Aula 11

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ESTRUTURAS DE CONCRETO
Engenharia Agrícola
AULA 11 – PILARES: DIMENSIONAMENTO 
À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 
Prof. Juliane da Silva Dávila
FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA
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A flexo-compressão oblíqua é a solicitação composta por um esforço normal de
compressão agindo fora dos eixos de simetria da seção transversal.
Quando o esforço normal atua em um eixo de simetria da seção de concreto, mas o
arranjo das barras não é simétrico em relação a esse eixo, a flexão também é oblíqua.
Por último, a flexão será oblíqua quando a própria seção não possuir eixo de simetria.
FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA
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Na flexo-compressão oblíqua, ao contrário da flexo-compressão normal, tanto a
profundidade da linha neutra quanto a sua orientação são desconhecidas.
Em geral, linha neutra não é perpendicular ao plano de ação do momento fletor.
Assim, surge uma nova incógnita no problema, o que torna sua solução bastante
complexa.
FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA
Na Figura 1 apresenta-se uma seção retangular de concreto armado submetida à
flexo-compressão oblíqua.
Figura 1 – Seção transversal sob flexo-compressão oblíqua
Como pode ser visto, a linha neutra está inclinada a um ângulo 𝛼
em relação ao eixo x e não é perpendicular ao plano de ação do
momento fletor.
Assim, para caracterizar a linha neutra, é necessário encontrar
sua profundidade xo e sua inclinação 𝛼.
Somente quando o esforço normal de compressão Nd estiver
aplicado nos eixos de simetria x e y é que se conhece
diretamente o ângulo 𝛼 (casos de flexo-compressão normal).
Em vista disso, o dimensionamento da seção torna-se bastante difícil e só pode ser feito através de
tentativas. Entretanto, a verificação da capacidade resistente é um problema relativamente simples.
FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA
Com a formulação do problema para uma seção poligonal arbitrária, pode ser
desenvolvido um programa para a verificação da capacidade resistente de
qualquer forma geométrica de seção transversal.
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FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA
Na Figura 2, indica-se uma seção poligonal arbitrária de concreto armado submetida
ao esforço normal de compressão Nd.
Figura 2 – Caracterização da seção transversal
As excentricidades do esforço normal de cálculo (Nd) são ex e ey.
Além disso, convenciona-se que a origem do sistema de eixos x-y
coincide com o centroide da seção de concreto simples.
Logo, a solicitação é composta por Nd, Mxd e Myd, onde:
Momentos de cálculo
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𝑀𝑥𝑑 = 𝑁𝑑 . 𝑒𝑥 𝑀𝑦𝑑 = 𝑁𝑑 . 𝑒𝑦
FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA
A seção transversal possui “n” barras de aço. As coordenadas de uma barra genérica,
em relação ao sistema de eixos cartesianos x-y são 𝑥𝑠𝑖 e 𝑦𝑠𝑖.
Se todas as barras têm o mesmo diâmetro, a área da seção de uma barra é dada por:
Onde:
𝐴𝑠𝑖: Área da seção de uma barra;
𝐴𝑠: Área total de armadura na seção transversal;
𝑛: Número de barras de aço da seção transversal.
𝐴𝑠𝑖 =
𝐴𝑠
𝑛
𝑖 = 1 𝑎 𝑛
FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA
Na Figura 3, representa-se a parte da seção de concreto que está comprimida pelo
bloco retangular de tensões. Nessa figura, Acc indica a área de concreto comprimida
com a tensão constante σcd.
