Matemática 1º Grau Volume 3

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A U L A
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A U L A
Triângulos
O triângulo é uma figura geométrica muito
utilizada em construções. Você já deve ter notado que existem vários tipos de
triângulo. Observe na armação do telhado os tipos diferentes que você pode
encontrar. Tente contar quantos triângulos existem nessa armação.
Você já sabe que o triângulo é uma figura geométrica de:
Para pensar
lado
lado
vértice
vértice
lado
vértice
®
ângulos®
®
Nossa aula
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A U L APara falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa uma conven-
ção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois eles são
pontos do plano. E assim temos, por exemplo:
l Os pontos A, B e C são os vérticesvérticesvérticesvérticesvértices.
l Os segmentos AB, BC e AC são os ladosladosladosladoslados.
l Â, B e C são os ângulosângulosângulosângulosângulos do triângulo.
Você também já viu, na 1ª fase de seu curso, que:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.
Veja os exemplos abaixo:
Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre desco-
brir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problema
usando os mesmos exemplos acima.
45º
30º
60º 60º 60º
60º
90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º 90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º 60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º
45º
?
45º
30º
?
?
? ?
180º 180º 180º 180º 180º - (90º + 30º) = (90º + 30º) = (90º + 30º) = (90º + 30º) = (90º + 30º) =
= 180º = 180º = 180º = 180º = 180º - 120º = 120º = 120º = 120º = 120º =
= 60= 60= 60= 60= 60ººººº
180º 180º 180º 180º 180º - (90º + 45º) = (90º + 45º) = (90º + 45º) = (90º + 45º) = (90º + 45º) =
= 180º = 180º = 180º = 180º = 180º - 135º = 135º = 135º = 135º = 135º =
= 45º= 45º= 45º= 45º= 45º
O ângulo cuja medida é
desconhecida mede 45º, pois é
quanto falta à soma dos outros
dois para completar 180º.
O resultado é encontrado
subtraindo-se de 180º (total da
soma) a soma dos ângulos que
você já conhece.
Neste exemplo, você não
conhece nenhum dos três ângulos,
mas sabe que os três possuem
medidas iguais. Basta então divi-
dir o total por 3.
180º
3
= 60º
A B
C
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A U L A Classificação dos triângulos
Como os triângulos não são todos iguais, podemos separá-los em grupos que
tenham características comuns, ou seja, podemos classificá-los. Usam-se dois
tipos de classificação: pelos ângulos ou pelos lados.
Classificação quanto aos ângulos
Com um esquadro, verifique, nos exemplos acima, se os ângulos são agudos
(menores que o ângulo reto), retos ou obtusos (maiores que o ângulo reto). Veja:
l O triângulo acutânguloacutânguloacutânguloacutânguloacutângulo possui os 3 ângulos agudos.
l O triângulo retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo possui 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos.
l O triângulo obtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusângulo possui 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.
Classificação quanto aos lados
Você pode confirmar com a régua as medidas dos lados destes triângulos:
l O triângulo equiláteroequiláteroequiláteroequiláteroequilátero possui os 3 lados com a mesma medida.
l O triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles possui 2 lados com a mesma medida e o terceiro lado
com medida diferente.
l O triângulo escalenoescalenoescalenoescalenoescaleno possui os 3 lados com medidas diferentes.
acutânguloacutânguloacutânguloacutânguloacutângulo retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo obtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusângulo
A
A
A
B B B CCC
3 cm 3 cm
3 cm 3 cm
4 cm 4 cm 4 cm3,5 cm
3 cm
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3 cm 3 cm
3 cm
60º
60º 60º
A
B C
65º 65º
A
B C
3 cm
3,5 cm 3,5 cm
ObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservações
1.1.1.1.1. Quando um triângulo é equiláteroequiláteroequiláteroequiláteroequilátero ele é também equiânguloequiânguloequiânguloequiânguloequiângulo, isto é,
seus três ângulos possuem a mesma medida.
2.2.2.2.2. No triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles, o lado que possui medida diferente é chama-
do de basebasebasebasebase e os ângulos que os lados com medidas iguais formam com
a base têm a mesma medida.
Construção de um triângulo pelas medidas de seus lados
Mesmo conhecendo as três medidas dos lados, nem sempre conseguimos
construir um triângulo. Você pode usar palitos ou varetas de vários tamanhos e
ver o que acontece na prática.
Vamos mostrar com três exemplos algumas situações que você vai encontrar
na prática. Você descobrirá que existe uma relação entre as medidas dos lados
que possibilita a construção de um triângulo. Vamos lá!
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
É possível construir um triângulo quando seus lados medem 8 cm, 4 cm e 3 cm?
8 cm
3
cm
4 cm
3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =
AB = BC =AB = BC =AB = BC =AB = BC =AB = BC =
BC = base =BC = base =BC = base =BC = base =BC = base = 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm
3,5 cm3,5 cm3,5 cm3,5 cm3,5 cm
(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°
B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°
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A U L A Observe que, se “fixarmos” nas extremidades do lado maior os lados
menores, não conseguiremos encontrar uma posição para que eles se encon-
trem e formem um triângulo.
Isso ocorre porque a soma das medidas dos lados menores (3 + 4 = 7) é menor
do que a medida do lado maior (8): 8 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 4
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Vamos tentar então aumentar um dos lados menores e verificar o que
acontece. Façamos os lados medindo 8 cm, 4 cm e 4 cm.
Como no exemplo anterior se “fixamos” as extremidades para procurar a
posição que formará o triângulo veremos que os dois lados menores (4 cm cada
um) só se encontrarão sobre o lado maior (8 cm). Isso ocorre porque: 8 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 4
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Vamos agora utilizar lados com 8 cm, 5 cm e 4 cm.
Nesse caso é possível construir um triângulo, pois quando “giramos” os
lados menores com extremidades presas no lado maior eles se encontram
formando o triângulo. Note que: 8 < 5 + 4 8 < 5 + 4 8 < 5 + 4 8 < 5 + 4 8 < 5 + 4
Conclusão
Para verificar a existência de um triângulo quando são conhecidas as
medidas de seus três lados, bastabastabastabastabasta verificar se a soma das medidas dos
dois lados menores é maior que a medida do lado maior. Mais for-
malmente dizemos que:
Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempre
menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
8 cm
4 cm 4 cm
8 cm
4 cm 5 cm
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A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quanto
aos lados.
 a)a)a)a)a) b) b) b) b) b)
c)c)c)c)c) d)d)d)d)d)
 e) e) e) e) e) f) f) f) f) f)
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Use a régua para medir os lados dos triângulosabaixo e classifique-os
quanto aos lados.
a)a)a)a)a) b) b) b) b) b) c) c) c) c) c)
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Use o transferidor (ou um ângulo reto qualquer), meça os ângulos e classi-
fique os triângulos quanto aos ângulos:
a)a)a)a)a) b) b) b) b) b)
Exercícios
4 cm
4 cm
3,2 cm
5,5 cm
4 cm
3,5 cm 3,5 cm
3,5 cm
3 cm
4 cm4 cm
7 cm
6,4 cm 3 cm
6 cm
6 cm
45º
45º
60º
60º 60º
20º
30º
130º
110º
35º 35º
30º
60º
70º
60º
50º
 c) c) c) c) c)
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A U L A Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Determine a medida do terceiro ângulo:
a)a)a)a)a) b) b) b) b) b) c) c) c) c) c)
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo?
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quanto
mede o outro ângulo?
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Num triângulo isósceles, o ângulo diferente mede 110º. Quanto medem os
outros dois ângulos?
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8
Observe a figura abaixo. O ângulo marcado com a letra aaaaa, obtido quando
prolongamos um dos lados do triângulo, é chamado ângulo externoângulo externoângulo externoângulo externoângulo externo. Neste
exemplo,
a)a)a)a)a) Quanto mede aaaaa?
b)b)b)b)b) Como você obteve essa medida?
c)c)c)c)c) Que relação ela tem com os ângulos do triângulo?
Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9
 Verifique se sua conclusão é válida para estes outros exemplos:
 a)a)a)a)a) b) b) b) b) b)
Exercício 10Exercício 10Exercício 10Exercício 10Exercício 10
Verifique se existem triângulos cujos lados tenham as medidas abaixo:
a)a)a)a)a) 7 cm, 10 cm e 15 cm
b)b)b)b)b) 6 cm, 6 cm e 6 cm
c)c)c)c)c) 4 cm, 5 cm e 10 cm
d)d)d)d)d) 3 cm, 7 cm e 10 cm
50º
100º
30º
a
a 70º60º
50º
60º28º
?
?
?
43º 52º 70º 70º
40º
50º
a
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A U L A
No mosaico acima, podemos identificar duas figuras bastante conhecidas:
o quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado, de dois tamanhos diferentes, e o retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo.
As duas figuras possuem quatro ângulos internos iguais e retos, portanto
medem 90º cada um.
Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem dois
pares de lados iguais chamados lados opostoslados opostoslados opostoslados opostoslados opostos.
Vejamos como se representam as observações acima:
No quadrado ABCD: AB = BC = CD = AD _ lados iguais
 = B = C = D _ ângulos iguais
No retângulo EFGH: EF = GH _ lados opostos iguais
 FG = EH _ lados opostos iguais
 Ê = F = G = H _ ângulos iguais
O quadrado e outros
quadriláteros
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A U L A
Para pensar
A D
B C
E
F G
H
Nossa aula
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A U L A
S
U
TR
N
M P
O
}
}
Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro lados
também conhecida:
Essa figura, chamada losangolosangolosangolosangolosango, possui os quatro lados iguais e dois pares de
ângulos iguais, os ângulos opostos.
No losango RSTU:
RS = ST = TU = UR _ lados iguais
R = T _ ângulos opostos iguais
S = U _ ângulos opostos iguais
Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulos
iguais é o paralelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramo. Note que seus lados opostos são iguais dois a dois,
como no retângulo.
No paralelogramo MNOP:
MN = OP dois pares de lados
NO = MP opostos iguais
M = O dois pares de ângulos
N = P opostos iguais
Todas as figuras apresentadas nesta aula são chamadas de quadriláterosquadriláterosquadriláterosquadriláterosquadriláteros
(quadri = quatro e láteros = lados).
Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras:
´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
Observe que na 3ª coluna aparece uma propriedade comum a todas as
figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por
isso, são chamadas de paralelogramosparalelogramosparalelogramosparalelogramosparalelogramos. Portanto:
Os paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares
de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.
44444 LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS
IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
APENASAPENASAPENASAPENASAPENAS LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS
OOOOOPOSTOSPOSTOSPOSTOSPOSTOSPOSTOS IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
22222 PARESPARESPARESPARESPARES DEDEDEDEDE
LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS OPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOS
PARALELOSPARALELOSPARALELOSPARALELOSPARALELOS
44444 ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
APENASAPENASAPENASAPENASAPENAS
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
OPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOS IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
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A U L A
A B
C D G H
E F
L M
I J
DUASDUASDUASDUASDUAS DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
DUASDUASDUASDUASDUAS DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
DESIGUAISDESIGUAISDESIGUAISDESIGUAISDESIGUAIS
A
B
D
C
O trapéziotrapéziotrapéziotrapéziotrapézio não é um paralelogramo, pois é quadrilátero que tem apenas umapenas umapenas umapenas umapenas um
par de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelos, que chamamos de basesbasesbasesbasesbases. Veja alguns tipos de
trapézio:
O trapézio 11111 tem os lados AB e CD paralelos, sendo AB a base maiorbase maiorbase maiorbase maiorbase maior e CD
a base menorbase menorbase menorbase menorbase menor. Os outros dois lados não são paralelos mas são iguais, isto é,
AC = BD. Esse é o trapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isósceles.
O trapézio 22222 tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto,
ângulos retos Ê e G. Esse é o trapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulo.
O trapézio 33333 tem os dois lados não paralelos desiguais, isto é, IL ¹ JM. Esse
é o trapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escaleno.
Essa classificação dos trapézios tem uma analogia (semelhança) com a
classificação dos triângulos vista na aula anterior, lembra-se? Assim fica fácil
lembrar de nomes novos.
Vamos conhecer agora um elemento dos quadriláteros que não existe nos
triângulos: a diagonal.
Diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga
dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.
No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Veja
a figura:
AC e BD são as diagonais
No retângulo as diagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguais e se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meio.
Faça você as outras figuras (paralelogramos) e conclua as propriedades
das diagonais.
Confira suas conclusões com a tabela abaixo.
´ ´ ´
´ ´
´ ´ ´
´ ´
Observe que na 4ª coluna aparece a propriedade comum às diagonais dos
paralelogramos:
As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonaisdos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.
(1) (2) (3)
DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
PERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARES
DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS QUEQUEQUEQUEQUE SESESESESE
CORTAMCORTAMCORTAMCORTAMCORTAM AOAOAOAOAO MEIOMEIOMEIOMEIOMEIO
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A U L A Soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer
Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é
180º.
Um quadrilátero é convexo quando uma das diagonais fica totalmente no
interior do quadrilátero, como na figura.
Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica dividido
em dois triângulos:
A soma dos ângulos do triângulo LMO, assim como a soma dos ângulos do
triângulo LNO, é igual a 180º.
Somando-se os ângulos dos dois triângulos, encontramos a soma dos
ângulos do quadrilátero. Portanto, 180º + 180º = 360º.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º
Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!
Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante facilidade
que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a
180º e que a dos quadriláteros convexos vale 360º, como nas figuras
abaixo.
L
M
O
N
1
2 3
1
2 3
1
2 3
1
2
3
4 4
3
2
1
1
23
4
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A U L AExercícios
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Como se chama o quadrilátero:
a)a)a)a)a) Que possui os lados opostos iguais?
b)b)b)b)b) Que possui somente um par de lados paralelos?
c)c)c)c)c) Que possui os quatro ângulos iguais a 90º?
d)d)d)d)d) Que possui as diagonais iguais cortando-se ao meio?
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Complete a tabela com o que se pede:
FIGURASFIGURASFIGURASFIGURASFIGURAS GEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICAS PONTOSPONTOSPONTOSPONTOSPONTOS EMEMEMEMEM COMUMCOMUMCOMUMCOMUMCOMUM DIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇAS
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Desenhe:
a)a)a)a)a) Um quadrilátero com quatro lados iguais que não seja um quadrado.
Diga seu nome.
b)b)b)b)b) Um quadrilátero com quatro ângulos iguais que não seja um quadrado.
Diga seu nome.
c)c)c)c)c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Diga seu nome.
d)d)d)d)d) Um quadrilátero cujas diagonais cortam-se ao meio mas não são iguais.
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A U L A Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Nesta figura quadriculada existe um total de 5 quadrados.
Temos um quadrado de 2 · 2 e 4 quadrados de 1 · 1.
