Aula 3 - Séries de Potências

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Aula 3- Séries de potências 
 
 As séries de funções mais importantes na Análise são as do tipo 
 ∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)
𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) + ⋯ + 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)
𝑛 + ⋯∞𝑛=0 que são chamadas 
de séries de potências. 
Esta importância está relacionada ao seu principal uso, uma vez que ela nos fornece uma 
maneira de representar algumas das mais importantes funções que aparecem na 
matemática, na física e na química. 
 Para simplificar a notação consideraremos o caso em que 𝑥0 = 0, isto é, as séries de 
potências do tipo ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + ⋯∞𝑛=0 
O caso geral se reduz a este pela mudança de variável y = 𝑥 − 𝑥0. 
A primeira pergunta a respeito de uma série de potências ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 é: ela converge para 
todo x real? 
Obviamente ela converge para x = 0, mas para outros valores isso não é claro. 
Exemplos: 
(1) A série de potências ∑
𝑥𝑛
𝑛!
 Converge para todo valor real de x. 
De fato, como lim
𝑛→∞
|
𝑥𝑛+1
(𝑛+1)!
 ∙
𝑛!
𝑥𝑛
| = lim
𝑛→∞
|𝑥|
𝑛+1 
= 0 < 1, pelo Teste de d’Alembert a 
série é absolutamente convergente. Portanto ela converge em R = (−∞, +∞). 
 
 
(2) A série ∑ (
(−1)𝑛
2𝑛+1
) 𝑥2𝑛+1 converge se, e somente se, 𝑥 ∈ [−1, 1]. 
De fato, temos lim
𝑛→∞
|
(−1)𝑛+1𝑥2(𝑛+1)+1
2(𝑛+1)+1
 ∙
2𝑛+1
(−1)𝑛𝑥2𝑛+1
| = lim
𝑛→∞
|
(−1)(2𝑛+1)
2𝑛+3
∙ 𝑥2| =
lim
𝑛→∞
2𝑛+1
 2𝑛+3
∙ 𝑥2 = 𝑥2 
 
 Assim, pelo Teste de d’Alembert, a série converge se, e somente se, 𝑥2 < 1. Ou 
seja, -1 < x < 1. 
Se x = 1 ou x = -1 a série é uma série alternada convergente. Portanto ela converge 
em [-1, 1]. 
 
 
(3) A série ∑ (
(−1)𝑛+1
𝑛
) 𝑥𝑛 converge se, e somente se, 𝑥 ∈ (−1, 1]. 
De fato, como 
 lim
𝑛→∞
|
(−1)(𝑛+1)+1𝑥𝑛+1
𝑛+1
 ∙
𝑛
(−1)𝑛+1𝑥𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
(−1)𝑛
𝑛+1
∙ 𝑥| = lim
𝑛→∞
𝑛
 𝑛+1
∙ |𝑥| = |𝑥| 
 
 pelo Teste de d’Alembert, a série converge se, e somente se, |𝑥| < 1, isto é, 
 -1 < x < 1. 
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Se x = 1 a série é uma série alternada convergente. Se x = -1 a série fica 
∑
(−1)2𝑛+1
𝑛
 que diverge. Portanto a série dada converge em (-1, 1]. 
 
 
(4) A série geométrica ∑ 𝑥𝑛 converge se 𝑥 ∈ (−1, 1). 
Para x = 1 fica ∑ 1𝑛 = 1 + 1 + 1 + ⋯ diverge 
Para x = -1 fica ∑(−1)𝑛 = 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ diverge 
 
 
 
(5) A série ∑ 𝑛𝑛𝑥𝑛 converge apenas no ponto x = 0. 
De fato, temos lim
𝑛→∞
√|𝑛𝑛𝑥𝑛|
𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛|𝑥| 
Este limite existe se, e somente se, x = 0 e neste caso pelo Teste de Cauchy a série 
converge. 
 
