinar a equação da reta tangente ao gráfico das funções seguintes, nos pontos 
destacados.
a) f(x) = x², no ponto de abscissa x0= 1;
b) f(x) = √x, no ponto de abscissa x0=9.
2.1.3 Derivada de uma função em um ponto
Segundo Salas, Saturnino L. (Cálculos, v.1 – Rio de Janeiro: LTC, 2005, p. 104), 
a derivada de uma função f é a função f’ com valor em x, apresentada através da e 
expressão abaixo.
𝒇′ 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→0
𝒇 𝒙0 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙0)
∆𝒙
, desde que seu limite exista.
Exemplos:
a) Calcule f’(3), a partir da função f(x) = x² – x + 1.
 Solução: f(3) = 32 - 3 + 1 = 7
 
 
 
27Física Licenciatura
b) Dada a função f(x) = x2 – 6x, encontre f’(x).
 Solução:
 
 Portanto, f’(x) = 2x – 6
2.2 Regras de Derivação
A operação inicial no estudo do cálculo diferencial é determinar a derivada de uma função, 
para tanto, há a necessidade de serem conhecidas regras que facilitam a derivação das 
funções.
2.2.1 Derivada de umafunção constante
Em se tratando de uma função constante, o gráfico será uma reta horizontal, logo a sua 
tangente para todo o domínio será uma reta que possui inclinação nula em relação ao 
eixo x, portanto zero.
Sendo f(x) = a e a uma constante real, f’(x) = 0.
28Física Licenciatura
2.2.2 Derivada da função potência
Nesta definição, apresentaremos a simplificação da derivada da potência, que consiste 
nas funções do tipo 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 onde n é um número natural.
Se f(x) = xn, n um número inteiro positivo, f’(x) = nxn-1.
Exemplos:
Com base no aprendizado sobre derivada da função potência, observe as proposições 
seguintes.
a) Calcular a derivada da função f(x) = 3x.
 Solução:
 f(x) = 3x1 → f’(x) = 1.3x1-1 = 3, então, f’(x) = 3. 
b) Determine a derivada da função f(x) = 2x2.
 Solução:
 f(x) = 2x2 → f(x) = 2.2x2-1 = 4x, então f’(x) = 4x.
c) Dada a função f(x) = x3 + 2x - 5, calcular a derivada dessa função.
 Solução:
 f(x) = x3 + 2x1 - 5x0 → f(x) = 3.x3-1 + 1.2x1-1 - 0.5x0-1 = 3x2 + 2 - 0, então f’(x) = 3x2 + 2.
29Física Licenciatura
Exercícios propostos
1 Através do exposto acima, mostre que f(x) = x-2 é igual a f’(x) = -2x–3.
2 Usando as regras de derivação, mostre que 𝒇 𝒙 = 𝒙23 é igual a 𝒇′ 𝒙 =
2
3 𝒙3 
3 Determine a derivada da função f(x) = 2x3 - 4x2 + 6x + 8.
2.2.3 Derivada do produto de uma constante por uma função
A propriedade para derivarmos o produto de uma constante por uma função, é tão 
somente copiar a constante e derivar a função.
Tendo-se uma função f(x) derivável e k uma constante real, a função h(x) = kf(x) terá sua 
derivada solucionada através de h’(x) = kf’(x).
Exemplos:
Com base no aprendizado sobre derivada do produto de uma constante por uma função, 
observe as proposições seguintes.
a) Calcular a derivada da função f(x) = 3x2.
 Solução:
 f(x) = 3x2 → f’(x) = 3.(2x2-1) = 3.(2x) = 6x. 
b) Determinar a derivada de f(x) = 4x3. 
 Solução:
 f(x) = 4x3 → f’(x) = 4.(3x3-1) = 12x2. 
30Física Licenciatura
2.2.4 Derivada da soma de funções
Neste item apresentaremos a derivada da soma de duas funções, em que, simplificando, 
mostraremos que a derivada da soma é igual a soma das derivadas das funções.
Se duas funções f(x) e g(x) são deriváveis, então a função h(x) = f(x) + g(x) terá sua 
derivada escrita através de h’(x) = f’(x) + g’(x).
Exemplo:
a) Determinar a derivada da função f(x) = x3 - 2x2+4x + 5.
 Solução:
 f(x) = x3 - 2x2 + 4x + 5 → f’(x) = 3x2 - 4x + 4 + 0 = 3x2 – 4x + 4.
 