Descubra quantos quadrados existem nos seguintes quadriculados:
a)a)a)a)a) b) b) b) b) b)
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Desenhe em papel quadriculado 4 triângulos retângulos iguais a este:
a) a) a) a) a) Recorte-os.
b)b)b)b)b) Agora desenhe, em papel quadriculado, um quadrado. A medida do lado
do quadrado deve ser igual à medida do lado menor do triângulo que
você recortou.
c)c)c)c)c) Recorte também esse quadrado. Você construiu um quebra-cabeça
com 5 peças.
Atividades:Atividades:Atividades:Atividades:Atividades:
l Construa com 2 peças do seu quebra-cabeça:
− um paralelogramo;
− um retângulo.
l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.
l Com 3 peças de seu quebra-cabeça, forme:
− um paralelogramo;
− um retângulo.
l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.
l Utilizando as 5 peças, tente formar figuras diferentes e registre-as em
papel quadriculado.
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Sabendo que um dos ângulos de um paralelogramo mede 45º, calcule os
outros três ângulos.
43
A U L A
Polígonos e mosaicos
43
A U L A
Para pensarA regularidade de formas encontradas na
natureza tem chamado a atenção do ser humano há muitos séculos. Ao
observar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas.
Com as abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos de
mel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço.
Exemplos da aplicação do formato das colméias são blocos de calçamento
e suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas alcóolicas em adegas.
Esse mesmo formato também é
encontrado na cabeça de um tipo de
parafuso chamado pelos mecânicos e
técnicos de parafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavado.
Na geometria, parte da Matemá-
tica que estuda as figuras, essa forma
é chamada de hexagonalhexagonalhexagonalhexagonalhexagonal.
43
A U L A O hexágono e as outras formas geométricas
No revestimento de pisos e paredes de uma casa muitas vezes usamos
ladrilhos (lajotas ou azulejos) de diferentes formatos, além da forma hexagonal.
Veja os desenhos:
As figuras que aparecem nesses revestimentos são chamadas, pela Matemá-
tica, de polígonospolígonospolígonospolígonospolígonos. Os polígonos são figuras geométricas planas e podem ser
classificados como regularesregularesregularesregularesregulares ou irregularesirregularesirregularesirregularesirregulares. No quadro abaixo, apresentamos
alguns exemplos.
Nossa aula
Formato hexagonalFormato hexagonalFormato hexagonalFormato hexagonalFormato hexagonal Formato quadrangularFormato quadrangularFormato quadrangularFormato quadrangularFormato quadrangular
Formato retangularFormato retangularFormato retangularFormato retangularFormato retangular Composição entre formatosComposição entre formatosComposição entre formatosComposição entre formatosComposição entre formatos
quadrangular e hexagonalquadrangular e hexagonalquadrangular e hexagonalquadrangular e hexagonalquadrangular e hexagonal
POLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOS REGULARESREGULARESREGULARESREGULARESREGULARES: : : : : LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS EEEEE
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS TÊMTÊMTÊMTÊMTÊM AAAAA MESMAMESMAMESMAMESMAMESMA MEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDA
POLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOS IRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARES: : : : : LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS EEEEE
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS NÃONÃONÃONÃONÃO TÊMTÊMTÊMTÊMTÊM AAAAA MESMAMESMAMESMAMESMAMESMA MEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDA
triângulo quadrado
hexágono
 decágonoeneágono
pentágono
triângulo quadrilátero
pentágono
hexágono heptágono
heptágono octógono
43
A U L A
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação
Se você traçar as diagonais dos polígonos anteriores, vai perceber que,
em alguns, elas ficam no interior e, em outros, ficam no exterior do
polígono. Veja o exemplo:
Quando um polígono possui todas as suas diagonais na parte interior, ele
é chamado de polígono convexopolígono convexopolígono convexopolígono convexopolígono convexo. E quando pelo menos uma diagonal
fica na parte exterior, ele é chamado de polígono não convexo polígono não convexo polígono não convexo polígono não convexo polígono não convexo ou
côncavocôncavocôncavocôncavocôncavo.
A soma dos ângulos de um polígono
Num polígono o número de lados é sempre igual ao número de ângulos.
Na Aula 41 você aprendeu que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180º. Agora vamos ver como calcular a soma dos ângulos
de um polígono qualquer, como por exemplo do:
Pentágono (polígono de 5 lados)
Vamos desenhar um pentágono convexo qualquer, escolher um de seus
vértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostra a figura:
Observe que, ao fazermos isso, o pentágono ficou dividido em três triân-
gulos. Como em cada triângulo a soma dos ângulos é igual a 180º, então para
calcular a soma dos ângulosdo pentágono podemos fazer: 3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º.
Portanto:
 A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igual
a 540º.a 540º.a 540º.a 540º.a 540º.
Todas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais no
interior do polígono.interior do polígono.interior do polígono.interior do polígono.interior do polígono.
Pelo menos uma diagonalPelo menos uma diagonalPelo menos uma diagonalPelo menos uma diagonalPelo menos uma diagonal
no exterior do polígono.no exterior do polígono.no exterior do polígono.no exterior do polígono.no exterior do polígono.
43
A U L A Hexágono (polígono de 6 lados)
Agindo de forma análoga, observamos que as diagonais dividem o hexá-
gono convexo em quatro triângulos:
Nesse caso, a soma total é calculada assim: 4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º. Portanto:
 A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igual
a 720º.a 720º.a 720º.a 720º.a 720º.
Esse processo também pode ser aplicado a outros polígonos convexos, de
7, 8, 9 ou mais lados. Experimente!
Os ângulos do hexágono regular
Observe a figura abaixo:
Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor
ou deixar vãos. A esse tipo de composição costuma-se dar o nome de mosaicomosaicomosaicomosaicomosaico.
Neste mosaico, cada um dos vér-
tices é vértice de três hexágonos ao
mesmo tempo, como mostra a figura
ao lado. Todos os hexágonos são regu-
lares, isto é, possuem lados e ângulos
de mesma medida, o que significa que
 = B = C. Além disso, a soma desses
três ângulos é igual a 360°, ou seja,
eles formam um ângulo de uma volta
completa: Â + B + C =360° . Então, cada
um desses ângulos éigual a 360°¸ 3 =
120º.
Você poderá chegar a essa mesma conclusão de outra maneira. Você acabou
de aprender que a soma dos ângulos internos de um hexágono qualquer é igual
a 720º. No caso do hexágono regular, basta fazer 720º 720º 720º 720º 720º ¸ 6 6 6 6 6, isto é, 1 2 0 º1 2 0 º1 2 0 º1 2 0 º1 2 0 º.
Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!
Esse processo é válido também para outros polígonos regulares.
 B
C
43
A U L A
Você já viu que é possível revestir o piso ou as paredes de uma casa com
ladrilhos de um único tipoúnico tipoúnico tipoúnico tipoúnico tipo. Podemos revestir uma parede usando, por exemplo,
apenas ladrilhos quadrados ou, então, usando só ladrilhos com a forma de
hexágonos regulares.
Será que é possível revestir uma parede
usando apenas ladrilhos com a forma de
pentágonos regulares? Você pode responder a
essa pergunta fazendo o seguinte: recorte em
uma folha de papel vários pentágonos iguais
ao que está na figura ao lado. Em seguida, tente
ajustá-los como se fossem ladrilhos. Será que
você vai conseguir um encaixe perfeito?
Já sabemos que é possível revestir uma
parede usando apenas ladrilhos quadrados,
pois os ângulos dos quadrados se encaixam
perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acon-
tece porque cada um destes ângulos é igual a
90º, e 90 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 360.
Já sabemos também que é possível revestir uma parede usando apenas
ladrilhos em forma de hexágonos regulares, pois os ângulos dos hexágonos
regulares encaixam-se perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque
cada um desses ângulos é igual a 120º, e 120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360.
Portanto, para saber se é possível fazer revestimentos usando apenas
ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, devemos calcular a medida dos
ângulos de um pentágono regular e, em seguida, verificar se essa medida é ou
não um divisor de 360.
Lembre-se de que a soma dos ângulos de
um pentágono dá 540º . Quando um
pentágono é regularregularregularregularregular, todos os seus 5 ângulos
são iguais (veja a figura ao lado). E, se a soma
desses ângulos dá 540º, cada um deles é igual
a 540º ¸ 5, ou seja, 108º. Vamos verificar então
se 108 é ou não um divisor de 360. Temos:
A divisão não é exata e, portanto, 108 não é108 não é108 não é108 não é108 não é
divisor de 360divisor de 360divisor de 360divisor de 360divisor de 360. Haverá, então, sobra quando
tentarmos encaixar os pentágonos regulares.
Logo, não é possível fazer revestimentos usan-
do apenas ladrilhos com a forma de pentágonos
regulares, como se pode ver na figura acima.
Texto extraído do Jornal do Telecurso 1 Jornal do Telecurso 1 Jornal do Telecurso 1 Jornal do Telecurso 1 Jornal do Telecurso 1º Grau Grau Grau Grau Grau. Fundação Roberto Marinho, Ministé-
rio da Educação e Cultura e Fundação Universidade de Brasília, 1989.
360 108360 108360 108360 108360 108
 36 3 36 3 36 3 36 3 36 336º
108º 108º
108º
 Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?
43
A U L A Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!
Num artigo da Revista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de Matemáticaaaaa - nº 4, os
professores Imenes e Jakubovic escreveram sobre o formato dos para-
fusos, apresentando algumas questões interessantes:
1.1.1.1.1. “Num parafuso, o polígono presente é sempre regular.”
Isso se dá por uma razão simples: seria muito inconveniente apertar
e desapertar um parafuso que não fosse regular, pois a chave precisa-
ria ser especial para aquele parafuso e ela voltaria a se encaixar
somente após uma rotação de 360º, como mostra a figura:
2.2.2.2.2. “O parafuso mais conveniente é o sextavado.”
“Com o parafuso sextavado, completamos um passo da rosca após
seis movimentos de 60º cada um.
Quando um mecânico está consertando um defeito qualquer numa
máquina, por exemplo num automóvel, muitas vezes ele tem pouco
espaço para trabalhar (em geral em posições desconfortáveis). Por
essa razão, dos três parafusos apresentados, o mais cômodo é o
hexagonal, pois é o que pode ser apertado ou desapertado com giros
menores (60º), isto é, com movimentos mais curtos do braço.”
Parafuso sextavadoParafuso sextavadoParafuso sextavadoParafuso sextavadoParafuso sextavado Outros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusos
60º
43
A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Reproduza estas malhas, crie um padrão e forme um mosaico com ele.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Descubra a medida dos ângulos das figuras abaixo. Observe que:
l a primeira é um pentágono formado por um triângulo equilátero e um
quadrado;
l a segunda é um losango formado por dois triângulos equiláteros.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
O losango é um polígono regular? Por quê?
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
O octógono é um polígono de 8 lados. Desenhe um octógono, escolha um
de seus vértices e trace todas as diagonais que “saem” desse vértice.
Depois,
responda às perguntas:
a)a)a)a)a) Em quantos triângulos o octógono ficou dividido?
b)b)b)b)b) A soma dos ângulos de todos esses triângulos é igual à soma dos
ângulos desse octógono?
c)c)c)c)c) Quanto dá, então, a somados ângulos de um octógono?
O Exercício 4 foi extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau. Fundação Roberto Marinho,
Ministério da Educação e Cultura, Fundação Universidade de Brasília,1989.
Exercícios
43
A U L A Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Ao desenhar um polígono, podemos, em geral, escolher um dos vértices e
traçar as diagonais que “saem” desse vértice, como mostram as figuras:
Agora, com base nessa informação, complete a tabela abaixo:
NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE SOMASOMASOMASOMASOMA DEDEDEDEDE
LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS DODODODODO DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS QUEQUEQUEQUEQUE TRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOS TODOSTODOSTODOSTODOSTODOS OSOSOSOSOS ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
POLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONO “““““ SAEMSAEMSAEMSAEMSAEM” ” ” ” ” DEDEDEDEDE FORMADOSFORMADOSFORMADOSFORMADOSFORMADOS DODODODODO POLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONO
CADACADACADACADACADA VÉRTICEVÉRTICEVÉRTICEVÉRTICEVÉRTICE
3 0 1 180º
4 1 2 360º
5
6
7
8
9
10
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Após preencher a tabela, observe-a com bastante atenção e responda: existe
uma relação entre “o número de lados do polígono” e “o número de
triângulos formados”? Qual é essa relação?
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Imagine um polígono com nnnnn lados, sendo nnnnn um número inteiro e maior que
3. Escolha um de seus vértices e imagine-se traçando todas as diagonais que
“saem” desse vértice.
a)a)a)a)a) Escreva uma expressão que indique o número de triângulos formados
nesse polígono de nnnnn lados que você imaginou.
b)b)b)b)b) Escreva uma expressão que indique como você poderia calcular a soma de
todos os ângulos desse polígono de nnnnn lados.
44
A U L A
Observe o texto abaixo. Ele foi extraído de
um livro de geometria chinês. Veja se, mesmo sem saber chinês, você
consegue entender o tema do texto, ou seja, sobre o que o texto fala. O que
está sendo demonstrado?
44
A U L A
A linguagem
matemática
Para pensar
44
A U L A Ao procurar num dicionário a palavra linguagemlinguagemlinguagemlinguagemlinguagem, você encontra várias
definições. Veja duas delas, encontradas no Novo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio da
Língua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua Portuguesa:
linguagem.linguagem.linguagem.linguagem.linguagem. 1. 1. 1. 1. 1. O uso da palavra articulada ou escrita como meio de
expressão ou da comunicação entre pessoas. 2.2.2.2.2. O vocabulário especí-
fico usado numa ciência, numa arte, numa profissão etc.
Como você pode ver, a linguagem é uma forma de expressar determi-
nada idéia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar as
idéias: pela linguagem falada, pela escrita, pela musical etc.
A Matemática também criou uma forma de comunicação. Ela se utiliza
de uma linguagem universal para transmitir suas idéias de maneira simples,
curta e precisa.
l Simples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curta porque com apenas alguns símbolos ela pode expressar
frases que, se escritas na linguagem corrente, usariam maior quantidade de
símbolos. Por exemplo, a frase:
Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,
se escrita na linguagem matemática, usa apenas cinco símbolos, que
podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os
símbolos matemáticos:
2 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 5
l PrecisaPrecisaPrecisaPrecisaPrecisa porque deve indicar uma idéia com precisão, com exatidão, isto é,
sem falhas.
