Questões de Geometria Espacial

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1. (Ufms 2020) Uma escultura foi criada, girando a figura a seguir ao longo do eixo e: 
 
 
 
O volume da escultura é: 
a) menor que 3150 cm .π 
b) igual a 3150 cm .π 
c) maior que 3150 cmπ e menor que 3
500
cm .
3
π
 
d) igual a 3
500
cm .
3
π
 
e) maior que 3
500
cm .
3
π
 
 
2. (Uel 2020 - Adaptada) Foram construídas cisternas em uma comunidade localizada no 
sertão nordestino, em pontos estratégicos, para que os moradores daquela localidade 
pudessem se abastecer de água, principalmente na época das secas. As cisternas foram 
construídas com formato de tronco de cone, com as seguintes medidas: o raio da base inferior 
mede 1m, o raio da base superior mede 2 m e a altura mede 1,5 m, como mostra a figura a 
seguir. 
 
 
 
Na época de secas, caminhões-pipas abastecem essas cisternas. Esse tipo de caminhão 
possui um tanque de armazenamento de água em formato cilíndrico, com 2 metros de 
diâmetro e 8 metros de comprimento 
 
Despreze as espessuras dos materiais dos quais são feitos as cisternas e o tanque do 
caminhão-pipa e suponha que as cisternas estejam completamente vazias de água e o tanque 
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completamente cheio, considere ainda que não há desperdício algum de água. 
 
Quantos tanques de caminhões-pipas completamente cheios de água são necessários para 
abastecer, no mínimo, 16 cisternas? 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
 
3. (Espcex (Aman) 2019) O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 3216 cm 
é igual a 
a) 338 cm .π 
b) 336 cm .π 
c) 334 cm .π 
d) 332 cm .π 
e) 330 cm .π 
 
4. (Unioeste 2019) Coloca-se uma esfera de raio r no interior de um recipiente com formato de 
um cilindro circular reto com raio da base R. Em seguida, preenche-se o recipiente com água 
até que a esfera fique exatamente coberta por água, ou seja, a esfera tangencia a superfície da 
água. Retira-se, então, a esfera e é observado que o nível da água é reduzido em 
1
.
4
 
 
O valor da razão 
r
R
 é igual a: 
a) 
1
.
4
 
b) 
3
.
2
 
c) 
3
.
2 2
 
d) 
2
.
2
 
e) 
3
.
4
 
 
5. (Espcex (Aman) 2019) Na figura abaixo, a equação da circunferência é 2 2x y 3  e a reta 
suporte do segmento MN tem coeficiente angular igual a 3. 
 
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O volume do sólido gerado pela rotação do trapézio MNPO em relação ao eixo y é 
a) 
3
.
8
π
 
b) 
21
.
8
π
 
c) 
9 3
.
8
π
 
d) 
24 3
.
8
π
 
e) 
63 3
.
8
π
 
 
6. (Ueg 2018) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico circular reto com 8 metros de 
diâmetro e teto no formato de hemisfério. Sabendo-se que a empresa responsável por construir 
o teto cobra R$ 300,00 por 2m , o valor para construir esse teto esférico será de 
 
Use 3,1π  
a) R$ 22.150,00 
b) R$ 32.190,00 
c) R$ 38.600,00 
d) R$ 40.100,00 
e) R$ 29.760,00 
 
7. (Acafe 2017) Um cone de revolução tem altura 8 cm e está circunscrito a uma esfera de 
raio igual a 2 cm. A razão entre o volume da esfera e o volume do cone igual a 
a) 1 4. 
b) 1 8. 
c) 1 2. 
d) 2. 
 
8. (Ueg 2017) Ao triplicarmos o raio e tomarmos a terça parte de uma esfera, ela possuirá, em 
relação à esfera original, um volume 
a) 2 vezes maior 
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b) 3 vezes maior 
c) 9 vezes maior 
d) 12 vezes maior 
e) 20 vezes maior 
 
9. (Acafe 2016) Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 
21cm de altura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo à base, de forma que o volume 
da pirâmide obtida seja 8 27 do volume da pirâmide original. 
 
A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número: 
a) fracionário. 
b) primo. 
c) múltiplo de 3. 
d) quadrado perfeito. 
 
10. (Uefs 2016) Uma bolha de sabão, esférica, não estouraria se sua área superficial fosse, no 
máximo, 44% maior. 
 
Logo, ela poderia conter um volume de ar em seu interior, sem estourar, até 
a) 32,4% maior. 
b) 44% maior. 
c) 53,6% maior. 
d) 66% maior. 
e) 72,8% maior. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
O volume da escultura é dado pela diferença entre os volumes de uma esfera de raio 5cm e 
de um setor esférico contido nessa mesma esfera, cuja altura é igual a 1 cm, ou seja, 
3 2
3
4 2 500 50
5 5 1
3 3 3 3
150 cm .
π π π π
π
     

 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pois, DAE BAC α  e ADE ABC 90 .   
 
