Estudo_de_um_sistema_Massa-Mola-Amortece

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Estudo de um sistema Massa-Mola-Amortecedor
Technical Report · June 2009
DOI: 10.13140/RG.2.2.20964.53124
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Nuno Pessanha Santos
Institute for Systems and Robotics (ISR/IST), LARSyS, Univ. Lisboa and CINAV, Escola Naval
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Sistemas de Automação e Controlo 
 
 
 
Estudo de um sistema Massa-Mola-Amortecedor 
Junho 2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nuno Pessanha Santos 
nuno.pessanha.santos@marinha.pt 
nuno.pessanha.santos@gmail.com 
 
 
mailto:nuno.pessanha.santos@marinha.pt
mailto:nuno.pessanha.santos@gmail.com
Escola Naval Estudo de um sistema Massa-Mola-Amortecedor 
 
Sistemas de Automação e Controlo 
 
2 
Índice 
 
Índice .................................................................................................................................. 2 
1. Introdução................................................................................................................. 3 
2. Fundamento Teórico .................................................................................................. 4 
2.1 Representação de Sistemas ........................................................................................ 4 
2.2 Modelação de Sistemas .............................................................................................. 4 
2.3 Resposta no Domínio do Tempo ................................................................................. 4 
2.4 Resposta em Frequência – Diagrama de Bode .............................................................. 5 
3. Tratamento de Dados ................................................................................................. 8 
3.1. Entrada em Degrau .................................................................................................... 9 
3.2. Entrada impulsional ................................................................................................. 12 
3.3. Entrada em Rampa .................................................................................................. 14 
3.4. Erros ....................................................................................................................... 16 
3.5. Equações de Estado ................................................................................................. 17 
3.6. Mapa de Pólos e Zeros .............................................................................................. 19 
3.7. Diagramas de BODE ................................................................................................. 20 
4. Conclusão ................................................................................................................ 23 
5. Referências Bibliográficas ........................................................................................ 24 
6. Anexos .................................................................................................................... 25 
 
 
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3 
1. Introdução 
 
Sempre houve a necessidade de tentar fazer a modelagem de fenómenos que ocorrem no nosso 
quotidiano. Esta consiste, em nem mais nem menos, do que obter as equações diferenciais que regem o 
comportamento do sistema que se pretende estudar. Ao efectuar a modelagem de um determinado 
sistema o objectivo é chegar a modelos, neste caso matemáticos, que possam representar de uma forma 
precisa o comportamento de um sistema num caso real. 
Por sistema entende-se uma combinação de componentes que actuam conjuntamente com o fim 
de realizar um certo objectivo. Esta noção, pode ser aplicada a fenómenos de natureza física, natureza 
económica, ou outros. Neste caso estamos perante o estudo de sistemas dinâmicos, isto é, sistemas que 
apresentam uma dependência do tempo ou uma evolução com o tempo. Destes consideraremos os 
sistemas lineares, como é o caso do Sistema Massa-Mola-Amortecedor (caso de estudo). 
O principal objectivo na elaboração deste trabalho será tentar demonstrar de uma forma 
perceptível, o comportamento do sistema em estudo utilizando os seguintes métodos/meios de análise: 
1. Análise da Resposta Transitória e Estacionária 
2. Análise/Resposta em Frequência – Diagrama de Bode 
Para comparação de resultados serão efectuados estes métodos/meios de análise de uma forma 
analítica complementando o seu estudo utilizando, quando necessário, a ferramenta de desenvolvimento 
MatLab. Esta é uma preciosa ferramenta, com inúmeras capacidades de simulação para sistemas das mais 
diferentes naturezas, traduzindo-se assim numa importante ajuda para a realização deste trabalho. 
Podendo assim dar uma maior clarividência e uma melhor abrangência no assunto a explorar. 
 
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4 
2. Fundamento Teórico 
 
2.1 Representação de Sistemas 
As chamadas funções de transferência são funções usadas para caracterizar as relações entre 
entrada e saída de componentes ou sistemas que possam ser descritos por equações diferenciais lineares 
invariantes no tempo. 
A representação de sistemas em função de transferência pressupõe o emprego das transformadas 
de Laplace às equações diferenciais lineares que descrevem o modelo matemático do sistema dinâmico. 
Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada numa equação algébrica composta por um 
numerador e um denominador, em função de uma variável complexa s. 
Outro modo de representar os sistemas dinâmicos é através das equações de estado em que são definidas 
quatro matrizes que caracterizam o modelo. 
 
�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 
2.2 Modelação de Sistemas 
O diagrama de blocos de um sistema é uma representação que permite ilustrar quais as funções 
desempenhadas por cada um dos componentes e fluxos de sinais. Tal diagrama indica as relações que 
existem entre os vários componentes. 
 
2.3 Resposta no Domínio do Tempo 
Na análisee projecto de sistemas de controlo é necessário possuir uma base de comparação do 
desempenho de vários desses sistemas. Esta pode ser obtida, através do recurso a diferentes sinais de 
teste de entrada e comparando-se as respostas dos vários sistemas. 
Os sinais de entrada de teste típicos habitualmente utilizados são as funções degrau, rampa e 
impulso. 
A determinação de qual ou quais destes sinais de entrada típicos devem ser usados para analisar 
as características do sistema depende da forma da entrada a que o sistema será sujeito mais 
frequentemente durante a operação normal. 
Durante o projecto de um sistema de controlo, deverá ser previsto o comportamento dinâmico do 
sistema a partir do conhecimento dos componentes. A característica mais importante do comportamento 
dinâmico de um sistema de controlo é a Estabilidade Absoluta, isto é, se o sistema é estável ou instável. 
Um sistema de controlo está em equilíbrio se, na ausência de qualquer perturbação ou entrada, a 
saída permanece no mesmo estado. Mais especificamente, um determinado sistema de controlo invariante 
no tempo e linear é estável se a saída voltar ao seu estado de equilíbrio quando o sistema é sujeito a uma 
perturbação. Por outro lado, ele será criticamente estável se as perturbações provocam oscilações 
permanentes na saída e instável se a saída diverge sem limites do ponto de equilíbrio na presença de 
perturbações. 
A resposta temporal de um sistema está dividida em Resposta Transitória e Resposta 
Estacionária. A Resposta Transitória diz respeito à forma como ele se comportou desde o estado inicial 
(houve oscilação, a resposta foi lenta demais, etc.) até atingir o estado final. Por seu lado, a Resposta 
Estacionária pretende traduzir a resposta do sistema quando o tempo tende para “infinito”. 
 
