Fundamentos de Finanças (Ap1- provas anteriores)

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Fundação Centro de Ciências e Educação a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Disciplina: Fundamentos de Finanças 
Coordenadora da Disciplina: Ana Luiza Barbosa da Costa Veiga 
Período - 2012/1º 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL – AP1 
 
GABARITO 
1ª QUESTÃO (2,5 pontos) Marque certo ou errado para as sentenças a seguir: 
I. O mercado é a medida padrão do risco não diversificável, por que é um veículo altamente 
eficiente que contém todas as informações disponíveis. Seu risco estabelece um indicador comum 
no qual os riscos não diversificáveis de todos os títulos podem ser comparados. 
( x) certo ( ) errado 
II. Se a taxa de inflação é zero, um real hoje e um real daqui a um ano têm o mesmo poder de 
compra. 
( x) certo ( ) errado 
III. As operações de conversão do real em euros ocorre no mercado monetário. 
( ) certo ( x) errado 
IV. A ação A tem um prêmio de risco de 6,4%. Se o prêmio pelo risco de mercado é de 4,0%, o 
coeficiente beta da ação seria de 1,8. 
( ) certo (x) errado 
β (4,0%) = 6,4% = β = 1,6 
V. O mercado de capitais é constituído por instituições financeiras e mecanismos de captação e 
concessão de recursos financeiros a longo prazo. 
(x ) certo ( ) errado 
 
2ª QUESTÃO (2,5 pontos) Suponha que você seja o gerente financeiro de um fundo de investimento de 
R$ 4 milhões. O fundo consiste em quatro ações com os seguintes investimentos e betas: 
Ação Investimento Coeficiente beta da ação 
A R$ 400.000 1,25 
B R$ 600.000 1,1 
C R$ 1.000.000 – 0,6 
D R$ 2.000.000 1,5 
Se a taxa de retorno exigida do mercado for de 14% e a taxa livre de risco for de 6%, qual será a 
taxa de retorno exigida do fundo? 
 
 
SOLUÇÃO 
km = 14% RF = 6% 
Proporção de cada ação na carteira: 
Ação Investimentos Proporção 
A $ 840.000 14% 
B 900.000 15 
C 1.500.000 25 
D 2.760.000 46 
Total $6.000.000 100% 
p = (wA x A) + (wB x B) + (wC x C) + (wD x D) 
p = (0,14 x 1,25) + (0,15 x 1,1) + [0,25 x (-0,6)] + (0,46 x 1,5) 
p = 0,175 + 0,165 - 0,150 + 0,690 = 0,880 
kp = RF + p x (km - RF) 
kp = 6% + 0,88 x (13% - 6%) 
kp = 6% + 0,88 x 7% = 6% + 6,16% = 12,16% 
 
Ou 
ki = RF + i x (km - RF) 
kA = 6% + 1,25 x (13% - 6%) kA = 6% + 8,75% = 14,75% 
kB = 6% + 1,1 x (13% - 6%) kA = 6% + 7,7% = 13,7% 
kC = 6% + (- 0,6) x (13% - 6%) kA = 6% - 4,2% = 1,8% 
kD = 6% + 1,5 x (13% - 6%) kA = 6% + 10,5% = 16,5% 
kp = (0,14 x 14,75%) + (0,15 x 13,7%) + (0,25 x 1,8%) + (0,46 x 16,5%) 
kp = 2,065% + 2,055% + 0,45% + 7,59% = 12,16% 
 
3ª QUESTÃO ( 2,0 pontos) Qual é o retorno exigido de um investimento com um beta de 1,3, se a taxa livre 
de risco for de 4% e o retorno do mercado 11%. Se o retorno esperado no investimento fosse de 14%, o que 
você faria? 
ki = RF + i x (km - RF) 
kA = 4% + 1,3 x (11% - 4%) kA = 4% + 9,1% = 13,10% 
Resposta: Aplicaria nesse investimento 
 
4ª QUESTÃO (3,0 pontos) Há duas ações no mercado A e B. O retorno de A atualmente é de 7,5%. Espera-
se que o retorno de A para o próximo ano seja de 7% se a economia estiver em recessão, 8% se estiver em 
situação normal e 11% se estiver se expandindo. As probabilidades de recessão, situação normal e expansão 
são de 0,1, 0,8 e 0,1, respectivamente. 
Considerando o CAPM e com as seguintes informações a respeito do mercado: 
Desvio-padrão do retorno da carteira de mercado, 
10,0 :mercado de carteira da retorno do padrão-Desvio
Mk 
Desvio-padrão do retorno da ação B, = 0,12 
Retorno esperado da ação B, = 9% 
8,0 mercado, de os eA de retornos os entre Correlação
AKMK 
 