A tensão de compressão na flexo-compressão oblíqua é:
Figura 3 – Área de concreto comprimida
8𝜎𝑐𝑑 = 0,80. 𝑓𝑐𝑑
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Aplicando as equações de equilíbrio do problema, resulta:
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𝑁𝑑 = න
𝐴𝑐𝑐
𝜎𝑐𝑑 𝑑𝐴 +෍
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑑𝑖
𝑀𝑥𝑑 = න
𝐴𝑐𝑐
𝜎𝑐𝑑 . 𝑥𝑑𝐴 +෍
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑑𝑖 . 𝑥𝑠𝑖
𝑀𝑦𝑑 = න
𝐴𝑐𝑐
𝜎𝑐𝑑 . 𝑦𝑑𝐴 +෍
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑑𝑖 . 𝑦𝑠𝑖
No dimensionamento da seção, são
dados os esforços solicitantes Nd, Mxd e
Myd e as incógnitas envolvidas nas três
equações de equilíbrio são x0, α e As que
são resolvidas por tentativas.
USO DAS TABELAS
Um programa interativo foi desenvolvido e este coloca em evidência a taxa mecânica
de armadura em função de As, visto no dimensionamento à flexo-compressão normal.
As tabelas apresentadas no livro foram geradas para seções duplamente simétricas,
pois esse tipo de seção são encontradas com maior frequência em pilares de pontes,
edifícios, sendo assim, o algoritmo capaz de resolver os principais problemas de
interesse prático.
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USO DAS TABELAS
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Em cada tabela, encontra-se indicada a seção transversal com a correspondente
disposição das barras da armadura.
O número “n” de barras na seção também é indicado junto ao título d tabela.
As tabelas fornecem a taxa mecânica de armadura 𝝎, com a qual se calcula a área de
aço.
Para identificar a tabela a ser usada, deve-se verificar a disposição das barras da
armadura e o valor do esforço normal reduzido v. Para valores diferentes dos
tabelados, pode-se fazer uma interpolação linear.
USO DAS TABELAS
Os parâmetros de entrada das tabelas para a obtenção da taxa mecânica de armadura
para o cálculo da seção são os esforços reduzidos representados por:
Com a taxa mecânica de armadura 𝜔, calcula-se a área de aço necessária na seção.
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𝑣 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 . 𝜎𝑐𝑑
𝜇𝑥 =
𝑀𝑥𝑑
𝐴𝑐 . ℎ𝑥 . 𝜎𝑐𝑑
𝜇𝑦 =
𝑀𝑦𝑑
𝐴𝑐 . ℎ𝑦 . 𝜎𝑐𝑑
𝐴𝑠 =
𝜔. 𝐴𝑐 . 𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑐 = ℎ𝑥. ℎ𝑦
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EXEMPLO
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Exemplo 1: Dimensione a seção transversal submetida a um esforço normal de serviço
Nk=800 kN e aos momentos fletores de serviço Mxk=2000 kN.cm e Myk=4000 kN.cm. O
concreto possui fck=20 MPa e o aço é o CA-50. Considere o cobrimento (com estribo)
igual a 4 cm.
EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
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1º Cálculo dos Valores de Cálculo
a. 𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
2,0
1,4
= 1,43 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
b. 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
=
50
1,15
= 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
c. 𝑁𝑑 = 𝑁𝑘. 𝛾𝑓 = 800.1,4 = 1120 𝑘𝑁
d. 𝑀𝑥𝑑 = 𝑀𝑥𝑑 . 𝛾𝑓 = 2000.1,4 = 2800 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
e. 𝑀𝑦𝑑 = 𝑀𝑦𝑑 . 𝛾𝑓 = 4000.1,4 = 5600 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
EXEMPLO
f. 𝜎𝑐𝑑 = 0,80. 𝑓𝑐𝑑 = 0,80.1,43 = 1,14 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
g. 𝐴𝑐 = ℎ𝑥. ℎ𝑦 = 20.40 = 800 𝑐𝑚²
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EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
2º Cálculo dos Parâmetros
a. 𝑣 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐.𝜎𝑐𝑑
=
1120
800.1,14
= 1,23
b. 𝜇𝑥 =
𝑀𝑥𝑑
𝐴𝑐.ℎ𝑥.𝜎𝑐𝑑
=
2800
800.20.1,14
= 0,15
c. 𝜇𝑦 =
𝑀𝑦𝑑
𝐴𝑐.ℎ𝑦.𝜎𝑐𝑑
=
5600
800.40.1,14
= 0,15
Para o tipo de seção deste exemplo, deve-se
empregar a Tabela A2.2, interpolando linearmente
entre os valores correspondentes a 𝑣 = 1,2 e a 𝑣 =
1,4 para a obtenção da taxa de armadura relativa a
𝑣 = 1,23.