 
A resposta de sistemas à entrada de degrau unitário (R(s)=1/s), apresenta características 
totalmente diferentes entre sistemas de 1ª Ordem e sistemas de Ordem superior. Considerando que a 
função de transferência de malha fechada de um determinado sistema é dada por: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑛𝑢𝑚
𝑑𝑒𝑛
=
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
 
O comportamento dinâmico deste sistema de 2ª Ordem pode ser descrito pela frequência natural: 
ω
n 
e pelo coeficiente de amortecimento: ζ. 
 
0 < ζ <1: Sistema sub-amortecido ⇒ Resposta transiente oscilatória. 
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5 
ζ = 1: Sistema criticamente amortecido ⇒ Resposta transiente não oscilatória. 
ζ > 1: Sistema sobre-amortecido ⇒ Resposta transiente não oscilatória. 
É necessário efectuar uma definição das especificações da resposta transiente de sistemas de 2ª 
Ordem a uma entrada em degrau unitário, já que frequentemente as características de desempenho 
desejadas para o sistema de controlo são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo 
para um tipo de entrada que seja simples, mas severa (caso da entrada em degrau unitário): 
 
Tempo de Atraso: t
d 
 
Corresponde ao tempo necessário para que a resposta alcance (pela primeira vez) metade do 
valor final. 
Tempo de Subida: t
r 
 
Por norma, corresponde ao tempo necessário para que a resposta passe de 0% a 100% do seu 
valor final. 
Sabendo que a Frequência Natural Amortecida é dada por: 
 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁
2 
O Tempo de Subida virá: 
𝑡𝑟 =
1
𝜔𝑑
𝑡𝑎𝑛−1 (−
𝜔𝑑
𝜁𝜔𝑛
) 
Instante de pico: t
p 
 
Corresponde ao tempo necessário para que a resposta alcance o primeiro pico do Sobre-sinal 
(Overshoot): 
 
𝑡𝑝 =
𝜋
𝜔𝑑
 
Sobre-sinal Máximo (Overshoot): M
p 
 
Valor de pico da curva da resposta medido a partir do valor final de regime estacionário da 
resposta. Geralmente é definido em termos percentuais: 
 
𝑀𝑝 = 𝑒
−
𝜁𝜋
√1−𝜁2
 
Tempo de Estabelecimento: t
ac 
 
Corresponde ao tempo necessário para que a curva da resposta alcance e permaneça dentro de 
uma faixa em torno do valor final. Por norma, esta faixa é especificada com uma magnitude dada por uma 
percentagem absoluta de 2% ou 5% do valor final. 
 
𝑡𝑎𝑐(2%) =
4
𝜁𝜔𝑛
 
 
 
𝑡𝑎𝑐(5%) =
3
𝜁𝜔𝑛
 
 
No caso de se estar perante uma entrada em rampa unitária temos que R(s)=1/s2, enquanto que 
se a entrada for um impulso vem que R(s)=1. 
 
2.4 Resposta em Frequência – Diagrama de Bode 
 
Pelo termo resposta em frequência entende-se a resposta em regime estacionário de um sistema 
sujeito a uma entrada sinusoidal. Uma função de transferência sinusoidal é uma função complexa da 
frequência ω, sendo caracterizada pelo seu Módulo e Ângulo de Fase. Assim, um Diagrama de Bode é 
definido por dois gráficos separados: Gráfico do logaritmo do Módulo de uma função de transferência 
sinusoidal e o Gráfico do Ângulo de Fase, sendo ambos construídos em função da frequência em escala 
logarítmica. A principal vantagem em utilizar um gráfico com escalas logarítmicas reside na facilidade de 
traçado das curvas da resposta no domínio da frequência. As evoluções em frequências dos factores 
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6 
básicos que mais frequentemente se encontram numa função de transferência arbitrária: G (jω) H (jω) 
são evolutivos para as várias frequências de corte ω : 
 
Ganho KB 
Módulo: | KB| = 20 log (K) [dB] 
 
Inclinação da Recta: 0 [dB/década] 
 
Ângulo de Fase: φ = 0˚ 
 
Factor Integral (Pólos na Origem): (jω) -1 
Módulo: | G (jω) | = 20 log |1/jω| = -20 log (ω ) [dB] 
 
Inclinação da Recta: -20 [dB/década] 
 
Ângulo de Fase: φ = -90˚ 
 
Factor Derivativo (Zeros na Origem): (jω) 
Módulo: | G (jω) | = 20 log |jω| = 20 log (ω ) [dB] 
 
Inclinação da Recta: 20 [dB/década] 
 
Ângulo de Fase: φ = 90˚ 
 
Factor primeira ordem (Pólos Reais): (1+jωT) -1 
Módulo: | G (jω) | = 20 log |1/(1+jωT)| = -20 log (√1 + 𝜔2𝑇2 ) [dB] 
 
 ω < <
1
𝑇
 | G (jω) | = -20 log (√1 + 𝜔2𝑇2 ) = -20 log (1) = 0 [dB] 
 
 ω > >
1
𝑇
 | G (jω) | = -20 log (√1 + 𝜔2𝑇2 ) = -20 log (ωT) [dB] 
 
Inclinação da Recta: -20 [dB/década] 
 
Ângulo de Fase: φ = -arctg(ωT) 
 
 ω < <
1
𝑇
 φ = -arctg(
𝜔𝑇
1
) = -arctg(0) = 0˚ 
 
 ω > >
1
𝑇
 φ = -arctg(
𝜔𝑇
1
) = -arctg(∞) = -90˚ 
 
Factor primeira ordem (Zeros Reais): (1+jωT) 
 
