Prévia do material em texto

MBA EM GERENCIAMENTO DE PROJETOS 6/13 
 
PROFESSOR: MARCUS MANOEL FOMM 
 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 MBA EM GERENCIAMENTO DE PROJETOS 6/13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. MARCUS MANOEL FOMM 
 
 
 
 ii
Sumário 
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 1 
1.1 EMENTA 1 
1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL 1 
1.3 OBJETIVOS 1 
1.4 METODOLOGIA 1 
1.5 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 1 
1.6 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 2 
CURRICULO VITAE DO PROFESSOR 3 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 4 
2. JUROS SIMPLES 5 
2.1 CRESCIMENTO LINEAR 5 
2.2 TAXA EQUIVALENTE E TAXA PROPORCIONAL NO REGIME DE JUROS SIMPLES 5 
2.3 JURO EXATO E JURO COMERCIAL 6 
2.4 FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES 6 
2.5 APLICAÇÃO DAS FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES 7 
3. JUROS COMPOSTOS 9 
3.1 CRESCIMENTO EXPONENCIAL 9 
3.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM FLUXO DE CAIXA 9 
3.3 MODELO PADRÃO 10 
3.4 NÃO CONVENCIONAIS 11 
3.5 TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES 13 
3.6 TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL 16 
3.7 TAXAS REAL, PREFIXADA E PÓS-FIXADA 18 
3.8 TAXA PRÉ OU TAXA PÓS? 20 
4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 21 
4.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 22 
4.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – SAF 23 
4.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO COM PAGAMENTOS DIFERENTES 24 
 
 
 
 iii
5. CÁLCULOS COM JUROS COMPOSTOS 25 
6. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE – TMA 30 
7. VALOR PRESENTE - VP 31 
8. VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL 32 
9. VALOR PRESENTE LÍQUIDO ANUALIZADO - VPLA 34 
10. TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 35 
11. FLUXOS EM MOEDA NOMINAL E CONSTANTE 38 
12. PERPETUIDADE 40 
13. DESCONTO 42 
13.1 DESCONTO SIMPLES – POR FORA 42 
13.2 DESCONTO COMPOSTO – POR DENTRO 45 
14. EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES - RESOLVIDOS 46 
15. EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS - RESOLVIDOS 47 
16. UTILIZANDO AS TECLAS BÁSICAS DA HP-12C 49 
 
 
 
Matemática Financeira 
1 
1. Programa da Disciplina 
1.1 Ementa 
O valor do dinheiro no tempo. Representação gráfica de um fluxo de caixa. Juros 
simples e juros compostos. Taxas equivalentes, nominais e efetivas. Séries 
uniformes de pagamentos. Sistemas de amortizações de empréstimos. Métodos de 
análise de fluxos de caixa. Valor presente, valor presente líquido, taxa interna de 
retorno. Análise de fluxos de caixa indexados. Desconto simples e composto. 
1.2 Carga horária total 
12 horas de aula 
1.3 Objetivos 
Dar um sólido embasamento teórico indispensável ao estudo de finanças. 
Compreender as diferenças dos variados tipos de taxas de juros. Analisar a 
evolução do saldo devedor, da amortização e dos juros de um empréstimo. Calcular 
o valor presente e valor futuro de fluxos de caixa. Propiciar um amplo 
entendimento do cálculo do valor do dinheiro no tempo. 
1.4 Metodologia 
Aulas expositivas dos aspectos teóricos, calcadas em exemplos de aplicabilidade 
prática, exercícios e estudo de casos . Indispensável o uso da calculadora financeira 
HP-12C ou qualquer outra similar. 
1.5 Critérios de avaliação 
 Prova única constante de resolução de casos apresentados, estudados e resolvidos 
em sala de aula. (sem consulta) 
 
 
 
Matemática Financeira 
2 
1.6 Bibliografia Recomendada 
PUCCINI, Abelardo de Lima – Matemática Financeira – Editora Saraiva - 2007 
 
VARGAS, Ricardo Viana – Análise de Valor Agregado em Projetos – Rio de Janeiro – 
2002 – Brasport 
 
HERINGER, Marcos Guilherme, e outros – Matemática Financeira – FGV Editora - 
2003 
 
ZOTES, Luis Pérez – Viabilidade Econômico-Financeira de Projetos – FGV Editora -
2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
3 
Curriculo vitae do professor 
Marcus Manoel Fomm 
Pós-graduado em Mercado de Capitais pela Escola de Pós-Graduação em Economia 
do Instituto Brasileiro de Economia da Fundação Getulio Vargas-RJ, graduado em 
Economia pela Faculdade de Economia e Finanças do Rio de Janeiro, membro da 
Associação dos Diplomados da Escola Superior de Guerra. Exerceu a função de 
economista sênior no Banco Nacional do Desenvolvimento Econômico e Social, foi 
diretor Administrativo Financeiro de diversas empresas localizadas no Polo 
Petroquímico de Camaçari – BA. Autor de diversos artigos sobre finanças 
corporativas e livro / software de Simulação Empresarial utilizado em trabalhos de 
consultoria e instituições de ensino superior. Autor do livro Viabilidade Econômico-
Financeira de Projetos e software de Simulação. É professor nos cursos de MBA da 
FGV-RJ, cursos de extensão no Centro Universitário de Barra Mansa – UBM e 
apresentador de seminários e programas de treinamento para diversas instituições. 
Atualmente presta consultoria empresarial nas áreas de administração e finanças. 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
4 
Matemática Financeira 
A matemática financeira estuda do valor do dinheiro no decorrer do tempo. Analisa 
as operações de caráter financeiro que envolvam entradas e saídas de caixa 
ocorridas em datas distintas. 
A matemática financeira propõe-se avaliar fluxos de caixa, de modo a permitir uma 
tomada de decisão racional. 
Os regimes de juros estudados na matemática financeira são conhecidos como 
juros simples e juros compostos que adiante serão estudados. 
 
 
Matemática Financeira 
5 
2. Juros Simples 
2.1 Crescimento Linear 
Neste regime, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital 
inicial. Nesse caso, os juros não são capitalizados e, conseqüentemente, não 
rendem juros. Apenas o principal (PV) rende juros. 
 
10% ao ano 
Ano Saldo no 
início ano 
Juros do 
ano 
Saldo no 
final ano 
1 2.000,00 200,00 2.200,00 
2 2.000,00 200,00 2.400,00 
3 2.000,00 200,00 2.600,00 
2.2 Taxa Equivalente e Taxa Proporcional no Regime 
de Juros Simples 
Taxa Equivalente 
Taxas de juros expressas em unidades de tempo diferentes são ditas equivalentes 
quando o resultado apresentado apresenta montante igual. 
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de 
juros e, conseqüentemente, o mesmo montante linear de juros. 
Exemplo: 
Um capital de $500.000,00, se aplicado a 2,5 % ao mês ou 15 % ao semestre pelo 
prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. Isto é: 
J (2,5 %ao mês) = 500.000,00 x 0,025 x 12 = $150.000,00 
J (15,0 % ao semestre) = 500.000,00 x 0,15 x 2 = $150.000,00 
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são 
definidas como equivalentes. 
 
 
Matemática Financeira 
6 
Taxa Proporcional 
No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas 
equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de 
duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. 
No exemplo acima, observe que 2,5 % ao mês é equivalente a 15,0 % ao 
semestre, verificando-se ainda uma proporção entre as taxas. A taxa de 2,5% está 
relacionada ao período de um mês, e a de 15,0 % a seis meses. 
2.3 Juro Exato e Juro Comercial 
É comum no cálculo de juros simples o prazo estar definido em número de dias. 
Nestes casos , o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: 
 Pelo tempo exato, utilizando o calendário civil de 365 dias. O juro apurado 
desta maneira denomina-se juro exato. 
 Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano comercial 
com 360 dias. Por esse método denomina-se de juros comercial ou 
ordinário. 
Exemplos: 
Juro exato = 12% / 365 = 0,032877% ao dia 
Juro Comercial + 12% / 360 = 0,033333% ao dia 
2.4 Fórmulas de Juros Simples 
 
N Função Fórmula 
1 Cálculo Juros a Partir do Capital J = PV x i x n 
2 Cálculo do Montante a Partir do 
Capital 
FV = PV x (1 + (i x n)) 
3 Cálculo do Capital a Partir do 
Montante 
PV = FV / (1 + (i x n)) 
4 Cálculo do Número de Períodos n = ((FV / PV) – 1) / i 
5 Cálculo da Taxa de Juros i = ((FV / PV) – 1) / n 
6 Cálculo do Período a Partir dos Juros n = J / (PV x i) 
7 Cálculo do capital a Partir dos Juros PV = J / ( i x n ) 
8 Cálculo da Taxa de Juros i = J /( PV x n )Matemática Financeira 
7 
2.5 Aplicação das Fórmulas de Juros Simples 
 
CÁLCULO DOS JUROS A PARTIR DO CAPITAL 
 
Um capital de $ 2.000,00 é aplicado à taxa de juros de 2,3 % ao mês durante três 
meses. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados nesse período. 
J = PV x i x n 
J = 2.000,00 x 0,023 x 3 = $ 138,00 
 
CÁLCULO DO MONTANTE A PARTIR DO CAPITAL 
 
Quando um capital é aplicado a uma taxa de juros por determinado tempo, produz 
um valor acumulado denominado montante. O montante é o valor acumulado do 
valor aplicado mais o valor acumulado dos juros. 
 