Analogamente, é necessário fazer uma interpolação
linear para obter a solução correspondente aos
momentos 𝜇𝑥 = 0,15 e 𝜇𝑦 = 0,15.
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EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
19
Entrando na Tabela A2.2 com 𝑣 = 1,2, deve-se interpolar linearmente:
𝑦𝑎−𝑦1
𝑦2−𝑦1
=
𝑥𝑎−𝑥1
𝑥2−𝑥1
=
0,15−0,1
0,2−0,1
=
𝑥𝑎−0,57
0,82−0,57
= 0,7
𝑦𝑎−𝑦1
𝑦2−𝑦1
=
𝑥𝑎−𝑥1
𝑥2−𝑥1
=
0,15−0,1
0,2−0,1
=
𝑥𝑎−0,89
1,11−0,89
= 1,0
Dessa forma, 𝜔 =
0,7+1,0
2
= 0,85
𝜇𝑦 𝜇𝑥
0,1 0,2
0,1 0,57 0,82
0,2 0,89 1,11
EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
20
Entrando na Tabela A2.2 com 𝑣 = 1,4, deve-se interpolar linearmente:
𝑦𝑎−𝑦1
𝑦2−𝑦1
=
𝑥𝑎−𝑥1
𝑥2−𝑥1
=
0,15−0,1
0,2−0,1
=
𝑥𝑎−0,76
0,99−0,76
= 0,88
𝑦𝑎−𝑦1
𝑦2−𝑦1
=
𝑥𝑎−𝑥1
𝑥2−𝑥1
=
0,15−0,1
0,2−0,1
=
𝑥𝑎−1,05
1,27−1,05
= 1,16
Dessa forma, 𝜔 =
0,88+1,16
2
= 1,02
𝜇𝑦 𝜇𝑥
0,1 0,2
0,1 0,76 0,99
0,2 1,05 1,27
EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
21
Feitas as interpolações relativas aos momentos obtém-se os seguintes resultados:
▪ Para 𝑣 = 1,2: 𝜔 = 0,85
▪ Para 𝑣 = 1,4: 𝜔 = 1,02
Entretanto, é necessário interpolar novamente, tendo em vista que 𝑣 = 1,23, logo:
𝑦𝑎−𝑦1
𝑦2−𝑦1
=
𝑥𝑎−𝑥1
𝑥2−𝑥1
=
1,23−1,2
1,4−1,2
=
𝑥𝑎−0,85
1,02−0,85
= 0,88 , logo, 𝜔 = 0,88.
EXEMPLO
𝑣 𝜔
1,2 0,85
1,4 1,02
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
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Dessa forma, a área de área de aço será:
𝐴𝑠 =
𝜔. 𝐴𝑐 . 𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
=
0,88.800.1,14
43,48
= 18,46 𝑐𝑚²
EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
3º Detalhamento da Armadura
a. Determinação das Barras
Para ∅ 20 mm:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
=
18,46
3,14
= 5,88, logo, 6 barras.
𝑒ℎ,𝑚í𝑛 =
𝑏−2. 𝑐+∅𝑡 −𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠.∅𝑙
𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠−1
=
20−2. 4 −2.2,0
2−1
= 8 𝑐𝑚, logo, OK!
𝑒𝑣,𝑚í𝑛 =
ℎ−2. 𝑐+∅𝑡 −𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠.∅𝑙
𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 −1
=
40−2. 4 −3.2,0
3−1
= 13 𝑐𝑚, logo, OK!