O uso de letras na Matemática
Além dos algarismos e dos sinais de operação (+, -, ´, ¸ : , , etc), a
linguagem matemática também utiliza letras em sua comunicação. Veja alguns
exemplos:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Considere as multiplicações do múmero 1 por outros números:
1 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 0
1 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 1
1 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 2
1 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 3
Você já deve ter percebido que o número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um número
qualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse número. Daí, podemos usar uma letra para
representar esse fato:
11111 ..... x = x x = x x = x x = x x = x
onde a letra xxxxx está representando um número qualquerum número qualquerum número qualquerum número qualquerum número qualquer.
Nossa aula
44
A U L A
As propriedades da adição ou da multiplicação também podem ser expressas
por letras. É o caso, por exemplo, da propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-
cação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adição, que você já aprendeu e que pode ser representada
por:
a a a a a ····· (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a ····· b + a b + a b + a b + a b + a ····· c c c c c
onde as letras aaaaa, b b b b b e c c c c c representam números quaisquer.
Vejamos agora uma outra situação. Observe:
0 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 0
2 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 2
Será que esses exemplos são suficientes para afirmar que x + x = x ..... x?
Basta escolher um exemplo bem simples para verificar que nãonãonãonãonão: 1 + 1 não
é igual a 1 ..... 1.
Portanto, como esse fato não é válido para qualquer número, não podemos
escrever que x + x = x ····· x.
O uso de letras na geometria
As letras também podem ser usadas para indicar algumas “fórmulas” da
geometria. Por exemplo:
l A área de um quadrado pode ser expressa por l ²² , onde l representa o lado
desse quadrado.
l A área de um retângulo pode ser expressa por a · ba · ba · ba · ba · b, onde aaaaa e bbbbb representam
as dimensões do retângulo. O perímetro do retângulo pode ser expresso
por 2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b ou 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b).
l A soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer pode ser
expressa por (n (n (n (n (n - 2) · 180º 2) · 180º 2) · 180º 2) · 180º 2) · 180º. Volte à Aula 43 e veja o que significam a letra
nnnnn e a expressão n n n n n - 2 2 2 2 2.
lado = = = = = l
área = = = = = l . . . . . l = = = = = l ²
l
l
Considere dois números quaisquer cuja soma seja igual a 5.Esse fato
pode ser representado por:
 a + b = 5
onde a e b representam os números que somados dão 5.
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
44
A U L A A linguagem matemática e a resolução de problemas
A linguagem matemática tornou-se, hoje em dia, um instrumento impor-
tante para resolver problemas. Com ela podemos traduzir os dados do problema
que estão em linguagem corrente, ou seja, podemos equacionarequacionarequacionarequacionarequacionar o problema.
Nos exemplos seguintes, há uma tabela com o problema em linguagem corrente
e sua tradução para a linguagem matemática. Veja:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO1
A metade de um número é igual a 6.
Qual é esse número ? x = ?
A solução desse problema é a solução da equação matemática x
2
= 6 . No
momento, nãonãonãonãonão vamos aprender a resolver equações. Nosso objetivo,
agora, é apenas saber o que é o que é o que é o que é o que é e para que servepara que servepara que servepara que servepara que serve a linguagem matemá-
tica.
Uma pessoa tinha uma determinada x
quantia de dinheiro.
No primeiro mês gastou 100 reais. x - 100
No segundo mês gastou metade do
que sobrou,
ficando com 80 reais. 80
Qual era a quantia inicial? x = ?
Para descobrir o valor de xxxxx, basta resolver a última equação. Mas, como já
dissemos, esse não é o nosso objetivo no momento.
x
2
= 6
 EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA
EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA
x = 100 +
x - 100
2
+ 80
{ { {
gastou no
1º mês
gastou no
2º mês
sobrou
x - 100
2
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
44
A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Escreva as seguintes frases em linguagem matemática:
a)a)a)a)a) O dobro de um número.
b)b)b)b)b) O triplo de um número.
c)c)c)c)c) Um número menos sete.
d)d)d)d)d) Metade de um número, mais um.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Como você escreveria em linguagem matemática as frases seguintes?
a)a)a)a)a) A ordem dos fatores não altera o produto.
b)b)b)b)b) A ordem das parcelas não altera a soma.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Considere um retângulo cujo perímetro é 20 cm.
a)a)a)a)a) Escreva, em linguagem matemática, uma expressão para representar
esse fato.
b)b)b)b)b) Dê alguns exemplos para as medidas das dimensões desse retângulo.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Complete a frase:
Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas metade do preço. Se o
preço é xxxxx, pagamos ........................
Exercícios
45
A U L A
45
A U L A
O círculo e o número p
O círculo é uma figura geométrica bastan-
te comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares
estão presentes: nas moedas, nos discos, à mesa de refeição...
Agora pense, o que você faria para:
l riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
l desenhar um círculo no seu caderno?
l marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa
figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena
distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido
falar.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculocírculocírculocírculocírculo.
Quando riscamos no papel ou no chão
apenas o contorno do círculo, este con-
torno é chamado circunferênciacircunferênciacircunferênciacircunferênciacircunferência.
O compasso compasso compasso compasso compasso é um instrumento utili-
zado para desenhar circunferênciascircunferênciascircunferênciascircunferênciascircunferências.
Como você pode ver na figura ao lado, o
compasso possui duas “pernas”. Uma
delas tem uma ponta metálica, que deve
ser assentada no papel, no local que será
o centro centro centro centro centro da circunferência. A outra pon-
ta, com o grafite, deve ser girada para
Para pensar
Nossa aula
45
A U L Aobter o traçado da circunferência.
Antes de traçar uma circunferên-
cia, devemos decidir qual será a aber-
tura entre as pernas do compasso. A
distância entre as duas pontas do com-
passo define o raio raio raio raio raio da circunferência.
Agora, pegue um compasso e trace
uma circunferência. Repare que todos
os pontos da circunferência que você
riscou no papel estão a uma mesma
distância do centrocentrocentrocentrocentro. Essa distância é
o raioraioraioraioraio.
Com essas informações, você consegue improvisar seu compasso. Utilizan-
do uma tachinha, um barbante e um giz você pode riscar uma circunferência no
chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam
usar uma corda e duas estacas.
Algumas definições importantes
CordaCordaCordaCordaCorda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência.
DiâmetroDiâmetroDiâmetroDiâmetroDiâmetro é uma corda que passa pelo centro centro centro centro centro da circunferência.
Observe que o diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa
pelo centrocentrocentrocentrocentro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio. Veja a figura:
di
âm
et
ro
 c
or
da
Raio
Raio
Diâmetro
r
r
d
d = 2 . r
45
A U L A
P
Q
®
Assim, se você precisar medir a maior distância entre dois pontos de uma
circunferência, deve medir o diâmetrodiâmetrodiâmetrodiâmetrodiâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida
(régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro centro centro centro centro da circunferência.
Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.
Esta parte da circunferência, delimitada por dois pontos quaisquer, é chamada
arco arco arco arco arco de circunferência.
Para simbolizar a corda que une os pontos
P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta,
ou seja, corda PQ.
Por outro lado, o arco também começa em
P e termina em Q mas, como você pode ver, a
corda e o arco são diferentes e por isso a
simbologia também deve ser diferente. Para o
arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o
diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é
chamado semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência, e a parte do cír-
culo correspondente é chamada semicírculo.semicírculo.semicírculo.semicírculo.semicírculo.
O comprimento da circunferência
Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será
o seu comprimento. É fácil perceber isso. Imagine que você vai caminhar em
torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros
de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.
No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto
marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi
esticada.
Como já sabemos que o diâmetro e o comprimento de uma circunferência
estão relacionados, vamos a seguir compará-los.
semicircunferência AB
diâmetro AB
arco
corda
_
45
A U L A
ê
ê
Descobrindo uma relação
Usando diferentes objetos com a forma circular, vamor medir o comprimen-
to das circunferências (das bordas) e de seus diâmetros. Tente medir objetos
circulares variados, como um copo ou uma mesa redonda.
Você pode estar se perguntando: “Mas como medir a linha curva?”.
Um barbante ou uma fita métrica pode servir. Acompanhe este exemplo:
l Pegue um copo e um pedaço de
barbante. Coloque o copo com a
boca para baixo e contorne a bor-
da do fundo do copo com o bar-
bante. Marque com uma caneta o
ponto do barbante que toca o seu
começo. Então estique o barbante
e meça com a régua o compri-
mento do começo do barbante
até a marquinha que você fez.
l No copo que nós utilizamos, essa
medida foi de 15,5 cm ou 155 mm.
l Agora meça o diâmetro. Não es-
queça que qualquer diâmetro
tem a mesma medida e que o
diâmetro passa pelo centro. Aqui
obtivemos 4,9 cm ou 49 mm.
Para saber quantas vezes o comprimento da circunferência é maior que o
diâmetro, vamos dividir a medida da circunferência pela medida do diâmetro.
Usando uma máquina de calcular encontramos o seguinte resultado:
Observe que, nesse e nos próximos exemplos, utilizamos apenas duas casas
decimais no resultado das divisões.
Vamos repetir a experiência do copo com outros objetos do nosso dia-a-dia.
Medindo uma ficha telefônica,
encontramos aproximadamente69 mm para o comprimento da circun-
ferência e 22 mm para o diâmetro.
comprimento
diametro
=
155mm
49mm
= 3,16
comprimento
diametro
=
69mm
22mm
= 3,13
45
A U L A
Um pouco de
História
Observe as medidas que obtivemos com vários objetos:
tampo de mesa 3,10 m 1 m 3,10
pires de xícara 47 cm 15 cm 3,13
prato de refeição 73,5 cm 23,4 cm 3,14
pirex de vidro 84,8 cm 27 cm 3,14
fundo de copo 155 mm 49 mm 3,16
ficha telefônica 69 mm 22 mm 3,13
Ao dividir a medida do comprimento da circunferência pela medida de seu
diâmetro, encontramos sempre um número um pouco maior do que 3. Na
realidade, esse número é sempre o mesmo e vale aproximadamente 3,143,143,143,143,14.
Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 em
todas as divisões. Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatas exatas exatas exatas exatas com
os métodos que utilizamos. Da mesma forma que nossas medições são aproxi-
madas, o resultado das divisões também é uma aproximação.
Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!
Esse é um resultado muito importante em Matemática. Esse número
tão útil e importante é chamado pipipipipi e simbolizado pela letra grega p (que
já existe em muitas calculadoras).
ConclusãoConclusãoConclusãoConclusãoConclusão
O cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando
conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação acima.
Note que d = 2r, logo:
Arquimedes, que viveu por volta de 287 a 212 anos antes de Cristo, foi um
gênio da Matemática e da Física, além de grande construtor de máquinas de
guerra. Ele desenvolveu muitos estudos para obter um cálculo aproximado de p.
Sabia que a divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro é
um número constante, qualquer que seja o tamanho da circunferência.
Para calcular o número p, Arquimedes aproximou polígonos por dentro e
por fora da circunferência e mediu os perímetros. Quanto maior era o número
de lados do polígono mais ele se aproximava da medida da circunferência.
O valor utilizado para p foi, durante muitos anos, o número aproximado
obtido por Arquimedes: 22
7
= 3,142857142857...
6 lados6 lados6 lados6 lados6 lados 8 lados8 lados8 lados8 lados8 lados 12 lados12 lados12 lados12 lados12 lados
comprimento da circunferência
diâmetro da circunferência
=
C
d
= p
OBJETOOBJETOOBJETOOBJETOOBJETO COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO
COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO
DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO
C
d
= p ®
C
2r
= p ® C = p ×2r ou C = 2p r
p
p_ p_ p . 2r p
45
A U L APara você saber mais
Descobriu-se, posteriormente, que o número p não pode ser representado
por uma fração e que ele tem infinitas casas decimais. O número p é exemplo de
um tipo de número chamado irracionalirracionalirracionalirracionalirracional.
Há cem anos aproximadamente, o matemático William Shanks calculou o
número p com 707 casas decimais. Para realizar essa tarefa, precisou de 15 anos!
Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o número p
com milhares de casas decimais em apenas alguns minutos.
p = 3,14 = 3,14 = 3,14 = 3,14 = 3,1415926535897932384626433832795028...
Na prática, usa-se apenas 3,143,143,143,143,14 ou 3,14163,14163,14163,14163,1416 para aproximar o valor de p.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Usando um compasso, desenhe uma circunferência com um raio de 5 cm.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Usando um compasso, desenhe uma circunferência com diâmetro de 10 cm.
ExerExerExerExerExercício 3cício 3cício 3cício 3cício 3
Desenhe duas circunferências com o mesmo centro e com os raios medindo
4 cm e 6 cm. Qual delas tem o maior comprimento?
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Numa bicicleta em que o raio da roda é de 26 cm, qual será, aproximada-
mente, o comprimento da circunferência da roda?
EEEEExercício 5xercício 5xercício 5xercício 5xercício 5
Medindo uma circunferência com fita métrica graduada obtivemos 62,8 cm
de comprimento. Qual a medida do diâmetro dessa circunferência?
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Complete a tabela abaixo:
RAIORAIORAIORAIORAIO = r= r= r= r= r DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO = d= d= d= d= d COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO = 2= 2= 2= 2= 2prrrrr
2 4 4 . 3,14 = 12,56
1
5
18,84
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Se uma circunferência tem 18,84 m de comprimento, qual o comprimento da
semicircunferência dela obtida?
ExExExExExercício 8ercício 8ercício 8ercício 8ercício 8
Agora imagine uma circunferência de 18,84 m de comprimento que foi
dividida em 4 arcos do mesmo tamanho. Qual o comprimento de cada
um dos arcos?
Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9
Numa circunferência de 1 cm de raio, quanto mede a maior corda que
podemos desenhar?
ExExExExExercício 10ercício 10ercício 10ercício 10ercício 10
Desenhe uma circunferência e divida-a em apenas dois arcos.
Exercícios
46
A U L A
46
A U L A
Novamente frações
Para pensar Uma pessoa vai viajar para uma cidade a
220 km de distância de onde mora. Planeja fazer duas paradas para descansar.
Quais serão as distâncias das paradas (incluindo a partida e a chegada),
sabendo que elas deverão ser aproximadamente iguais? Faça um gráfico da
estrada, marcando as paradas.
Sabemos que, quando dividimos um número inteiro por outro, podemos
encontrar como quociente um número inteiro ou um número decimal. Por
exemplo:
20 ¸ 5 = 4
100 ¸ 40 = 2,5
Vejamos, agora, o que acontece quando dividimos 41 por 9:
41 9
450 4,555......
4550
45550
455550 ....
Se continuarmos a conta, encontraremos sempre o algarismo 5 no quociente,
e o resto será sempre o mesmo (5).