CÁLCULO DO MONTANTE A PARTIR DO CAPITAL 
Um investidor aplicou $ 25.000,00 à taxa de 3,00% ao mês durante 6 meses. 
Calcular o valor acumulado ao final deste período. 
FV = PV x (1 + (i x n)) 
FV = 25.000,00 x ( 1 + (0,03 x 6 ) = $ 29.500,00 
 
 
 
CÁLCULO DO CAPITAL A PARTIR DO MONTANTE - ( 3 ) 
Uma dívida de $ 29.500,00 irá vencer em 6 meses. O credor está oferecendo um 
desconto de 3,00% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento. 
Calcular o valor a ser pago se o devedor aceitar a proposta. 
PV = FV / (1 + (i x n)) 
PV = 29.500,00 / (1 +( 0,03 x 6)) = 29.500,00 / 1,18 = $ 25.000,00 
 
NÚMERO DE PERÍODOS 
Por quantos períodos deve-se manter uma aplicação no valor de $ 1.363,40, à taxa 
de 1,5 % ao trimestre, para gerar um montante de $ 3.000,00? 
n = ((FV / PV) – 1) / i 
 
 
 ( ( 3.000,00 / 1.363,40) - 1 ) 
n = ------------------------------------- = 80,03 trimestres 
 0,015 
 
CÁLCULO DA TAXA DE JUROS 
Qual a taxa de juros que, aplicada a um capital no valor de $ 1.800,00 , gera como 
montante $ 3.600,00 no período de quatro semestres? 
i = ((FV / PV) – 1) / n 
 
 
 ( ( 3.600,00 / 1.800,00 ) – 1 ) 1 
i = --------------------------------------- = -------------- = 0,25 = 25 % ao semestre 
 4 4 
 
 
Matemática Financeira 
8 
Prova: 
FV = PV + ( PV x i x n ) = 1.800,00 x ( 1.800,00 x 0,25 x 4 ) = 1.800,00 + ( 
1.800,00 ) = $ 3.600,00 
 
CÁLCULO DO PERÍODO A PARTIR DOS JUROS 
Um capital de $10.000,00 foi aplicado à taxa de 5% ao mês, tendo rendido ao final 
do período, $1.500,00. Calcular o período de aplicação do capital. 
n = J / ( PV x i ) 
n = 1.500,00 / ( 10.000,00 x 0,05 ) = 3 meses 
 
CÁLCULO DO CAPITAL A PARTIR DOS JUROS 
Um capital foi aplicado à taxa de 4% ao mês pelo período de 5 meses. Os juros ao 
final do período foram de $2.000,00. Calcular o valor do capital aplicado. 
PV = J / ( i x n ) 
PV = 2.000,00 / ( 0,04 x 5 ) = $10.000,00 
 
CÁLCULO DA TAXA A PARTIR DOS JUROS 
Um capital de $15.600,00 foi aplicado por 4 meses. O rendimento ao final do 
período foi de $4.698,72. Calcular a taxa de aplicação. 
 i = J /( PV x n ) 
i = 4.698,72 / ( 15.600,00 x 4 ) = 7,53% 
 
 
Matemática Financeira 
9 
3. Juros Compostos 
3.1 Crescimento Exponencial 
 
No regime de juros compostos, os juros apurados em cada período, quando não são 
pagos ao final do período, são somados ao valor do capital e, conseqüentemente, 
passam a render juros. 
 
10% ao ano 
Ano Saldo no 
início ano 
Juros do 
ano 
Saldo no 
final ano 
1 2.000,00 200,00 2.200,00 
2 2.200,00 220,00 2.420,00 
3 2.420,00 242,00 2.662,00 
 
3.2 Representação Gráfica de um Fluxo de Caixa 
 
Diagrama:
 
FC1 
FC2 
FC4
FCn
FC0 
FC3
1 2 4 n
0 3 Períodos 
(unidades de tempo) 
...
FCj = Fluxo de Caixa j
 
 
No eixo horizontal do diagrama estão as unidades de tempo e as datas de 
ocorrência das entradas e saídas de caixa. Normalmente a unidade de tempo é 
denominada período e expressa em dia, mês, ano etc.. A data inicial de ocorrência 
dos fluxos de caixa é representada por zero, enquanto a data n representa o prazo 
da operação. 
 
Matemática Financeira 
10 
No eixo vertical estão as entradas e saídas líquidas de caixa. As entradas líquidas 
de caixa, representadas por setas verticais apontadas para cima, caracterizam-se 
por apresentar valores de entrada de caixa. Já as saídas líquidas de caixa, são 
representadas por setas verticais apontadas para baixo. 
Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos e recebimentos que se 
estima ocorrer em determinado período de tempo. 
Os fluxos de caixa podem ser verificados nas mais variadas formas e tipos em 
termos de períodos de ocorrência (postecipados, antecipados, diferidos), de 
periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes), de duração (limitados ou 
infinitos), e de valores (constantes ou variáveis). 
3.3 Modelo Padrão 
O modelo-padrão de um fluxo de caixa acontece quando os termos de uma 
sucessão de saídas (pagamentos) ou entradas (recebimentos) apresentam, ao 
mesmo tempo, as seguintes classificações: 
 
 Postecipados – indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos 
começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. 
 Limitados – o prazo total do fluxo de caixa é finito. 
 Constantes – indica que os valores dos termos que compõem o fluxo de 
caixa são iguais entre si. 
 Periódicos – nesse caso, os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos 
entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 100 100 100 100 
 FC1 FC2 FC3 FC4 
 
 
 
FC0 
(300) 
 
Matemática Financeira 
11 
3.4 Não Convencionais 
Período de Ocorrência 
 
Com relação ao período em que o fluxo começa a ocorrer, pode ser considerado 
como postecipado, antecipado e diferido. 
 
Postecipado: 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT 
 ..... 
 0 1 2 3 4 n (tempo) 
 
No tipo postecipado, a série de recebimentos começa a ocorrer exatamente ao final 
do primeiro período, conforme é representado graficamente acima. 
Esse fluxo enquadra-se no modelo-padrão detalhado inicialmente. 
 
 
Antecipado: 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
 ..... 
 
 0 1 2 3 4 n (tempo) 
 
 
 Antecipado 
 
 
O fluxo de caixa antecipado indica a série de valores e começa a ocorrer antes do 
final do primeiro período, conforme é representação gráfica acima. Por exemplo, 
um aluguel pago no início do período de competência (geralmente no início do mês) 
enquadra-se como um fluxo de caixa antecipado por um período (mês). Se dois 
aluguéis 
forem adiantados ao locador, a antecipação é de dois períodos, e assim por diante. 
A determinação do valor presente e montante de um fluxo de caixa antecipado não 
apresenta maiores novidades. Além de ter-se sempre a opção de atualizar ou 
corrigir os seus termos individualmente, pode-se também utilizar a fórmula do 
modelo-padrão para a parte convencional do fluxo, e adicionar os termos 
antecipados (corrigidos) a esse resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
12 
Por exemplo, admita o seguinte fluxo de caixa com antecipação de dois períodos: 
 
 
70,00 70,00 70,00 70,00 70,00 70,00 70,00 70,00 70,00 70,00 
 |_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______| 
 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
 
 Antecipação Modelo Básico (tempo) 
 
 
Diferido: 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 0 1 2 3 4 5 6 n(tempo) 
 
 Carência 
 
O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o final do 
primeiro período. 
 
Periodicidade 
 
A periodicidade está ligada aos intervalos de tempo em que os fluxos de caixa 
ocorrem. Se esses intervalos forem sempre iguais, os fluxos são periódicos. 
Por outro lado, se os termos ocorrerem em intervalos irregulares, diferentes, temos 
um fluxo de caixa não periódico. 
 
Periódicos: 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 0 1 2 3 4 5 6 n (tempo) 
 
 
Não Periódicos: 
 
 PMT PMT PMT PMT 
 
 0 1 2 3 4 5 6 n (tempo) 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
13 
3.5 Taxas de Juros Equivalentes 
Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a própria 
taxa proporcional da operação. 
O conceito do enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de 
juros compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo da taxa de 
juros. 
Por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa equivalente 
composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro, isto é: 
iq = (1 + i)(1/n) - 1 
q = número de períodos de capitalização. 
Por exemplo, a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de 
1,66% ao mês, ou seja: 
iq = (1,103826) (1/6) – 1 = 0,0166% ou 1,66% ao mês 
Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente (equivalente) o 
rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. Ilustrativamente, um 
capital de $100.000,00 aplicado por dois anos produz: 
 
Para i = 1,66% a.m. e n = 24 meses: 
FV = 100.000 (1,0166) 24 = $148.457,63 
Para i = 10,3826% a.s. e n = 4 semestres: 
FV = 100.000 (1,103826) 4 = $148.457,63 
 
Outra ilustração visa facilitar o melhor entendimento do conceito e cálculo de taxa 
equivalente de juros no regime exponencial. 
Um certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira 
é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Desta maneira, uma aplicação de 
$10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de $11.200,00 ($10.000,00 x 
1,12). 
Efetivamente, os 12% constituem-se na taxa de rentabilidade da operação para o 
período inteiro de um semestre, e, em bases mensais, esse percentual deve ser 
expresso 
em termos de taxa equivalente composta. 
Assim, os 12% de rendimentos do semestre determinam uma rentabilidade efetiva 
mensal de 1,91%, e não de 2% conforme anunciado. 
De outra maneira: 
 
i6 = (1,12) (1/6) –1 = 0,0191 ou 1,91% a.m. 
 