2,0 mercado, de os e B de retornos os entre Correlação
BKMK 
6,0 B, eA de retornos os entre Correlação
BKAK 
a) Que ação seria escolhida por um investidor com aversão a risco? Por quê? 
b) Calcule o retorno esperado e o desvio-padrão dos retornos de uma carteira composta por 70% de A e 
30% de B. 
c) Qual o valor do coeficiente beta da carteira indicada no item (b)? 
Solução 
a) Escolheria a ação de menor correlação com o mercado, ou seja, a ação B. 
b) Cálculo do retorno esperado e do desvio padrão da carteira. 
kwk j
n
1j
jp
 
kB = 9% kA = ? 
Bk = 0,12 Ak = ? 
Retorno esperado da ação A, AK = (7 × 0,1) + (8 × 0,8) + (11 × 0,1) = 8,2% 
Desvio-padrão dos retornos esperados de A: 
j
2
n
1j
_
jAk
Pr)kk( 
j
j
2
_
jAk
Pr)kk( 
j
222
Ak
1,0)2,811(8,0)2,88(1,0)2,87( j
Ak
96 = 9,7979 
 
b1) Retorno da Carteira = (8,2% × 0,7) + (9,0% × 0,3) = 5,74% + 2,7% = 8,44% 
 
b2) Desvio-padrão da carteira: 
)ww2()w()w( YXY,XYX
2
Y
2
Y
2
X
2
X
2
kp 
2
pk
 0,7
2
 × 9,8
2
 + 0,3
2
 × 12
2
 + 2 × 0,7 × 0,3 × 0,6 × 9,8 × 12 
2
pk
 0,49 × 96,04 + 0,09 × 144 + 29,6352 
2
pk
 47,0596 + 12,96 + 29,6352 = 89,6548 
2
CkCk = 6548,89 = 9,468222 ≈ 9,47% 
Retorno esperado da carteira é igual a aproximadamente 8,44% 
Desvio-padrão da carteira é de aproximadamente 9,47% 
 
c) Beta da carteira 
_
Mk
2
jk Mk
j
variância-co
 
Co-variânciak
M
k
J
 = ρk
M
k
J
 × σk
M
 × σk
J
 
Co-variânciak
M
k
A
 = 0,8 × 10% × 9,8% = 78,4% 
Co-variânciak
M
k
B
 = 0,2 × 10% × 12% = 24% 
Variância do mercado, σk
M
 = 10% × 10% = 100% 
100
78,4
A
= 0,784 
100
24
B
= 0,24 
BBAAC
ww = 0,7 × 0,784 + 0,3 × 0,24 = 0,548 +0,072 = 0,6208 ≈ 0,621 
 
Beta da carteira = 0,621 
 
 A B Mercado Carteira 
Retorno esperado 8,2% 9% 8,44% 
Desvio-padrão 9,8% 12% 10% 9,47% 
Correlação Mercado e 0,80 0,20 
Beta 0,784 0,24 1,0 0,621 
Correlação A e 0,6 0,8 
Correlação B e 0,6 0,2 
 
 
Avaliação Presencial – AP1 
Período - 2013/1º 
Disciplina: Fundamentos de Finanças 
Coordenadora da Disciplina: Ana Luiza Barbosa da Costa Veiga 
1ª QUESTÃO (1,5 ponto) A base de cálculo do imposto de renda devido pela sociedade anônima capital 
aberto deve ser o: 
( ) a. lucro final antes do imposto de renda 
( ) b. lucro líquido de exercício 
( ) c. lucro real 
( ) d. lucro presumido 
 
2ª QUESTÃO (1,0 ponto)Provão 2003 q. 25) O Banco da Cidade de Florianópolis gere os investimentos de 
seus clientes fazendo uso de uma carteira constituída por 5 títulos, conforme a tabela abaixo. 
 
Título 
Desvio-padrão 
(Risco total) 
Beta (risco 
sistemático) 
A 50% 0,30 
B 35% 0,80 
C 60% 0,70 
D 40% 0,90 
E 45% 0,60 
 
O ativo com o maior retorno esperado é o Título 
( ) A. 
( ) B. 
( ) C. 
( x ) D. 
( ) E. 
 