Módulo: | G (jω) | = 20 log |1/(1+jωT)| = 20 log (√1 + 𝜔2𝑇2 ) [dB] 
 
 ω < <
1
𝑇
 | G (jω) | = 20 log (√1 + 𝜔2𝑇2 ) = 20 log (1) = 0 [dB] 
 
 ω > >
1
𝑇
 | G (jω) | = 20 log (√1 + 𝜔2𝑇2 ) = 20 log (ωT) [dB] 
 
Inclinação da Recta: 20 [dB/década] 
 
Ângulo de Fase: φ = arctg(ωT) 
 
 ω < <
1
𝑇
 φ = arctg(
𝜔𝑇
1
) = arctg(0) = 0˚ 
 
 ω > >
1
𝑇
 φ = arctg(
𝜔𝑇
1
) = arctg(∞) = 90˚ 
 
 
Factor quadrático (Pólos Complexos): [1+2ζ(jω/ωn )+ (jω/ωn )2]-1 
 
 
 Módulo: | G (jω) | = 20 log |
1
1+2𝜁(𝑗
𝜔
𝜔𝑛
)+(𝑗
𝜔
𝜔𝑛
)
2| = -20 log(√(1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2)
2
+ (2𝜁
𝜔
𝜔𝑛
)
2
) [dB] 
 
 ω < < ωn | G (jω) | = -20 log (1) = 0 [dB] 
 
 ω > > ωn | G (jω) | = -20 log (
𝜔2
𝜔𝑛
2 ) = -40 log (
𝜔
𝜔𝑛
) [dB] 
 
Inclinação da Recta: -40 [dB/década] 
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7 
Ângulo de Fase: φ = -arctg(
2𝜁
𝜔
𝜔𝑛
1−(
𝜔
𝜔𝑛
)
2) 
 ω = 0 φ = 0˚ 
 ω = ωn φ = -90˚ 
 ω = ∞ φ = -180˚ 
 
Factor quadrático (Zeros Complexos): [1+2ζ(jω/ωn )+ (jω/ωn )2] 
 
Módulo: | G (jω) | = 20 log |1 + 2𝜁 (𝑗
𝜔
𝜔𝑛
) + (𝑗
𝜔
𝜔𝑛
)
2
|= 20 log(√(1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2)
2
+ (2𝜁
𝜔
𝜔𝑛
)
2
)[dB] 
 
 ω < < ωn | G (jω) | = 20 log (1) = 0 [dB] 
 
 ω > > ωn | G (jω) | = 20 log (
𝜔2
𝜔𝑛
2) = 40 log (
𝜔
𝜔𝑛
) [dB] 
 
Inclinação da Recta: 40 [dB/década] 
 
Ângulo de Fase: φ = arctg(
2𝜁
𝜔
𝜔𝑛
1−(
𝜔
𝜔𝑛
)
2) 
 ω = 0 φ = 0˚ 
 ω = ωn φ = 90˚ 
 ω = ∞ φ = 180˚ 
 
Na análise da resposta de sistemas no domínio da frequência, as Margens de Ganho e de Fase 
permitem estudar a estabilidade do sistema. 
 
Margem de Fase – Atraso de fase adicional na frequênciade cruzamento do ganho, necessário para 
levar o sistema ao limiar da instabilidade. A frequência de cruzamento do ganho é a frequência na qual 
G(jω), o módulo da função de transferência de malha aberta, é unitário. A Margem de Fase : γ é 180º mais 
o Ângulo de Fase : φ da função de transferência de malha aberta na frequência de cruzamento de ganho : 
γ = 180 + φ Para um sistema de fase mínima (Todos os Pólos e Zeros no semiplano s da esquerda) ser 
estável, a Margem de Fase deve ser positiva. 
 
Margem de Ganho – Inverso do módulo |G(jω)| na frequência onde o Ângulo de Fase : φ é –180º. 
Definindo a frequência de cruzamento de fase : ω1, como sendo a frequência na qual o Ângulo de Fase : φ 
da função de transferência de malha aberta é igual a –180º, a Margem de Ganho resulta : 
Kg = -20 log | G(jω1) | [dB] 
Uma Margem de Ganho positiva significa que o sistema é estável, e o simétrico que o sistema é 
instável. Para um sistema de fase mínima estável, a Margem de Ganho indica quanto o ganho pode ser 
aumentado antes que o sistema se torne instável. Para um sistema instável, a Margem de Ganho é 
indicativa de quanto o ganho deve ser diminuído para tornar o sistema estável. 
 
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8 
3. Tratamento de Dados 
 
O caso prático a abordar é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1 – Ilustração do caso prático a abordar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2 – Modelagem do sistema adoptada 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 – Representação do diagrama de blocos do sistema em estudo 
 
Podemos abordar o sistema usando o seguinte formalismo: 
 
Σ�̅� = 0 ⟺ Σ Forças Aplicadas = Σ Forças dos corpos ⟺ 
⟺ 𝑓𝑖 = 𝑃 + 𝑓𝐾 + 𝑓𝐵 + 𝑓𝑀 ⟺ 𝑓𝑖 = 𝑚. 𝑔 + 𝐾. 𝑥 + 𝐵.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+M.
𝑑𝑥2
𝑑𝑦2
⟺ 𝑓𝑖 − 𝑃 = 𝐾. 𝑥 + 𝐵 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑀.
𝑑𝑥2
𝑑𝑦2
 (1) ⟺ 
 
Passando para o domínio de Laplace (1) obtemos: 
 
𝐹𝑡(𝑠) = 𝑀. 𝑠
2. 𝑥(𝑠) + 𝐵. 𝑠. 𝑥(𝑠) + 𝐾. 𝑥(𝑠) ⟺ 𝑥(𝑠). (𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾) = 𝐹𝑡(𝑠) ⟺ 
R 
Mola Amortecedor 
A 
Roda 
𝑓𝑖 
P 
M 
Fi 
Sistema 
Massa-Mola-Amortecedor 
Entrada 
𝐹𝑖(𝑠) 
Saída 
𝑋(𝑠) 
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9 
⟺ 𝑥(𝑠) = 
1
𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾
. 𝐹𝑡(𝑠) (2) 
 
Para o estudo da equação presente em (2), vamos adoptar os seguintes valores: 
 
𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠2 
𝑀 = 15 𝐾𝑔 
𝐵 = 3 𝐾𝑔/𝑠 
𝐾 = 9 𝑁/𝑚 
3.1. Entrada em Degrau 
 
No estudo da resposta a uma entrada em degrau, vai ser assumido que é aplicada uma força de 
177 N para simplificação dos cálculos. 
 
