trabalho calculo numerico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS ANANINDEUA
CURSO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
ANDRIO DE ALMEIDA PINHEIRO
YURI YAN SANTOS BASTOS
MATERIAIS
ANANINDEUA – PA
2017
ANDRIO DE ALMEIDA PINHEIRO
YURI YAN SANTOS BASTOS
Este relatório tem por objetivo a obtenção de nota na avaliação da disciplina de Cálculo Numérico, relatando os conceitos e exemplos dos temas abordados.
Prof. Drº: Ednelson Costa
ANANINDEUA – PA
2017
Método Gauss- Jordan
Método para solucionar sistemas de equações lineares. Fundamentado na transformação do sistema de equações lineares em uma matriz expandida. Procura-se transformar a matriz principal em um conjunto de valores 1, enquanto os outros coeficientes são transformados em 0. Para isto, executa-se um conjunto de operações elementares sobre as linhas da matriz:
1. Trocar posição entre duas linhas da matriz;
1. Substituir uma equação pela mesma equação multiplicada por um escalar; e
1. Substituir uma equação pela soma a outra equação multiplicada por um escalar.
Fatoração L.U
Em álgebra linear, a decomposição LU (em que LU vem do inglês lower e upper) é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz triangular superior (upper). Às vezes se deve pré-multiplicar a matriz a ser decomposta por uma matriz de permutação. Esta decomposição se usa em análise numérica para resolver sistemas de equações (mais eficientemente) ou encontrar as matrizes inversas.
Exemplo
X1+ X2+ X3 = -2
2X1+ X2+ X3= 1
2X1+ X2+ X3= 3
Use a fatoração LU para resolver o seguinte sistema linear:
Começamos fatorando a matriz A dos coeficientes deste sistema:
A = . = 
= .
= . 
L U
Completada a fatoração LU, resolvemos, primeiramente, o sistema Ly=b:
y2= -2
2y1 + y2 = 1
2y1 + 3y2 + y3 = 3
O qual no fornece y1=-2, y2=5 e y3=-8. Por fim, obtemos a solução resolvendo o sistema Ux=y:
x1+ x2 + x3 = -2
-x2-3x3=5
8x3=-8
o qual fornece x3=-1, x2=-2 e x1=1.
Regra de Cramer
A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz:
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
x1 = 
x2 = 
x3 =    ...   xn = 
                             
Exemplo
Dado o sistema: 
2x + 8y = 0 
9x + 6y = 15 
Notemos que a matriz incompleta desse sistema é: 
 
Onde o determinante é dado por D = 2x6 – 8x9 →12 – 72 → – 60 
Verificamos que o D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado. 
A solução desse sistema será dada por: 
x = Dx / D e y = Dy / D 
Onde Dx e Dy são obtidos trocando a coluna x ou a y (de acordo com a que está calculando) pela coluna dos termos independentes. Observe: 
Calculando Dx: 
Dx : 
 
Dx= 0x6 – 8x15 = – 120 
x = Dx / D = – 120/– 60 = 2 
x = 2 
Calculando Dy: 
Dy: 
2x15 – 0x9 = 30 
y = Dy / D = 30 / – 60 = – 0,5 
y = – 0,5 
Resolva o sistema a seguir aplicando a Regra de Cramer. 
2x + 4y + 2z = 18 
4x + 2y – 2z = 6 
6x – 2y – 4z = - 8 
Obtendo a Matriz incompleta: 
Obtendo D: (aplicar regra de Sarrus)  
Dy: 
D= [-16 + (-48) + (-16)] – [-64 + 8 + 24]  
D=-16 -48 -16 +64 -8 -24 
     D=-48 
Calculando x:
Dx: 
Dx= -144 + 64 – 24 + 96 – 72 + 32 
       Dx=-48 
x = Dx / D = -48/-48 = 1 
x = 1 
Calculando y: 
Dy: 
Dy = -48 -216 -64 +288 -32 -72 
         Dy = -144 
y = Dy / D = -144/-48 = 3 
y = 3 
Calculando z:  
Dz: 
Dz= -32 +144 -144 +128 +24 -216 
       Dz= -96 
z = Dz / D = -96 / -48 = 2 
z = 2 
O terno ordenado  (1, 3, 2)  satisfaz o sistema