Se fizermos essa conta numa máquina de calcular, aparecerá no visor o
número 4.5555555 (ou seja, 4,5555555). Nesse caso, o algarismo 5 aparece
repetido 7 vezes. Se a mesma conta for feita numa máquina maior, encontra-
remos um resultado com o algarismo 5 repetido mais vezes (9 ou 11 vezes).
Concluímos, então, que a divisão de 41 por 9 nunca termina e que os pontos
indicam que o algarismo 5 se repete indefinidamente.
O número 4,555... é chamado de dízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódica e o algarismo 5 é o
períodoperíodoperíodoperíodoperíodo da dízima.
Podemos também representar a dízima periódica colocando um traço sobre
o período: 4,5 .
Como essa dízima foi gerada pela divisão 41¸ 9, que pode ser escrita em
forma de fração, como 41
9
, dizemos que a geratrizgeratrizgeratrizgeratrizgeratriz da dízima periódica é a
fração 41
9
 .
Nossa aula
46
A U L A
®
®
Vejamos outros exemplos de geratrizes e as respectivas dízimas periódicas:
17
9
= 17 ¸ 9 = 1, 8 O período é 8,
a parte inteira é 1.
7
33
= 7 ¸ 3 = 0, 21 O período é 21,
a parte inteira é zero.
Nesses dois exemplos, os períodos períodos períodos períodos períodos aparecem logo após a vírgula. Elas são
chamadas de dízimas períodicas simples dízimas períodicas simples dízimas períodicas simples dízimas períodicas simples dízimas períodicas simples.
As dízimas nas quais aparece um outro número entre a vírgula e o períodoperíodoperíodoperíodoperíodo
são chamadas de dízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostas. Por exemplo:
1,4888 ... O período é 8,
a parte não-periódica é 4,
a parte inteira é 1.
0,3272727 ... O período é 27,
a parte não-periódica é 3,
a parte inteira é zero.
Os números que vimos até agora podem ter muitas representações, como:
l 5; V; 5,0; 
5
1
; 
10
2
 ...
l 0,8; 0,80; 
8
10
; 
4
5
; 
80
100
 ...
l 0,666...; 
6
9
; 
2
3
; 
8
12
 ...
l 
1
3
; 
2
6
; 
3
9
; 
4
12
 ...
Além disso, observamos que todos esses números podem ser representados
em forma de fração. Eles são chamados números racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionaisnúmerosracionaisnúmeros racionais.
Vamos conhecer, agora, um número diferente: um número decimal com
infinitas casas decimais mas sem um período. Veja este exemplo:
0,10110111011110 ....
Será que você pode concluir como serão as casas decimais seguintes?
A parte decimal começa com 1 seguido de zero, depois 11 seguido de zero,
depois 111 seguido de zero e assim por diante. Ou seja, o número nunca terá um
fim nem um período. Ele não é um número racional.
Um número desse tipo é chamado de número irracionalnúmero irracionalnúmero irracionalnúmero irracionalnúmero irracional. Um número
irracional não é resultado de nenhuma divisão de números inteiros; ele não pode
ser escrito em forma de fração.
Você viu, na aula anterior, um número irracional muito conhecido, o número p,
que vale aproximadamente 3,1416.
Você verá mais adiante, em outra aula, exemplos de números irracionais que
surgem naturalmente em muitos cálculos matemáticos.
®
®
46
A U L A Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Escreva a representação decimal de:
a)a)a)a)a) 13
99
b)b)b)b)b) 7
20
c)c)c)c)c) 56
9
d)d)d)d)d) 64
15
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Efetue as divisões com quociente decimal:
a) a) a) a) a) 1 ¸ 9 b)b)b)b)b) 2 ¸ 9 c)c)c)c)c) 3 ¸ 9
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Agora, sem efetuar a conta, dê o resultado decimal de:
a)a)a)a)a) 4 ¸ 9 b) b) b) b) b) 5 ¸ 9 c)c)c)c)c) 6 ¸ 9
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Ao lado de cada número, escreva se sua representação decimal é finitafinitafinitafinitafinita,
infinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódica ou infinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódica:
a) a) a) a) a) 17
5
c)c)c)c)c) 0, 35 e)e)e)e)e) 4
6
b)b)b)b)b) 3,45 d)d)d)d)d) 0,12131415... f)f)f)f)f) p
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Diga se estes números são racionaisracionaisracionaisracionaisracionais ou irracionaisirracionaisirracionaisirracionaisirracionais:
a)a)a)a)a) 4 c)c)c)c)c) 4,33 e)e)e)e)e) 4,330
b)b)b)b)b) 4,333 ... d) d) d) d) d) 1,010010001 ... f) f) f) f) f) 0
Exercícios
47
A U L A
Números
 proporcionais
47
A U L A
Para pensar
Nossa aula
20m
?
=
2
3
A distância entre Rio de Janeiro e São Paulo
é de 400 km. Qual é a distância entre as duas cidades em um mapa feito na
escala de 1 : 200.000?
Se uma caixa d’água produz uma sombra de 20 m e um homem com 1,80
m de altura produz uma sombra de 1,20 m, medidas no mesmo local e na mesma
hora, qual é a altura da caixa?
Comparando o comprimento da sombra do homem com sua altura, medidos
em centímetros (cm), encontramos:
120
180
=
2
3
 , depois de simplificar a fração.
A divisão é uma das formas que usamos para comparar dois números.
Dizemos que a razãorazãorazãorazãorazão entre o comprimento da sombra e a altura do homem é de
2
3
 ou 2 : 32 : 32 : 32 : 32 : 3, que se lê 2 para 3.2 para 3.2 para 3.2 para 3.2 para 3.
Como as medidas foram feitas na mesma hora e no mesmo local, a razão entre
o comprimento da caixa d’água e sua altura também será 2
3
.
A altura da caixa d’água é igual a 30 m, pois a razão 20
30
 é igual a 2
3
.
No caso de mapas geográficos, plantas de casas ou maquetes de projetos, a
escalaescalaescalaescalaescala determina a relação entre as medidas de um desenho e as medidas reais
que correspondem a ele.
47
A U L A EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
 A planta de uma sala retangular está desenhada na escala 1 : 100. Determi-
ne as medidas reais dessa sala.
 6 cm
 8 cm
A razão entre as medidas que aparecem na planta da sala e as medidas reais
é de 1 : 100 1 : 100 1 : 100 1 : 100 1 : 100 ou 1
100
 (lê-se 1 para 1001 para 1001 para 1001 para 1001 para 100), o que significa que as medidas reais são
100 vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta.
Para determinar as medidas reais da sala, vamos multiplicar as medidas da
planta por 100:
6 cm . 100 = 600 cm = 6 m
8 cm . 100 = 800 cm = 8 m
1
As medidas reais da sala são, portanto, 6 m6 m6 m6 m6 m e 8 m8 m8 m8 m8 m.
O mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida que aparecesse na
planta, como, por exemplo, largura e altura de portas e janelas.
Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.
Quando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, a
re lação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada de proporção,proporção,proporção,proporção,proporção, e dizemose dizemose dizemose dizemose dizemos
que as quantidades medidas são que as quantidades medidas são que as quantidades medidas são que as quantidades medidas são que as quantidades medidas são proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais.
escala: 1
100
ou 1:100
47
A U L AEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas horas levará a mesma pessoa
para percorrer 180 km com a mesma velocidade?
Essa igualdade é uma proporçãoproporçãoproporçãoproporçãoproporção, e os números que medem as distâncias
e o tempo são proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempo
para percorrê-la.
Como calcular o número que não se conhece na proporção desse exemplo?
Vamos recordar algumas proporções que já conhecemos:
a) a) a) a) a) 2
3
=
6
9
b)b)b)b)b) 3
4
=
24
32
É fácil verificar que:
a)a)a)a)a) 2 . 9 = 18 b)b)b)b)b) 3 . 32 = 96
3 . 6 = 18, logo 2 . 9 = 3 . 6 4 . 24 = 96, logo 3 . 32 = 4 . 24
Acabamos de chegar a uma propriedade muito importante e bastante usada
em Matemática:
Numa proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fração
pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.
Voltando ao exemplo, podemos agora determinar o termo desconhecido da
proporção 120
2
=
180
?
.
Substituindo o ponto de interrogação (?) pela letra x x x x x, que é usada em lugar
do termo desconhecido (Aula 44),
120
2
=
180
x
e aplicando a propriedade que vimos anteriormente:
120x = 2.180
120x = 360
x = 360 : 120 (Aplicando operação inversa)
x = 3
A pessoa levará 3 horas3 horas3 horas3 horas3 horas para percorrer os 180 km.
120
2
=
180
?
47
A U L A Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Nesta tabela, devemos encontrar vários pares de números A e B. Complete
a tabela de modo que a razão de A para B seja sempre o número 6
7
.
AAAAA BBBBB RAZÃORAZÃORAZÃORAZÃORAZÃO A
B
RAZÃORAZÃORAZÃORAZÃORAZÃO A
B
 NANANANANA FORMAFORMAFORMAFORMAFORMA MAISMAISMAISMAISMAIS SIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLES
a)a)a)a)a) 12 14
12
14
6
7
b)b)b)b)b) 21
c)c)c)c)c) 30
d)d)d)d)d) 100
e)e)e)e)e) 100
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Numa sala de aula há 30 alunos, dos quais 12 são meninas:
a)a)a)a)a) Qual a razão do número de meninas para o total de alunos da turma?
b)b)b)b)b) Qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma?c)c)c)c)c) Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos?
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Determine o valor de x x x x x em cada uma das seguintes igualdades de modo que
elas se tornem verdadeiras:
a)a)a)a)a) 20
8
=
x
6
b)b)b)b)b) 14
30
=
x
90
c)c)c)c)c) x
3
=
75
15
d)d)d)d)d) x
4
=
36
27
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
A planta de uma casa foi feita em escala de 1 : 50. Quanto medirá na planta
uma parede que mede 20 m?
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Quanto custam 12 canetas se 4 custam R$ 3,50?
SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Estabeleça o preço usando o conceito de proporção.
Exercícios
48
A U L A
O Teorema de Tales
Para pensar
Nossa aula
l A estaca tem 1,50 m e sua sombra 2,20 m. A sombra do poste mede 4,90 m.
Qual é a altura do poste?
l A massa de um bloco de gelo é de 13 kg. Se 10% do gelo derreter, de quanto
passará a ser a sua massa?
l Com um par de esquadros, desenhe um feixe de 5 retas paralelas. Depois,
trace sobre elas 2 retas transversais que não sejam paralelas entre si. Meça os
segmentos determinados nas retas transversais. Eles são proporcionais?
As pirâmides do Egito
As pirâmides egípcias são monu-
mentos grandiosos. A técnica empre-
gada em suas construções até hoje
fascina o homem.
A pirâmide de Qué ops, no Egi-
to, foi construída por volta de 2.500
anos antes de Cristo.
Considerada uma das grandes
maravilhas do mundo antigo,
Quéops tem aproximadamente 150
metros de altura. Sua base é um qua-
drado cujos lados medem cerca de
230 metros.
48
A U L A
48
A U L A Tales e a pirâmide
O filósofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga,
por volta do ano 585 a.C.
Há muitas lendas e histórias sobre ele. Diz-se que, ao ser interrogado sobre
o que era difícil, Tales respondeu: “Conhecer a si mesmo”. O que era fácil: “Ser
dirigido por outro”. Agradável: “Seguir a própria vontade”. Divino: “Aquilo
que não tem começo nem fim”.
Tales passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábios
daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo
faraó Amásis por ter medido a altura de uma pirâmide sem precisar escalá-la.
Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que, no
momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimen-
to da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da
pirâmide mais metade da medida da base.
A altura da pirâmide é a distância do vértice V à base. Observe a figura
abaixo: a altura é a medida do segmento VH .
V
H
metade da base comprimento
da sombra
{ {
raio solar
48
A U L ATales e a Matemática
Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-se em alguns fatos:
1.1.1.1.1. Quando dois triângulos têm os ângulos iguais, então seus lados
correspondentes formam uma proporção.
2.2.2.2.2. Os raios solares são paralelos.
E, nesse caso, Tales também sabia que os ângulos de incidência dos raios
solares num mesmo instante tinham todos a mesma medida.
Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da
base mais o comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o
vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginou
também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar.
Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles, um ângulo reto
e um ângulo de mesma medida (aaaaa). Nesse caso, Tales sabia que as medidas dos
lados desses triângulos eram proporcionais. Então:
Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, muito
utilizado ainda hoje na astronomia e na medição de distâncias que aparentemente
não podemos alcançar, como a altura de montanhas, árvores e monumentos ou
a largura de grandes rios e lagos.
a
x
=
b
y
=
c
z
c b
a
z y
x
V
H P
a a
A
B C
VH
HP
=
AB
BC
48
A U L A
a
O Teorema de Tales
São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um
teorema com seu nome. Veja o que diz esse teorema:
Duas retas, Duas retas, Duas retas, Duas retas, Duas retas, mmmmm e e e e e nnnnn, cortam três retas parelelas , cortam três retas parelelas , cortam três retas parelelas , cortam três retas parelelas , cortam três retas parelelas aaaaa, , , , , b b b b b eeeee c c c c c. Nessas. Nessas. Nessas. Nessas. Nessas
condições, os segcondições, os segcondições, os segcondições, os segcondições, os segmentos de medidas mentos de medidas mentos de medidas mentos de medidas mentos de medidas xxxxx, , , , , yyyyy, , , , , zzzzz e e e e e wwwww são proporcionais. são proporcionais. são proporcionais. são proporcionais. são proporcionais.
Assim:Assim:Assim:Assim:Assim:
Uma aplicação do Teorema de Tales
Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do
lote B, conforme a figura:
Representando por xxxxx a medida que desejamos calcular e usando o Teorema
de Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como as
laterais são paralelas, temos:
E, fazendo uma simples regra de três:
30 x = 20 . 24
 x = 16
Assim, sem efetuar medições, concluímos que o lado dos fundos do lote B
mede 16 metros.
x
y
=
z
w
b
c
w
zx
y
nm
Rua das Marrecas
R
ua
 d
os
 G
an
so
s
lote A
lote B
lo
te
 C
x
24
 m
20
 m
30
 m
20
30
=
x
24
48
A U L AUma forma mais geral do Teorema de Tales
Considere um feixe de retas paralelas com duas transversais, como
mostra a figura:
Os segmentos de medidas a, b, c, da, b, c, da, b, c, da, b, c, da, b, c, d e x, y, w, zx, y, w, zx, y, w, zx, y, w, zx, y, w, z, determinados nas retas
transversais, formam segmentos proporcionais:
a
x
=
b
y
=
c
w
=
d
z
Uma outra aplicação do Teorema de Tales
Para encontrar a solução de problemas de cálculo de distâncias aparente-
mente impossíveis, os antigos usavam instrumentos de medida de ângulos na
vertical e na horizontal.