Naturalmente, ao se aplicar $10.000,00 por 6 meses a uma taxa composta de 
1,91% ao mês, chega-se ao montante de $11.200,00: 
 
FV = 10.000,00 x (1,0191) 6 = $11.200,00 
 
Verifica-se, então, que o processo de descapitalização da taxa de juro no regime 
composto processa-se pela apuração de sua média geométrica, ou seja, da taxa 
equivalente. Neste caso, o percentual de juro considerado representa a taxa efetiva 
de juro da operação. 
 
Matemática Financeira 
14 
 Exemplos: 
1. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao 
ano? 
Solução: 
a) Taxa de juros equivalente mensal 
i = 25% a.a. 
q = 1 ano (12 meses) 
i12 = (1,25) (1/12) – 1 = 1,877 % ao mês. 
 b) Taxa de juros equivalente trimestral 
q = 1 ano (4 trimestres) 
i4 = (1,25) (1/4) – 1 = 5,737 % ao trimestre. 
 
2. Explicar a melhor opção: aplicar um capital de $ 60.000,00 à taxa de juros 
compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano, para o período de 12 
meses. 
Solução: 
Para a identificação da melhor opção apura-se o montante para as duas taxas para 
o mesmo período. 
Por exemplo, n = 1 ano. 
 
FV (9,9% ao semestre. ) = 60.000,00 x (1 + 0,099)2 = $72.468,00 
FV (20,78% ao ano ) = 60.000,00 x (1 + 0,2078) = $72.468,00 
 
A taxa de 9,9% a.s. produz o mesmo montante que 20,78% a.a. para um mesmo 
prazo. Neste caso, diz-se que as taxas são equivalentes. É indiferente, para um 
mesmo prazo, e para o regime de juros compostos aplicar a 9,9% a.s. ou a 
20,78% a.a. 
 
3. Demonstrar se a taxa de juros de 12,5000% ao trimestre é equivalente à taxa 
de 21,6898% para cinco meses. Calcular a taxa equivalente mensal composta 
dessas duas taxas. 
Taxa Equivalente Mensal (descapitalização): 
i mensal = (1,125) (1/3) - 1 = 4,00 % ao mês 
i mensal = (1,216898) (1/5) - 1 = 4,00 % ao mês 
 
A taxa equivalente é aquela que aplicada a um mesmo capital e pelo mesmo 
período de tempo, produz o mesmo volume de juros e, conseqüentemente, o 
mesmo montante de juros. Por se tratar de capitalização exponencial, a expressão 
da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período 
inteiro. 
 
 
Podemos utilizar a HP12-C para efetuar os cálculos. Assim vamos achar a taxa 
equivalente ao mês para uma taxa de 25% ao ano. Nesse caso passamos de um 
período maior para um período menor. 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
15 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
1,25 
ENTER 1,25 
12 
1/x 0,08333 
yx 1,018769 
1 
- 0,018769 
100 
x 1,8769 
 
 
Agora desejamos encontrar a taxa equivalente ano para a taxa de1,8769% ao mês. 
 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
1,018769 
ENTER 1,018769 
12 
yx 1,25 
1 
- 0,25 
100 
x 25,00 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
16 
3.6 Taxa Efetiva e Taxa Nominal 
A taxa efetiva é a taxa de juros apurada durante todo o prazo “n”, sendo formada 
exponencialmente através dos períodos de capitalização. Taxa efetiva é o processo 
de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de 
capitalização. 
 
Fórmula: 
 
i = ( 1 + i )n – 1 
 
Exemplo: 
 
1 – Uma taxa de 3,8 % ao mês determina um montante efetivo de juros de 56,45 
% ao ano, ou seja: 
i = ( 1 + i )n – 1 
 
i = ( 1 + 0,038 )12 – 1 = 56,45 % ao ano 
 
Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros é nominal, geralmente é 
admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e 
incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de 
juros. 
 
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada 
mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um 
mês e o prazo a que se refere a taxa de juros é igual a um ano (12 meses) 
 
Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um 
período inteiro, a qual se deve ser atribuída ao período de capitalização. 
Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre 
por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de 
capitalização é de 36% /12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear). 
 
Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior 
àquela declarada para a operação. Baseando-se nos dados do exemplo ilustrativo 
acima, tem-se: 
Taxa nominal da operação para o período = 36% ao ano 
Taxa proporcional simples 
(taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês 
Taxa efetiva de juros : i = (1+(0,36/12))12 – 1 = 42,6 % ao ano 
Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação. 
Ao dizer que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados mensalmente, apura-se 
que a efetiva taxa de juros atinge 42,58% ao ano. 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
17 
 Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
1,03 
ENTER 1,03 
12 
yx 1,4258 
1 
- 0,4258 
100 
x 42,58 
 
Exemplos: 
1. Um empréstimo no valor de $11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa 
nominal (linear) de jurosde 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se 
determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo. 
 
Solução: Admitindo que a taxa de juros pelo período de capitalização seja a 
proporcional simples; tem-se: 
Taxa nominal (linear) i = 32% a.a. 
Descapitalização proporcional i = 32% / 4 = 8% a.t. 
Montante do empréstimo: 
FV = PV x (1 + i) 4 
FV = 11.000,00 x (1,08) 4 = $14.965,40 
Taxa Efetiva: i = (1 + 0,08) 4 –1 = 36,05 % ao ano 
 
2. A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à 
base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira. 
Solução: Taxa Efetiva i = (1 + 0,06/12) 12 - 1 = 6,17% ao ano 
 
3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, 
calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros 
seja: 
 
 a) mensal; 
 b) trimestral; 
 c) semestral. 
 Solução: 
a) Custo efetivo i = (1 + 0,24/12) 12 – 1 = 26,82% a.a. 
b) Custo efetivo (i) = (1 + 0,24/4)4 – 1 = 26,25% a.a. 
c) Custo efetivo (i) = (1 + 0,24/2)2 – 1 = 25,44% a.a. 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
18 
3.7 Taxas Real, Prefixada e Pós-Fixada 
Taxa de Juros Real 
 
O significado de taxa de juros real pode ser melhor compreendido a partir dos 
conceitos e taxas apresentados a seguir. Todas as taxas referem-se a um mesmo 
período. 
No Brasil, atualmente, utilizam-se vários índices que medem a inflação ou deflação, 
isto é, o aumento ou a diminuição (variação) persistente e generalizada dos preços 
de bens e serviços na economia. Cabe citar como exemplos o IGP-M, o INPC, a TR, 
a taxa Selic, entre outros. Todavia, você só deve considerar o índice que mede a 
variação de preços (ou que realiza a atualização monetária do poder aquisitivo). 
Trata-se, aqui, da hipótese mais habitual de variação de preços, que é a de 
inflação. 
 
Exemplo: 
Num determinado período, seu salário de $1.000,00 foi reajustado em 50%. 
Sabendo que a inflação no mesmo período foi de 40%, em quanto aumentou ou 
diminuiu o poder compra do salário (ganho ou perda real, respectivamente) no 
período, em termos de taxa e de valor? 
Solução: Dados: i = 50%; inflação = 40% 
De acordo com a fórmula de Fischer, dividir o fator de taxa cheia, predeterminada, 
pelo fator de correção monetária. 
Logo, a taxa real, %, de acréscimo do salário, é dada por: 
 
r 
1 0,5
1 0,4
1  r 
0,5 0,4
1 0,4

01
1,4
 r  7,14% 
 
 
 1.000,00 (1 + 0,5) = $1.500,00; 
 1.000,00 (1 + 0,4) = $1.400,00; 
 1.500,00 - $1.400,00 = $100,00. 
 
Houve, por tanto, um ganho real de $100,00. (a preços do fim do período) 
 
 
Taxas de Juros Prefixada 
As operações de mercado podem ser classificadas em operações de renda fixa e de 
renda variável. Uma operação de renda fixa pode ser prefixada ou pós-fixada. 
Por operação de renda fixa prefixada entende-se uma operação com títulos (papéis) 
na qual o investidor e o devedor já conhecem, no dia da transação, a taxa de 
retorno, e também o valor nominal do título no dia do resgate (vencimento). 
 