𝑓𝑡 = 𝑓𝑖 − 𝑃 ⟺ 177 − 15 ∗ 9.8 = 30 𝑁 
 
𝐹(𝑠) =
30
𝑠
 
 
𝑥(𝑠) = 
1
15. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾
. 𝐹𝑡(𝑠) ⟺ 𝑥(𝑠) = 
1
15. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾
∗
30
𝑠
⟺ 
 
⟺ 𝑥(𝑠) = 
2
𝑠(𝑠2 +
𝑠
5
+
3
5
)
 
 
 
Calculando os pólos da função, obtemos: 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
2. 𝑎
 
Temos para este caso: 
𝑎 = 1 ∧ 𝑏 =
1
5
∧ 𝑐 =
3
5
 
 
𝑦 =
−
1
5
± √
1
5
2
− 4 ∗ 1 ∗
3
5
2 ∗ 1
= −0.1 ± 𝑗0.768 
 
 𝑥(𝑠) = 
2
𝑠(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
+
𝐾3
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
⟺ 
 
Calculando K1 temos então: 
 
𝐾1 = 
2. 𝑠
𝑠(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=0 =
2
(0 + 0.1 + 𝑗0.768)(0 + 0.1 − 𝑗0.768)
=
10
3
 
 
Calculando K2, temos então: 
 
𝐾2 = 
2. (𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
𝑠(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1+𝑗0.768 =
2
𝑠. (𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
=
2
(−0.1 + 𝑗0.768). (−0.1 + 𝑗0.768 + 0.1 + 𝑗0.768)
 
 
𝐾2 =
2
(−0.1 + 𝑗0.768). (𝑗0.768 + 𝑗0.768)
=
2
(−0.1 + 𝑗0.768). (𝑗1.54)
=
2
−𝑗0.154 + 𝑗21.18
= 
2
1.19 ∗ 𝑒𝑗7.4
⟺ 
 
⟺ 𝐾2 = 1.68 ∗ 𝑒−𝑗7.4 
 
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10 
Calculando K3, temos então: 
 
 
𝐾3 = 
2. (𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
𝑠(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1−𝑗0.768 =
2
𝑠. (𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
=
2
(−0.1 + 𝑗0.768). (−0.1 + 𝑗0.768 + 0.1 + 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝐾3 =
2
(−0.1 + 𝑗0.768). (𝑗0.768 + 𝑗0.768)
=
2
(−0.1 − 𝑗0.768). (−𝑗1.54)
=
2
𝑗0.154 + 𝑗21.18
 
 
= 
2
1.19 ∗ 𝑒−𝑗7.4
 
 
𝐾3 = 1.68 ∗ 𝑒𝑗7.4 
Passando à expressão 
 
𝑋(𝑠) =
3.33
𝑠
+
1.68 ∗ 𝑒−𝑗7.4
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
+
1.68 ∗ 𝑒𝑗7.4
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝑋(𝑠) =
3.33
𝑠
+
1.68 ∗ 𝑒−𝑗7.4
𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768
+
1.68 ∗ 𝑒𝑗7.4
𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768
⟺ 
 
𝑥(𝑡) = 3.33 + 2. 𝑀. 𝑒−𝑎.𝑡 . cos(𝑤𝑡 + 𝜃) 𝑐𝑜𝑚 𝑡 ≥ 0 ⟺ 
 
⟺ 𝑥(𝑡) = 3.33 + 3.36 ∗ 𝑒−𝑎.𝑡 . cos(0.768 ∗ 𝑡 − 7.4∘) 𝑐𝑜𝑚 𝑡 ≥ 0 
 
Calculando agora a equação que descreve a velocidade no domínio do tempo 
 
𝑉(𝑠) = 𝑠. 𝑋(𝑠) ⟺ 
 
⟺ 𝑉(𝑠) =
2
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
=
𝐾4
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
+
𝐾5
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
⟺ 
 
Calculando o valor de K4 
 
𝐾4 =
2. (𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1+𝑗0.768 =
2
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
 
 
=
2
−0.1 + 𝑗0.768 + 0.1 + 𝑗0.768
=
2
𝑗1.54
= 1.3. 𝑒−𝑗90 
 
Calculando o valor de K5 
 
𝐾5 =
2. (𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1−𝑗0.768 =
2
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
 
 
=
2
−0.1 − 𝑗0.768 + 0.1 − 𝑗0.768
=
2
−𝑗1.54
= 1.3. 𝑒𝑗90 
 
𝑉(𝑠) =
1.3 ∗ 𝑒−𝑗90
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
+
1.3 ∗ 𝑒𝑗90
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
 
 
𝑣(𝑡) = 2.6 ∗ 𝑒−0.1.𝑡. cos(0.768 ∗ 𝑡 − 90) 𝑐𝑜𝑚 𝑡 ≥ 0 
 
 
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Sistemas de Automação e Controlo 
 
11 
Exemplo de código utilizado no MatLab para obtenção do respectivo gráfico, da resposta do 
sistema a uma entrada em degrau: 
 
%Definição dos parâmetros a utilizar 
M=15; 
B=3; 
K=9; 
%Definição do polinómio 
%X(s) 1 
%---- = ---------------- 
%F(s) M s^2 + B s + K 
num=[1];%Definição do numerador da equação diferencial 
den=[M B K];%Definição do denominador da equação diferencial 
sistema = tf(num,den); %Atribui a função a uma única variável 
%Análise transitória de Sistemas Contínuos no Tempo 
%Resposta à função de entrada em Degrau 
step(sistema); 
axis auto; 
 
 
Fig.4 – Resposta em degrau com os seguintes parâmetros 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠2, 𝑀 = 15 𝐾𝑔, 𝐵 = 3 𝐾𝑔/𝑠 e 𝐾 =
9 𝑁/𝑚 . 
 