 
Vamos mostrar agora que o conjunto dos pontos x, tais que a série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge, é 
um intervalo de centro 0 (no caso geral de centro 𝑥0). Este intervalo pode ser aberto, 
fechado, semiaberto, reduzido ao ponto 0 ou igual a R, como vimos nos exemplos 
anteriores. 
 
Para isso usaremos o Teste da Raiz [ Quando existe um número real c tal que √|𝑎𝑛|
𝑛 ≤
𝑐 < 1 para todo n natural suficientemente grande, em particular, quando lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛 < 1, 
a série é absolutamente convergente]. 
 
Dada uma série de potências ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛∞
𝑛=0 , consideremos a sequência de números reais não 
negativos ( √|𝑎𝑛|
𝑛 ). Temos as seguintes possibilidades: 
 
• Se a sequência ( √|𝑎𝑛|
𝑛 ) é ilimitada, a série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge apenas para x = 0. 
De fato, para todo 𝑥 ≠ 0 a sequência de números √|𝑎𝑛𝑥𝑛|
𝑛 = |𝑥| √|𝑎𝑛|
𝑛
 é 
ilimitada e o mesmo ocorre com |𝑎𝑛𝑥
𝑛|, logo o termo geral da série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 não 
tende a zero. 
 
 
• Se a sequência ( √|𝑎𝑛|
𝑛 ) é limitada então o conjunto 
 ℜ = {𝜌 > 0| √|𝑎𝑛|
𝑛
<
1
𝜌
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ∈ 𝑁 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒} é não 
vazio. 
Podemos ver que ℜ é um intervalo pois se 𝜌 ∈ ℜ e 0 < 𝑥 < 𝜌 então 𝑥 ∈ ℜ. 
Assim ℜ é um intervalo do tipo (0, r), (0, r] ou (0, +∞) onde r = sup ℜ. O número 
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r é chamado de raio de convergência da série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛. Por convenção 
escrevemos 𝑟 = +∞ quando ℜ for ilimitado. 
 
 O raio de convergência goza das seguintes propriedades: 
 
(1) Para fato todo 𝑥𝜖(−𝑟, 𝑟), a série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge absolutamente. 
 
De fato, suponhamos 𝑥𝜖(−𝑟, 𝑟) ∴ |𝑥| < 𝑟 
Seja 𝜌 tal que |𝑥| < 𝜌 < 𝑟. Daí, √|𝑎𝑛|
𝑛
<
1
𝜌
. Logo, √|𝑎𝑛𝑥𝑛|
𝑛
= |𝑥| √|𝑎𝑛|
𝑛
<
|𝑥|
𝜌
<
1 para todo n suficientemente grande. 
Portanto, pelo Teste de Raiz, a série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge absolutamente. 
 
 
(2) Se |x| > r então a série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 diverge. 
 
De fato, neste caso |𝑥| ∉ ℜ e portanto não se tem √|𝑎𝑛|
𝑛
<
1
|𝑥|
 para n 
suficientemente grande ∴ √|𝑎𝑛|
𝑛
≥
1
|𝑥|
 
 Consequentemente |𝑎𝑛𝑥
𝑛| ≥ 1 para n suficientemente grande. 
Isto mostra que (𝑎𝑛𝑥
𝑛) não converge para zero. Logo a série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 diverge. 
 
 
(3) Se x = ±𝑟, a série pode convergir ou divergir. 
 
 
 
(4) Se existir 𝐿 = lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛 então r = 
1
𝐿
 (r = +∞ quando L = 0). 
 