2.2.5 Derivada do produto de funções
Nesta regra aprenderemos que a derivada de um produto de duas funções é a primeira 
função multiplicada pela derivada da segunda função mais a segunda função multiplicada 
pela derivada da primeira função.
Se duas funções f(x) e g(x) são deriváveis, então a função h(x) = f(x) . g(x) terá sua 
derivada escrita através de h’(x) = f’(x) . g(x) + g’(x) . f(x).
Exemplo:
a) Calcular a derivada da função f(x) = (x2 - x) . (3 - x).
 Solução:
 f(x) = (x2 - x) . (3 – x) → f’(x) = (2x - 1).(3 - x) + (x2 - x).(-1) → f’(x) = 6x - 2x2 - 3 + 
x - x2 + x = -3x2 + 8x - 3.
31Física Licenciatura
2.2.6 Derivada do quociente de funções
Nesta regra de derivação do quociente de funções, é importante perceber a presença de 
um sinal de subtração no numerador da fração. Logo, será necessário iniciar derivando 
a função f(x) e conservando a função g(x).
Se duas funções f(x) e g(x) são deriváveis, então a função h(x) = f(x) / g(x) terá sua 
derivada escrita através de 𝒉′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 .𝒈 𝒙 −𝒇 𝒙 .𝒈′(𝒙)
[𝒈(𝒙)]𝟐 . 
Exemplo:
a) Determinar a derivada da função 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐−𝟒
𝟐𝒙 .
 Solução:
 𝒇 𝒙 =
𝒙2 − 4
2𝒙 → 𝒇′ 𝒙 =
2𝒙 . 2𝒙 − 𝒙2 − 4 . (2)
2𝒙 2 → 𝒇′ 𝒙 =
4𝒙2 − 2𝒙2 + 8
4𝒙2 =
2𝒙2 + 8
4𝒙2 =
𝒙2 + 4
2𝒙2
Exercícios propostos
Com base no aprendizado sobre derivada do quociente de funções, solucione as 
proposições seguintes.
1 Determinar a derivada das funções a seguir, usando as regras de derivação.
a) f(x) = x-3 + 2x + 4
b) f(x) = (2x2) / (x + 2)
c) f(x) = (x + 2) . (3 - x)
d) f(x) = 4x / x-2 
e) f(x) = [(3x - 2)/2] + √x 
32Física Licenciatura
2.3 Regra da Cadeia
Estudando as derivadas, a regra da cadeia é uma ferramenta de extrema importância, 
pois essa regra nos possibilita derivar funções mais complexas. A ideia principal desta 
regra é transformar essas funções complexas em composição de funções simples em 
que sabemos suas derivadas. 
Sabendo-se que a regra da cadeia se baseia na derivação de funções compostas, então 
consideremos as funções y = g(u), u = f(x) e a existência das notações de derivadas 𝒅𝒚
𝒅𝒖
 
e 𝒅𝒖
𝒅𝒙
, portanto a função composta y = gof(x) = g(fx)) terá derivada na forma 𝒅𝒚
𝒅𝒙 =
𝒅𝒚
𝒅𝒖 .
𝒅𝒖
𝒅𝒙
ou y’(x) = y’(u) . u’(x) ou gof’(x) = g’(f(x)) . f’(x).
Exemplos:
a) Calcular a derivada da função y = (x + 2)².
 Solução:
 Identificando as funções elementares y = g(u) e u = f(x), teremos: � 𝑦 = 𝒖2
 𝑢 = 𝑥 + 2
 
 Então, y’(x) = y’(u) . u’(x) será: y’(x) = 2u . 1 = 2 . (x + 2) . 1 = 2x + 4.
 Logo, y’(x) = 2x + 4.
 
b) Determinar a derivada da função 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 .
 Solução: � 𝑦 = 𝒖
 𝑢 = 2𝑥 + 1
 
