Lista do plantão 1 - Sólidos Semelhantes (Oficial)

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Lista do Plantão 1 - Sólidos Semelhantes 
 
1) Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 21cm de altura. Essa peça 
é seccionada por um plano paralelo à base, de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8 27 do 
volume da pirâmide original. 
 
A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número: 
a) fracionário. 
b) primo. 
c) múltiplo de 3. 
d) quadrado perfeito. 
 
2) O rótulo de uma embalagem de suco concentrado sugere que o mesmo seja preparado na proporção de 
sete partes de água para uma parte de suco, em volume. Carlos decidiu preparar um copo desse suco, mas 
dispõe apenas de copos cônicos, mais precisamente na forma de cones circulares retos. Para seguir 
exatamente as instruções do rótulo, ele deve acrescentar no copo, inicialmente vazio, uma quantidade de 
suco até 
a) metade da altura. 
b) um sétimo de altura. 
c) um oitavo da altura. 
d) seis sétimos da altura. 
e) sete oitavos da altura. 
 
3) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio 
com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da 
altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, 
conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e 
nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será 
 
 
a) 
3 7
h
2
 
b) 
3 7
h
3
 
 
 
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c) 
3 12
h
2
 
d) 
3 23
h
2
 
e) 
3 23
h
3
 
 
4) Considere um tronco de pirâmide regular, cujas bases são quadrados com lados medindo 4cm e 1cm. 
Se o volume deste tronco é 335cm , então a altura da pirâmide que deu origem ao tronco é: 
a) 5cm 
b) 
5
3
cm 
c) 
20
3
cm 
d) 20cm 
e) 30cm 
 
5) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um 
líquido, conforme a ilustração abaixo. 
 
 
 
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume 
submerso e o volume do sólido será igual a: 
a) 
1
2
 
b) 
3
4
 
c) 
5
6
 
d) 
7
8
 
 
6) Um cone circular reto, cuja medida da altura é h, é seccionado, por um plano paralelo à base, em duas 
partes: um cone cuja medida da altura é h 5 e um tronco de cone, conforme a figura. 
 
 
 
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A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor é: 
a) 15 
b) 45 
c) 90 
d) 125 
 
7) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão 
(H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 π m2, é 
de 
 
a) 12 m. 
b) 10 m. 
c) 8 m. 
d) 6 m. 
e) 5 m. 
 
8) Na figura a seguir tem-se, apoiado no plano á, um cone circular reto cuja altura mede 8 cm e cujo raio da 
base mede 4 cm. O plano â é paralelo a á e a distância entre os dois planos é de 6 cm. 
 
 
 
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O volume do cone que está apoiado no plano â é, em centímetros cúbicos, igual a 
a) 
3
π
 
b) 
2
π
 
c) 
2
3
π
 
d) 
3
4
π
 
e) 
4
5
π
 
 
9) Uma pirâmide regular tem altura 6 e lado da base quadrada igual a 4. Ela deve ser cortada por um plano 
paralelo à base, a uma distância d dessa base, de forma a determinar dois sólidos de mesmo volume. A 
distância d deve ser: 
 
10) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo 
vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de 
baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 
minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que 
em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto 
tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo? 
 
a) 5 minutos. 
b) 10 minutos. 
c) 15 minutos. 
d) 20 minutos. 
e) 30 minutos. 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
3 3 3
M M
m
M
V VH 21 27 21 21 3
h 14
8V h h 8 h h 2
V
27
     
             
     
 
 
Portanto, a distância solicitada é: 
d H h d 21 14 d 7       (Número primo) 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Se V é o volume do copo e v é o volume de suco concentrado, então deve-se ter 
3v 1 k ,
V 8
  
 
com k sendo a razão de semelhança. Logo, se H é a altura do copo e h é a altura de suco no copo, então 
3
h h 1 H
k h .
H H 8 2
 
     
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Como a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone, segue que a razão 
entre o volume de água e a capacidade V do recipiente é tal que 
 
2
2
3
H 0
H 0
v 1 V
v .
V 2 8
 
   
 
 
 
Desse modo, o volume de óleo é dado por 
 
2H O
V 7V
V v V .
8 8
    
 
Portanto, quando toda a água e nenhum óleo escoar, a altura x atingida pelo óleo é tal que 
 
3
3
3
7V
x x 78
V h h 8
7
x h.
2
 
   
 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
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Como a pirâmide menor e a maior são semelhantes, vem que 
 
3 3
v h 1 1
,
V H 4 64
   
     
   
 
 
sendo v o volume da pirâmide menor e V o volume da pirâmide que deu origem ao tronco. 
Além disso, como o volume do tronco é 335cm , temos 
 
3V 320V v 35 V 35 V cm .
64 9
       
 
Portanto, 
 
21 320 204 H H cm.
3 9 3
     
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Seja g uma geratriz do cone emerso e G uma geratriz do sólido. Segue que 
 
g 1
k,
G 2
 
com k sendo a constante de proporcionalidade. 
 
Assim, se v é o volume emerso e V é o volume do sólido, temos 
 
      
 
3
3v v 1 1 Vk v .
V V 2 8 8
 
 
Seja sV o volume submerso. 
    s
V 7V
V V v V .
8 8
 
 
Portanto, a razão pedida é 
 s
7V
V 78 .
V V 8
 
 
 
 
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Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
 
 
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