 
Matemática Financeira 
19 
Exemplo: 
Um aplicador comprou um CDB, no valor de $100.000,00, com prazo de 
vencimento em 12 meses e com uma taxa de juros prefixada de 13,75% ao ano. 
Nesse caso, a taxa já está prefixada e o valor de resgate será de $100.000,00 
acrescido do rendimento de 13,75% ao ano. 
FV = PV x ( 1 + i )n 
FV = 100.000,00 x ( 1 + 0,1375 )1 = $113.750,00 
 
 
Taxa Juros Pós-Fixada 
 
Em contrapartida, diz-se que uma operação é de renda fixa pós-fixada quando o 
aplicador e o devedor conhecem, no dia da efetivação, a taxa de rendimento, e 
também uma estimativa (e não o valor certo) do índice de atualização monetária 
pactuado na operação. O valor nominal do título só será conhecido posteriormente 
à data da aplicação. 
 
Exemplo: 
Um investidor compra um CDB pelo valor de $100.000,00 para vencer daqui a 12 
meses. A taxa de juros real negociada com o gerente da instituição financeira foi de 
6,35% ao ano. A correção monetária (inflação) projetada, do mesmo 
período, foi de 5,50%. 
Nesse caso, espera o investidor que o resgate seja de: 
FV = PV x ( 1 + i )n x ( 1 + cm)n 
FV = 100.000,00 x ( 1 + 0,0635 )1 x ( 1 + 0,055)1 = $112.199,25 
Considerando que o comportamento da indexação ao longo do tempo é 
exponencial, e que nos n períodos as taxas de correção monetária (cm) tenham 
sido iguais, obtém-se: 
 
FV  PV 1 i n  FV  PV 1 r n 1 cm n  PV 1 r  1 cm  n 
 
Exemplo: 
Calcular o montante relativo a $2.500,00, aplicados a juros compostos no fim de 12 
meses, supondo-se uma taxa de correção monetária constante de 2% ao mês, de 
modo a garantir à operação uma rentabilidade real de 1% ao mês. 
Solução: Dados: $2.500,00; n = 12 meses; cm = 2% a.m.; r = 1% a.m. 
 
 
 
Matemática Financeira 
20 
3.8 Taxa Pré ou Taxa Pós? 
Um investidor se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para 
aplicação de um capital por um período: 
a) taxa efetiva prefixada de 24%; 
b) taxa real de 6,5%. 
Qual a melhor taxa? Responda com base na taxa de inflação esperada, embutida na 
taxa prefixada. 
Solução: 
Dados: i = 24%; r = 6,5% 
Inflação esperada no período = 16,43% 
 
Assim, se a expectativa de inflação for maior do que 16,43% no período, é melhor 
aplicar pela taxa r. Se a expectativa de inflação for menor do que 16,43% no 
período, é melhor aplicar pela taxa i. 
 No caso de a expectativa de inflação ser igual a 16,43% no período, é indiferente 
aplicar pela taxa prefixada ou pela taxa pós-fixada. 
 
 
Matemática Financeira 
21 
4. Sistemas de Amortização de 
Empréstimos 
Os sistemas de amortização são empregados na amortização de empréstimos e 
financiamentos, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos 
financeiros. 
Uma característica fundamental dos sistemas de amortização é a utilização 
exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor 
apurado em período imediatamente anterior. 
 
Destacamos os seguinte sistemas de amortização: 
 Sistema de Amortização Constante – SAC 
 Sistema de Amortização Francês – ( Price ) – SAF 
 Sistema de Amortização Misto – SAM 
 Sistema de Amortização Americano – SAA 
 Sistema de Amortização Variável. Parcelas Intermediárias 
Vamos estudar os dois métodos mais utilizados, SAC, SAF. 
 
DEFINIÇÕES BÁSICAS 
 Encargos Financeiros / Despesas Financeiras – representam os juros da 
operação, caracterizando o custo para o devedor e retorno para o credor. 
 
Amortização – Refere-se ao pagamento do principal (capital emprestado) , o qual 
é efetuado, geralmente, em parcelas periódicas. 
 
Saldo Devedor - Trata-se do valor da dívida, em determinado momento, após a 
dedução do valor já pago ao credor a título de amortização. 
 
Prestação – Representa a soma do valor da amortização com os encargos 
financeiros devidos em determinado período. 
 
Carência – É o período em que se deixa de amortizar o principal e os juros. No 
entanto, pode haver carência somente do principal com pagamento dos juros no 
período de carência. 
Conceitos gerais 
O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos 
periódicos (prestações) de modo a liquidar o saldo devedor. 
Tais prestações consistem em duas parcelas: a amortização (A) e os juros (J), 
correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizado. 
 
Matemática Financeira 
22 
Prestação = amortização + juros, ou, PMT = A + J 
 
Prestação é o valor pago pelo devedor e consiste em duas parcelas: a amortização 
e os juros correspondentes ao saldo devedor do empréstimo, ainda não 
reembolsado. 
 
Amortização é o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas 
periodicamente. É a devolução do capital emprestado. 
 
Os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e também 
denominados “serviço da dívida”. 
Convém lembrar que qualquer sistema de amortização pode ter ou não prazo de 
carência, termo que designa o períodocompreendido entre a data de concessão do 
empréstimo e a data em que será paga a primeira prestação. 
4.1 Sistema de Amortização Constante – SAC 
O SAC tem como característica serem as amortizações do principal sempre iguais 
em todo o prazo da operação. 
O valor da amortização é obtido mediante a divisão do capital emprestado pelo 
número de prestações. 
Os juros incidindo sobre o saldo devedor, que decresce com as amortizações, 
assumem valores decrescentes nos períodos. 
 
Assim, as prestações, nesse sistema de amortização, são decrescentes em 
progressão geométrica. 
 
Exemplo: 
 
1 - Um empréstimo de $ 10.000,00 deve ser pago em 5 prestações mensais, com 
uma taxa de juros compostos de 3,0% ao mês. 
 
 
Planilha de Amortização: 
 
Em $ 
PERÍODOS SALDO 
DEVEDOR 
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 10.000,00 
1 8.000,00 2.000,00. 300,00 2.300,00 
2 6.000,00 2.000,00 240,00 2.240,00 
3 4.000,00 2.000,00 180,00 2.180,00 
4 2.000,00 2.000,00 120,00 2.120,00 
5 2.000,00 60,00 2.060,00 
 10.000,00 900,00 10.900,00 
 
 
 
Matemática Financeira 
23 
4.2 Sistema de Amortização Francês – SAF 
O SAF é amplamente utilizado no mercado financeiro e, ao contrário do sistema de 
amortização constante, prevê que as amortizações assumam valores crescentes. No 
entanto, as prestações, ou seja, a soma das amortização do principal mais os juros, 
são constantes. 
Exemplo: 
1 – Vamos supor o mesmo empréstimo do caso anterior, $ 10.000,00 seja pago em 
5 prestações, com a taxa de juros compostos de 3,00% ao mês. 
 
Planilha de Amortização: 
 
Em $ 
PERÍOD
OS 
SALDO 
DEVEDOR 
AMORTIZA
ÇÃO 
JUROS PRESTAÇÃO 
0 10.000,00 
1 8.116,45 1.883,55 300,00 2.183,55 
2 6.176,39 1.940,06 243,49 2.183,55 
3 4.178,13 1.998,26 185,29 2.183,55 
4 2.119,92 2.058,21 125,34 2.183,55 
5 2.119,92 63,60 2.183,55 
 10.000,00 917,72 10.917,72 
 
Fórmula: 
 
 ( 1 + i )n x i ( 1 + 0,03)5 x 0,03 
PMT = PV x ---------------------- = 10.000,00 x --------------------------- = $ 2.183,55 
 ( 1 + i )n – 1 ( 1 + 0,03)5 - 1 
 
 
Também no SAF podem verificar-se períodos de carência, nos quais, ainda, 
os encargos podem ser pagos ou capitalizados. 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
24 
4.3 Sistema de Amortização com Pagamentos 
Diferentes 
 Ao se tomar um empréstimo é possível amortiza-lo de modo diferente 
daquele estabelecido pelo sistema “SAC” e “SAF”. Basta o devedor acertar com o 
credor a modalidade de pagamento e a taxa de juros envolvida na transação. 
 
Vamos supor um empréstimo no valor de $50.000,00 contratado a uma taxa de 
juros de 3% ao mês para ser amortizado em quatro prestações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n Saldo 
Devedor 
Amort. Juros PMT 
0 50.000,00 
1 35.000,00 15.000,00 1.500,00 16.500,00 
2 31.000,00 4.000,00 1.050,00 5.050,00 
3 10.000,00 21.000,00 930,00 21.930,00 
4 10.000,00 300,00 10.300,00 
Total 50.000,00 3.780,00 53.780,00 
 
Matemática Financeira 
25 
5. Cálculos com Juros Compostos 
Cálculo do Valor Futuro ( FV ) Montante 
 
Seja um principal, no valor de $25.000,00 aplicado a juros compostos, a taxa de 
9% ao ano, pelo período de dois anos. Calcular o valor futuro de resgate. 
 
