aula_05_macroeconomia-crescimento_2s20_t

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05 
MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO NEOCLÁSSICA: F(K, L) 
 
Propriedades: 
 
1) RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA 
 
 
 
 
 
2) RETORNOS POSITIVOS E DECLINANTES PARA OS INSUMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam K e L insumos rivais, então: 
 
F(λK, λL) = λ F(K, L) para todo λ > 0 
Para todo K > 0 e L > 0, temos: 
 
𝛛𝑭
𝛛𝑲
 > 0 , 
𝛛𝟐𝑭
𝛛𝑲𝟐
 < 0 e 
 
𝛛𝑭
𝛛𝑳
 > 0 , 
𝛛𝟐𝑭
𝛛𝑳𝟐
 < 0 
concavidade 
para baixo 
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MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO NEOCLÁSSICA: F(K, L) 
 
Propriedades: 
 
3) CONDIÇÕES DE INADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) ESSENCIALIDADE 
 
Para todo K > 0 e L > 0, temos: 
 
lim
𝑲→𝟎
𝛛𝑭
𝛛𝑲
 = lim
𝑳→𝟎
𝛛𝑭
𝛛𝑳
 = ∞ e lim
𝑲→∞
𝛛𝑭
𝛛𝑲
 = lim
𝑳→∞
𝛛𝑭
𝛛𝑳
 = 0 
 
 
O produto marginal do insumo alcança o infinito quando o insumo tende a zero, e 
zero quando o insumo tende a infinito 
F(0, L) = F(K, 0) = 0 
 
 
Uma quantidade estritamente positiva de cada insumo é requerida para que se 
obtenha uma quantidade positiva de produto 
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MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
HIPÓTESES DO MODELO 
 
1ª A ECONOMIA PRODUZ E CONSOME UM ÚNICO BEM HOMOGÊNEO 
 
 
 
2ª A TECNOLOGIA É EXÓGENA 
 
 
 
 
 
PREMISSAS DO MODELO 
 
1ª Famílias detêm todos os insumos e ativos da economia, incluindo o direito de 
propriedade das firmas, e escolhem o quanto de seus rendimentos serão alocados em 
consumo 
 
2ª Firmas controlam insumos (capital e trabalho) e os utilizam para produzirem bens que 
serão vendidos para famílias e outras firmas 
 
Portanto, NÃO EXISTE comércio (economia fechada) 
Portanto, toda a tecnologia está disponível para todas as firmas e não é afetada por 
decisões (ou ações) das próprias firmas 
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MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
MODELO-BASE DE SOLOW 
 
 
Uma FUNÇÃO DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
e uma EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL 
 
 
 
Que representa a forma como os insumos da economia – 
CAPITAL (K) e TRABALHO (L) – se combinam para gerar 
PRODUTO (Y) 
Que descreve como o CAPITAL (K) se acumula na economia 
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MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
MODELO-BASE DE SOLOW: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO 
 
 
Y = F(K, L) = 𝑲𝜶𝑳𝟏−𝜶 , 0 < α < 1 
 
 
Função Cobb–Douglas: f(x1, x2) = A x1
a x2
b 
 
onde: 
A: parâmetro que mede a escala de produção 
a, b: parâmetros que medem como a quantidade produzida responde 
as variações dos insumos 
 
 
Equivalente à forma funcional das PREFERÊNCIAS Cobb–Douglas 
 
 
Isoquantas Cobb–Douglas são BEM COMPORTADAS 
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MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
MODELO-BASE DE SOLOW: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO 
 
Y = 𝑲𝜶𝑳𝟏−𝜶 , 0 < α < 1 
 
Como se trata de uma função de produção neoclássica, a função apresenta retornos 
constantes de escala (o produto dobra se todos os insumos forem duplicados) 
 
 
Existe concorrência perfeita e as firmas são tomadoras de preço 
 
 
Firmas pagam aos trabalhadores um salário (w) para cada unidade de trabalho e pagam aos 
proprietários do capital um aluguel (r) para cada unidade de capital em um período 
 
 
Como firmas são maximizadoras de lucro: 
 
MAXK,L F(K, L) – rK – wL 
 
𝑲𝜶𝑳𝟏−𝜶 – rK – wL 
Y = wL + rK 
 
(a remuneração dos fatores exaure o 
valor do produto gerado) 
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MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
MODELO-BASE DE SOLOW: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO 
 
MAXK,L F(K, L) – rK – wL 
 
𝑲𝜶𝑳𝟏−𝜶 – rK – wL 
 
Aplicando a CPO: 
 
a) Firmas contratam trabalhadores até que o produto marginal se igual ao salário 
 
𝝏𝑭
𝝏𝑳
 = 0 => (1 – α) L 1–α–1 K α – 0 – w = 0 => (1 – α) 
𝑳𝟏−𝜶
𝑳
𝑲𝜶 = w ∴ w = (1 – α) 
𝒀
𝑳
 
 
b) Firmas arrendam capital até que o produto marginal se igual ao aluguel 
 
𝝏𝑭
𝝏𝑲
 = 0 => α K α–1 L 1-α – r – 0 = 0 => α 
𝑲𝜶
𝑲
𝑳𝟏−𝜶 = r ∴ r = α 
𝒀
𝑲
 
 
 