 Então, y’(x) = y’(u) . u’(x) será: 𝒚′ 𝒙 = 𝟏
𝟐 𝒖 .𝟐 = 𝟐
𝟐 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟏
𝟐𝒙+𝟏 .
 Logo, 𝒚′ 𝒙 =
1
2𝒙 + 1
33Física Licenciatura
c) Dada a função 𝒚 = (
𝒙
1− 2𝒙
)3 , calcule sua derivada.
 Solução: 
 Então, y’(x) = y’(u) . u’(x) será: 
 𝒚′ 𝒙 = 𝟑𝒖𝟐. 𝟏. 𝟏−𝟐𝒙 −[𝒙. −𝟐 ]
(𝟏−𝟐𝒙)𝟐 = 𝟑. ( 𝒙
𝟏−𝟐𝒙)𝟐. 𝟏−𝟐𝒙 − −𝟐𝒙
(𝟏−𝟐𝒙)𝟐 = 𝟑𝒙𝟐. 𝟏
(𝟏−𝟐𝒙)𝟒 = 𝟑𝒙𝟐
(𝟏−𝟐𝒙)𝟒
 
 Logo, 𝒚′ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐
(𝟏−𝟐𝒙)𝟒.
Em síntese, diante dos exemplos anteriores, percebemos que se f(x) é uma função 
diferenciável e n é um número inteiro não nulo, a regra será simplificada na expressão 
seguinte.
𝒅
𝒅𝒙 [𝒇(𝒙)]𝒏 = 𝒏. [𝒇 𝒙 ]𝒏−𝟏.𝒇′(𝒙)
E se fizermos a igualdade y = un, sendo u = f(x), ainda teremos a nomenclatura abaixo.
𝒅
𝒅𝒙 𝒖𝒏 = 𝒏.𝒖𝒏−𝟏.𝒅𝒖𝒅𝒙
Exemplos:
a) Calcular a derivada da função 𝒚 = 𝟐 𝟒+ 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐.
 Solução:
 
 
𝑦 = 2 4 + 2𝑥 − 𝑥2 = 2(4 + 2𝑥 − 𝑥2)
1
2 → 𝑑[2(4+2𝑥−𝑥2)
1
2]
𝑑𝑥 = 2. 12 (4 + 2𝑥 − 𝑥2)−
1
2. 2− 2𝑥 = 2(1−𝑥)
4+2𝑥−𝑥2
𝑦 = 2 4 + 2𝑥 − 𝑥2 = 2(4 + 2𝑥 − 𝑥2)
1
2 → 𝑑[2(4+2𝑥−𝑥2)
1
2]
𝑑𝑥 = 2. 12 (4 + 2𝑥 − 𝑥2)−
1
2. 2− 2𝑥 = 2(1−𝑥)
4+2𝑥−𝑥2
34Física Licenciatura
b) Determinar a derivada da função y = (x2 - 3)10.
 Solução: 𝒅𝒚
𝒅𝒙 = 10. 𝒙2 − 3 9. 2𝒙 = 20𝒙(𝒙2 − 3)9
 