3ª QUESTÃO (2,0 pontos) No início do ano passado, você aplicou $ 4.000 em oitenta ações da Cia. XLX. 
Durante o ano, a XLX pagou dividendos de $ 5,00 por ação. No fim do ano, você vendeu as oitenta ações a $ 
59,00 cada uma. Calcule (a) a taxa de retorno desse investimento, (b) indique quanto foi por causa da 
variação do preço e (c) quanto foi causado pelo rendimento dos dividendos. 
 
$4.000 usado para comprar 80 ações a $ 50 cada 
 
a) Ganho total = 
t
t1t
t
1t
1t P
PP
P
Div
K
−+= +++ = 50$
50$59$
50$
0,5$
K 1t
−+=+ = 0,10 + 0,18 = 0,28 
Ganho de capital = 
t
t1t
P
)PP(
GC
−
= + = 
50$
)50$59($ −
= 0,18 = 18% 
Ganho corrente = 
t
1t
1t P
Div
TD ++ = = 50$
5$
= 0,10 = 10% 
0,4615 = 0,5077 = 50,77% 
O retorno percentual sobre o investimento de $ 4.000 é igual a 28,00% 
 
 
4ª QUESTÃO (2,5 pontos) Os retornos esperados de duas ações J e K são apresentados no quadro a seguir, 
de acordo com o estado da economia e com as respectivas probabilidades de ocorrência: 
Estado de 
Natureza 
Probabilidade de 
ocorrência 
Retorno da Ação J 
(%) 
Retorno da Ação K 
(%) 
Baixa 0,20 9,0% - 3,0% 
Normal 0,60 15,0 9,0 
Alta 0,20 20,0 30,0 
Pede-se calcular: 
a) o retorno esperado e o desvio-padrão dos retornos de cada ação; 
b) a covariância e a correlação entre os retornos das duas ações. 
 
 
 
Estado de 
Natureza 
(1) 
 
 
Probabilidadede ocorrência 
(2) 
 
 
Retorno da 
Ação J 
(3) 
 
 
Retorno da 
Ação K 
(4) 
Retorno 
ponderado 
de J 
(5) = (2) × 
(3) 
Retorno 
ponderado 
de K 
(6) = (2) × 
(4) 
Desvio do 
retorno de 
J 
(7) = kJ – 
(3) 
Desvio do 
retorno de 
K 
(8) = kK – 
(4) 
Baixa 0,20 9,0% - 3,0% 1,8 -0,6 -5,8 -13,8 
Normal 0,60 15,0 9,0 9 5,4 0,2 -1,8 
Alta 0,20 20,0 30,0 4 6 5,2 19,2 
Retorno esperado 14,8 10,8 
a1) Retorno esperado do Ação J é igual a 14,8% e da Ação K é igual a 10,8% 
 
Produto dos 
desvios 
(9) = (7) × (8) 
Probabilidade × 
desvios dos 
produtos 
(10) = (2) × (9) 
 
Desvios ao 
quadrado de J 
(11) = (7) × (7) 
 
Desvios ao 
quadrado de K 
(12) = (8) × (8) 
 
 Prob × desvios 
ao quadrado de J 
(13) = (2) × (11) 
 
Prob × desvios 
ao quadrado de K 
(14) = (2) × (12) 
80,04 16,008 33,64 190,44 6,728 38,088 
-0,36 -0,216 0,04 3,24 0,024 1,944 
99,84 19,968 27,04 368,64 5,408 73,728 
Co-variancia 35,76 Variância 12,16 113,76 
Desvio-padrão 3,4871 10,6658 
a2) O desvio-padrão da Ação J é igual a aproximadamente 14,8% e da Ação K é de aproximadamente 
10,8% 
Coeficiente de correlação, ρX,Y = 
Y Ativo do padrão-Desvio X Ativo do padrão-Desvio
iânciavarCo Y,X
×
−
 
i
n
1i
__
XY Pr)YY)(XX(cov ×−−= ∑
=
 ou 
 A co-variância da carteira JK é de aproximadamente 35,76% 
Coeficiente de correlação, ρX,Y = 
1899,37
76,35
10,665 3,4871
76,35 =
×
 = 0,96155 
 
b) A co-variância da carteira JK é de aproximadamente 35,76% e o coeficiente de correlação é de 
aproximadamente 0,96. 
 