EXEMPLO
𝒆𝒉,𝒎í𝒏 ≥
𝟐 𝒄𝒎
∅𝒍
𝟏, 𝟐 𝒅𝒎á𝒙,𝒂𝒈𝒓
2,0 cm
1,2.1,9=2,28 cm
𝒆𝒗,𝒎í𝒏 ≥
𝟐 𝒄𝒎
∅𝒍
𝟎, 𝟓 𝒅𝒎á𝒙,𝒂𝒈𝒓
2,0 cm
0,5.1,9=0,95 cm
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RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
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b. Determinação da Taxa de Armadura
𝜌 =
𝐴𝑠,𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜
𝐴𝑐
. 100 =
18,84
800
. 100 = 2,36%
𝜌𝑚í𝑛 ≤ 𝜌 ≤ 8% 𝑜𝑢 4%
𝜌𝑚í𝑛 = 0,15.
𝑁𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑦𝑑
. 100 = 0,15.
1120
800.43,48
. 100 = 0,48% ≥ 0,4%
EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
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c. Determinação dos Estribos
O diâmetro mínimo dos estribos deve ser:
▪ ∅𝑡 ≥ 5𝑚𝑚
▪ ∅𝑡 ≥
∅𝑙
4
=
20
4
= 5 𝑚𝑚
Logo, o ∅t mínimo é 5 mm.
Logo, S=20 cm
𝑺 ≤
𝟐𝟎 𝒄𝒎
𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎
𝟏𝟐. ∅𝒍 = 𝟏𝟐. 𝟐, 𝟎 = 𝟐𝟒 𝒄𝒎
EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
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ℎ = 3,5 𝑚 = 350 𝑚
ℎ𝑣 = 40 𝑐𝑚
𝑙 = ℎ − ℎ𝑣 = 350 − 40 = 𝟑𝟏𝟎 𝒄𝒎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 =
𝑙
𝑆
=
310
20
= 15,5, logo, 16 estribos.
𝐶𝑒 = 2. 𝑎 + 𝑏 + ∆𝑐
𝐶𝑒 = 2. (20 − 2.4) + (40 − 2.3 ) + 10
𝐶𝑒 = 2. 12 + 32 + 10 = 98 𝑐𝑚
16 N2 Ø 5 – c/20 - 98
EXEMPLO
𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 − 2. 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
∆𝑐
𝑏 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 − 2. 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Usar 10 cm (Tabela Valores ∆𝐶)
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
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EXEMPLO
RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
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4º Desenho
0
350
6 Ø 2040
20
32
12
5
5
FUNDAÇÃO
6
 N
1
 Ø
 2
0
 -
4
3
8
1
6
 N
2
 Ø
 5
 –
c/
 2
0
 -
9
8
6
 N
3
 Ø
 2
0
 –
3
4
2
EXEMPLO
8
 N
4
 Ø
 1
6
 -
1
7
6
EXERCÍCIO
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Exercício 1: Dimensione a seção transversal, submetida a um esforço normal de
serviço Nk=1000 kN. O concreto possui fck=30 MPa e o aço é o CA-50.
Considere os seguintes dados:
▪ d’ = 4 cm;
▪ ex = 15 cm;
▪ ey = 25 cm.
EXEMPLO
REFERÊNCIAS
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ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H.; GIONGO, J. S. Concreto armado: projeto de pilares de acordo com a NBR 
6118:2003. Universidade de São Paulo – Escola de Engenharia de São Carlos – Departamento de Engenharia de 
Estruturas. São Carlos, 2008.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto –
Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
BASTOS, P. S. S. Pilares de concreto armado. Notas de aula, 2017.
DE ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. Editora Dunas: v. 3, 2 ed. Rio Grande, 2003.
MARANGON, E. Dimensionamento de pilares à flexo-compressão oblíqua. Notas de aula, 2015.