Hoje em dia, os topógrafos usam o teodolitoteodolitoteodolitoteodolitoteodolito, um instrumento que mede
ângulos, distâncias e diferenças de nível.
a
c
b
d
x
y
w
z
48
A U L A Veja na figura abaixo como funciona o teodolito na medição da altura de uma
árvore. O teodolito deve ser afastado até que o ângulo de visão da horizontal
com o topo da árvore seja de 45º. Quando isso ocorrer, basta medir a distância
da árvore até o teodolito. Essa medida será igual à medida da altura da
árvore.
Isso ocorre porque se comparou o triângulo imaginário
com um triângulo retângulo e isósceles que tem os catetos
com a mesma medida.
Outras descobertas geométricas atribuídas a Tales
l O diâmetro divide o círculo em duas partes iguais.
l Ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais.
l Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm medidas iguais.
l O ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
 A
B45º
C
48
A U L A
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Nas figuras abaixo, calcule o valor de x x x x x (as retas a, b e c são paralelas).
a)a)a)a)a)
b)b)b)b)b)
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas de
suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é
90 metros.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o comprimento da ponte.
Exercícios
x 2,4
1,4 1,2
a
b
c
4
6
x
8
a b c
A
B
30 m 45 m
x
y
9 m
18 m
E
x
B
A
C
10 m
D
48
A U L A
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
A imagem de uma foto é, em geral, semelhante ao que se vê na realidade.
Imagine que o desenho abaixo seja uma foto. Que proporção você pode
estabelecer entre a altura do coqueiro, a altura da pessoa e suas respectivas
sombras?
49
A U L A
Figuras semelhantes
Desenhe uma ampliação da figura abaixo,
utilizando o restante da parte quadriculada do quadro de modo que as dimen-
sões da figura original sejam duplicadas.
Agora faça outra ampliação da mesma figura utilizandoo quadriculado
abaixo. O que você deve fazer para que essa nova ampliação seja também uma
duplicação?
49
A U L A
Para pensar
49
A U L A
AB
A1B1
=
BC
B1C1
=
CD
C1D1
=
DA
D1A1
=
1
2
Quando ampliamos ou reduzimos uma figura em uma proporção constante,
sem modificar a sua forma, a nova figura e a figura original são chamadas de
figuras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantes. Observe os quadriláteros abaixo. Eles são semelhantes?
Sim, eles são realmente semelhantes. O quadrilátero 22222 é uma redução e o
quadrilátero 33333 é uma ampliação do quadrilátero 11111.
Observe que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas.
Confira com um transferidor. Os lados correspondentes foram ampliados ou
reduzidos sempre na mesma proporção.
De 1 1 1 1 1 para 22222, reduzimos cada lado à metade do tamanho original. De 11111 para 33333,
ampliamos cada lado para o dobro do tamanho original.
Para que duas figuras sejam semelhantes elas não precisam estar na mesma
posição. No exemplo abaixo, todos os quadriláteros são uma ampliação do
quadrilátero ABCD original.
Se você comparar a medida de qualquer um dos lados do quadrilátero ABCD
com a medida de seu correspondente nos outros quadriláteros, vai verificar que:
A razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes é
conhecida em Matemática como razão de semelhrazão de semelhrazão de semelhrazão de semelhrazão de semelhançaançaançaançaança e é comum utilizarmos
a letra k k k k k para simbolizá-la. Dizemos então que k = 
1
2 , neste exemplo.
Nossa aula
(1)
(2)
(3)
A B
C D
A1 B1
C1 D1
A2
B2
D2
C2 A3
B3
C3
D3
A4
D4
B4
C4
49
A U L A
Cozinha
Quarto
Quarto
Sala
O que é escala?
Em muitos casos, a razão de semelhança é chamada de escalaescalaescalaescalaescala. Quando
desenhamos a planta de uma casa, observamos a maquete de um prédio ou
estudamos um mapa, é comum encontrarmos a palavra escalaescalaescalaescalaescala. Tal como na
planta do exemplo abaixo.
Esta escala 1 : 200 = 1
200
 significa que cada 1 cm da planta equivale, na
realidade, a 200 cm ou 2 m na casa de verdade.
Você pode verificar com sua régua que, na planta, a largura da sala é 1,7 cm
e que o comprimento é de 2,3 cm. Para encontrarmos as medidas reais da sala,
basta multiplicarmos as medidas por 200.
00000
largura 1,7 cm 1,7 cm · 200 = 340 cm = 3,40 m
comprimento 2,3 cm 2,3 cm · 200 = 460 cm = 4,60 m
VBº
Escala: 
1
200
MEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDAS DADADADADA SALASALASALASALASALA
NANANANANA PLANTAPLANTAPLANTAPLANTAPLANTA MEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDAS REAISREAISREAISREAISREAIS DADADADADA SALASALASALASALASALA
49
A U L A A Geografia utilizando a Matemática
Observe o mapa abaixo. A escala é apresentada em um segmento de reta e
significa que cada centímetro do mapa é equivalente a 1.250 quilômetros.
Meça algumas distâncias com a régua e calcule, aproximadamente, a
distância real em quilômetros. Para isso, utilize a escala.
É desse modo, por meio de mapas e suas respectivas escalas, que a aviação
e a navegação planejam rotas de viagem, calculam distâncias e tempos de
percurso.
49
A U L AObtendo figuras semelhantes
Sabemos, então, que duas figuras são semelhantes quando as duas condi-
ções abaixo são satisfeitas:
11111. os ângulos correspondentes têm a mesma medida; e
22222. as razões entre as medidas de lados correspondentes são iguais.
No início desta aula, você observou uma maneira de ampliar ou reduzir
figuras utilizando papel quadriculado.
Vamos mostrar a seguir outro método, também muito utilizado.
1.1.1.1.1. Escolhemos um pon-
to qualquer OOOOO.
2.2.2.2.2. Ligamos este ponto OOOOO
a vários pontos da
nossa figura.
3.3.3.3.3. Medimos a distância
de cada ligação e obte-
mos novos pontos
multiplicando esta me-
dida por uma constan-
te.
4.4.4.4.4. Ligamos os novos
pontos e está feita a
ampliação.
Este método pode ser utilizado para qualquer figura e o ponto OOOOO pode estar
em qualquer posição. Confira nos exemplos abaixo:
1. 2.
3.
O
O
O
O está dentro da figura O está em um dos vértices da figura
OO
49
A U L A Para você saber mais
Vimos que duas condições devem ocorrer, ao mesmo tempo, para garantir
a semelhança entre figuras. No entanto, um caso muito especial de semelhança
ocorre quando as figuras são triângulos, pois basta verificar apenas uma das
condições, pois a outra ocorrerá automaticamente. Veja:
l se os lados são proporcionais, então os ângulos são iguais e os triângulos são
semelhantes; ou
l se os ângulos correspondentes são iguais, então os lados são proporcionais
e os triângulos são semelhantes.
Podemos então verificar apenas uma das condições para conferir se dois
triângulos são semelhantes. Mas, não esqueça, isto só ocorre com triângulostriângulostriângulostriângulostriângulos.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Analise a planta da casa que aparece nesta aula e indique quais são as
medidas dos quartos.
Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*
Num mapa de guerra a escala era 1:100.000. No mapa, o alcance do míssil
era de 100 cm. Qual o alcance real do míssil em quilômetros?
Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *
Um jogador de basquete mede 2,04 m. Para fazer propaganda de seu time,
fabricaram miniaturas do jogador. A escala é 1:12. Quanto mede a miniatura?
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Num banheiro retangular, é preciso trocar os azulejos do box. O box ocupa
1
4
 do banheiro. O banheiro mede 6 m². Na planta, o banheiro está na es-
cala 1 : 30. Quanto mede o box na planta?
(*) Os Exercícios 2 e 3 foram extraídos do artigo “Alunos inventam problemas”, da
professora Sylvia Judith Hamburger Mandel, publicado na Revista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor de
MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática, nº 26.
Exercícios
50
A U L A
50
A U L A
Proporção inversa
l Um automóvel com velocidade média de 60 km/h gasta 5 horas para
percorrer a distância entre duas cidades. Quanto tempo levará para percor-
rer a mesma distância com a velocidade média de 100 km/h?
l Pegue uma folha de papel quadriculado e desenhe alguns retângulos de
área 36 (considere cada quadradinho como uma unidade de área). Anote
numa tabela os valores encontrados para as dimensões (comprimento e
largura) de cada um dos retângulos que você desenhou.
Observando a tabela, o que você pode afirmar sobre a variação dessas
dimensões?
Na Aula 47, você aprendeu que duas grandezas que mantêm entre si uma
relação de dependência podem variar proporcionalmente. Vamos ver um exem-
plo para “refrescar” a memória.
Uma receita muito simples, e às vezes bastante necessária, é a do soro
caseiro. Para fazer 1 litro de soro, basta:
1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)
1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal
1
2
 colher (café) de açúcar colher (café) de açúcar colher (café) de açúcar colher (café) de açúcar colher (café) de açúcar
E está pronto um soro muito útil nos casos de desidratação. Mas, o que essa
receita tem a ver com proporcionalidade? Observe a tabela:
QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE DEDEDEDEDE ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA SALSALSALSALSAL AÇÚCARAÇÚCARAÇÚCARAÇÚCARAÇÚCAR
SOROSOROSOROSOROSORO (((((LITROLITROLITROLITROLITRO))))) (((((COLHERCOLHERCOLHERCOLHERCOLHER DEDEDEDEDE CAFÉCAFÉCAFÉCAFÉCAFÉ))))) (((((COLHERCOLHERCOLHERCOLHERCOLHER DEDEDEDEDE CAFÉCAFÉCAFÉCAFÉCAFÉ)))))
1 litro 1 1 12
2 litros 2 2 24
3 litros 3 3 36
4 litros 4 4 48
A quantidade de água, sal e açúcar são dependentes da quantidade de soro
caseiro que se deseja fazer.
Para pensar
Nossa aula
50
A U L A É fácil perceber que, se desejamos dobrara quantidade de soro, devemos
dobrar as quantidades de água, sal e açúcar. Dizemos, então, que as quantidades
de água, sal e açúcar são proporcionais, ou diretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionais.
Existem situações, porém, em que as grandezas mantêm entre si uma
relação inversamente proporcional. Mas, o que são grandezas inversamenteinversamenteinversamenteinversamenteinversamente
propor-cionaispropor-cionaispropor-cionaispropor-cionaispropor-cionais?
Vejamos um exemplo. Viajando constantemente do Rio de Janeiro a São
Paulo, Mônica fez alguns cálculos e anotou o resultado numa tabela. Ela sabia
que a velocidade pode ser calculada dividindo-se a distância percorrida pelo
tempo gasto na viagem (v = e/t). Considerando a distância entre essas duas
cidades como sendo 400 km, ela fez a seguinte tabela:
50 km/h 8h
60 km/h 6h40min
400 km
80 km/h 5h
100 km/h 4h
Observe que à medida que a velocidade aumenta velocidade aumenta velocidade aumenta velocidade aumenta velocidade aumenta o tempo diminuitempo diminuitempo diminuitempo diminuitempo diminui.
Dizemos, então, que as grandezas velocidade velocidade velocidade velocidade velocidade e tempo tempo tempo tempo tempo mantêm entre si uma
relação inversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcional.
Observando um pouco mais a tabela podemos verificar que:
50 km/h . 8h
60 km/h . 6h 40min
 = 400 km = 400 km = 400 km = 400 km = 400 km
80 km/h . 5h
100 km/h . 4h
Dizemos, então, que:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando os
valores valores valores valores valores xxxxx e e e e e y y y y y correspondentes a correspondentes a correspondentes a correspondentes a correspondentes a elaselaselaselaselas são tais que: são tais que: são tais que: são tais que: são tais que:
xxxxx ..... y = ky = ky = ky = ky = k,
onde onde onde onde onde k k k k k é u m vé u m vé u m vé u m vé u m valor constante e positivo chamado alor constante e positivo chamado alor constante e positivo chamado alor constante e positivo chamado alor constante e positivo chamado constante deconstante deconstante deconstante deconstante de
proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação
No exemplo acima, a constante de proporcionalidade inversa (kkkkk) é
400 e a velocidade e o tempo são as variáveis xxxxx e yyyyy.
DISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIA
PERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDA
VELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADE
MÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIA
TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
GASTOGASTOGASTOGASTOGASTO
50
A U L AVamos resolver juntos dois problemas com variáveis inversamente
proporcionais.
PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1
Numa pequena fábrica de uniformes escolares, 12 costureiras fazem um
determinado serviço em 5 dias. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, em
quantos dias 15 costureiras farão o mesmo serviço?
12 5
15 x
Observe que, nessas condições, as variáveis (costureiras e dias) mantêm
entre si uma relação inversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcional. Isto se dá porque, se
aumentamos o número de costureiras, o tempo gasto será menor, pois o
serviço é o mesmo. Então:
12 . 5 = 15 . x
 60 = 15x
 x = 4
O que significa que o serviço poderá ser feito em 4 dias.4 dias.4 dias.4 dias.4 dias.
PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2
Para encher uma caixa d'água cuja capacidade é de 500 litros, uma torneira
leva 6 horas. Em quanto tempo duas torneiras iguais a essa encherão a mesma
caixa d'água?
500 l 1 6h
500 l 2 x
Como as variáveis (quantidade de torneiras e tempo) são grandezas inver-inver-inver-inver-inver-
samente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionais, temos:
1 . 6 = 2 . x
6 = 2x
x = 3
Ou seja, as duas torneiras juntas levarão 3 horas3 horas3 horas3 horas3 horas para encher a caixa d'água.
COSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRAS DIASDIASDIASDIASDIAS
CAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADE DADADADADA
CAIXACAIXACAIXACAIXACAIXA DDDDD''''' ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA
QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE
DEDEDEDEDE TORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTORNEIRAS TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
50
A U L AExercícios Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Verifique se as variáveis das tabelas abaixo são inversamente proporcio-
nais. Em caso afirmativo, dê o coeficiente de proporcionalidade:
a)a)a)a)a) xxxxx 5 20 40
yyyyy 8 2 1
b)b)b)b)b) aaaaa 90 80 60
bbbbb 10 20 40
c)c)c)c)c) yyyyy 8 5 4
xxxxx 10 16 20
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Para pintar um prédio, 5 pintores levam 40 dias. Em quanto tempo 10
pintores fazem o mesmo serviço?
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Uma torneira, despejando 10 litros de água por minuto, demora 3 horas
para encher um reservatório. Se ela despejar 20 litros por minuto, quanto
tempo levará para encher esse mesmo reservatório?