De fato, para todo 𝜌 ∈ ℜ existe 𝑛0 ∈ 𝑁 tal que se n > 𝑛0 temos √|𝑎𝑛|
𝑛
<
1
𝜌
 . Fazendo 
𝑛 → ∞ obtemos 𝐿 ≤
1
𝜌
 ∴ 𝜌 ≤
1
𝐿
 
Daí, r = sup ℜ ≤
1
𝐿
 
Suponhamos por absurdo que r < 
1
𝐿
 e seja c tal que r < c < 
1
𝐿
 
Daí temos L < 
1
𝑐
 . Pela definição de limite √|𝑎𝑛|
𝑛
<
1
𝑐
 para n suficientemente grande. 
Logo 𝑐 ∈ ℜ e daí 𝑐 ≤ 𝑟. Mas, isto é uma contradição. Logo temos: r = 
1
𝐿
 . 
 
 
 
Resumimos aqui o raio e o intervalo de convergência para cada um dos exemplos dados 
anteriormente. 
 
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 Série 
 
Raio de convergência Intervalo de convergência 
∑
𝑥𝑛
𝑛!
 
 
 𝑟 = ∞ (−∞, +∞) 
∑ (
(−1)𝑛
2𝑛 + 1
) 𝑥2𝑛+1 
 
 r = 1 [-1, 1] 
∑ (
(−1)𝑛+1
𝑛
) 𝑥𝑛 
 
 r =1 (-1, 1] 
∑ 𝑥𝑛 
 
 r = 1 (-1, 1) 
∑ 𝑛𝑛𝑥𝑛 
 
 r = 0 {0} 
 
 
Exercício: Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: 
 
a) ∑
𝑛(𝑥+2)𝑛
3𝑛+1
 b) ∑
𝑥𝑛
𝑛
 
 
 
 Para integrar funções que não tem antiderivadas elementares, resolver equações 
diferenciais e aproximar funções por polinômios usamos séries de potências. 
Para isso precisamos saber como representar certos tipos de funções como somas de séries 
de potências seja pela manipulação de séries geométricas ou pela diferenciação ou pela 
integração de tais séries. 
Assim pelo que já estudamos nas aulas anteriores precisamos analisar o conceito de 
convergência uniforme para este caso particular de séries. Nosso primeiro Teorema 
afirma que toda série de potências converge uniformemente em todo intervalo compacto 
contido no intervalo de convergência. 
 
Teorema: Uma série de potências ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge uniformemente em todo intervalo 
compacto [-𝜌, 𝜌], onde 0 < 𝜌 < raio de convergência. 
Demonstração: (como exercício) 
 
Corolário: Se r > 0 é o raio de convergência da série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛, a função 𝑓: (−𝑟, 𝑟) → 𝑅 
definida por f(x) = ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 é contínua. 
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Basta notar que a sequência polinomial (somas parciais) 𝑝𝑛(𝑥) = ∑ 𝑎𝑘𝑥
𝑘𝑛
𝑘=0 converge 
uniformemente para f em cada subconjunto compacto de (-r, r). 
 
Observe que f é uma função infinitamente diferenciável. Assim, diferenciamos esta série 
para obter uma nova série de potências ∑ 𝑛𝑎𝑛𝑥
𝑛−1. 
Esta série obtida pela derivação termo a termo da série original tem o mesmo raio de 
convergência que a série que converge para f? 
Sim, mas o intervalo de convergência pode não ser o mesmo. Pode acontecer de a série 
original convergir em um extremo enquanto a série diferenciada diverge nesse ponto. 
 
Exercício: Seja 𝑓(𝑥) = ∑
𝑥𝑛
𝑛²
∞
𝑛=1 . Encontre os intervalos de convergência para 𝑓, 𝑓
′𝑒 𝑓′′. 
 