Exercícios propostos
Com base no aprendizado sobre regra da cadeia, solucione as proposições seguintes.
1 Calcular a derivada das funções a seguir.
a) y = (3 – x2)4
b) y = (x3 – 4)-2
c) 𝒚 = 3𝒙 − 2
d) 𝒚 =
(1 − 2𝒙)2
1 + 3𝒙
e) 𝒚 =
(2𝒙)2
(1 − 𝒙)4
2 Derive as funções seguintes.
a) f(x) = (x2 + 1)3
b) f(x) = (3x + 2)2
c) f(x) = (2x + x-1)2
d) f(x) = (2x2 - x)3
e) f(x) = (x3 - 2)4
35Física Licenciatura
RESUMO
Nesta Unidade, conhecemos as regras facilitadoras na solução de derivação envolvendo 
polinômios de grau elevado em seus expoentes. Dessa forma, buscamos agilidade e 
praticidade nos cálculos, apresentando as regras de derivação e regra da cadeia. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v.1.
LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. 3.ed. Rio de Janeiro: Harbra, 1994. v.1.
ROGAWSKI. Jon. CÁLCULO. Porto Alegre: Bookman, 2009. v.1.
36Física Licenciatura
OBJETIVOS
• Conhecer e aplicar a derivação nas funções elementares;
• Desenvolver derivação de funções, envolvendo situações de máximos e mínimos 
relativos de uma função real;
• Entender a praticidade do esboço de gráfi cos, utilizando derivação de funções.
3.1 Derivada das funções elementares
Para a Matemática, funções elementares são aquelas que podem ser expressas através 
de fórmulas, que envolvem apenas operações elementares tais como: soma, subtração, 
multiplicação, divisão e radiciação.
3DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES
37Física Licenciatura
3.1.1 Derivada da função exponencial
Uma função exponencial é caracterizadapor uma extensão do processo de potenciação 
para expoentes não inteiros. Se n for um número natural maior do que o numeral 1, então 
a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar 
o expoente n.
Dada a função f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1, teremos dy/dx = ax . ln(a) 
Obs.: 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→0
𝒂∆𝒙 − 1
∆𝒙 = 𝒍𝒏 𝒂 e se 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙, 𝒕𝒆𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒆𝒙. 𝒍𝒏 𝒆 = 𝒆𝒙, onde e é o número 
neperiano.
Exemplos:
Calcular a derivada da função 𝑦 = 3𝑒 𝑥.
Solução: � 𝑦 = 3𝒆𝒖
 𝑢 = 𝒙
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
.
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 3𝒆𝒖.
1
2 𝒙
−12 = 3𝒆𝒖.
1
2 𝒙
=
3𝒆 𝒙
2 𝒙
Exercícios propostos
1 Determinar a derivada das funções seguintes.
a) y = 4x+1 
b) y = e3x
c) y = 2x2. e 2x+1
d) y = 
2 − 𝒙2
𝒆𝒙2
38Física Licenciatura
3.1.2 Derivada da função logarítmica
Para a matemática, logaritmo de um número é expresso pelo expoente a que outro valor 
fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. No entanto, aplica-se nessas 
funções, as regras de derivação para maior empregabilidade de suas soluções.
Dada a função f(x) = loga(x), com a > 0 e a ≠ 1, teremos 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
1
𝒙𝒍𝒏(𝒂) 
Como a função logarítmica y = f(x) = loga(x) é inversa à função exponencial x = f–1(y) = ay, 
então teremos sua simplificação através da expressão seguinte. 
𝒇′ 𝒙 =
1
𝒇−1 ′ 𝒚 =
1
𝒂𝒚𝒍𝒏(𝒂) =
1
𝒙𝒍𝒏(𝒂)
Então, em síntese, teremos a expressão da derivada de uma função qualquer, sendo esta 
igual a uma função logarítmica, dada pelo inverso de seu domínio, como na expressão 
seguinte.
Obs.: Se f(x) = ln(x), então: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
1
𝒙𝒍 𝒏( 𝒆) =
1
𝒙
Exemplo:
Com base no aprendizado sobre derivadas do quociente de funções e aplicando a 
derivada de uma função logarítmica, solucione as proposições seguintes.
Calcular a derivada da função 𝑦 = 𝑒2𝑥+1
ln (𝑥) .
Solução:
(f/g)’ = [(f’. g) – (f . g’)] / (g)² 
39Física Licenciatura
Exercícios propostos
1 Determine a derivada das funções seguintes
a) y = 2log2(3x)
b) y = ln(3x + 2)
c) y = e2x . ln(√2x)
3.1.3 Derivada das funções trigonométricas
Na derivação de funções trigonométricas, encontraremos a taxa na qual a função 
trigonométrica varia em relação a uma variável. 
Para melhor entendimento da derivação de funções trigonométricas, inicialmente 