Daí, 
3
x
2 2
1 x
3
2x x
2
3
x
2


 

 
 
O volume de uma cisterna é dado por: 
2 2
cisterna
cisterna
3
cisterna
1 1 3
V 2 3 1
3 3 2
V 4
2
7
V m
2
π π
π
π
π
       
 

 
 
O volume de um tanque é dado por: 
2
tanque
3
tanque
V 1 8
V 8 m
π
π
  

 
 
Daí, 
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7
n 8 16 n 8
2
π
π π    
7
17
π
 
7
n 8 16. n 7
2 2
     
mínimon 7 
 
Resposta: São necessários 7 tanques de caminhão-pipa para encher completamente 16 
cisternas. 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
 
 
Admitindo que r seja o raio da esfera concluímos que a medida da aresta do cubo é 2r, 
portanto podemos escrever que: 
3 3 3(2r) 216 8r 216 r 27 r 3 cm.       
 
Logo o volume da esfera será dado por: 
3 3
34 r 4 3v 36 cm
3 3
π π
π
   
   
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
 
 
Considerando a informação “Retira-se, então, a esfera e é observado que o nível da água é 
reduzido em 
1
."
4
, concluímos que o volume da esfera é a quarta parte do volume da água no 
cilindro. 
2
3 2 2 2
2
4 1 4 1 r 3 r 3
r R 2r r R
3 4 3 2 8 R 2 2R
π π             
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Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
 
 
A circunferência dada possui centro na origem e raio medindo 3 
tg 3 60 MNO é equilátero.
3 3 3 3
 NR e MR PO
2 2 2
α α Δ    

    
 
 
No MVO,Δ temos: 
VO
tg60 VO 3
3
    
 
O próximo passo será o cálculo do volume do tronco de cone. 
 
 
 
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2
21 1 3
V 3 3 3
3 3 2
3
V 3
8
21
v
8
π π
π
π
π
 
         
 
  


 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
 
 
Calculando a área A do teto do reservatório, temos: 
2
24 4A 32 32 3,1 99,2 m
2
π
π
 
     
 
Portanto, o valor pedido para a construção deste teto será: 
valor 99,2 R$ 300 R$ 29.760,00   
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Calculando: 
 
 
 
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       
 
 
e
2 2 2 2
c
c
3
e e
2
c c
e
c
OM OP R 2 cm
OA 8 2 6 cm
OA OP AP 36 4 AP AP 4 2
R MC
AMC APO
AM MC 8 MC
MC R 2 2
2AP PO 4 2
4 32
V 2 V
3 3
1 64
V 2 2 8 V
3 3
32
V 32 13
64V 64 2
3
π
π
π
π
π
π
  
  
      

 
     
    
     
  
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Como o volume de uma esfera é diretamente proporcional ao cubo de seu raio, segue que o 
volume da terça parte da nova esfera corresponde a 3
1
3 9
3
  vezes o volume da esfera 
inicial. 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
3 3 3
M M
m
M
V VH 21 27 21 21 3
h 14
8V h h 8 h h 2
V
27
     
             
     
 
 
Portanto, a distância solicitada é: 
d H h d 21 14 d 7       (Número primo) 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
Se 0r é o raio da bolha, então sua área superficial é 
2
04 r .π Logo, se sua área superficial fosse 
44% maior, então seu raio, r, seria tal que 
 
2 2
0 04 r 1,44 4 r r 1,2r .π π    
 
Portanto, ela poderia conter um volume de ar em seuinterior, sem estourar, até 
 
3 3
0
3
0
4 4
r (1,2r )
3 3
4
1,728 r ,
3
π π
π

 
 
 
ou seja, 72,8% maior. 
 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade 
 
Data de elaboração: 26/11/2020 às 14:02 
Nome do arquivo: ListaRevisãoFinal 
 
 
Legenda: 
Q/Prova = número da questão na prova 
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® 
 
 
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 
 
 
1 ............. 193682 ..... Média ............ Matemática ... Ufms/2020 ............................ Múltipla escolha 
 
2 ............. 195383 ..... Média ............ Matemática ... Uel/2020 ............................... Múltipla escolha 
 
3 ............. 183200 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2019 ........... Múltipla escolha 
 
4 ............. 189289 ..... Elevada ......... Matemática ... Unioeste/2019 ...................... Múltipla escolha 
 
5 ............. 183206 ..... Elevada ......... Matemática ... Espcex (Aman)/2019 ........... Múltipla escolha 
 
6 ............. 176023 ..... Média ............ Matemática ... Ueg/2018 ............................. Múltipla escolha 
 
7 ............. 168486 ..... Média ............ Matemática ... Acafe/2017 ........................... Múltipla escolha 
 
8 ............. 165756 ..... Baixa ............. Matemática ... Ueg/2017 ............................. Múltipla escolha 
 
9 ............. 150080 ..... Média ............ Matemática ... Acafe/2016 ........................... Múltipla escolha 
 
10 ........... 163737 ..... Média ............ Matemática ... Uefs/2016 ............................. Múltipla escolha