 
5ª QUESTÃO (2,5 pontos): Uma empresa está considerando diversas oportunidades de investimento. A 
seguir são apresentados os ativos e seus respectivos coeficientes beta. O retorno do ativo livre de risco é 
atualmente igual a 5%, e o retorno da ação média (retorno do mercado) é de 11%. 
Ação Retorno esperado Beta 
 1- Cia Apha 12,6% 1,1 
 2- Cia Beta 15,0 2,0 
 3- Cia Gama 13,5 1,5 
 4- Cia Ômega 9,8 0,8 
Utilizando o modelo de formação de preços de ativos (CAPM), responda: 
a) Qual o valor de beta do ativo livre de risco, e da carteira de mercado? 
b) Qual o prêmio pelo risco de mercado? 
c) Qual o prêmio pelo risco de cada ação? 
d) Com base nestas expectativas, quais são as ações que devem ser compradas? E quais não devem ser 
compradas? 
ki = RF + bi (kM – RF) 
a1) Valor do beta do ativo livre de risco por definição igual a zero 
Ou 
kRF = RF + bRF (RM – RF) 
5% = 5% + bRF (11% - 5%) 5% - 5% = bRF × 6% 
0% = bRF × 6% bRF = 0
%6
%0 = 
a2) Valor do beta da carteira de mercado por definição igual a 1 (um) 
Ou 
kM = RF + bkM (RM – RF) 
11% = 5% + bkM (11% - 5%) 11% - 5% = bkM × 6% 
6% = bkM × 6% bkM = 0,1
%6
%6 = 
b) Prêmio pelo risco de mercado = kM – RF 
Prêmio pelo risco de mercado = 11% - 5% = 6% 
c) Prêmio pelo risco da ação = b (kM – RF) 
a. Cia Apha = 1,1 × 6% = 6,6% 
b. Cia Beta = 2,0 × 6% = 12,0% 
c. Cia Gama = 1,5 × 6% = 9,0% 
d. Cia Ômega = 0,8 × 6% = 4,8% 
 
d) Taxa de retorno exigida das ações 
1- Cia Apha = 5% + 6,6% = 11,6% 
2- Cia Beta = 5% + 12,0% = 17,0% 
3- Cia Gama = 5% + 9,0% = 14,0% 
4- Cia Ômega = 5% + 4,8% = 9,8% 
 
Ações Retorno exigido Retorno esperado Decisão 
 1- Cia Apha 11,6% 12,6% Comprar 
 2- Cia Beta 17,0 15,0 Não Comprar 
 3- Cia Gama 14,0 13,5 Não Comprar 
 4- Cia Ômega 9,8 9,8 Indiferente 
Só deve comprar as ações que têm o retorno esperado é maior que o retorno exigido. 
6ª QUESTÃO (1,0 pontos) As ações da Cia. LM são negociadas no mercado e apresentam um beta de 1,5. 
A taxa livre de risco é igual a 6,2% e o prêmio pelo risco de mercado 9,8%. Uma corretora projetou um 
retorno esperado de 16% para essa ação. Com base nos parâmetros de mercado, você considera essa 
avaliação otimista ou pessimista? Explique. 
Retorno esperado (exigido) da ação com base nos fundamentos de mercado: 
kj = 6,2% + (1,5 × 9,8%) = 20,9% 
O retorno esperado (estimado) pela corretora para as ações da Cia. LM é inferior ao exigido, 
indicando uma avaliação pessimista. 
Avaliação Presencial – AP1 
Período - 2013/1º 
Disciplina: Fundamentos de Finanças 
Coordenadora da Disciplina: Ana Luiza Barbosa da Costa Veiga 
Pode ser utilizado qualquer tipo de calculadora, inclusive a financeira. 
1ª QUESTÃO (2,0 pontos) Marque certo ou errado para as sentenças a seguir: 
I. O Sistema Financeiro Nacional é constituído pelas instituições financeiras e segmentado em 
instituições normativas, supervisoras e operadoras. 
(X ) certo ( ) errado 
 
II. As operações de conversão do real em euros ocorre no mercado monetário. 
( ) certo ( X ) errado 
III. Aos bancos comerciais é facultado captar recursos através de depósitos à vista (contas correntes) e 
de depósitos a prazo (CDB´s e RDB´s), para conceder empréstimos às pessoas físicas e às empresas. 
(X ) certo ( ) errado 
IV. Na apuração do lucro real a alíquota do imposto de renda incide sobre o lucro obtido pela empresa. 
( ) certo (X ) errado 
 
V. O mercado de capitais é constituído por instituições financeiras e mecanismos de captação e 
concessão de recursos financeiros a longo prazo. 
( X) certo ( ) errado 
Resposta comentada: Você deve ter marcado que as afirmativas I, III e V são corretas. A afirmativa 
II e IV estão erradas. As operações de conversão de moedas ocorrem no mercado cambial. Na 
apuração do lucro real a alíquota do imposto de renda incide sobre o lucro real da empresa, apurado 
considerando-se todas as receitas, menos todos os custos e despesas da empresa, de acordo com o 
regulamento do imposto de renda. 
 