Teorema: (Derivação termo a termo) Seja r o raio de convergência da série de potências 
∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛∞
𝑛=0 . A função 𝑓: (−𝑟, 𝑟) → 𝑅, definida por 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛∞
𝑛=0 , é derivável com 
𝑓′(𝑥) = ∑ 𝑛𝑎𝑛𝑥
𝑛−1∞
𝑛=1 e a série de potências de𝑓′(𝑥) ainda tem raio de convergência r. 
Demonstração (como exercício) 
 
Corolário: Seja r o raio de convergência da série de potências ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛. A função 
𝑓: (−𝑟, 𝑟) → 𝑅, definida por 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 é de classe 𝐶∞. Para quaisquer x ∈ (-r, r) e 
k∈N tem -se 𝑓(𝑘)(𝑥) = ∑ 𝑛(𝑛 − 1) … (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑎𝑛𝑥
𝑛−𝑘
𝑛≥𝑘 . Em particular, 𝑎𝑘 =
𝑓(𝑘)(0)
𝑘!
. 
Portanto, 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛é o polinômio de Taylor de ordem n da função 𝑓(𝑥) =
∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 em torno do ponto x = 0. 
 
Exercício: Considere a série geométrica 
1
1−𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ = ∑ 𝑥𝑛∞𝑛=0 . (I) 
Use diferenciação nesta série para expressar 
1
(1−𝑥)²
 como série de potências. Qual é o raio 
de convergência da série obtida? 
 
Exercício: Seja r o raio de convergência da série de potências ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛. Se [𝛼, 𝛽] ⊂
(−𝑟, 𝑟) então ∫ (∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛)𝑑𝑥 = ∑
𝑎𝑛
𝑛+1
(𝛽𝑛+1 − 𝛼𝑛+1)
𝛽
𝛼
. Ou seja, podemos integrar termo 
a termo uma série de potências. Use este resultado e a equação (I) acima para expressar 
ln(1 – x) como uma série de potências. Qual é o raio de convergência da série obtida? 
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Para finalizar esta aula temos ainda uma questão sobre convergência uniforme para 
analisar: 
OBS: A série de potências ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 pode não convergir uniformemente em todo seu 
intervalo de convergência (-r, r). 
De fato, podemos provar que quando uma série de funções contínuas converge 
uniformemente num conjunto, ela também converge uniformemente no fecho do conjunto 
(exercício 1(b) lista 2). 
Assim, por exemplo, a série ∑ 𝑥𝑛 não converge uniformemente em (-1, 1) por que isto 
obrigaria que ela convergisse nos pontos -1, e 1, o que não ocorre como já vimos. 
A série ∑
(−1)𝑛−1
𝑛
𝑥𝑛 não converge uniformemente no intervalo de convergência (-1, 1), 
pois é divergente para x = -1. 
Podemos então perguntar: Se ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge em ambos os extremos r e -r do seu 
intervalo de convergência (-r, r) podemos garantir que a convergência seja uniforme em 
[-r, r]? 
A resposta é dada pelo importante teorema abaixo atribuído a Abel: 
 
Teorema (Abel): Seja ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 uma série de potências cujo raio de convergência r é finito 
e positivo. Se ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge então ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge uniformemente no intervalo [0, 
r]. Em particular lim
𝑥→𝑟−
(∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛) = ∑ 𝑎𝑛𝑟
𝑛. 
Demonstração: 
Temos que a série de funções ∑ 𝑎𝑛 converge uniformemente em [0,r]. 
Como para cada x ∈[0,r] a sequência (𝑥𝑛) é monótona limitada temos pelo Teste de Abel 
que a série ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 converge uniformemente em [0,r]. Como cada termo 
𝑎𝑛𝑥
𝑛 é função contínua sobre [0, r] temos que a soma f(x) = ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛é contínua em [0,r]. 
Logo: ∑ 𝑎𝑛𝑟
𝑛 = 𝑓(𝑟) = lim
𝑥→𝑟−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑟−
(∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛). 
 
OBS: 
(1) As mesmas conclusões do Teorema de Abel valem com -r em lugar de r. Basta 
tomar ∑(−1)𝑛𝑎𝑛𝑟
𝑛. 
 
(2) A série ∑ 𝑎𝑛𝑟
𝑛 converge uniformemente no seu intervalo de convergência 
 (-r, r) se, e somente se, converge nos pontos -r e r.