Fórmula: 
 
FV = PV (1 + i)n 
 
FV = 25.000,00 (1 + 0,09)2 = $29.702,50 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
25.000,00 
CHS 
PV -25.000,00 
9 
i 9,00 
2 
n 2,00 
FV 29.702,50 
 
 
Cálculo do Valor Presente ( PV ) Investimento 
 
Um determinado investimento foi resgatado ao final de dois anos por $13.867,50. A 
taxa de juros de aplicação anual foi de 7,50%. Calcular o valor do investimento 
realizado. ( PV ) 
 
Fórmula: 
 
PV = FV / (1 + i)n 
 
PV = 13.867,50 / (1 + 0,075)2 = $12.000,00 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
26 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
13.867,50 
FV 13.867,50 
7,50 
i 7,50 
2,00 
n 2,00 
PV -12.000,00 
 
 
Calculo dos Juros ( i ) 
 
Um investimento no valor de $7.000,00 realizado por três anos foi resgatado por 
$9.834,50. Calcular a taxa de juros da aplicação. 
 
Fórmula: 
 
i = (FV / PV)1/n - 1 
 
i = ( 9.834,50 / 7.000,00 )1/3 – 1 = 12% 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
7.000,00 
CHS 
PV -7.000,00 
9.834,50 
FV 9.834,50 
3 
n 3,00 
i 12,00 
 
 
Cálculo do Número de Períodos ( n ) 
 
Uma aplicação no valor de $10.000,00 rendeu após algum tempo o montante de 
$11.592,74. A taxa de juros composta foi de 5,00% ao mês. Calcular o prazo da 
aplicação. 
 
Fórmula: 
 
n = ln(FV / PV) / ln(1 + i) 
 
n = ln( 11.592,74 / 10.000,00 ) / ln( 1+ 0,05 ) = 5 meses 
 
 
Matemática Financeira 
27 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
10.000,00 
CHS 
PV -10.000,00 
11.592,74 
FV 11.592,74 
3 
i 3,00 
n 5,00 
 
 
Cálculo da Prestação ( PMT ) a Partir do Valor Presente ( PV ) 
 
Uma empresa contratou um empréstimo para reforço de capital de giro no valor de 
$100.000,00 pelo prazo de 12 meses. A taxa de juros pactuada com a instituição 
financeira foi de 3,50% ao mês. O pagamento ocorrerá mensalmente em 
prestações iguais. Calcular o valor das prestações. 
 
Fórmula: 
 
PMT = PV [(( 1 + i )n x i ) / (( 1 + i )n - 1)] 
 
PMT = 100.000,00 [(( 1 + 0,035)12 x 0,035 ) / (( 1 + 0,035)12 - 1)] = $10.348,39 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
100.000,00 
CHS 
PV -100.000,00 
12 
n 12,00 
3.5 
i 3,50 
PMT 10.348,39 
 
 
Cálculo da Prestação ( PMT ) a Partir do Valor Futuro ( FV ) 
 
A quantia de $100.000,00 aplicada à taxa de 5,00% ao mês, durante 4 meses, 
representou o montante ( FV ) de $121.550,61. Calcular a prestação ( PMT ) que 
aplicada a essa mesma taxa e pelo mesmo príodo representaria esse montante. 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
28 
Fórmula: 
 
PMT = FV [ ( i ) / ( 1 + i )n - 1 ] 
 
PMT = 121.550,61 [( 0,05) / ( 1 + 0,05)4 - 1)] = $28.201,18 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
121.550,61 
FV 121.550,61 
5 
i 5,00 
4 
n 4,00 
PMT -28.201,18 
 
Obs.: O sinal negativo está a indicar que representa uma saida de caixa para a 
realização da aplicação. 
 
 
Cálculo do Valor Futuro ( FV ) a Partir da Prestação ( PMT ) 
 
Utilizando-se os dados do problema anterior vamos supor que o valor de 
$28.201,18 seja depositado em uma instituição financeira por quatro meses e que 
estes recursos sejam remunerados à taxa de 5,00% ao mês. Calcular o valor 
acumulafo ao final do período ( FV ). 
 
Fórmula: 
 
FV = PMT [ ( 1 + i )n - 1 / ( i ) ] 
 
PMT = 28.201,18 [ ( 1 + 0,05)4 - 1) / ( 0,05)] = $121.550,61 
 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
28.201,18 
PMT 28.201,18 
5 
i 5,00 
4 
n 5.00 
FV 121.550,61 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
29 
Cálculo do Valor Presente ( PV ) a Partir da Prestação ( PMT ) 
 
Uma máquina foi financiada em doze prestações mensais iguais de $1.315,46. A 
taxa negociada com a instituição financeira foi de 1,20% ao mês. Calcular o valor 
da máquina para pagamento à vista ( PV ). 
 
Fórmula: 
 
PV = PMT [ (( 1 + i )n - 1) / (( 1 + i )n x i )] 
 
PV = 1.315,46 [ (( 1 + 0,012)12 - 1) / (( 1 + 0,012)12 x 0,012)] = $14.620,21 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
1.315,46 
PMT 1.315,46 
12 
n 12,00 
1,20 
i 1,20 
PV -14.620,21 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
30 
6. Taxa Mínima de Atratividade – TMA 
A Taxa Mínima de Atratividade pode ser entendida como a melhor taxa, com baixo 
grau de risco, à disposição do empreendedor, para aplicação de seu capital. 
Assim, podemos perceber que a decisão de investir terá duas alternativas, ou seja: 
investir na TMA ou no projeto. 
Os recursos para o investimento ficam aplicados à TMA e não no caixa. 
Nesse caso, considerando essa premissa, pode-se dizer que a riqueza gerada 
refere-se apenas aovalor que exceder o que se pode conseguir numa aplicação na 
TMA. 
 
 
 
Matemática Financeira 
31 
7. Valor Presente - VP 
O valor presente (PV) de um fluxo de caixa é o valor monetário no ponto zero da 
escala de tempo representando à soma de suas parcelas futuras, descontadas para 
o ponto zero, a uma determinada taxa de juros. 
Denomina-se taxa de desconto a taxa utilizada para descontar as parcelas futuras. 
 
Fórmula: 
 CFn 
VP = ∑ ------------- 
 (1 + i )n 
 
Exemplo: 
1 – Determinar o valor presente ( PV ) do fluxo de caixa indicado no diagrama 
abaixo, com uma taxa de desconto de 9% ao ano, no regime de juros compostos. 
 
PV 1 2 3 4 
? 1.000,00 1.800,00 700,00 2.000,00 
 
Fórmula: 
 FC1 FC2 FC3 FC4 
PV = ------------- + -------------- + --------------- + --------------- 
 ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3 ( 1 + i )4 
 
 
 1.000,00 1.800,00 700,00 2.000,00 
PV = ------------------ + ------------------- + -------------------- + -------------------- = $4.389,83 
 ( 1 + 0,09 )1 ( 1 + 0,09 )2 ( 1 + 0,09 )3 ( 1 + 0,09 )4 
 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
0 g CF0 0,00 
1.000,00 g CFj 1.000,00 
1.800,00 g CFj 1.800,00 
700,00 g CFj 700,00 
2.000,00 g CFj 2.000,00 
9 i 9,00 
f NPV 4.389,83 
 
 
Matemática Financeira 
32 
8. Valor Presente Líquido – VPL 
 
O valor presente líquido para análise de projetos é calculado pela diferença entre o 
valor presente dos fluxos de caixa futuros, previstos, e o valor presente dos 
investimentos, descontados a uma determinada taxa de juros. 
Fórmula: 
 CFjn 
VPL = - CF0 + ∑ ------------- 
 (1 + i )
n 
 
O método do Valor Presente Líquido (VPL) ) ou “Net Present Value” ( NPV ), é a 
técnica mais conhecida e também a mais utilizada na avaliação de investimentos. 
Através dessa metodologia concentram-se todos os valores futuros esperados do 
fluxo de caixa na data zero. A TMA deve ser a taxa utilizada como a taxa de 
desconto dos fluxos futuros. 
 
A decisão de investimento com base no método do VPL é simples e pode ser 
resumida da seguinte forma: 
 VPL > 0, o projeto deve ser aceito. 
 VPL = 0, é indiferente aceitar ou não. 
 VPL < 0, o projeto deve ser rejeitado. 
 
Sendo o VPL positivo, teremos que na data zero o valor presente de todos os fluxos 
de caixa futuros, descontados à taxa “i”, é maior do que o investimento realizado. 
 
Tem-se que: 
 O capital investido é recuperado. 
 A remuneração do investimento supera a taxa de atratividade da empresa, 
“i”. 
 O projeto gera um ganho de riqueza que, na data zero, a valor presente, é 
representado pelo VPL. 
 
Exemplo: 
 
1 – Calcular o VPL do fluxo de caixa indicado a seguir, com o investimento inicial de 
$ 1.000,00 e os recebimentos anuais informados. A taxa de desconto é de 10% ao 
ano. 
 
PV 1 2 3 4 
(1.000) 500 550 600 700 
 
 
Matemática Financeira 
33 
Fórmula: 
 
 FC1 FC2 FC3 FC4 
VPL = - PV + ------------- + -------------- + --------------- + --------------- 
 ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3 ( 1 + i )4 
 
 500,00 550,00 600,00 700,00 
VPL = - 1.000,00 + ------------------ + ------------------- + ------------------ + ------------------- = $837,99 
 ( 1 + 0,10 )1 ( 1 + 0,10 )2 ( 1 + 0,10 )3 ( 1 + 0,10 )4 
 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
1000,00 CHS g 
CF0 
-1000,00 
500,00 g CFj 500,00 
550,00 g CFj 550,00 
600,00 g CFj 600,00 
700,00 g CFj 700,00 
10 i 10,00 
f NPV 837,99 
 
 
O VPL positivo indica que o investimento, $ 1.000,00, está sendo remunerado a 
uma taxa superior a 10% ao ano. 
 