2ª QUESTÃO (2,0 pontos) Helena Maria, uma analista financeira da ALP, deseja estimar a taxa de 
retorno para dois investimentos de riscos similares – X e Y. A pesquisa de Helena indica que os 
retornos imediatamente anteriores atuarão como estimativa razoável dos retornos futuros. No ano 
anterior, o investimento X teve um valor de mercado de $ 10.000,00 e o investimento Y, de $ 
12.000,00. Durante o ano, o investimento X gerou um fluxo de caixa de $ 700,00 e o investimento Y 
gerou um fluxo de caixa de $ 400,00. Os valores atuais de mercado dos investimentos X e Y são $ 
9.800,00 e $ 12.800, respectivamente. 
a) Calcule a taxa de retorno esperado sobre o investimento X e Y, usando os dados do ano mais 
recente. 
b) Supondo que os dois investimentos sejam igualmente arriscados, qual deles Adriana deveria 
recomendar? Por quê? 
 
k
P P C
Pt
t t t
t
=
− +−
−
1
1
 
onde: 
kt = taxa de retorno exigida, ou atual, ou esperado, durante o período t 
Pt = preço (valor) do ativo no tempo t 
Pt-1 = preço (valor) do ativo no tempo t -1 
Ct = caixa (fluxo) recebido do investimento no ativo no período t -1 a t. 
O retorno kt, reflete o efeito combinado de mudanças nos valores, Pt - Pt-1, e o fluxo de caixa, Ct, 
realizado durante o período t. 
 Investimentos 
 X Y 
Pt-1 $ 10.000 $ 12.000 
Pt 9.800,00 12.800 
Ct 700,00 400,00 
a) Cálculo da taxa de retorno esperado sobre o investimento X e Y, usando os dados do ano mais 
recente. 
05,0
000.10$
500$
000.10$
700$000.10$800.9$
kX ==
+−= = 5,00% 
 
100,0
000.12$
200.1$
000.12$
400$000.12$800.12$
kY ==
+−= = 10,0% 
b) Supondo que os dois investimentos sejam igualmente arriscados, qual deles Helena deveria 
recomendar? Por quê? 
O investimento Y, por que dá um maior retorno esperado. 
 
 
 
3ª QUESTÃO (2,0 pontos) Você vai investir $ 20.000 em uma carteira constituída pelos ativos X, Y 
e Z, como a seguir: 
Ativo Retorno 
Anual 
Probabilidade Beta Proporção 
X 10% 0,50 1,2 0,333 
Y 8% 0,25 1,6 0,333 
Z 16% 0,25 2,0 0,333 
Dada a informação responda: 
a)qual o retorno anual esperado dessa carteira? 
b)qual o beta da carteira, contendo os ativos X, Y, e Z? 
c)O beta da carteira indica que esta carteira que esta carteira tem mais ou menos risco que o 
mercado? 
 
SoluçãoAtivo Retorno 
Anual 
Probabilidade Beta Proporção Retorno 
ponderado 
Beta 
X 10% 0,50 1,2 0,333 5 0,3996 
Y 8% 0,25 1,6 0,333 2 0,5328 
Z 16% 0,25 2,0 0,333 4 0,666 
 11 1,59 
a) 11,0% 
b) 1,6 
c) tem mais risco que o mercado. 
 
4ª QUESTÃO (2,0 pontos) Marialva está considerando investir em um projeto com coeficiente beta 
de 1,75. O que você recomendaria a ele considerando que este investimento tem uma taxa de 
retorno de 11,5%, a taxa livre de risco é 5,5%, e a taxa de retorno do mercado é de 8,5%? 
kj = RF + [b× (km – RF)] 
 
 = 0,055 + 1,75(0,085 – 0,055) = 0,108 = 10,8% 
Marialva deveria investir no projeto porque a taxa de retorno atual do projeto (11,5%) é maior que a 
taxa de retorno exigida do projeto (10,8%). 
 