 
 
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MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
MODELO-BASE DE SOLOW: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO 
 
Como y = 
𝒀
𝑳
 e k = 
𝑲
𝑳
 e Y = F(K, L) = 𝑲𝜶𝑳𝟏−𝜶 
 
então 
𝒀
𝑳
 = F( 
𝑲
𝑳
 , 
𝒀
𝑳
 ) = ( 
𝑲
𝑳
 ) α ( 
𝑳
𝑳
 ) 1–α => y = k α (1) ∴ y = k α 
 
 
 
 
 
 
Testando a função: 
 
f’(k) = α kα–1 => f’(k) > 0 
 lim
𝑘→0
f’(k) = ∞ ; lim
𝑘→∞
f’(k) = 0 
f”(k) = (α – 1) α kα–2 => f”(k) < 0 
 
Logo, a cada unidade adicional de capital absorvida pelo trabalhador, o produto adicional 
gerado diminui 
Função de produção 
do modelo na forma 
intensiva 
y = kα 
f(k) 
k 
Com MAIS capital por trabalhador 
(k), firmas geram MAIS produto 
por trabalhador (y) 
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MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
MODELO-BASE DE SOLOW: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL 
 
Representa a forma como os ESTOQUES de capital e de trabalho variam ao longo do tempo 
 
Premissa: capital é um “bem” homogêneo que deprecia a uma taxa constante d> 0 
 
O aumento líquido do estoque de capital físico em dado tempo (t) corresponde ao 
investimento (I) menos a depreciação do estoque de capital total (dK) 
 
Ḱ = 
𝑑 𝐾
𝑑 𝑡
 = lim
∆𝑡 →0
𝐾𝑡− 𝐾𝑡−∆𝑡
∆𝑡
 => Ḱt = It – dKt [1] 
 
 
Como a economia é fechada: S = I = s[F(k, L)] = sY e a única utilização do investimento é a 
acumulação de capital 
 
Então, em [1]: Ḱ = sY – dK => Ḱ (1/L) = sY (1/L) – dK (1/L) 
 
Como y = Y/L e k = K/L, então: Ḱ/L = sy – dk [2] 
Equação de acumulação de capital 
05 
MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
MODELO-BASE DE SOLOW: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL 
 
Ḱ/L = sy – dk 
 
Como k = K/L => ln k = ln (K/L) => ln k = ln K – ln L 
 
 
𝑑 (ln 𝑘)
𝑑 𝑘
 
𝑑 𝑘
𝑑 𝑡
 = 
𝑑 (ln 𝐾)
𝑑 𝐾
 
𝑑 𝐾
𝑑 𝑡
−
𝑑 (ln 𝐿)
𝑑 𝐿
 
𝑑 𝐿
𝑑 𝑡
 => (1/k) ḱ = (1/K) Ḱ – (1/L) Ŀ ∴ 
ḱ
𝑘
 = Ḱ
𝑲
−
Ŀ
𝑳
 [3] 
 
Como a participação do trabalho é constante, sua tx crescimento também é: 
Ŀ
𝑳
 = n 
 
Então, em [3]: ḱ / (K / L) = (Ḱ / K) – n => ḱ = (K / L) [(Ḱ / K) – n] => ḱ = (Ḱ / L) – (K / L) n 
 
=> ḱ = (sy – dk) – kn ∴ ḱ = sy – (n + d)k [4] 
 
onde: 
sy: investimento per capita AUMENTA k 
dk: depreciação per capita REDUZ k 
nk: crescimento populacional REDUZ K 
Sem novos investimentos (Ḱ = 0), k diminui 
(pois ḱ = – nk) 
Equação de acumulação de capital 
05 
MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO 
MODELO DE SOLOW 
 
MODELO-BASE DE SOLOW: DIAGRAMA DE SOLOW 
 
O modelo: 
 uma função de produção: Y = 𝑲𝜶𝑳𝟏−𝜶 , y = k α 
 uma equação de acumulação de capital: Ḱ/L = sy – dk , ḱ = sy – (n + d)k 
 
O diagrama: 
y = kα 
f(k) 
k 
sy = skα 
(n + d)k 
k* 
y* 
(n + d)k* = sy* 
Produto da economia Novo investimento per 
capita necessário para 
manter CONSTANTE o 
montante de capital por 
trabalhador 
Montante de investimento per capita 
(função de produção REDUZIDA por s) 
k = k*: ESTADO ESTACIONÁRIO