Se o VPL for negativo indica que o investimento não está sendo remunerado à taxa 
de juros utilizada no desconto dos valores futuros. 
 
Se o VPL for igual a zero significa que o investimento está sendo remunerado 
exatamente na taxa de juros utilizada para o desconto dos valores futuros. 
 
 
Matemática Financeira 
34 
9. Valor Presente Líquido Anualizado - 
VPLa 
Em projetos com longos horizontes de planejamento, a interpretação do valor 
monetário do VPL, pode apresentar dificuldades para comparação. 
Nesse caso, pode-se visualizar o VPL médio para cada um dos períodos do projeto, 
representando o ganho por período. 
A metodologia do VPL concentra todos os valores descontados do fluxo de caixa na 
mesma data, zero. 
A técnica do VPLa permite transformar os fluxos de caixa em uma série uniforme. 
 
 
 (1 + i )n x i 
VPLa = VPL x ----------------------- 
 (1 + i)n – 1 
 
Exemplo: 
 
1 – Dado o fluxo de caixa representativo de um projeto, calcular o VPL e o VPLa 
para uma TMA de 13% ao ano. 
 
 
0 1 2 3 4 
(5.000) 1.500 2.000 2.500 3.000 
 
VPL (13%) = $1.466,31 
 
VPLa = 1.466,31 x [ ((1,13)4 x 0,13) / (1,13)4 – 1 ] = $492,96 
 
 
0 1 2 3 4 
 492,96 492,96 492,96 492,96 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
1.466,31 
CHS -1.466,31 
PV -1.466,31 
4 
n 4,00 
13 
i 13,00 
PMT 492,96 
 
Matemática Financeira 
35 
10. Taxa Interna de Retorno – TIR 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros (de desconto) que iguala, em um 
determinado momento do tempo, o valor presente das entradas (fluxos à 
disposição dos sócios, acionistas, investidores) com o das saídas (investimentos, 
aportes de recursos) previstas de caixa. 
O momento zero é adotado como o início da operação, embora, no caso de um 
projeto, os investimentos ocorram antes do marco zero. 
Adota-se que o momento zero é a “data focal” de comparação dos fluxos de caixa. 
A taxa interna de retorno é identificada da seguinte forma: 
 
n
n
O i
FC
i
FC
i
FC
FC
)1(
...
)1()1( 2
2
1
1





 
Deduzindo-se: 
 

 

n
J
j
j
o i
FC
FC
1 )1(
 
 
Onde: 
FC0 = valor do fluxo de caixa no momento zero; 
FCj = fluxos previstos de entradas ou saídas de caixa em cada período de tempo; 
i = taxa de desconto que iguala, em determinada data, as entradas com as saídas 
previstas de caixa. Trata-se da taxa interna de retorno. 
Por exemplo, admita que uma instituição financeira tenha emprestado a uma 
empresa o valor de $50.000,00 para ser liquidado em duas prestações mensais e 
sucessivas de $26.130,54 cada. 
 
Graficamente, tem-se a seguinte representação: 
 
 26.130,54 26.130,54 
 
 0 1 2 
(50.000,00) 
 
Resolvendo a expressão com o auxílio de uma calculadora, tem-se o custo efetivo 
mensal de: 3,0% ao mês. 
 
2)03,1(
54,130.26
)03,1(
54,130.26
00,000.50  
 
Matemática Financeira 
36 
53.045,00 = 53.045,00 
A taxa de 3,0% ao mês, representa, diante das características do método da TIR, a 
taxa de juros que iguala, em determinada data, as entradas de caixa com as saídas 
de caixa. 
 
A data focal para o cálculo da TIR pode ser definida livremente, sem que isso 
interfira no seu resultado. 
 
No exemplo anterior, ao fixar a data focal ao fim do segundo mês, verifica-se que a 
taxa não se altera, permanecendo em 3% ao mês. 
 
50.000,00 (1+i)2 = 26.130,54 (1+i)1 + 26.130,54 
50.000,00 (1,03)2 = 26.130,54 (1,03) + 26.130,54 
53.045,00 = 26.914,46 + 26.130,54 
 
 
Pode-se verificar queo VPL será igual a zero quando as grandezas futuras, 
descontadas com uma determinada taxa, produzir um valor presente para o fluxo 
de caixa que seja igual ao investimento inicial (desembolso) colocado no ponto zero 
da escala de tempo. 
Decisão de investimento considerando a TIR: 
 Custo de capital < TIR, projeto deve ser aceito (VPL > 0) 
 Custo de capital = TIR, indiferente aceitar ou não (VPL = 0) 
 Custo de capital > TIR, projeto deve ser rejeitado (VPL <0) 
 
Percebe-se facilmente que o método da TIR apresenta, segundo o processo 
decisório apresentado, os mesmos resultados que o VPL. No entanto, pode 
apresentar problemas tais como: 
 Seu cálculo é complexo e demanda a utilização de calculadoras financeiras ou 
planilhas eletrônicas. 
 Os fluxos de caixa intermediários devem ser reinvestidos à taxa interna de 
retorno. 
 O método da TIR pode gerar taxas múltiplas de retorno se o fluxo de caixa 
mudar de sinal mais de uma vez. 
 O método da TIR ignora as diferenças de escala, na hora da comparação de 
dois projetos mutuamente excludentes. 
 
Exemplo: 
1 – Calcular a TIR do projeto cujos fluxos de caixa encontram-se adiante 
discriminados. 
 
PV 1 2 3 4 
(115.000) 30.000 40.000 50.000 60.000 
 
TIR = 18,21% 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
37 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
115.000,00 CHS 
g CF0 
-115.000,00 
30.000,00 g CFj 30.000,00 
40.000,00 g CFj 40.000,00 
50.000,00 g CFj 50.000,00 
60.000,00 g CFj 60.000,00 
f IRR 18,21 
 
2 – Calcular a TIR do projeto cujos fluxos de caixa encontram-se adiante 
discriminados. 
 
PV 1 2 3 4 
(10.000) 5.000 20.000 
 
TIR = 33,69% 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
10.000,00 CHS g 
CF0 
-10.000,00 
5.000,00 g CFj 5.000,00 
0,00 g CFj 0,00 
2 g Nj 2,00 
20.000,00 g CFj 20.000,00 
f IRR 33,69 
 
 
Matemática Financeira 
38 
11. Fluxos em Moeda Nominal e 
Constante 
Considere que o fluxo de caixa adiante informado tenha sido projetado em moeda 
nominal com uma inflação de 10% no ano 1, 5% no ano 2 e 8% no ano 3. Os 
investidores desejam uma remuneração para os recursos próprios aplicados de 
18% ao ano. Calcular através da metodologia do Valor Presente Líquido – VPL. 
 
Fluxo - $ mil 
0 1 2 3 
(1000) 500 600 700 
 
Cálculo do VPL 
 500 600 700 
VPL (18%) = (1.000) + ----------- + ---------- + ----------- = $280,68 
 (1,18)1 (1,18)2 (1,18)3 
 
Nesse caso o investimento deverá ser aceito, pois o VPL indica geração de riqueza. 
Vamos transformar o fluxo anterior, projetado em moeda nominal, para moeda 
constante através do expurgo da inflação verificada. O valor do investimento de 
$1.000 por encontrar-se na data 0 não sofre modificação. 
 
Ano 1 = 500 / 1,10 = 454,55 
Ano 2 = 600 / (1,10 x 1,05) = 519,48 
Ano 3 = 700 / (1,10 x 1,05 x 1,08) = 561,17 
 
Assim, tem-se: 
 
Fluxo - $ mil 
 
0 1 2 3 
(1000) 454,55 519,48 561,17 
 
Visto o fluxo de caixa encontrar-se em moeda constante precisamos expurgar da 
taxa requerida para remuneração dos recursos próprios a inflação. 
 
Ano 1 =(( 0,18 – 0,10) / (1,10)) x 100 = 7,2727% 
 
Ano 2 = (1,18)2 = 1,3924 -1 = 0,3924 
 (1,10 x 1,05) – 1 = 0,1550 
 ((0,3924 – 0,1550) / 1,1550)) x 100 = 20,5541% 
 
Matemática Financeira 
39 
Ano 3 = (1,18)3 = 1,6430 – 1 = 0,6430 
 (1,10 x 1,05 x 1,08) – 1 = 0,2474 
 ((0,6430 - 0,2474) / 1,2474)) x 100 = 31,7165% 
 
 
Agora basta descontarmos cada parcela do fluxo em moeda constante pelas taxas 
encontradas. 
 