tomemos com base as proposições pré-estabelecidas.
I. y = sen(x) → y’ = cos(x)
II. y = cos(x) → y’ = - sen(x)
III. y = tg(x) → y’ = sec²(x)
IV. y = cotg(x) → y’ = - cosec²()
V. y = sec(x) → y’ = sec(x).tg(x)
VI. y = cosec(x) → y’ = - cosec(x).cotg(x)
Conhecendo essas proposições, estaremos aptos a solucionar os problemas, envolvendo 
derivadas de funções trigonométricas.
Exemplo:
a) Calcular a derivada da função y = sen(2x³).
40Física Licenciatura
Solução: � 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
 𝑢 = 2𝒙3
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
.
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 𝒄𝒐𝒔 𝒖 . 6𝒙2 = 6𝒙2. 𝒄𝒐 𝒔( 2𝒙3�
Exercícios propostos
1 Dadas as funções, calcule suas derivadas.
a) y = cos2(x)
b) y = tg(√2x).e4x
c) y = [tg(x) – 2] / sec(x)
d) y = 2x + sec(x2)
e) y = sem(2x).cos(x)
3.2 Derivadas envolvendo problemas de Máximos e Mínimos de Função Real
Segundo Rogawiski (2009, p.182),
Seja f(x) uma função num intervalo I e seja a ϵ I. Dizemos que f(a) é o:
• Mínimo absoluto de f(x) em I se f(a) ≤ f(x) para todo x ϵ I;
• Máximo absoluto de f(x) em I se f(a) ≥ f(x) para todo x ϵ I.
41Física Licenciatura
Exemplo:
a) Dada a função y = 2x4 – 4x², através de prévia análise, percebemos que tem um 
ponto de máximo em x = 0 e os dois pontos de mínimo em x = ± 1. O valor máximo 
é y = 0 e o valor mínimo é y = – 2.
Figura 10 – Gráfico da função y = 2x4 – 4x2 
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
3.2.1 Pontos críticos em problemas de Máximos e Mínimos de Função Real
Dado um número k, no domínio de da função f, k será denominado ponto crítico se f’(k) = 0 
ou f’(k) não existir.
Exemplo:
a) Determinar os pontos críticos da função f(x) = 2x³ - 6x² + 6x – 4 = 0.
Solução:
f’(x) = 6x² - 12x + 6 = 6(x² - 2x + 1) = 6(x – 1)(x – 1) = 0
Os pontos críticos serão as raízes x1 = x2 = 1.
42Física Licenciatura
Exercícios propostos
1 Encontre os pontos críticos das funções.
a) f(x) = 2x² - 4x +8
b) f(x) = 2x³ - 9x² - 108x + 4
c) f(x) = 14x – 4
d) f(x) = 16x³ - 2x
e) f(x) = 4x³ - 18x² + 24x 
3.3 Aplicações da Derivada em Esboço de Gráficos 
3.3.1 Comportamento crescente e decrescente de funções
Uma função do tipo f(x) será:
• Crescente em (a, b) se f(x1) < f(x2), para todo x1, x2 ϵ (a, b) sendo x1 < x2.
• Decrescente em (a, b) se f(x1) > f(x2), para todo x1, x2 ϵ (a, b) sendo x1 < x2.
Segundo Rogawski (2009, p. 193), 
Seja f uma função derivável no intervalo aberto (a, b).
Se f’(x) > 0 para x ϵ (a, b), então f é crescente em (a, b);
Se f’(x) < 0 para x ϵ (a, b), então f é decrescente em (a, b)
Exemplo:
a) Encontrar os intervalos em que f(x) = 2x² – 4x – 6 é crescente e decrescente.
43Física Licenciatura
Através do esboço do gráfico da função f(x) = 2x² – 4x – 6, poderemos observar:
Figura 11 – Gráfico da função y = 4x2 – 4x – 6
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Derivando a função f(x) = 2x² – 4x – 6, teremos f’(x) = 4x – 4 = 4 (x – 1) com f’(x) > 0 
(positiva) para x > 1 e f’(x) < 0 (negativa) para x < 1.
Através do gráfico, é perceptível que f é decrescente no intervalo (-∞, 1) e crescente no 
intervalo (1, ∞).
Fazendo o esboço do gráfico de f’(x), teremos:
Figura 12 – Gráfico da função f’(x) = 4x – 4
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
f’(x) < 0
f’(x) > 0
1
3– 1 1
f decrescente f crescente
44Física Licenciatura
Como a derivada da função f(x) = 2x² – 4x – 6, resulta em f’(x) = 4x – 4, analisando a 
Figura 12, observamos que o gráfico da função derivada f’(x) fica abaixo do eixo x, no 
intervalo de (-∞, 1) e acima, no intervalo de (1, ∞).
3.3.2 Concavidade e ponto de inflexão
Parábola pode ser definida pela representação geométrica de uma função do segundo 
grau, em que, será toda função escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c. O coeficiente “a” 
dessas funções determina o tipo de concavidade da parábola que as representa.
Assim também, poderemos entender que um ponto de inflexão, é um ponto sobre uma 