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12 
3.2. Entrada impulsional 
 
 
Estudando o sistema em relação a uma entrada impulsional: 
 
𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑠) 
 
𝛿(𝑡) = 1 
 
 
𝑥(𝑠) = 
1
15
𝑠2 +
𝑠
5
+
3
5
∗ 1 ⟺ 𝑥(𝑠) = 
0.067
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
⟺ 
 
 
 𝑥(𝑠) = 
0.067
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
=
𝐾1
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
+
𝐾2
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
⟺ 
 
Calculando K1, temos então: 
 
𝐾1 = 
0.067 ∗ (𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1+𝑗0.768 =
0.067
(−0.1 + 𝑗0.768 + 0.1 + 𝑗0.768)
=
0.067
𝑗1.54
 
 
𝐾1 =
0.067
1.54 ∗ 𝑒𝑗90
= 0.044 ∗ 𝑒−𝑗90 
 
Calculando K2, temos então: 
 
𝐾2 = 
0.067 ∗ (𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1−𝑗0.768 =
0.067
(−0.1 − 𝑗0.768 + 0.1 − 𝑗0.768)
=
0.067
−𝑗1.54
 
 
𝐾1 =
0.067
𝑗1.54 ∗ 𝑒−𝑗90
= 0.044 ∗ 𝑒𝑗90 
 
Passando à expressão 
 
𝑋(𝑠) =
0.65 ∗ 𝑒−𝑗90
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
+
0.65 ∗ 𝑒𝑗90
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝑥(𝑡) = 1.3 ∗ 𝑒−0.1.𝑡 . cos(0.768 ∗ 𝑡 − 90) 𝑐𝑜𝑚 𝑡 ≥ 0 
 
Calculando agora a equação que descreve a velocidade no domínio do tempo 
 
𝑉(𝑠) = 𝑠. 𝑋(𝑠) ⟺ 
 
⟺ 𝑉(𝑠) =
𝑠 ∗ 0.067
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
=
𝐾3
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
+
𝐾4
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
⟺ 
 
Calculando o valor de K3 
 
𝐾3 =
0.067. (𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768). 𝑠
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1+𝑗0.768 =
0.067 ∗ (−0.1 + 𝑗0.768)
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
 
 
=
0.067 ∗ (−0.1 + 𝑗0.768)
−0.1 + 𝑗0.768 + 0.1 + 𝑗0.768
=
0.05 ∗ 𝑒−𝑗82.5
1.54 ∗ 𝑒𝑗90
= 0.03. 𝑒−𝑗172.5 
Calculando o valor de K3 
 
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13 
𝐾3 =
0.067. (𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768). 𝑠
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1−𝑗0.768 =
0.067 ∗ (−0.1 − 𝑗0.768)
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
 
 
 
=
0.067 ∗ (−0.1 − 𝑗0.768)
−0.1 − 𝑗0.768 + 0.1 − 𝑗0.768
=
0.05 ∗ 𝑒𝑗82.5
1.54 ∗ 𝑒−𝑗90
= 0.03. 𝑒𝑗172.5 
 
 
𝑣(𝑡) = 1 ∗ 𝑒−0.1.𝑡. cos(0.768 ∗ 𝑡 − 172.5) 𝑐𝑜𝑚 𝑡 ≥ 0 
 
 
Exemplo de código utilizado no MatLab para obtenção do respectivo gráfico, da resposta do 
sistema a uma entrada impulsional: 
 
%Definição dos parâmetros a utilizar 
M=15; 
B=3; 
K=9; 
%Definição do polinómio 
%X(s) 1 
%---- = ---------------- 
%F(s) M s^2 + B s + K 
num=[1];%Definição do numerador da equação diferencial 
den=[M B K];%Definição do denominador da equação diferencial 
sistema = tf(num,den); %Atribui a função a uma única variável 
%Análise transitória de Sistemas Contínuos no Tempo 
%Resposta a uma função de entrada impulsional 
impulse(sistema); 
axis auto; 
 
Fig.5 – Resposta impulsional com os seguintes parâmetros 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠2, 𝑀 = 15 𝐾𝑔, 𝐵 = 3 𝐾𝑔/𝑠 e 𝐾 =
9 𝑁/𝑚 . 
 
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14 
3.3. Entrada em Rampa 
 
No domínio de Laplace a função rampa é dada por: 
 
𝐹(𝑠) =
30
𝑠2
 
 
𝑥(𝑠) = 
1
15
𝑠2 +
𝑠
5
+
3
5
∗
30
𝑠2
 ⟺ 𝑥(𝑠) = 
2
𝑠2 (𝑠2 +
𝑠
5
+
3
5
)
⟺ 
Fraccionando vem 
 
𝑥(𝑠) = 
2
𝑠2 (𝑠2 +
𝑠
5
+
3
5
)
=
𝐾1
𝑠2
+
𝐾2
𝑠
+
𝐾3
𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768
+
𝐾4
𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768
⟺ 
Calculando o valor de K1 vem 
 
𝐾1 =
2𝑠2
𝑠2(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
|𝑠=0 =
2
(0.1 + 𝑗0.768)(0.1 − 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝐾1 =
2
0.01 − 𝑗0.0768 + 𝑗0.0768 − 𝑗20.58
=
2
0.599
≈ 3.3 
 
 
Calculando o valor de K2 vem 
 
𝐾2 =
2𝑠
𝑠2(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
=
𝐾1𝑠
𝑠2
+
𝐾2𝑠
𝑠
+
𝐾3𝑠
(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
+
𝐾4𝑠
(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
 
 
 