Cálculo do VPL 
 454,55 519,48 561,17 
VPL = (1.000) + ----------------- + ---------------- + ----------------- = $280,68 
 1,072727 1,205541 1,317165 
 
Verifica-se, dessa forma, que o valor do VPL apresenta-se igual seja para o fluxo 
projetado em moeda nominal ou constante. Recomenda-se que quando da 
necessidade de projeção de um fluxo de caixa o mesmo seja projetado em moeda 
constante, principalmente para aqueles projetos que exijam a visualização de um 
período muito longo. 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
40 
12. Perpetuidade 
A duração de um fluxo de caixa pode ser finita ou indeterminada, quando o prazo 
não é conhecido previamente. No caso de uma série infinita , determina-se 
unicamente o seu valor presente. 
Fórmula: 
 
 PMT 1 
PV = ------------------ ou, PV = PMT x ---------------- 
 i i 
 
 
O PV desse fluxo é determinado através da relação entre o pagamento / 
recebimento periódico, igual e sucessivo, e a taxa de juros considerada. 
As séries indeterminadas encontram aplicações em problemas de avaliações de 
imóveis efetuadas com base nos rendimentos de aluguéis, na apuração do preço de 
mercado de uma ação a partir do fluxo de caixa previsto de dividendos. 
 
Exemplo: 
 
1 – Suponha que um imóvel esteja alugado por $ 2.000,00 mensais e que o custo 
de oportunidade seja de 2% ao mês. ( ganho na melhor alternativa de aplicação 
disponível) Calcular o VP desse imóvel. 
 
 2.000,00 
PV = ------------------ = $ 100.000,00 
 0,02 
 
O valor de referência do imóvel, válido para uma avaliação inicial, é o valor 
presente do fluxo de recebimentos mensais dos aluguéis, previsto por um prazo 
indeterminado, descontado ao custo de oportunidade. 
No fim de cada período o fluxo gerado pelo PV (investimento) não é reinvestido na 
mesma perpetuidade. 
 
Perpetuidade com Crescimento 
Se a perpetuidade postecipada cresce a uma taxa constante, o seu valor presente 
será dado pela expressão: 
 
 PMT 
PV = --------------- 
 i - c 
 
 
Matemática Financeira 
41 
Exemplo: 
 
1 – O dividendo estimado de uma ação é de $ 3,5 ao ano. Espera-se que o valor 
desse dividendo cresça a uma taxa constante de 5% ao ano. Calcular o valor da 
ação se o custo de oportunidade do capital for de 14% ao ano. Considerar os 
dividendos como uma perpetuidade. 
 
 3,5 3,5 
PV = ------------------ = --------------- = $ 38,89 por ação 
 0,14 – 0,05 0,09 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
42 
13. Desconto 
13.1 Desconto Simples – Por Fora 
O desconto simples, por fora, em geral á aplicado em operações de mercado, de 
curto prazo, enquanto que o desconto composto, por dentro em operações de 
prazo mais longo. 
 
O desconto simples é empregado em operações de “desconto de duplicatas”, 
“promissórias” e “cheques pré-datados”. 
O valor declarado num título de crédito é denominado de valor de face ou valor 
nominal do título. Num cheque, é o valor expresso numericamente e escrito por 
extenso. 
A operação é realizada aplicando-se a taxa negociada com a instituição financeira 
ao valor de face, linearmente, em função do prazo de vencimento do título, 
gerando o valor do desconto sofrido por este último. O valor daí resultante, 
denominado de valor descontado ou valor líquido, será meramente a diferença 
entre o valor de face do título e o desconto aplicado ou juros da operação. 
 
Fórmula: 
Valor descontado (ou valor líquido recebido) = FV [1 - (( i / n) x p) ] 
FV = valor de face do título 
i / n = taxa de juros da operação transformada para dia 
p = prazo da operação 
 
Exemplo 1: 
 
Uma duplicata com valor de face de $ 10.000,00 e prazo de vencimento de três 
meses é descontada a uma taxa de 4,5 % ao mês. Determine o valor do desconto e 
o valor líquido recebido elo empresa. 
Resposta: 
Dados: PV = $ 10.000,00 
 n = 3 meses 
 i = 4,5 % ao mês 
 
Vd = 10.000,00 [ 1 – (( 0,045 / 30) x 90) ] 
Vd = 10.000,00 [ 1 – (( 0,0015) x 90) ] 
Vd = 10.000,00 [ 1 – (0,1350) ] 
Vd = 10.000,00 [ 0,865 ] = 8.650,00 
Valor do desconto = $10.000,00 - $8.650,00= $ 1.350,00 
 
Matemática Financeira 
43 
Imagine agora que você recebeu um crédito de $ 8.650,00 (PV) pelo qual pagará 3 
meses após a quantia de $10.000,00 (FV). Na verdade o que se tem é uma nova 
operação de crédito lastreada num título de crédito. 
Cabe perguntar que taxa de juros você está pagando nessa operação? Será a taxa 
do desconto de 4,5 % ao mês? Não, nos juros simples a taxa de juros que está 
sendo cobrada é expressa pela expressão: 
 FV 
 --------- - 1 
 PV 
i = --------------------------- 
 n 
 
 (10.000,00 / 8.650,00) - 1 
Logo: i = ------------------------------- = 0,052023 % = 5,2023 % ao mês. 
 3 
Em contrapartida, a taxa de juros efetiva da operação realizada, aplicando 
os juros compostos, é expressa por: 
 
i = ( FV / PV) 1/n – 1 
Logo: i = (10.000,00 / 8.650,00) 1/3 – 1 = 0,045516 = 4,9529 % ao mês 
 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
8.650,00 
CHS -8.650,00 
10.000,00 
FV 10.000,00 
3 
n 3,00 
i 4,9529 
 
 
Exemplo 2: 
 
O exemplo anterior considerou apenas o desconto de um título. Vamos imaginar um 
borderô com vários títulos de valores e prazos diferentes. O processo é o mesmo, 
calcula-se o valor líquido de cada título. 
A fim de cobrir o caixa de sua companhia, você descontou em uma 
instituição financeira o borderô a seguir: 
 
PRAZO - DIAS VALOR ($) 
30 3.000,00 
60 3.500,00 
90 13.300,00 
 
 
Matemática Financeira 
44 
A taxa de desconto simples foi de 4,5 % ao mês. Dado que o valor líquido recebido 
pela empresa foi de $ 17.554,50, determinar a taxa efetiva da operação. 
Resposta: 
 
O cálculo da taxa efetiva de uma operação como essa exige necessariamente o 
cálculo da taxa interna de retorno (IRR). 
Vamos construir o fluxo de caixa: 
 
 $3.000,00 $3.500,00 $13.300,00 
 |-----------------------|-----------------------|-----------------------| 
 0 1 2 3 
$17.554,50 
 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
17.554,50 CHS 
gCF0 
-17.554,50 
3.000,00 gCFj 3.000,00 
3.500,00 gCFj 3.500,00 
13.300,00 gCFj 13.300,00 
f IRR 4,9191 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
45 
13.2 Desconto Composto – Por Dentro 
Utilizado nas operações de longo prazo, esse tipo de desconto visa determinar o 
valor presente de um fluxo de caixa (valor futuro), considerando o prazo para sua 
ocorrência e a taxa de juros a ser aplicada na operação. Os cálculos nesse tipo de 
operação se baseiam na equação fundamental dos juros compostos. 
Fórmula: 
 
 FV1 FV2 FVn 
VDesc. = -------------- + ------------------ + - - - - - - - - - - + ----------------- 
 (1 + i )1 (1 + i)2 (1 + i)n 
 
Exemplo 1: 
 
Uma empresa entregou a uma instituição financeira três títulos para serem 
descontados – por dentro – nos seguintes valores e vencimentos: $ 12.000,00 a 
vencer com 30 dias, $ 40.000,00 com 60 dias e $ 10.000,00 com 120 dias. A taxa 
de desconto acertada foi de 3,5 % ao mês. Calcular o valor recebido pela empresa. 
Fluxo de caixa: 
0 1 2 3 4 
(57.649,05) 12.000,00 40.000,00 0,00 10.000,00 
 
 
VDesc. = 12.000,00 / (1,035)1 + 40.000,00 / (1,035)2 + 10.000,00 / (1,035)4 = 
 $ 57.649,05, valor recebido pela empresa. 
Na HP12-C 
Teclar Visor 
f REG 0,00 
 gCF0 0,00 
12.000,00 gCFj 12.000,00 
40.000,00 gCFj 40.000,00 
0,00 gCFj 0,00 
10.000,00 gCFj 10.000,00 
3,5 i 3,50 
f NPV 57.649,05 
 
 
 
Matemática Financeira 
46 
14. Exercícios Juros Simples - Resolvidos 
1) Qual será o juro proporcionado por um capital de $100.000,00, aplicado à taxa 
de 3,5% ao mês, ao final de: a) um mês; b) seis meses. 
Resposta: a) $ 3.500,00 b) $ 21.000,00 
 
2) Um investidor aplicou $30.000,00, à taxa de 10% ao mês, no regime de juros 
simples. Calcule o montante no final do primeiro mês e do quarto mês. 
Resposta: Primeiro mês = $ 33.00,00, quarto mês = $ 42.000,00 
 
3) Qual deve ser o capital de uma aplicação que resulte num montante de 
$8.000,00 daqui a três meses a uma taxa de juros simples de 2% ao mês? 
Resposta: $ 7.547,17 
 
4) Por quantos períodos deve-se manter uma aplicação no valor de $15.000,00, à 
taxa de 2,0% ao mês, para gerar um montante de $17.000,00? 
Resposta: 6 meses e 20 dias. 
 