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Um ônibus, a uma velocidade constante de 80 km/h, faz uma viagem entre
duas cidades em 5 horas. Quanto tempo levará para fazer essa mesma
viagem à velocidade de 60 km/h?
Exercícios
51
A U L A
51
A U L A
Regra de três
Nossa aula
Num acampamento, há 48 pessoas e ali-
mento suficiente para um mês. Se 16 pessoas forem embora, para quantos dias
ainda haverá alimento?
Observe a seguinte situação:
l Uma pessoa paga pelo quilo de feijão R$ 1,20.
l Se comprar 2 quilos de feijão, pagará R$ 2,40.
l Se comprar 3 quilos, pagará R$ 3,60.
Quando a quantidade de feijão comprada aumenta de 1 para 2 quilos,
o preço aumenta na mesma razão, pois passa de R$ 1,20 para R$ 2,40.
Podemos, então, escrever que a razão de 1 para 2 é igual à razão de 1,20
para 2,40. Em linguagem matemática:
1
2
=
1,20
2,40
que se lê: 1 está para 2, assim como 1,20 está para 2,40.
Da mesma forma, quando o aumento é de 1 para 3 quilos, o preço aumenta
na mesma razão:
1
3
=
1,20
3,60
Como já foi visto na Aula 47, a igualdade entre duas razões é uma
proporção. O preço do feijão, no caso, é proporcionalproporcionalproporcionalproporcionalproporcional à quantidade de quilos
de feijão.
Para pensar
51
A U L A EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 km/h,
quantos quilômetros percorrerá em 2 horas?
Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:
A letra xxxxx representa o valor desconhecido do problema.
TempoTempoTempoTempoTempo e espaçoespaçoespaçoespaçoespaço são proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais, pois, quando o valor do tempo aumenta, o
valor do espaço percorrido aumenta na mesma razão, ou seja, de 1 para 2.
Dizemos que tempotempotempotempotempo e espaçoespaçoespaçoespaçoespaço são grandezasgrandezasgrandezasgrandezasgrandezas que variam da mesma forma
e na mesma razão. Se uma aumenta, a outra também aumenta; se uma
diminui, a outra também diminui.
Da tabela acima, podemos escrever a seguinte proporção:
1
2
=
80
x
 _ 1 está para 2, assim como 80 está para xxxxx.
Recordando a propriedade fundamental das proporções:
O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeirafração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-
dor da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador da
primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.
 Então: 1 . x = 2 . 80 (lembre-se que 1 . x = x)
x = 160
Portanto, o espaço percorrido pelo ônibus em 2 horas será de 160 km160 km160 km160 km160 km.
Nesse exemplo, três elementos eram conhecidos e faltava determinar o
quarto elemento.
Dois dos elementos conhecidos são medidas de uma mesma grandeza
(tempo) e o terceiro é medida de outra grandeza (espaço). O quarto
elemento, aquele que será calculado, é medida da segunda grandeza
(espaço).
O método usado para resolver problemas desse tipo é chamado rrrrregra de egra de egra de egra de egra de tttttrêsrêsrêsrêsrês.
No exemplo anterior, as grandezas tempo e espaço são diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-
cionaiscionaiscionaiscionaiscionais e a regra de três é diretadiretadiretadiretadireta.
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto tempo
levariam 4 pintores para fazer o mesmo serviço?
Veja a tabela e verifique se as grandezas são diretamente proporcionais:
2h x
TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO ESPAÇOESPAÇOESPAÇOESPAÇOESPAÇO
1h 80 km
4 x
PINTORESPINTORESPINTORESPINTORESPINTORES TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
2 18h
51
A U L ASe o número de pintores dobrar, passando de 2 para 4, será que o tempo
gasto no serviço também dobrará?
Pense um pouco e observe que o tempo gasto no serviço não pode aumentar,
pois são mais homens trabalhando. Aumentando o número de pintores, o
tempo de serviço deve diminuir. Como o número de pintores dobrou, o
tempo será reduzido à metade (razões inversasrazões inversasrazões inversasrazões inversasrazões inversas). Logo, os pintores gasta-
rão 9 horas para pintar a parede.
Nesse caso, dizemos que as duas grandezas do problema (número de
pintores e tempo de serviço) são grandezas inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais, e
a regra de três é inversainversainversainversainversa.
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Cinco operários constroem uma casa em 360 dias. Quantos dias serão
necessários para que 15 operários construam a mesma casa?
Aumentando-se o número de operários de 5 para 15, ou seja, triplicando-
se o número de operários, o que acontecerá com o número de dias
necessários para a construção da casa?
Da mesma forma que no exemplo anterior, essas grandezas são inversamen-inversamen-inversamen-inversamen-inversamen-
te proporcionaiste proporcionaiste proporcionaiste proporcionaiste proporcionais. Isso quer dizer que variam na razão inversarazão inversarazão inversarazão inversarazão inversa, e a razão
inversa de 3 é 1
3
. Então:
1
3
 de 360 = 360 : 3 = 120
Portanto, os 15 operários construirão a casa em 120 dias120 dias120 dias120 dias120 dias.
Vimos que, para resolver problemas de regra de três, é importante
determinar se as grandezas envolvidas no problema são diretadiretadiretadiretadireta ou
inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais.
Quando as grandezas são inversamente proporcionais, a proporção entre
os valores não é representada por uma mesma razão mas sim por razões
inversas.
Portanto, no caso de grandezas inversamente proporcionais, deve-se inver-
ter uma das razões para escrever a proporção relativa ao problema.
EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Um ônibus, em velocidade média de 80 km/h, leva 5 horas para percorrer
uma estrada. Quanto tempo gastará para percorrer a mesma estrada se
desenvolver velocidade média de 100 km/h?
15 x
OPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOS DIASDIASDIASDIASDIAS
5 360
15 x
VELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADE MÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIA
(km/h(km/h(km/h(km/h(km/h)))))
5 360
TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
(h)(h)(h)(h)(h)
51
A U L A As grandezas tempo e velocidade são direta ou inversamente proporcionais?
Desenvolvendo maior velocidade média, o ônibus gastará menos tempo
para percorrer a estrada.
As grandezas envolvidas são, portanto, inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais.
Assim, escreveremos a proporção invertendo umas das razões:
5
x
=
100
80
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
100 . x = 5 . 80
100x = 400
x =
400
100
x = 4
Desenvolvendo velocidade média de 100 km/h, o ônibus levará 44444
hhhhhorasorasorasorasoras para percorrer a estrada.
Aplicações da regra de três
Cálculo da taxa de porcentagem
EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5
Depositando-se R$ 600,00 numa caderneta de poupança, ao final do mês
obtêm-se R$ 621,00. Calcule a taxa de porcentagem do rendimento.
l R$ 600,00 é a quantia principalquantia principalquantia principalquantia principalquantia principal, também chamada apenas de principalprincipalprincipalprincipalprincipal.
l R$ 21,00 é o rendimentorendimentorendimentorendimentorendimento, que foi obtido subtraindo-se 600 de 621.
l Devemos calcular a taxataxataxataxataxa, ou seja, “quantos por cento” correspondem ao
rendimento obtido, R$ 21,00.
Vamos escrever a regra de três observando que, se a taxa de porcenta-
gem do rendimento fosse de 100%, então o rendimento seria igual ao
principal (R$ 600,00). A taxa xxxxx%, procurada, corresponde ao rendimento
obtido (R$ 21,00).
Neste caso, a regra de três é diretadiretadiretadiretadireta, pois, aumentando-se o rendimento, a
taxa correspondente também aumentará. Logo:
=
600 . x = 21 . 100
600 x = 2.100
2.100
600
 = 3,5
A taxa de rendimento é de 3,5%3,5%3,5%3,5%3,5%.
100
x
600
21
21,00 x
RRRRR$$$$$ %%%%%
600,00 100
51
A U L AEXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6
Ao vender um imóvel, um corretor ganhou de comissão 5% do valor da
venda, recebendo R$ 2.500,00. Qual foi o valor da venda?
Vamos organizar os dados:
l R$ 2.500,00 é o valor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagem;
l 5% é a taxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagem;
l xxxxx é o valor da venda valor da venda valor da venda valor da venda valor da venda do imóvel.
5 . x = 2.500 . 100
5 x = 250.000
x =
250.000
5
 = 50.000
O preço de venda do imóvel foi de R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00.
Cálculo de juro
EXEMPLO 7EXEMPLO 7EXEMPLO 7EXEMPLO 7EXEMPLO 7
Pedi um empréstimo de R$ 10.000,00 a um banco, que me cobrará 8% de
juro mensal. Quanto pagarei de juro?
l R$ 10.000,00 é o capitalcapitalcapitalcapitalcapital;
l 8% é a taxa de jurotaxa de jurotaxa de jurotaxa de jurotaxa de juro;
Juro Juro Juro Juro Juro é a quantia que pagarei mensalmente em troca do empréstimo.
Novamente vamos resolver o problema por uma regra de três diretaregra de três diretaregra de três diretaregra de três diretaregra de três direta, pois
a taxa e o juro variam da mesma forma.
10.000
x
=
100
8
100 . x = 8 . 10.000
100 x = 80.000
x =
80.000
100
 = 800
Pagarei de juro pelo empréstimo R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00 por mês.
2.500,00 5
RRRRR$$$$$ %%%%%
x 100
x 8
RRRRR$$$$$ %%%%%
10.000,00 100
51
A U L A Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Em quanto tempo (em minutos)
3 torneiras iguais à primeira encherão o mesmo tanque?
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício2
Se 16 operários levam 3 dias para completar uma obra, quantos operários
seriam necessários para completar essa obra em 2 dias?
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Qual é a altura de um edifício cuja sombra tem 6 m no mesmo instante em
que um poste de 2 m de altura projeta uma sombra de 0,6 m?
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Trabalhando durante 40 minutos, uma máquina produz 100 peças. Quantas
peças essa máquina produzirá em 2 horas?
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Para percorrer 360 km de uma estrada, um automóvel consome 30 l de
gasolina. Para percorrer 450 km, quanto consumirá?
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Numa classe de 40 alunos, 18 são meninas. Qual é a taxa de porcentagem das
meninas dessa classe?
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Gastei 30% do meu salário comprando um vestido. Calcule meu salário
sabendo que paguei R$ 60,00 pelo vestido.
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8
Quando se aplicam R$ 2.000,00 à taxa de 12% ao ano, qual será a quantia
recebida após 5 anos?
Exercícios
52
A U L A
52
A U L A
Introdução à álgebra
Para pensarl Na figura abaixo, a balança está em equilíbrio e as três melancias têm o
mesmo peso. Nessas condições, qual é o peso (em kg) de cada melancia?
l Uma barra de rapadura pesa 1 kg mais meia barra de rapadura. Quanto pesa
a barra de rapadura?
l Hoje, Isabel tem 40 anos e seu filho André tem 8 anos. Daqui a quantos anos
a idade de André será igual à metade da idade da mãe?
Na Aula 44 você viu que, em linguagem matemática, podemos representar
um número, uma quantidade ou até mesmo uma frase, usando letras. Na aula
de hoje, vamos aprofundar um pouco mais esse assunto, estudando uma parte
da Matemática chamada álgebraálgebraálgebraálgebraálgebra. A álgebra se caracteriza fundamentalmen-
te pelo uso de letras e é uma ferramenta poderosa na solução de muitos
problemas.
Vamos começar com um exemplo bem simples.
8
kg 3kg
8
kg
Nossa aula
52
A U L A EXEMPLO 1 EXEMPLO 1 EXEMPLO 1 EXEMPLO 1 EXEMPLO 1
A soma de dois números consecutivos é 13. Quais são esses números?
Este é um problema com quantidades pequenas. Por isso, é possível
calcular mentalmente que os números são 6 e 7.
Mas, como na vida real nós nem sempre trabalhamos com quantidades
pequenas, vamos aprender a equacionar e a resolver problemas como esse.
Primeiro, vamos equacionar o problema:
l dois números consecutivos _ xxxxx e xxxxx + 1+ 1+ 1+ 1+ 1
l sua soma é 13 _ xxxxx + (x + 1x + 1x + 1x + 1x + 1) = 13
Agora, vamos resolver a equação:
x + (x + 1) = 13
x + x + 1 = 13
2x + 1 = 13
2x + 1 - 1 = 13 - 1
2x + 0 = 12
2x = 12
2x
2
=
12
2
x = 6
Então, x = 6 e x + 1 = 7. Ou seja, os números procurados são 66666 e 77777.
O que é uma equação?
Um dos significados apresentados pelo dicionário para a palavra equa- equa- equa- equa- equa-
çãoçãoçãoçãoção é este: “qualquer igualdadeigualdadeigualdadeigualdadeigualdade entre seres matemáticos que só é satisfeita
para alguns valores”.
De um modo mais simples, podemos dizer que toda equação tem:
l uma letra que indica um número desconhecido;
l um sinal de igualdade (=).
A letra é a incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita da equação. Por exemplo: na equação 22222xxxxx + 5 = 21 + 5 = 21 + 5 = 21 + 5 = 21 + 5 = 21,
a letra xxxxx é a incógnita, isto é, o termo desconhecido.
A palavra incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita significa desconhecida e a palavra equação equação equação equação equação significa
igualdade (o prefixo -equa-equa-equa-equa-equa, em latim, quer dizer igual).
Numa equação, a expressão que fica à esquerda do sinal de igual é chamada
de 11111º membro membro membro membro membro e a que fica à direita é chamada de 22222º membro membro membro membro membro.
 2x + 5 = 21
1º membro 2º membro
Eliminando os parênteses e
juntando os termos semelhantes.
Subtraindo 1 dos dois membros.
Dividindo os dois membros por 2.
{ {
52
A U L AResolver uma equação sem perder o equilíbrio
Podemos comparar uma equação a uma balança em equilíbrio.
Isso significa que os dois pratos devem estar em equilíbrio. Se alguma coisa
for acrescentada a um dos pratos, um peso igual deve ser acrescentado ao outro
prato, para não se perder o equilíbrio. E o mesmo deve ser feito quando alguma
coisa é retirada de um dos pratos.
Na balança da figura anterior, as 2 abóboras mais um peso de 2 kg somam
um peso igual a 10 kg. Isso pode ser escrito da seguinte maneira:
 2x + 2 = 10,
onde xxxxx é a incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita que representa o peso de cada abóbora.
Retirando o peso de 2 kg de um dos pratos,
temos que retirar um peso igual do outro
prato, que ficará com 8 kg.
Substituindo o peso de 8 kg por dois de 4 kg,
podemos perceber que cada abóbora pesa
4 kg.
Portanto, x = 4.