E para s = 0, fica-nos: 
 
𝐾2 =
2 − 3.3(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
𝑠(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
= 
 
𝐾2 =
2 − (3.3𝑠 + 0.33 − 𝑗2.53)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
𝑠(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
= 
 
𝐾2 =
2 − 3.3𝑠2 + 0.33𝑠 + 𝑗2.53𝑠 + 0.33𝑠 + 0.033 + 𝑗0.253 − 𝑗2.53𝑠 − 𝑗0.253 − 𝑗21,94)
𝑠(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
= 
 
𝐾2 =
2 − (3.3𝑠2 + 0.66𝑠 + 1.94 + 0.033)
𝑠(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
=
𝑠(−3.3𝑠 − 0.66)
𝑠(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
|
𝑠=0 
= 
 
𝐾2 =
−0.66
(0.1 − 𝑗0.768)(0.1 + 𝑗0.768)
=
−0.66
(0.01 − 𝑗20.58)
=
−0.66
0.59
= −1.12 
 
 
Calculando o valor de K3 vem 
 
𝐾3 =
2(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
𝑠2(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1+𝑗0.768 =
2
(−0.1 + 𝑗0.768)2(−0.1 + 𝑗0.768 + 0.1 + 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝐾3 =
2
(−0.579 − 𝑗0.154)(𝑗1.54)
=
2
0.24 − 𝑗0.89
=
2
0.927𝑒−𝑗75
⟺ 
⟺ 2.16𝑒+𝑗75 
 
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15 
Calculando o valor de K4 vem 
 
𝐾4 =
2(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
𝑠2(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1−𝑗0.768 =
2
(−0.1 − 𝑗0.768)2(−0.1 − 𝑗0.768 + 0.1 − 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝐾4 =
2
(−0.579 + 𝑗0.154)(−𝑗1.54)
=
2
0.24 + 𝑗0.89
=
2
0.927𝑒𝑗75
⟺ 
⟺ 2.16𝑒−𝑗75 
 
Calculando agora a equação que descreve a velocidade no domínio do tempo 
 
𝑉(𝑠) = 𝑠. 𝑋(𝑠) 
 
 
 
Fraccionando vem 
 
𝑉(𝑠) = 
2
𝑠 (𝑠2 +
𝑠
5
+
3
5
)
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2
𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768
+
𝐾3
𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768
⟺ 
 
Calculando o valor de K1 vem 
 
𝐾1 =
2𝑠
𝑠(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
|𝑠=0 =
2
(0.1 + 𝑗0.768)(0.1 − 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝐾1 =
2
0.599
= 3.33 
 
Calculando o valor de K2 vem 
 
𝐾2 =
2(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)
𝑠(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1+𝑗0.768 =
2
(−0.1 + 𝑗0.768)(−0.1 + 𝑗0.768 + 0.1 + 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝐾2 =
2
−1.18 − 𝑗0.15
=
2
1.19𝑒−𝑗7.25
⟺ 
⟺ 1.68𝑒𝑗7.25 
 
Calculando o valor de K3 vem 
 
𝐾3 =
2(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
𝑠(𝑠 + 0.1 − 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 + 𝑗0.768)
|𝑠=−0.1−𝑗0.768 =
2
(−0.1 − 𝑗0.768)(−0.1 − 𝑗0.768 + 0.1 − 𝑗0.768)
⟺ 
 
⟺ 𝐾3 =
2
−1.18 + 𝑗0.15
=
2
1.19𝑒𝑗7.25
⟺ 
⟺ 1.68𝑒−𝑗7.25 
 
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16 
 
Exemplo de código utilizado no MatLab para obtenção do respectivo gráfico, da resposta do 
sistema a uma entrada em rampa: 
 
%Definição dos parâmetros a utilizar 
M=15; 
B=3; 
K=9; 
%Definição do polinómio 
%X(s) 1 
%---- = ---------------- 
%F(s) M s^2 + B s + K 
num=[1];%Definição do numerador da equação diferencial 
den=[M B K];%Definição do denominador da equação diferencial 
sistema = tf(num,den); %Atribui a função a uma única variável 
%Análise transitória de Sistemas Contínuos no Tempo 
%Resposta à função de entrada em rampa 
t=0:0.1:10; 
y=step(num,den,t); 
plot(t,y,t,t); 
axis auto; 
 
 
 
Fig.6 – Resposta a uma função rampa, tendo os seguintes parâmetros 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠2, 𝑀 = 15 𝐾𝑔, 𝐵 =
3 𝐾𝑔/𝑠 e 𝐾 = 9 𝑁/𝑚 . 
 
3.4. Erros 
3.4.1. Resposta em degrau 
 
A constante de erro na entrada de degrau é dada por: 
 
𝐾𝑃 = lim
𝑠→0
𝑋(𝑠) = lim
𝑠→0
2
0
= ∞ 
 
O erro estacionário é dado pela expressão 
 
Resposta em Rampa 
Tempo 
Amplitude 
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17 
𝑒𝑠𝑠𝑝 =
1
1 + 𝑘𝑝
=
1
∞
= 0 
 
3.4.2. Resposta em Rampa 
 
A constante de erro na entrada de rampa é dada por: 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
 𝑠 𝑋(𝑠) =
2𝑠
𝑠(1 + 0.1 + 𝑗0.768)(𝑠 + 0.1 − 𝑗0768)
=
2
0.59
= 3.4 
 
O erro estacionário é dado pela expressão 
 
𝑒𝑠𝑠𝑣 =
1
𝑘𝑣
=
1
3.4
= 0.29 
 
3.5. Equações de Estado 
 
Analisando o sistema em estudo e recorrendo às equações de estado, obtemos o seguinte: 
 
[�̇�] = [𝐴][𝑥] + [𝐵][𝑢] 𝑒 [𝑦] = [𝐶][𝑥] + [𝐷][𝑢] 
 
𝑥(𝑠) = 
1
𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾
. 𝐹𝑡(𝑠) ⇔ 𝑀𝑠
2𝑋(𝑠) + 𝐵𝑠𝑋(𝑠) + 𝐾𝑋(𝑠) = 𝐹(𝑠) ⇔ 
 
⇔ 𝑀
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑦(𝑡) + 𝐵
𝑑
𝑑𝑡
𝑦(𝑡) + 𝐾𝑦(𝑡) = 𝐹(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definem-se assim duas variáveis de estado 
 
 
 
Ficando com a relação 
 
 
 
[
𝑥1̇
�̇�2
] = [
0 1
−
𝐾
𝑀
−
𝐵
𝑀
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
0
1
𝑀
] [𝐹] 𝑒 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑦 = [1 0] [
𝑥1
𝑥2
] 
 
Exemplo de código utilizado no MatLab para obtenção dos valores de A,B,C e D como descritos 
acima é dado por: 
 
%Definição dos parâmetros a utilizar 
M=15; 
B=3; 
K=9; 
 
%Definição do polinómio 
%X(s) 1 
%---- = ---------------- 
%F(s) M s^2 + B s + K 
num=[1];%Definição do numerador da equação diferencial 
den=[M B K];%Definição do denominador da equação diferencial 
sistema = tf(num,den); %Atribui a função a uma única variável 
[A, B, C, D] = tf2ss(num,den); %Converte funções transferência em equações de estado 
%Apresenta os valores de A,B,C e D na command Window do MatLab 
𝑥2(𝑡) = �̇�(𝑡) 
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡) 
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡) 
 
𝑥2(𝑡) = �̇�(𝑡) 
𝑥1̇ = 𝑥2 
 
𝑥2̇ =
1
𝑀
(−𝐾𝑥 − 𝐵�̇�) +
1
𝑀
∗ 𝐹 
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18 
disp('A-'); 
disp(A); 
disp('B-'); 
disp(B); 
disp('C-'); 
disp(C); 
disp('D-'); 
disp(D); 
 
 
Fig.7 – Lista de valores obtidos, utilizando o MatLab 
 
De acordo com 
[�̇�] = [𝐴][𝑥] + [𝐵][𝑢] 𝑒 [𝑦] = [𝐶][𝑥] + [𝐷][𝑢] 
 
Vamos ter as seguintes equações de estado do sistema 
 
[
𝑥1̇
�̇�2
] = [
0 1
−0.6 −0.2
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
0
0.0667
] [𝐹] 𝑒 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑦 = [1 0] [
𝑥1
𝑥2
] + [0][𝑢] 
 
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19 
3.6. Mapa de Pólos e Zeros 
 
 
Fig.8 – Representação gráfica dos pólos do sistema estudado 
 
Pólo1 
 
 
Fig.9 – Dados relativos a um dos pólos apresentados pelo sistema em estudo 
 
Pólo2 
 
 
Fig.10 – Dados relativos a um dos pólos apresentados pelo sistema em estudo 
 
 
Polo1Polo2 
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20 
3.7. Diagramas de BODE 
 
Exemplo de código utilizado no MatLab para obtenção dos respectivos diagramas de bode do 
sistema apresentado: 
 
%Definição dos parâmetros a utilizar 
M=15; 
B=3; 
K=9; 
%Definição do polinómio 
%X(s) 1 
%---- = ---------------- 
%F(s) M s^2 + B s + K 
num=[1];%Definição do numerador da equação diferencial 
den=[M B K];%Definição do denominador da equação diferencial 
sistema = tf(num,den); %Atribui a função a uma única variável 
%Bode 
bode(sistema); 
grid 
axis auto; 
 
 
Fig.11 – Representação do diagrama de bode do Sistema em estudo 
 
Analisando o sistema seguinte, vamos analisar qual a sua estabilidade recorrendo aos parâmetros 
margem de fase e margem de ganho, para valores de K=10 e K=100. 
 
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝑘
 
 
Com os seguintes parâmetros: 
 
𝑀 = 15𝐾𝑔 
𝐵 = 3 𝐾𝑔/𝑠 
𝑘 = 9 𝑁/𝑚 
 
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21 
 Considerando K=10 teremos então: 
 
Exemplo de código utilizado no MatLab para obtenção dos respectivos diagramas de bode com a 
margem de fase e ganho quando K=10: 
 
%Definição dos parâmetros a utilizar 
M=15; 
B=3; 
K=9; 
%Definição do polinómio 
%X(s) 1 
%---- = ---------------- 
%F(s) M s^2 + B s + K 
num=[1];%Definição do numerador da equação diferencial 
den=[M B K];%Definição do denominador da equação diferencial 
sistema = tf(num,den); %Atribui a função a uma única variável 
%Para k=10 
num1=[10]; 
[mod,fase,w]=bode(num1,den); 
margin(mod,fase,w); 
 
 
Fig.12 – Representação da margem de fase e ganho quando k=10 
 
 
Pela análise da figura acima podemos constatar que a Margem de Fase encontra-se estabelecida 
nos 19.5 graus, e Margem de Ganho encontra-se estabelecida nos 60.6 dB. 
 
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22 
 Considerando K=100 teremos então: 
 
Exemplo de código utilizado no MatLab para obtenção dos respectivos diagramas de bode com a 
margem de fase e ganho quando K=100: 
 
%Definição dos parâmetros a utilizar 
M=15; 
B=3; 
K=9; 
%Definição do polinómio 
%X(s) 1 
%---- = ---------------- 
%F(s) M s^2 + B s + K 
num=[1];%Definição do numerador da equação diferencial 
den=[M B K];%Definição do denominador da equação diferencial 
sistema = tf(num,den); %Atribui a função a uma única variável 
%Para k=100 
num1=[100]; 
[mod,fase,w]=bode(num1,den); 
margin(mod,fase,w); 
 
 
Fig.13 – Representação da margem de fase e ganho quando k=100 
 
Pela análise da figura acima podemos constatar que a Margem de Fase encontra-se estabelecida 
nos 4.66 graus, e Margem de Ganho encontra-se estabelecida nos 40.6 dB. 
 
 
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23 
4. Conclusão 
 
Com a realização deste trabalho, e depois de se ter analisado o sistema em estudo podem-se 
retirar algumas conclusões. O sistema Massa-Mola-Amortecedor apresentado apenas é um sistema 
em malha aberta, ou seja, não apresenta qualquer tipo de realimentação. Assim sendo a análise deste 
sistema incidiu apenas no seu comportamento no tempo em relação a impulsos de entrada e qual o 
seu comportamento na frequência, tentando a partir desta análise descrever o comportamento do 
sistema. 
O sistema inicialmente foi modelado, descrevendo o seu comportamento utilizando equações 
matemáticas. Para o seu estudo torna-se importante referir que foram adoptados valores baseados 
em pesquisas efectuadas, não correspondendo a nenhum caso específico. Contudo, esses valores não 
estão desenquadrados, não levando ao surgimento de resultados que se poderão dizer “absurdos”. 
Através de uma análise do factor de amortecimento, conclui-se que o seu valor é de 
aproximadamente 0.129. Tal valor permite-nos afirmar que estamos perante um sistema Sub-
amortecido, cuja resposta transitória apresenta um comportamento oscilatório, como se pode 
constatar facilmente através dos diferentes gráficos apresentados. 
Para aferir a estabilidade do sistema, das técnicas ministradas com grande abrangência e 
clarividência nas aulas de Sistemas de Automação e Controlo, após uma análise cuidada optou-se por 
utilizar os diagramas de Bode como método de análise na frequência. Os valores obtidos, para ganhos 
de 10 e 100 quer para margem de fase, quer para margem de ganho ao serem ambos positivos 
permite-nos aferir que o sistema será estável. Caso a margem de ganho se encontra-se em valores 
negativos, ou seja, sistema instável poderíamos usar este valor como referência para nos indicar o 
valor do ganho que deveria ser diminuído para o sistema ser considerado estável. Tal estabilidade, 
pode também ser verificada através da observação da resposta do sistema traduzida graficamente 
quando tempo tende para infinito. 
Para analisar a resposta do sistema, quanto ao erro obtido, ao aplicar algumas entradas de excitação 
padrão sendo neste caso de estudo calculado a constante de erro e o próprio erro estacionário ao ser aplicada 
uma excitação em Degrau 𝑅(𝑠) =
1
𝑠
 e em Rampa 𝑅(𝑠) =
1
𝑠2
. Podemos verificar que quando temos uma 
entrada do tipo de degrau, verifica-se que o erro estacionário é zero e que quando a entrada aplicada for uma 
rampa o erro será de ≅3.4. 
Este tipo de formas de onda são consideradas como excitações padrão, pois são tipos de ondas que pelas 
suas características (Como é o caso do degrau que promove uma variação brusca) permitem traduzir qual o 
comportamento do nosso sistema perante situações consideradas “extremas”. 
 
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24 
5. Referências Bibliográficas 
 
 Carreira, C. M. (2002). Controlo Automático. Serviço de Publicações Escolares. 
 
 Distefano, J. J., Stubberub, A. R., & Williams, I. J. (1990). Feedback and Control 
Systems. Schaum´s McGraw-Hill. 
 
 Ogata, K. (1997). Modern Control Engineering. Prentice-Hall. 
 
 
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25 
6. Anexos 
 
Código de MatLab estruturado para a análise de sistemas de Controlo, não só para abordar o caso 
de estudo concreto, mas a generalidade de casos que poderá aparecer. 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
Sistemas de Automação e Controlo 
Trabalho Prático 
Nuno Pessanha Santos 
nuno.pessanha.santos@marinha.pt 
nuno.pessanha.santos@marinha.pt 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
 
Definir os parâmetros a utilizar 
 
M=15; 
B=3; 
K=9; 
 
Definir polinómios 
 
%X(s) 1 
%---- = ---------------- 
%F(s) M s^2 + B s + K 
 
num=[1]; %Definir o numerador da equação diferencial 
den=[M B K]; %Definir o denominador da equação diferencial 
printsys(num,den,'s'); 
disp('Prima Enter para ver os Zeros e polos da função'); 
pause; 
clc; 
a=roots(num); %Zeros do numerador 
b=roots(den); %Zeros do denominador 
sistema = tf(num,den); %Atribui a função a uma única variável 
 
 
Faz o display dos Zeros e polos da Função 
 
disp('Zeros'); 
disp(a); 
disp('polos'); 
disp(b); 
 
Análise transitória de Sistemas Contínuos no Tempo 
Resposta ao Degrau 
 
step(sistema); 
axis auto; 
hold 
 
%Pode-se acrescentar outro aqui depois de utilizar a função hold 
 
Resposta ao Impulso 
 
impulse(sistema); 
axis auto; 
hold 
%Pode-se acrescentar outro aqui depois de utilizar a função hold 
Resposta Rampa 
mailto:nuno.pessanha.santos@marinha.pt
mailto:nuno.pessanha.santos@marinha.pt
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26 
 
t=0:0.1:10; 
y=step(num,den,t); 
plot(t,y,t,t); 
hold 
 
%Pode-se acrescentar outro aqui depois de utilizar a função hold 
 
Root Locus 
 
rlocus(sistema); 
axis auto; 
 
zeta=0; 
Wn=1.8;sgrid(zeta, Wn); 
 
[kd,poles] = rlocfind(num,den); 
 
Mapa Pólo-Zero 
 
pzmap(num,den); 
zgrid 
 
Bode 
 
bode(sistema); 
grid 
axis auto; 
hold 
bode(sistema1); 
axis auto; 
hold 
 
%Para k=10 
num1=[100]; 
[mod,fase,w]=bode(num1,den); 
margin(mod,fase,w); 
 
%Para k=100 
num1=[100]; 
[mod,fase,w]=bode(num1,den); 
margin(mod,fase,w); 
 
Nyquist 
 
nyquist(sistema); 
axis auto; 
 
Resposta em Malha Fechada 
 
[numCL, denCL] = cloop((kd)*num, den); 
step(numCL,denCL); 
hold 
step(num,den); 
 
 
 
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