TEORIA DOS CONJUNTOS ITA

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TEORIA DOS CONJUNTOS ITA-IME
Conjunto: agrupamento de elementos ou objetos { }
 A = {x,y,z} B = {0,1,2,3,4} C = {janeiro, junho, julho}
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA: ∈ e ∉ 
 A = {a,e,i,o,u} >> u ∈ A e v ∉ A
RELAÇÃO DE INCLUSÃO: Está Contido ⊂ ou Não está contido ⊃
 A = {a,e,i,o,u} B = {a,b,c,d,...,z} 
 A ⊂ B , A está contido em B, logo é subconjunto de B.
Subconjunto: A ⊂ B ↔ (∀ x) (x ∈ A → x ∈ B)
 Ø ⊂ A
*** Ø Conjunto Vazio é subconjunto de todos os conjuntos ***
TEOREMA SOBRE O CONJUNTO VAZIO
Corolário: Existe somente um conjunto com nenhum elemento.
 
CONJUNTOS DOS NÚMEROS
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N} = {1,1 , 2,32 , 4,45 , 2,333..., 4,75887589...}
I = irracionais = {0,12345678910111213..., π, √2 } o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo dos números reais. Decimais infinitos e raízes não exatas
R = Q U I = {Q + I} = {√5...}
C = i, sendo i unidade imaginária, tendo √-1 = i
 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I ⊂ R, com Q U I = Ø
Representação de Conjuntos: Por citação, propriedade ou Diagrama de Venn-Euler.
Cardinalidade: número de elementos de um conjunto qualquer. #A ou n(A) ou |A|.
 A cardinalidade do Conjunto Vazio é n Ø = 1.
 Cardinalidade da União: n(A ∪ B = n(A) + n(B) - n(A ∩ " B)
Propriedades da Inclusão
1) Ø ⊂ A, ∀ A
2) A ⊂ A
3) (A ⊂ B e B ⊂ A) então A = B ( Anti-simétrica)
4) (A ⊂ B e B ⊂ C) então A ⊂ C (Transitiva)
5) Conjunto das partes P(A): Se A possui n elementos, então o número de subconjuntos de A = 2ᶰ
Operações entre conjuntos
Igualdade – A = B ↔ (x) (x ∈ A → x ∈ B)
União – A U B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} ou = v
 A U A = A e A U Ø = A e A U U = U
 A U B = B U A 
 (A U B) U C = A U (B U C)
 *A ⊂ B ↔ A U B = B
Interseção – A ꓵ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} e = ∧
 A ꓵ Ø= Ø e A ꓵ U = A
 A ꓵ B = B ꓵ A
 (A ꓵ B) ꓵ C = A ꓵ (B ꓵ C)
 *A ⊂ B ↔ A ꓵ B = A
Diferença entre conjuntos – A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B} (conjunto dos elementos de A, mas que não estão em B) A – B ≠ B – A
 B – A = B ꓵ Ᾱ ou B – A = B ꓵ Aᶜ
Conjuntos Disjuntos: A ꓵ B = Ø
Produto Cartesiano - A x B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}
 A x Ø = Ø
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA DA UNIÃO PERANTE A INTERSEÇÃO
 A U (B ꓵ C) = (A U B) ꓵ (A U C)
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA DA INTERSEÇÃO PERANTE A UNIÃO
 A ꓵ (B U C) = (A ꓵ B) U (A ꓵ C)
IDENTIDADE DE CONJUNTOS
Complemento Duplo: (Aᶜ)ᶜ = A
Idempotência: A ꓵ A = A e A U A =A
Teorema De Morgan: (A ꓵ B) ᶜ = Aᶜ U Bᶜ ou seja A U B = Ᾱ ꓵ B e A ꓵ B = Ᾱ U B 
Absorção: A ꓵ (A U B) = A e A U (A ꓵ B) = A
Complementar: Ᾱ, AC, A’, CUA, sendo AC = U – A = {x | x ∈ U e X ∉ A}
 ∁ᴮA = A – B = B ⊂ A = {x ∈ A ∣ x ∉ B} (B tem que estar contido em A)
A ⊂ B ↔ B ⊂ A
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:
P1) ∁ᴮA ꓵ B = Ø e ∁ᴮA U B = A
P2) ∁ᴬA = Ø
P3) ∁ A (∁ᴮA) = B
P4) ∁ᴮᵔᶜA = ∁ᴮA U ∁ᶜA
P5) ∁ᴮᶸᶜA = ∁ᴮA ꓵ ∁ᶜA
** (A U B) ꓵ (Ᾱ U B) = B (Considerar o primeiro termo como um único conjunto e aplicar a distributiva.) [(A U B) ꓵ Ᾱ] U [(A U B) ꓵ B] = [(Ᾱ ꓵ B) U (Ᾱ ꓵ A)] U B = 
 [(Ᾱ ꓵ B) U Ø] U B = (Ᾱ ꓵ B) U B = B
DIFERENÇA SIMÉTRICA: A ∆ B = (A-B) U (B-A)
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(AꓵB)