5ª QUESTÃO (2,0 pontos) Henrique está considerando a possibilidade de investir em duas ações, A e B. A 
ação A tem um beta de 1,13 e o desvio-padrão dos seus retornos foi estimada em 0,18. Para ação B, o beta é 0,82 
e o desvio padrão é de 0,38. 
a. Qual a ação mais arriscada? 
b. Se a taxa livre de risco é de 5% e o prêmio pelo risco de mercado é 10%, qual é o retorno esperado 
para uma carteira que é composta de 60% de A e 40% de B? 
c. Se a correlação entre os retornos de A e B é de 0,50, qual é o desvio padrão para carteira que inclui 
60% A e 40% B? 
βA = 1,13 e _
AR
σ = 0,18 
βB = 0,82 _
RB
σ = 0,38 
a) A ação mais arriscada é a Ação A, que tem o maior β, ou seja, tem maior risco não diversificável, 
que é o risco relevante. 
 
b) E(RM) – Rf= 10% Rf = 5% 
Retorno esperado da carteira composta por 60% A e 40% de B. 
E(Rj) = Rf + βj×(E(RM) – Rf] 
E(RA) = 5% + 1,13 × (10%) = 5% + 11,3% = 16,3% 
E(RB) = 5% + 0,84 × (10%) = 5% + 8,2% = 13,2% 
jjiip RwRwR +=
__
 
=
_
pR 0,60 × 16,3% +0,40 × 13,2% =9,78% + 5,28% = 15,06% 
 
Retorno da carteira igual a 15,06% 
 
c) Risco da carteira considerando a correlação entre os retornos de A e B igual a 0,50 
para a carteira composta por 60% de ações de A e 40% de ações de B. 
ρA,B = 0,5 
=Sp
p
)(2
BAB,ABA
2
B
2
B
2
A
2
A wwww σσρσσ ××××+×+× 
σp = [(0,60
2 × 182) + (0,402 × 382) + 2 [(0,60 × 0,40 × (0,5) × 18× 38)]½ 
σp = [116,64 + 231,04 + 164,16)]
½ = (511,84)½ = 22,62 
O desvio-padrão da carteira é igual 22,62% 
 
FÓRMULAS 
1t
1ttt
t P
PPC
k
−
−−+= PrKK j
n
1j
J ×∑=
=
− 
n
k
k
n
1j
j∑
= =
−
 
Retorno percentual = 
0
01
0
1
1 P
PP
P
Div
K
−+= 
 
Modelo de formação de preços de ativos de capital (CAPM): kj = RF + [b× (km – RF)] 
Prêmio pelo risco de mercado = km – RF 
Prêmio pelo risco do ativo = b× (km – RF) 
A taxa de retorno real = 1
inflação de taxa 1
nominal retorno 1 −
+
+
 
∑ ×−=
=
n
1j
j
2
_
jk Pr)kk(σσσσ 
1n
)kk(
n
1j
2
_
j
k −
∑ −
= =σσσσ 
k
 CV
_
kσσσσ= 
 
kwk j
n
1j
jp ×∑=
=
 bwb j
n
1j
jp ×∑=
=
 
Risco total do título = risco não-diversificável + risco diversificável 
i
n
1i
__
XY Pr)YY)(XX(cov ×−−= ∑
=
 ou 
Quando todos os resultados conjuntos são igualmente prováveis, a co-variância pode ser escrita assim: 
n
)YY)(XX(
cov
n
1i
__
XY
∑ −−
= = ou Quando as estimativas são baseadas em uma amostra de dados, 
como uma série de retornos ocorridos no passado, deve-se dividir por n – 1: 
1n
)YY)(XX(
cov
n
1i
__
XY −
∑ −−
= = 
Coeficiente de correlação, ρX,Y = 
Y Ativo do padrão-Desvio X Ativo do padrão-Desvio
iânciavarCo Y,X
×
−
 
)ww2()w()w( YXY,XYX
2
Y
2
Y
2
X
2
X
2
kp
σ×σ×ρ×××+σ×+σ×=σ 
=σk p )(2 YXY,XYX
2
Y
2
Y
2
X
2
X wwww σσρσσ ××××+×+× 
Pela fórmula para o cálculo da variância mínima temos: 
)2()(
)(
BAB,A
2
B
2
A
BAB,A
2
B*
Aw σ×σ×ρ×−+
σ×σ×ρ−
=
σσ
σ
 
 
Cálculo do beta 
2
var
M
Mk
K
KKiânciaco
σ
β
−
= 
n
)JJ)(MM(
cov
n
1i
__
KK MJ
∑
=
−−
= 
n
)MM(
n
1i
2
_
2
K M
∑
σ =
−
= 
JMJM KKKK
σσρ ××=
JMKK
variância-Co