82x
2x + 44
x 4
1022x +
1022kg
10
kg
52
A U L A
Traduzindo para a linguagem matemática, fica assim:
2x + 2 = 10
2x + 2 - 2 = 10 - 2
0
2x = 8
2x
2
=
8
2
x = 4
Uma das etapas na solução de um problema é verificar se a resposta
encontrada está correta. Para isso, devemos substituir na equação o valor
encontrado, no caso x = 4.
2 x + 2 = 10
2 . 4 + 2 = 10
 8 + 2 = 10
10 = 10
A palavra á lgebraálgebraálgebraálgebraálgebra tem origem na palavra árabe al-jabral-jabral-jabral-jabral-jabr (às vezes também
escrita como al-gebral-gebral-gebral-gebral-gebr), título de um livro escrito em Bagdá, por volta do ano 825,
pelo matemático árabe Mohammed Al-Khowarizmi: Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-
ções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalah.
O termo al-jabral-jabral-jabral-jabral-jabr significa restauraçãorestauraçãorestauraçãorestauraçãorestauração e refere-se à transposição de termos
para o outro lado da equação:
6x = 2x + 8
 6x - 2x = 8
O termo qabalahqabalahqabalahqabalahqabalah significa equilíbrioequilíbrioequilíbrioequilíbrioequilíbrio e refere-se à redução de termos
semelhantes:
6x - 2x = 8
4x = 8
x = 8 : 4
x = 2
Al-Khowarizmi resolvia as equações de modo semelhante a nós. A diferen-
ça é que tudo era expresso em palavras.
O primeiro matemático a escrever as equações usando letras, por volta de
1590, foi François Viète. Por isso, ele é chamado de “Pai da Álgebra”.
A partir de então, as equações passaram a ser interpretadas como as
entendemos hoje:
Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.
Subtraindo 2 dos dois membros.
Dividindo por 2 os dois membros.
Um pouco de
História
Subtraindo 2x dos dois membros.
52
A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
A soma de dois números consecutivos é 1.349. Quais são esses números?
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Resolva as equações:
a)a)a)a)a) 4x + 2 = 14
b)b)b)b)b) 4(x - 2) = 3 (x - 1)
c)c)c)c)c)
x
2
 - 1 = 6
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Uma caneta custa R$ 1,00 a mais que um lápis. Comprei 2 canetas e 4 lápis
e gastei R$ 3,20.
a)a)a)a)a) Escreva uma equação que solucione o problema.
b)b)b)b)b) Qual o valor de cada caneta?
c)c)c)c)c) Qual o valor de cada lápis?
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Somando 6 ao triplo de um número, o resultado é 42. Qual é esse número?
Exercícios
53
A U L A
53
A U L A
Calculando áreas
Para pensar l Imagine que você vá revestir o piso de sua sala com lajotas. Para saber a
quantidade de lajotas necessária, o que é preciso conhecer: a área ou o
perímetro da sala?
l Foram feitos 8 furos iguais em duas placas de madeira. As placas são de
mesmo tamanho e mesma espessura, como indica a figura:
Após terem sido furadas, qual delas possui maior área?
l Quantos quadradinhosde 1 centímetro (1cm) de lado serão necessários para
cobrir um quadrado de 1 metro quadrado (1m2) de área?
Leia com atenção o texto seguinte, que foi extraído do Jornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do Telecurso
11111º Grau - Matemática, 3 Grau - Matemática, 3 Grau - Matemática, 3 Grau - Matemática, 3 Grau - Matemática, 3ª fase fase fase fase fase (Fundação Roberto Marinho, Editora Globo, 1981).
Calculando áreasCalculando áreasCalculando áreasCalculando áreasCalculando áreas
Existem muitas situações práticas que envolvem o cálculo de áreas, como
veremos nos exemplos a seguir.
Um azulejista, ao ser chamado para executar um serviço, começará seu
trabalho calculando a área das paredes que vão ser revestidas. Depois, ele vai
comprar o material e, quando pedir os azulejos, o balconista certamente lhe
perguntará quantos metros quadrados ele deseja. Assim, calculando a área das
paredes, e das portas e janelas, o azulejista poderá pedir a quantidade certa de
azulejos, evitando a falta ou o desperdício de material.
Nossa aula
53
A U L AUma vez elaborado o projeto de uma casa, é necessário preparar seu
orçamento. É preciso saber, por exemplo, qual a quantidade de tijolos a ser usada
na obra. Para isso, devemos saber quantos metros quadrados de parede a casa
terá. Esse cálculo é necessário não apenas para saber a quantidade de material
que se deve comprar, mas também para avaliar o custo da mão-de-obra que vai
ser utilizada.
As caldeiras industriais são fabricadas com chapas de aço. Quando são
projetadas, é preciso calcular a área das chapas que vão ser usadas na sua
construção. Esse cálculo serve para fazer o orçamento do custo da caldeira e,
também, para prever o peso que ela terá.
Os garotos da rua acertaram a bola numa vidraça, e vão ter de comprar uma
nova. Você já foi ao vidraceiro comprar um pedaço de vidro? Quando damos as
medidas do vidro que queremos, o vidraceiro faz alguns cálculos e diz o preço
a pagar. Você sabe o que ele está calculando? Se não sabe, tente descobrir o que
ele calcula.
Esses são alguns dos exemplos que mostram que o cálculo de áreas faz parte
do dia-a-dia de muitos profissionais.
O que é área de uma superfície?
Medir uma superfície é compará-la com outra, tomada como unidade.
O resultado da comparação é um número positivo, ao qual chamamos de áreaáreaáreaáreaárea.
Como não existe instrumento para medir a área de uma superfície, compa-
ramos sua área com a área de uma figura mais simples, como o retângulo ou o
quadrado.
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Deseja-se forrar uma parede de 3 m ́ 5 m com quadrados de cortiça de 1 m
de lado. Quantos quadrados de cortiça serão necessários?
Para resolver esse problema, é preciso calcu-
lar a área da parede, que tem a forma de um
retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo e a área do pedaço de cortiça, que
tem a forma de um quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado.
Área do retângulo = comprimento · largura
= 3 m · 5 m = 15 m2
Área do quadrado = lado · lado
= 1 m · 1 m = 1 m2
Como cada quadrado tem 1 m2 de área, serão necessários 15 pedaços de 15 pedaços de 15 pedaços de 15 pedaços de 15 pedaços de
cortiçacortiçacortiçacortiçacortiça para forrar a parede.
53
A U L A Unidade de área
Na Aula 15, estudamos unidades específicas para cada figura a ser medida.
No quadro abaixo, vamos recordar as unidades de área mais usuais.
l MetroMetroMetroMetroMetro quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado (m(m(m(m(m22222))))): é a superfície de um quadrado de 1 metro (1 m) de lado.
l QQQQQuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (km22222))))): é a superfície de um quadrado de 1 quilômetro
(1 km) de lado.
l CentímetroCentímetroCentímetroCentímetroCentímetro quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado (cm(cm(cm(cm(cm22222))))): é a superfície de um quadrado de 1 centímetro
(1 cm) de lado.
Existem ainda: o hectômetro quadrado (hmhmhmhmhm22222), o decâmetro quadrado (damdamdamdamdam22222),
o decímetro quadrado (dmdmdmdmdm22222) e o milímetro quadrado (mmmmmmmmmm22222).
Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: No Brasil, costuma-se usar o hectarehectarehectarehectarehectare (ha) ou o alqueirealqueirealqueirealqueirealqueire para
medir grandes extensões de terra. Lembre que:
l 1 hectare (ha) = 10.000 m2 (um quadrado cujos lados medem 100 metros).
l O alqueire alqueire alqueire alqueire alqueire não é uma medida uniforme para todo o país. Existem: o alqueire
paulista; o alqueire do norte; o alqueire mineiro.
Mudando de unidade
Quantos centímetros quadrados cabem em um quadrado de 1 metro de lado?
Observe que 1 m = 100 cm, logo, a área desse quadrado é:
100 cm · 100 cm = 10.000 cm2
Portanto, concluímos que: em um quadrado de 1 m2 de área, cabem 10.000
quadradinhos de 1 cm2 de área, isto é, quadradinhos de 1 cm de lado.
Agora, é sua vez! Quantos quadrados de 1 m de lado são necessários para
cobrir um quadrado de 1 km2 de área?
1 m
1 
m
1 cm
2
1 m
1 
m1 m2
1 m
1 m
53
A U L AÁreas de figuras geométricas planas
Área do quadrado
Considere um quadrado qualquer. Usando a álgebra para representar a
medida do lado desse quadrado, vamos chamá-lo por aaaaa.
A área desse quadrado é:
 A = a A = a A = a A = a A = a ´ aaaaa = aaaaa2
Área do retângulo
Considere um retângulo qualquer, de dimensões aaaaa e bbbbb.
A área do retângulo é o produto da medida da base pela altura.
Então:
AAAAA = bbbbb ´ aaaaa
Área do paralelogramo
Observe as figuras abaixo. Podemos “cortar” um pedaço do paralelogramo
e encaixá-lo do outro lado, transformando o paralelogramo num retângulo:
A área do paralelogramo é, assim, igual à área do retângulo obtido, ou seja,
ao produto das medidas da base pela altura:
AAAAA = bbbbb ´ hhhhh
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: a altura do paralelogramo é a distância de uma base a outra;
portanto, é perpendicular à base.
Área do losango
O losango é uma figura geométrica de lados iguais e diagonais perpendiculares.
AB = diagonal maior
CD = diagonal menor
b
h
base (b)
altura (h)
a
base (b)
base (b)
altura (h)
b
h
B
A
C D
al
tu
ra
 (
a)
53
A U L A Podemos construir um retângulo de tal forma que o losango fique inscrito
nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do losango é metademetademetademetademetade da área
do retângulo, sendo determinada em função de suas diagonais:
 Diagonal maior ´ diagonal menor
 2
 ou, em linguagem algébrica:
 A = A = A = A = A = 
D ´ d
2
Área do trapézio
O trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados bases bases bases bases bases:
Construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de “cabeça
para baixo” em relação ao outro.
A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio.
Dessa forma, a área do trapézio é:
Área do trapézio = 
(base maior + base menor) ´ altura
2
 = 
B + bα φ́ h
2
B b
b B
al
tu
ra
( )
diagonal
menor
di
ag
on
al
m
ai
or
diagonal
menor
base menor (b)
base maior (B)
b B
B b
al
tu
ra
di
ag
on
al
m
ai
or
53
A U L AEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 100 m na base
maior e 40 m de altura. Qual a área desse terreno?
Logo, a área do terreno é de 3.500 m3.500 m3.500 m3.500 m3.500 m22222.
Área do triângulo
Usaremos um raciocínio semelhante ao que usamos para determinar a área
do trapézio. Assim, construímos dois triângulos iguais:
Encaixando-os, como na figura da esquerda, obtemos um paralelogramo
cuja área é o dobro da área do triângulo. Como a área do paralelogramo é
determinada pelo produto da base pela altura, a área do triângulo é igual à área
do paralelogramo dividida por dois.
Área do triângulo = base ´ altura
2
 = b ´ h
2
Se o triângulo for retângulo, a área podeser calculada multiplicando-se os
catetos e dividindo o resultado por 2, pois, nesse caso, um cateto corresponde à
base (bbbbb) e o outro à altura (hhhhh).
A =A =A =A =A = b b 
 b b b ´ h h h h h
 2 2 2 2 2
75 m
100 m
40 m
Área =
(75 + 100)×40
2
 =
=
175×40
2
 =
= 175 . 20 = 3.500
20
1
altura (h)
base (b)
100 m
40 m
75 m
base (b)
altura (h)
b
a
53
A U L A Decompondo figuras planas
Muitas vezes nos deparamos com “figuras estranhas”, que não são nem
triângulos, nem trapézios, nem nenhuma dessas figuras cujas áreas sabemos
determinar. E aí, o que fazer? Nesses casos, podemos usar uma técnica muito
simples: decompor a “figura estranha” em outras de formatos conhecidos, cujas
áreas são mais fáceis de serem obtidas. Veja o exemplo seguinte.
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Calcule a área da figura:
Podemos decompor essa figura da seguinte maneira:
Calculamos, então, a área de cada uma das figuras:
(1)(1)(1)(1)(1) é um trapézio de área: (3 + 4, 5)×1,5
2
= 5,625m2
(2)(2)(2)(2)(2) é um paralelogramo de área: 4,5 . 2,5 = 11,25 cm2
(3)(3)(3)(3)(3) é um triângulo de área:
4, 5×3
2
= 6,75m2
Somando os três resultados, temos a área da figura dada:
5,625 + 11,25 + 6,75 = 23,625
Assim, a área da figura é 23,625 cm 23,625 cm 23,625 cm 23,625 cm 23,625 cm22222 .
4,
5 
cm
3 cm2,5 cm1,5 cm
3 
cm
4,
5 
cm
2
3
1
53
A U L ACálculo aproximado de áreas
Existem figuras planas cujas áreas são obtidas por cálculos aproximados.
EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Esta figura representa a planta de um terreno, na qual cada cm2 corresponde
a 1 km2 no real. Qual é a área do terreno?
Quadriculamos a figura tomando, por exemplo, o centímetro quadrado
como unidade de área:
Contando os quadradinhos internos e os que cobrem a figura, temos:
Figura A (quadradinhos internos) = 43 cm2
Figura B (quadradinhos que cobrem a figura) = 80 cm2
A área da figura, portanto, está entre 43 cm2 e 80 cm2 .
Figura B
Figura A
53
A U L A Aproximamos os valores encontrados por meio de média aritmética:
43 + 80
2
= 61, 5cm2
A área da figura é, portanto, 61,5 cm61,5 cm61,5 cm61,5 cm61,5 cm22222.
Como cada cm2 corresponde a 1 km2, na realidade o terreno têm uma área de,
aproximadamente, 61,5 km61,5 km61,5 km61,5 km61,5 km22222.
ObObObObObservação:servação:servação:servação:servação: Se usarmos uma unidade de área menor, como por exemplo o
milímetro quadrado (mm2), o resultado obtido será mais preciso.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Com a ajuda de uma régua, meça os comprimentos necessários e determine
a área das figuras.
a)a)a)a)a) b) b) b) b) b)
 c)c)c)c)c)
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Dê o significado de:
a)a)a)a)a) 1 m2 b) b) b) b) b) 1 km2
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Calcule a área da capa de seu livro de Matemática do Telecurso 2000.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Calcule a área do banheiro de sua casa.
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Uma cozinha tem formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões:
Deseja-se azulejar as paredes dessa cozinha até o teto.
Quantos azulejos devemos comprar, se os azulejos são quadrados de 15 cm
de lado?