5) Qual é a taxa de juros que, aplicada a um capital no valor de $2.100,00, gera 
como montante o dobro desse capital no período de quatro semestres. 
Resposta: 25 % ao semestre. 
 
6) Que taxas são equivalentes à taxa de 15% ao trimestre, nos seguintes períodos, 
no regime de juros simples: a) dia; b) mês; c) ano; e d) semestre? 
Resposta: a) 0,1666667 % ao dia. b) 5,00 % ao mês. c) 60,00 % ao ano. 
d) 30,00 % ao semestre. 
 
 
 
Matemática Financeira 
47 
15. Exercícios Juros Compostos - 
Resolvidos 
1) Tomou-se um empréstimo no valor de $ 10.000,00 pelo prazo de três meses à 
taxa composta de 4% ao mês. Calcular o montante no final do terceiro mês. 
Resposta: FV = $ 11.248,64 
 
2) Quanto se deve investir hoje para produzir $517.900,00 em três meses no 
regime de juros compostos, a uma taxa de 1,15% ao mês? 
Resposta: PV = $ 500.435,66 
 
3) Qual a taxa mensal equivalente composta à taxa de 4% aos 40 dias? 
Resposta: 2,99 % ao mês. 
 
4) Qual deve ser o rendimento obtido na aplicação de $1.000,00 durante dois 
meses no regime de juros compostos, à taxa de 1% ao mês? 
Resposta: $ 20,10. 
 
5) Uma pessoa física aplicou $15.000,00 à taxa composta de 30% ao ano, 
recebendo após algum tempo o montante de $30.195,36. Durante quanto tempo o 
principal ficou aplicado? Expresse a resposta em fração de anos e em anos número 
de meses. 
Resposta: 2,67 anos, ou, 2 anos e 241 dias, ou, 2 anos e 8 meses, ou, 32 
meses. 
 
6) Você recebe uma proposta para investir hoje $300.000,00 e receber 
$321.596,29 dentro de cinco meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal implícita 
nessa aplicação financeira, em termos de juros compostos? 
Resposta: 1,40 % ao mês 
 
7) Qual a taxa anual equivalente, no regime de juros compostos, à taxa de 1,5% ao 
mês? 
Resposta: 19,56 % ao ano. 
 
Matemática Financeira 
48 
8) A taxa de juros nominal cobrada por uma instituição financeira é de 12% a.a. 
Calcular a taxa efetiva anual, sabendo-se que o período de capitalização dos juros 
é: a) mensal; b) trimestral; c) semestral. 
Resposta: a) mensal = 12,68 % ao ano. b) trimestral = 12,55 % ao 
trimestre. c) semestral = 12,36 % ao ano. 
 
9) Que taxa nominal anual equivale a uma taxa efetiva de 29% ao ano, 
considerando capitalização mensal? 
Resposta: 25,73 % ao ano. 
 
10) Calcular o montante relativo a $2.500,00, aplicados a juros compostos no fim 
de 12 meses, supondo-se uma taxa de correção monetária constante de 2% ao 
mês, de modo a garantir à operação uma rentabilidade real de 1% ao mês. 
Resposta: $ 3.572,72 
 
11) Você aplicou $2.000,00 durante três meses a uma taxa real da operação de 
0,5% ao mês. Qual deve ser o montante gerado pela aplicação, sabendo-se que os 
valores assumidos para a taxa de variação do indexador utilizado para cada mês 
são iguais a 1,46%, 1,96% e 1,87%, respectivamente? 
Resposta: $ 2.139,44 
 
12) Calcular o valor do pagamento final de um empréstimo no valor de 
$100.000,00 pelo prazo de 31 dias, sabendo-se que o credor cobrou uma taxa de 
juros composta de 12% ao ano mais a variação monetária determinada por certo 
indexador. Suponha que a taxa de atualização monetária desse período tenha sido 
de 1%. 
Resposta: $ 101.990,47 
 
13) Uma pessoa está pensando em contratar um empréstimo no valor de $ 
5.000,00 para ser amortizado em três prestações. O banco cobra a taxa de juros de 
4,3 % ao mês e oferece a possibilidade do empréstimo ser liquidado através dosistema SAC ou SAF (Price). O cliente deseja saber em qual das duas modalidades 
pagará menos juros. Calcular os sistemas de amortização e informar o montante de 
juros que serão pagos nas duas modalidades. 
Resposta: $ 436,03 no sistema SAF e $ 430,00 no sistema SAC. 
 
14) Uma letra de câmbio foi emitida por $100.000,00 e resgatada por $200.000,00. 
Sabendo-se que a taxa de rendimento foi de 210 % ao ano, calcular o prazo da 
operação. 
Resposta: 221 dias. 
 
Matemática Financeira 
49 
16. Utilizando as Teclas Básicas da HP-
12C 
Os procedimentos para realizar tarefas básicas com a HP-12C são descritos na 
tabela 1, que mostra: a tarefa a ser executada, os números e a(s) tecla(s) a serem 
pressionados para executar a tarefa, o conteúdo do visor, que corresponde ao 
conteúdo do registrador ou memória temporária X, e os comentários julgados 
importantes. 
 
Tarefas básicas com a HP-12C 
Tarefa Teclas Visor Comentários 
Ligar a HP ON 
0,00 ou 
0.00 
Aparece, nesse caso, o número 
zero com duas casas decimais, 
podendo o mesmo ser 
representado nos sistemas de 
numeração brasileiro ou 
americano 
Desligar a HP 
ON 
Apagad
o 
— 
Escolher o sistema de numeração ON  
0,00 ou 
0.00 
Pressionar simultaneamente as 
duas teclas, soltando primeiro a 
tecla ON e depois a tecla  
Entrada de números 56 
56, ou 
56. 
A apresentação depende da 
representação escolhida 
Corrigir o número digitado 
CLX 
0,00 ou 
0.00 
Apaga o valor no visor 
Entrada de números em 
seqüência 
56.5 
ENTER 
340.5 
56,50 
56,50 
340,50 
56,50 guardado na memória X 
56,50 guardado na memória Y 
340,50 guardado na memória X 
Trocar o número de casas 
decimais 
f 3 
340,50
0 
Fixa três casas decimais 
Extrair raiz quadrada do número 
na memória X G x 
18,453 
Exemplo de acionamento das 
funções azuis 
Armazenar o valor numa memória 
fixa 
STO 1 18,453 18,453 está na memória fixa 1 
Obter a parte fracionária do 
número no visor 
G FRAC 0,453 
 
Recuperar um valor necessário RCL 1 18,453 
18,453 continua na memória fixa 
1 e agora também está na X 
Obter a parte inteira do número G INT 18,000 
 
Matemática Financeira 
50 
Tarefa Teclas Visor Comentários 
no visor G 
Recuperar valor da memória fixa 
1 
RCL 1 18,453 
 
Eliminar demais casas decimais 
do número no visor 
f RND 18,453 
 
Fixar seis casas decimais f 6 
18,453
000 
Constatação da eliminação das 
casas 
Trocar o número de casas 
decimais 
f 3 18,453 
Fixa três casas decimais 
Obter 10% do número no visor 10% 1,845 10% do valor acima 
Obter a diferença percentual 
entre um número na memória Y 
(18,453) e outro na memória X 
(1,845) 
% 
- 
90,000 
100. (X - Y)  Y, i.e, 1,845 é 90% 
menor que 18,453 (considerando 
todas as casas decimais) 
Recuperar o conteúdo da 
memória fixa 1 
RCL 1 18,453 
 
Determinar quanto 
percentualmente o valor em X 
(1,845) representa em relação ao 
valor em Y (18,453) 
1,845 
% T 
9,999 
100 (X  Y) 
18,453 é guardado em Y 
Recuperar o último valor 
armazenado em X, após o uso de 
teclas +, -, , %T etc. 
G LST 
x 
1,845 Nesse caso específico, - %T 
Trocar o sinal no número no visor 
(memória X) 
CHS -1,845 Nesse caso, de + para - 
Trocar o conteúdo da memória X 
pelo da Y 
Xy 9,999 9,999 está agora em Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MBA: 
Disciplina: 
Docente: 
Período de realização da disciplina: 
 
 
1. Portfólio de desempenho acadêmico 
 
 
 
1.1 Registre abaixo os principais conceitos (palavras-chave) que dão suporte ao 
conteúdo desta disciplina: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Registre abaixo as principais ideias (frases curtas) que formam o conteúdo 
fundamental desta disciplina: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Comparando o conteúdo aprendido com a realidade empresarial que você 
conhece, registre abaixo os principais problemas científicos e/ou empresariais 
(questões significativas, exatas, curtas) que você percebe: 
 
 
2. Portfólio de desempenho pessoal/profissional 
 
 
 
Considerando os conteúdos aprendidos e os problemas detectados a partir do estudo 
destes conteúdos, destaque: 
 
 
2.1 O que você pode fazer a partir de amanhã para melhorar seu desempenho 
pessoal/ profissional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 O que você deve deixar de fazer para melhorar seu desempenho pessoal/ 
 
profissional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 O que existe de rotina no seu cotidiano e que pode ser mudado para aperfeiçoar 
sua prática profissional: