Vetores-corrigido

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VETORES 
 
Escalares são grandezas físicas que não envolvem uma direção 
no espaço. Ex: temperatura, pressão, energia, massa, tempo, 
densidade, carga elétrica. 
 
Vetores são grandezas físicas caracterizadas por módulo, direção 
e sentido. Ex: deslocamento, velocidade, aceleração, força, campo 
magnético, torque. 
 
A seta AB representa o vetor deslocamento do ponto inicial A até o 
ponto final B. As setas de A para B, de A’ para B’, e de A’’ para B’’ 
representam o mesmo deslocamento, pois todas têm o mesmo 
módulo (comprimento), a mesma direção e o mesmo sentido. O 
vetor deslocamento não depende da trajetória. 
 
 
Soma Vetorial 
 
A soma vetorial obedece a propriedade comutativa: 
ABBA

 
e a propriedade associativa: )()( CBACBA

 
 
 
Subtração Vetorial 
 
A subtração equivale a somar o vetor oposto: 
)( BABA

 
 
Soma Vetorial – método gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
propriedade comutativa: 
ABBA

 
 
 
 
 
propriedade associativa: 
)()( CBACBA

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta: Os módulos dos vetores deslocamento A

 e B

 são, 
respectivamente, 3 m e 4 m, e ABC

 . Considerando 
diferentes orientações possíveis para os vetores A

 e B

, quais 
são: 
(a) o máximo módulo possível para C

 ? 
(b) o mínimo módulo possível para C

 ? 
 
 
Decomposição Vetorial 
 
 
As componentes x e y do vetor a

 são os comprimentos dos 
segmentos xa e ya . Os sinais das componentes são coerentes 
com o sentido do vetor. 
Elas formam os catetos de um triângulo retângulo, onde o módulo 
do vetor a

 é a hipotenusa. 
Se um vetor é deslocado, mantendo o módulo e a orientação (dada 
pelo ângulo ), as suas componentes não mudam. 
 
 
 cosaax e  senaay 
 
 
22
yx aaa  e 
x
y
a
a
tan 
Pergunta: 
Das figuras abaixo, quais mostram combinações corretas das 
componentes xa e ya , apropriadas para representar o vetor a

? 
 
 
 
 
Exemplo: 
Um pequeno aeroplano decola de um 
aeroporto na origem, e mais tarde é 
observado na posição P, a 215 km de 
distância, fazendo um ângulo de 22
o
 a 
leste do norte. Qual era seu 
afastamento na direção leste quando 
foi visto nesta posição? Qual era seu 
afastamento na direção norte? 
 
 
 
km,coscosdd ox 58068215  
kmsendsend oy 19968215  
 
c, d, f 
 
 
Vetores unitários 
 
 
 
 
kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

 kbjbibb zyx
ˆˆˆ 

 
jikjib ˆ5ˆ7ˆ0ˆ5ˆ7 

 
 
Soma Vetorial usando as componentes x, y, z 
 
kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

 kbjbibb zyx
ˆˆˆ 

 
 
 kbjbibkajaiac zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆ 

 
 
 
 
 
 
kcjcickbajbaibac zyxzzyyxx
ˆˆˆˆ)(ˆ)(ˆ)( 

 
xxx bac  yyy bac  zzz bac  
bac


 
Soma Vetorial por componentes 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1. Um paralelepípedo retangular tem lados a, b e c. Obtenha uma 
expressão vetorial para a diagonal de uma face, 1R

. Qual é o 
módulo deste vetor? Obtenha uma expressão vetorial para a 
diagonal do paralelepípedo, 2R

. Observe que 1R

 e 2R

 fazem um 
triângulo retângulo, e prove que o módulo de 2R

 é 
222
2 cbaR  . 
 
 
jbiaR ˆˆ1 

 módulo: 
22
11 baRR 

 kcjbiaR ˆˆˆ2 

 
BAR

 
 
xxx BAR  
yyy BAR  
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
 
1. Multiplicação por um escalar 
 
aaaaV

 3  a multiplicação pelo escalar positivo não 
muda a direção do resultado, apenas muda o módulo 
 
aaaV

 2  a multiplicação pelo escalar negativo não 
muda a direção do resultado, muda o módulo e inverte o sentido 
 
aV

5
1
  neste caso a multiplicação não muda a direção do 
resultado, mas reduz o módulo a 
5
1 do módulo original 
 
2. Produto Escalar 
 
 
 
 
1. O produto escalar é comutativo: ABBA

 
2. Se A

 é paralelo a B

, então ABBA 

 
3. Se A

 é perpendicular a B

, então 0BA

 
4. Se kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

 e kbjbibb zyx
ˆˆˆ 

 então: 
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaba zyxzyx 

zzyyxx babababa 

 
 cosABBA

 
onde  é o ângulo 
entre A

 e B

 
3. Produto Vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. O produto vetorial não é comutativo: ABBA

 
2. Se A

 é paralelo ou antiparalelo a B

 então 0BA

 
3. Se A

 é perpendicular a B

 então ABBA 

 
4. O produto vetorial é distributivo: CABA)CB(A

 
 
 
 
 
 
 
 módulo  senABCBA

 
 direção perpendicular ao plano 
que contém os dois vetores A

 e B

 
 sentido: regra da mão direita 
BAC

 
BAAB

 
Produtos entre vetores unitários 
 
Produto 
escalar 
Produto 
vetorial 
1 îî 0 îî 
0 ĵî k̂ĵî  
0 k̂î ĵk̂î  
0 îĵ k̂îĵ  
1 ĵĵ 0 ĵĵ 
0 k̂ĵ îk̂ĵ  
0 îk̂ ĵîk̂  
0 ĵk̂ îĵk̂  
1 k̂k̂ 0 k̂k̂ 
 
Vamos fazer o produto vetorial usando as suas componentes x y z: 
k̂aĵaîaa zyx 

 
k̂bĵbîbb zyx 

 
bac

  )k̂bĵbîb()k̂aĵaîa(c zyxzyx 

 
Aplicando a distributiva, fica: 
 )k̂î(ba)ĵî(ba)îî(baba zxyxxx

 
 )k̂ĵ(ba)ĵĵ(ba)îĵ(ba zyyyxy 
)k̂k̂(ba)ĵk̂(ba)îk̂(ba zzyzxz  
Eliminando os termos nulos, sobra: 
kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzy
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 

 
 
Permutação cíclica: 
 
k̂ĵî  
 
 
 
 
 
 
O resultado acima equivale a escrever o determinante: 
zyx
zyx
bbb
aaa
k̂ĵî
ba
 
 
 


 
 
Exemplos: 
1. Dois vetores contidos no plano xy são dados por ĵ,î,A 0302 

 
e ĵ,îB 02

. Calcule o resultado do produto vetorial BA

 , e 
encontre o ângulo entre A

 e B

. 
 
k̂)k̂(k̂
k̂ĵî
BA 734
0 2 1
 0 3 2 
 




 77  k̂BA

 
E usando que  ABsenBA

 onde 1332 22 A e 
521 22 B temos  sen5137  8680,sen  
 
o,360 é o ângulo entre A

 e B

. 
2. Se jmima ˆ)6,1(ˆ)2,4( 

, jmimb ˆ)9,2(ˆ)6,1( 

 e 
jmc ˆ)7,3(

 encontre o vetor cbar

 . Determine o 
módulo, a direção e o sentido do vetor r

. 
 
 
jijjijicbar ˆ4,2ˆ6,2ˆ7,3ˆ9,2ˆ6,1ˆ6,1ˆ2,4 

 
jir ˆ4,2ˆ6,2 

 módulo: mr 6,3 direção e sentido:  = 317o 
3. O vetor a

 tem módulo a = 18 unidades, está contido no plano xy 
e aponta numa direção a 250
o
 a partir do eixo x positivo. O vetor b

 
tem módulo b = 12 unidades e aponta na direção do eixo z. Qual é 
o produto escalar destes dois vetores? Qual é o produto vetorial 
ba

 ? 
 
 
 
Vetor posição: kzjyixr ˆˆˆ 

 
exemplo: kjir ˆ5ˆ2ˆ3 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor deslocamento: if rrr

 
 
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kzjyixkzjyixr iiifff 

 
kzzjyyixxr ififif
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 

 
kzjyixr ˆ ˆ ˆ 

 
 
 
 
Vetor deslocamento: kzjyixr ˆˆˆ 

 
 
 
 
Vetor velocidade média: 
t


r
v 
 
(o negrito também pode ser usado para 
indicar um vetor) 
 
 
 
k j i 
k j i 
v
t
z
t
y
t
x
t
zyx











 
 
 
Vetor velocidade instantânea: 
tt 



r
v
0
lim 
dt
dr
v  
kjikjiv
dt
dz
dt
dy
dt
dx
zyx
dt
d
 )( 
kjiv zyx vvv  
 
dt
dx
x v 
dt
dy
y v 
dt
dz
z v 
 
 
 
 
Vetor aceleração média: 
t


v
a 
 
Aceleração instantânea: 
dt
d v
a 
 
 
 
Pergunta: 
A figura mostra a trajetória circular de uma 
partícula. Se a velocidade instantânea da 
partícula é ji )/()/(v smsm 22  , e a 
partícula percorre o círculo no sentido horário, 
em qual quadrante ela está neste instante? 
Em qual quadrante ela estaria se o movimento 
fosse no sentido anti-horário? 
 
Movimento Circular Uniforme – MCU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v2 
v1 
r1 
r2 
 
O módulo da 
velocidadeé 
constante: 
 
vvv 21 

 
 
Em qualquer 
instante: 
 
cosrx 
senr y  
 
e 
 
θx sen vv  
cos vv y 
Durante um tempo t a partícula percorre uma distância s, dada 
pelo arco de circunferência  Rs . 
Sua velocidade sobre a circunferência será a derivada 
dt
d
R
dt
ds 
v  Rv onde 
dt
d
 é a velocidade angular. 
 
A posição da partícula é dada pelo vetor posição ĵyîxr 

 cujas 
componentes são  cosRx e  Rseny , logo: 
 
ĵRsenîcosRr 

 
 
ĵcosRîRsenĵ
dt
d
cosRî
dt
d
Rsen
dt
rd







v 
 
r̂
R
rĵRsenîcosR
dt
d
acp
2
222 vv 



 
Logo, cpa

 é oposta ao vetor r

 e tem módulo 
R
acp
2v
 
 
Note que no MCU: 
1. a velocidade tem módulo constante, mas o vetor v não é 
constante: muda de direção e sentido o tempo todo, sendo 
sempre tangente à trajetória. 
2. a aceleração centrípeta 
R
acp
2v
 tem módulo constante, mas 
o vetor cpa

 muda de direção e sentido o tempo todo, 
apontando sempre para o centro do círculo. 
Ao derivarmos a velocidade para calcular cpa

 consideramos que a 
velocidade angular  era constante, pois no movimento circular 
uniforme tetanconsR v . 
 
Caso o movimento circular não seja uniforme,  será dependente 
do tempo e a derivada terá alguns termos adicionais: 
 
ĵcosRîRsen v

 
 
ĵcosR
dt
d
RsenîRsen
dt
d
cosR
dt
d
a 











 22
v


 
 
O vetor a

 pode ser separado em duas contribuições, sendo uma 
componente na direção do vetor r

 (aceleração centrípeta, cpa

) e 
uma componente na direção do vetor v

 (aceleração tangencial, 
tana

): 
r̂
R
ĵRsenîcosRacp
2
22 v

 
 
vv
1
ˆ
dt
d
R
dt
d
ĵcosR
dt
d
îRsen
dt
d
atan










 
 
tancp aaa

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
trajetória 
a

 cpa
 v

 
tana

 
Movimento 2D – projéteis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pensamento aristotélico: direção x e direção y não são interligadas! 
 
 
 
Movimento 2D – lançamento de projéteis 
 
No pensamento aristotélico, a direção x e direção y não estão 
interligadas: 
 
Direção x (MRU) Direção y (queda livre) 
txx 00 v 
2
v
2
00
gt
tyy  
tetancons 0vv gt 0vv 
0a 289 s/m,ga  
 
Porém a velocidade é um vetor, que combina as duas 
componentes xv e yv , logo a decomposição correta é 
 
Direção x (MRU) Direção y (queda livre) 
txx x00 v 
2
v
2
00
gt
tyy y  
tetanconsxx  0vv gtyy  0vv 
0xa 289 s/m,gay  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v0x 
y 
x 
g 
v0y v0 
0 
000 vv  cosx 
000 vv  seny 
Substituindo 000 vv  cosx e 000 vv  seny nas equações 
para as coordenadas, temos: 
 
tcosxtx 000 v)(  
2
v)(
2
000
gt
tsenyty  
 
Eliminando o tempo nas equações: 
 
   
 200
2
0
00
0
000
v2v
v)(






cos
xxg
cos
xx
senyxy 
   20
0
22
0
000
v2
xx
cos
g
xxtanyy 

 
 
Para lançamentos partindo da origem, 000  yx , logo 
 
   2
0
22
0
0
v2
x
cos
g
xtany

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trajetória parabólica 
 
 
v0 y 
x 
H 
R 
2g
v 0
22
0 
sen
H = altura máxima 
 
g
)2(v 0
2
0 
sen
R = alcance horizontal 
Para calcular o alcance horizontal, usamos a equação da trajetória: 
   2
0
22
0
0
v2
x
cos
g
xtany

 
   2
0
22
0
0
v2
0 R
cos
g
Rtan


 
g
sen
g
sencos
g
tancos
R 0
2
000
2
000
22
0 2vv2v2 



 
 
Para calcular a altura máxima, consideramos que no topo a 
componente y da velocidade é zero: 
 
gtyy  0vv 
subidagtsen  00v0  
g
sen
tsubida
00v   
g
sen
tvôo
002v  
 
Considerando apenas o deslocamento em y: 
 
2
v
2
00
gt
tyy y  
2
v
2
000
gt
tsenyy   
2
v
2
00
subida
subida
gt
tsenH   
 
g
sen
g
seng
g
sen
senH
2
vv
2
v
v 0
22
0
2
0000
00






 





 
 
 
Note que 
g
t
y
subida
0v
 e 
g
H
y
2
v20
 são funções de y0v 
apenas, enquanto que 
g
R
yx 00 vv2
 depende também de x0v . 
 
 
Movimento Circular Uniforme – MCU (segundo Halliday) 
O tempo decorrido é 
v
)2( 

r
t 
Logo, para a aceleração média teremos: 
0
v




t
a xx 
)
sen
(
v
v/)2(
senv2v 2









rrt
a
y
y 
 
Para encontrar a aceleração instantânea fazemos o limite 0t : 
r
sen
lim
r
alima y
t
y
2
0
2
0
vv





 
 
Assim, no ponto mais alto da trajetória, temos 0xa e 
r
ay
2v
 . 
Neste ponto a aceleração instantânea é vertical para baixo, ou 
seja, aponta para o centro do círculo, e tem módulo 
r
a
2v
 . 
Esse resultado vale para qualquer ponto (figura abaixo): 
 
 
O módulo da velocidade 
é constante: 
vvv 21 

 
No instante 1: 
 cosvv1x 
 senvv1y 
No instante 2: 
 cosvv2x 
 senvv2y