curva em que a curvatura troca o sinal. A curva muda de concavidade para cima, para 
concavidade para baixo, ou vice-versa.
Em livros do Ensino Médio, tomemos como exemplo, IEZZI,Gelsonet et al. Fundamentos 
de Matemática. São Paulo: Atual, 1977., onde é fácil obervar que uma função do tipo 
ax² + bx + c, com a ≠ 0, seu gráfico terá concavidade voltada para cima quando a > 0 e 
concavidade voltada para baixo quando a < 0. Sabe-se também que, os gráficos dessas 
funções, não alteram sua concavidade, diferente dos gráficos de funções trigonométricos 
do tipo f(x) = sen(x) e f(x) = cos(x).
Os pontos onde há mudança na concavidade de um gráfico, são chamados de pontos 
de inflexão. 
Dada uma função f(x) derivável num intervalo (a, b) aberto, teremos:
f(x) com a concavidade para cima, se f’(x) for crescente no intervalo (a, b);
f(x) com concavidade para baixo, se f’(x) for decrescente no intervalo (a, b).
Exemplo:
a) Determinar os intervalos em que a função f(x) = 2x4 – 4x², tem sua concavidade 
voltada para cima, para baixo, assim como seus pontos de inflexão.
45Física Licenciatura
Solução:
Derivando a função f(x), teremos: f’(x) = 8x³ – 8x.
Fazendo a segunda derivada dessa função, teremos: f’’(x) = 24x² – 8.
Se f’’(x) > 0, teremos: 
Se f’’(x) < 0, teremos: 
Analisando o sinal da função f’’(x),
Figura 13 – Análise do sinal de f’’(x) = 24x² – 8
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Então, a função f(x) terá concavidade voltada para cima no intervalo (-∞, ) unido com 
( ) e concavidade voltada para baixo no intervalo ( ).
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Figura 14 – Gráfico da função f(x) = 2x4 – 4x2, com pontos de inflexão
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Os pontos de inflexão, terão como abscissas: 
3.3.3 Esboço de gráficos
O esboço de gráficos envolvendo derivadas permiteutilizar todos os conteúdos estudados 
nas Unidades anteriores. Em síntese, se trata da elaboração de gráficos de funções, 
fazendo uso de conhecimentos de derivadas. 
Nesta última seção da Unidade 3, esboçaremos gráficos utilizando situações que 
envolvem derivadas primeira (f’) e segunda (f’’).
Exemplo:
a) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2x² – 8x + 6.
Solução:
Obtendo f’(x), teremos: f’(x) = 4x – 8 = 4(x – 2), logo:
x2x1
47Física Licenciatura
f’(x) < 0 para x < 2 e f’(x) > 0 para x > 2.
Nessa situação, sabemos que f(x) decresce à esquerda de x = 2 e cresce à direita e 
terá no ponto de mínimo, a abscissa x = 2. Fazendo a derivada segunda da função, 
obteremos f’’(x) = 2 (positiva), logo f(x) terá concavidade voltada para cima.
Para esboçar o gráfico, teremos o ponto de mínimo (2, – 2) e as raízes x = 1 e 3.
Figura 15 – Gráfico da função f(x) = 2x² – 8x + 6, com ponto de inflexão e raízes
Fonte: Elaborada pelo Autor (2019).
Exercícios propostos
1 Dadas as funções a seguir, determine o domínio, as interseções com os eixos, os 
intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e os mínimos, os intervalos 
onde o gráfico tem sua concavidade voltada para cima e onde tem sua concavidade 
voltada para baixo, os pontos de inflexão e esboço do gráfico.
a) f(x) = 2x³ + 3x²
b) f(x) = 2x² – 8x³
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c) f(x) = 2x – √x
d) f(x) = 2x³ – 6x + 10
e) f(x) = x³ + 3x² + 9x
 
RESUMO 
Nesta Unidade, estudamos os métodos de derivação empregados às funções elementares, 
assim como problemas envolvendo pontos de máximos e mínimos nas funções reais. 
Diante deste estudo, desenvolvemos praticidade nos esboços de gráficos, aplicando as 
regras de derivação. 
BOULOS, Paulo. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Makron Books, 
1999, v.1.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v.1.
LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. Rio de Janeiro: Harbra, 1994. v.1.
ROGAWSKI. Jon. CÁLCULO. Porto Alegre: Bookman, 2009. v.1.
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1987, v. 1.