Exercícios
h
3 m
3,5 m
4 m
h
4 m
3,5 m
3 m
53
A U L AExercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Pedro desenhou 2 retas paralelas. Em uma marcou o segmento AB e em outra
marcou os pontos C, D, E e F, como mostra a figura:
Em seguida ligou alguns pontos formando os triângulos CAB, DAB, EAB e
FAB. Analisando esses triângulos, Pedro descobriu um “segredo” sobre
suas áreas.
Qual foi o “segredo” descoberto por Pedro?
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Calcule a área da figura:
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8
Quantos metros quadrados de papel são necessários para forrar uma caixa
fechada, no formato de um cubo de 20 centímetros de aresta?
Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9
Considerando o quadradinho como unidade de área (u), determine o valor
aproximado da área da figura:
A B
C D E F
4 cm
4 cm
1 
cm
1 
cm
3 cm
2 
cm
u
4 cm
2 
cm
1 
cm
1 
cm
4 cm 3 cm
54
A U L A
54
A U L A
Potências e raízes
Para pensar Num determinado jogo de fichas, os valo-
res dessas fichas são os seguintes:
l 1 ficha vermelha vale 5 azuis;
l 1 ficha azul vale 5 brancas;
l 1 ficha branca vale 5 pretas;
l 1 ficha preta vale 5 verdes.
Responda às perguntas, dando o resultado em forma de potência:
a)a)a)a)a) Uma ficha vermelha pode ser trocada por quantas fichas brancas?
b)b)b)b)b) E por quantas fichas pretas?
c)c)c)c)c) E por quantas fichas verdes?
Potenciação
Na Aula 4 do Volume 1, adotamos cubos para aprender a agrupar e fazer
contagens de um modo mais simples. Você se lembra das nossas figuras? Veja:
Nossa aula
54
A U L A
{
Quantos cubos há em:
l uma barra?
l uma placa?
l um bloco?
Para responder a essas perguntas, efetuamos as seguintes multiplicações:
1 barra = 10 cubinhos
1 placa = 10 · 10 = 100 cubinhos
1 bloco = 10 · 10 · 10 = 1.000 cubinhos
Esse tipo de multiplicação, em que os fatores são todos iguais, chama-se
potenciaçãopotenciaçãopotenciaçãopotenciaçãopotenciação, e pode ser indicada da seguinte maneira:
10 · 10 = 10²
10 · 10 · 10 = 10³
l O número que é multiplicado várias vezes por ele mesmo é chamado de
basebasebasebasebase (no exemplo acima, é o número 10).
l O número que indica quantas vezes a base está sendo multiplicada é o
expoente expoente expoente expoente expoente (no exemplo acima, são os números 2 e 3).
l O resultado da potenciação é chamado de potênciapotênciapotênciapotênciapotência.
Por exemplo:
1)1)1)1)1) 4³ = 4 · 4 · 4 = 64, que se lê: 4 elevado à 3ª potência ou
4 à terceira ou ainda 4 ao cubo
2)2)2)2)2) 5² = 5 · 5 = 25, que se lê: 5 elevado à 2ª potência ou
5 à segunda ou ainda 5 ao quadrado
3)3)3)3)3) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, que se lê: 2 elevado à 5ª potência ou
2 à quinta
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação
Os únicos casos de potenciação que têm nomes especiais são o de
expoente 2 (que se lê ao quadradoao quadradoao quadradoao quadradoao quadrado) e o de expoente 3 (que se lê ao cuboao cuboao cuboao cuboao cubo).
2 vezes
{
3 vezes
54
A U L A
5 zeros
{
{
2 zeros
Casos especiais da potenciação
1.1.1.1.1. A base é igual a 1 e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é sempre igual a 1.
Por exemplo: 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
2.2.2.2.2. O expoente é igual a 1 e a base é qualquer número:
a potência é sempre igual à base.
Por exemplo: 31 = 3
3.3.3.3.3. A base é zero e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é sempre igual a zero.
Por exemplo: 0³ = 0 · 0 · 0 = 0
4.4.4.4.4. A base é 10 e o expoente é qualquer número diferente de zero:
a potência é um número que começa com 1 e tem um número de zeros
igual ao expoente.
Por exemplo: 10² = 10 · 10 = 100
105 = 100.000
5.5.5.5.5. A base é um número qualquer diferente de zero e o expoente é zero:
a potência, por convenção, é sempre igual a 1.
 Observe:
34 = 81
¸ 3
3³ = 27
¸ 3
3² = 9
¸ 3
31 = 3
¸ 3
30 = 1
54
A U L A
 NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO
QUADRADOQUADRADOQUADRADOQUADRADOQUADRADO
Radiciação
Vejamos agora a operação inversa da potenciação, a radiciaçãoradiciaçãoradiciaçãoradiciaçãoradiciação.
Considere a pergunta: qual é o número que elevado ao quadrado dá 81?
Você sabe que 9 . 9 = 81.
Então: 9² = 81 e 81 9= , que se lê: a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9.
l o sinal é o radical radical radical radical radical;
l 81 é o radicandoradicandoradicandoradicandoradicando;
l 9 é a raiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadrada de 81.
Organizamos uma tabela de quadrados para facilitar adeterminação da raiz
quadrada. Veja:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...
Veja que, na 2ª linha (a dos quadrados) não aparecem todos os números. Os
números que não aparecem não são quadrados e, por isso, não possuem raiz
quadrada natural. Por exemplo: 2 não tem raiz quadrada natural.
Vejamos agora a inversa do cubo (3ª potência).
Qual é o número que elevado ao cubo dá 27?
Vejamos uma tabela de cubos:
0 1 2 3 4 5 6 7 ...
0 1 8 27 64 125 216 343 ...
Assim, podemos responder à pergunta:
33 = 27 e 273 = 3 que se lê: a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3.
l a raiz cúbica é a inversa do cubo;
l o sinal 3 é o radicalradicalradicalradicalradical e o 3 é o índiceíndiceíndiceíndiceíndice.
Assim como no quadrado, podemos observar que nem todo número natural
possui raiz cúbica natural. Por exemplo: 93 não tem raiz cúbica natural.
CuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidades
1.1.1.1.1. De onde surgiu a expressão ao quadradoao quadradoao quadradoao quadradoao quadrado para expressar um número
elevado à 2ª potência? Por exemplo 3².
Os nove pontos formam um quadrado de lado
com 3 pontos.
Por isso, dizemos que 9 é o quadrado de 3.
2.2.2.2.2. De onde surgiu a expressão ao cuboao cuboao cuboao cuboao cubo para expressar um número
elevado à 3ª potência? Por exemplo 2³.
Na figura, estão marcados 8 pontos que formam um
cubo de lado com 2 pontos.
Por isso, dizemos que 8 é o cubo de 2.
 NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO
CUBOCUBOCUBOCUBOCUBO
54
A U L AExercícios
(*) O Exercício 2 foi extraído do livro Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5ª série série série série série, de
Jakubo e Lellis, Editora Scipione, São Paulo.
o quadrado de 5
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Escreva e calcule:
a) a) a) a) a) treze ao quadrado;
b)b)b)b)b) quatro ao cubo.
Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *
Com 25 pontos é possível formar um quadrado, assim:
l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
Se for possível, forme um quadrado desse tipo com:
a)a)a)a)a) 9 pontos b)b)b)b)b) 10 pontos c) c) c) c) c) 16 pontos
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Calcule:
a)a)a)a)a) 81 b)b)b)b)b) 120 c)c)c)c)c) 80 d)d)d)d)d) 014 e)e)e)e)e) 1010
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Calcule:
a)a)a)a)a) 49 b)b)b)b)b) 64 c)c)c)c)c) 1 d)d)d)d)d) 100 e)e)e)e)e) 36
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Calcule:
a)a)a)a)a) 83 b) b) b) b) b) 13 c)c)c)c)c) 1.0003 d) d) d) d) d) 643 e)e)e)e)e) 03
55
A U L A
O Teorema de
Pitágoras
55
A U L A
Para pensarl Com ajuda de um par de esquadros, desenhe dois triângulos retângulos de
mesmo tamanho. Represente num deles a altura relativa à hipotenusa,
como mostra a figura da direita:
Recortando os triângulos IIIIIIIIII e IIIIIIIIIIIIIII, você terá três triângulos.
Esses triângulos são semelhantes entre si? Por quê?
l Reproduza a figura abaixo, se possível ampliando-a.
l Recortando nas linhas tracejadas, separe as cinco peças numeradas.
Encaixe as peças 1 1 1 1 1, 22222, 33333, 44444 e 55555 no quadrado-base, de forma que, juntas,
preencham-no completamente.
A área do quadrado-base é igual à soma das áreas das cinco peças?
I II III
quadrado-base
1
 2
 3
 4
5
55
A U L A Desde épocas muito remotas, quando começou a erguer casas para se
abrigar, o homem sentiu a necessidade de “construir” ângulos retos para
verificar se as paredes estavam “no esquadro”, isto é, perpendiculares ao chão.
Atualmente há instrumentos apropriados para isso, mas não foi sempre assim.
Veremos o que a geometria tem a ver com tudo isso.
A geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antiga
O triângulo de lados 3, 4 e 5 é utilizado há muitos séculos pelos
construtores. Talvez você já tenha ouvido falar das famosas pirâmides egíp-
cias: são enormes monumentos de pedra construídos há muitos séculos.
A maior dessas pirâmides, conhecida como Grande Pirâmide ou Pirâmide
de Quéops, foi construída há cerca de 4.500 anos. Sua base é um enorme
quadrado, cujo lado mede aproximadamente 230 m, dentro do qual caberiam
quatro quarteirões. Sua altura, que é de 146 m, equivale à altura de um prédio
de 50 andares.
Os pesquisadores impressionaram-se com o alto grau de precisão dessas
construções. A base da Grande Pirâmide é quase um quadrado perfeito: as
diferenças entre as medidas de seus lados são muito pequenas e seus ângulos
são todos praticamente iguais a 90º. Tais fatos nos levam a crer que os egípcios
desenvolveram grandes conhecimentos de geometria. Os diversos documentos
escritos naquela época revelam que, por exemplo, o triângulo de lados 3, 4 e
5 já era conhecido dos arquitetos e construtores egípcios. Diz a História que os
construtores usavam uma corda, na qual davam nós a intervalos de igual
distância, formando com ela esse tipo de triângulo.
Os arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retos
usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.
Texto extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau. Fundação Roberto Marinho, Ministé-
rio da Educação e Cultura, Fundação da Universidade de Brasília, 1989.
Nossa aula
55
A U L AO triângulo retângulo
Um triângulo que têm um ângulo de 90º (ângulo reto) é chamado de
triângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulo. Nele, os lados recebem os seguintes nomes:
A hipotenusa é o maior dos lados e é o lado oposto ao ângulo reto.
CuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidade
Hipotenusa era o nome dado às cordas do
instrumento musical chamado lira. Essas
cordas formavam triângulos retângulos
com os lados do instrumento.
A lira, assim como a harpa, são os mais
antigos instrumentos de corda. Na
Grécia, a invenção da lira era atribuída a
Apolo, deus da mitologia grega.
Pitágoras e o triângulo retângulo
Quando falamos em triângulo retângulo, lembramos imediatamente de
Pitágoras, o grande matemático que nasceu na Grécia Antiga, por volta do
ano 550 a.C. Acredita-se que ele tenha obtido conhecimentos geométricos com
agrimensores egípcios, que já usavam o triângulo de lados 3, 4 e 5.
Pitágoras percebeu que, construindo um quadrado sobre cada um dos
lados de um triângulo de lados 3u3u3u3u3u, 4u4u4u4u4u e 5u5u5u5u5u (sendo uuuuu uma unidade qualquer),
como mostra a figura acima, apareceria a seguinte relação:
A área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual à
soma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetos.
No exemplo acima, você poderá observar que: 25 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 16.
cateto
cateto
hipotenusa
3 cm
4 cm
5 cm
55
A U L A
 I II III IV
O Teorema de Pitágoras
Para Pitágoras, não bastava que essa relação fosse válida para o triângulo
de lados 3, 4 e 5. Era preciso provar quea relação valia, também, para todos todos todos todos todos os
triângulos retângulos.
Ao construir algumas figuras com papel, acompanhamos melhor esse
raciocínio:
1.1.1.1.1. Recorte quatro triângulos retângulos iguais.
2.2.2.2.2. Recorte um quadrado de tal forma que seu lado seja igual à soma das
medidas dos catetos de um dos triângulos.
3.3.3.3.3. Agora, monte a figura abaixo, sobrepondo os triângulos e o quadrado já
recortados:
Observe que o quadrado ao centro da figura tem lado aaaaa, portanto, sua área
é igual a aaaaa²² ² ² ² ² .
a
b
 c
 b + c
a2
I II
 III IV
a
b
 c
55
A U L A4.4.4.4.4. Movimente os triângulos e forme esta outra figura:
Os dois quadrados têm lados bbbbb e ccccc. Portanto, suas áreas são bbbbb² e ccccc²² ² ² ² ² .
ConclusãoConclusãoConclusãoConclusãoConclusão
Como o quadrado grande (de lado b + c) é o mesmo nos dois casos,
podemos concluir que o quadrado de área aaaaa²²²²²² é igual ao quadrado
de área bbbbb²²²²²² somado ao quadrado de área c ²c ²c ²c ²c ², ou seja:
 a a a a a²= b= b= b= b= b² + c + c + c + c + c²²²²²²
Assim, deduzimos o Teorema de Pitágoras:
Num triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.catetos.catetos.catetos.catetos.
Usando a semelhança de triângulos, podemos demonstrar o Teorema de
Pitágoras de outra maneira, bem como aprender outras relações métricas
entre os lados de um triângulo retângulo.
Considere o triângulo ABC,
cujos catetos são bbbbb e ccccc e a
hipotenusa é aaaaa.
Trace a altura relativa à
hipotenusa. Determinando o
ponto H e os segmentos hhhhh, mmmmm
e nnnnn, podemos observar que:
aaaaa = m + n = m + n = m + n = m + n = m + n.
 II
I
 III
 IV
 a
b
 c
b2
 c2
A B
 C
a
b
c
I
A B
C
 H
a
b
c
 m
 n
 h
 III
II
55
A U L A Desse modo, obtivemos três triângulos semelhantes, ou seja, triângulos
que possuem os três ângulos iguais. Para facilitar as conclusões, desenhe os três
triângulos sobrepostos, como indica a figura:
Assim:
l Triângulo I I I I I semelhante ao triângulo IIIIIIIIII, logo:
b
h
=
c
n
=
a
c
de: 
c
n
=
a
c
, temos: c c c c c² = a = a = a = a = a ..... n n n n n (1ª relação),
que pode ter a seguinte interpretação:
O quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.
l Triângulo I I I I I semelhante ao triângulo IIIIIIIIIIIIIII, logo:
b
m
=
c
h
=
a
b
de: 
b
m
=
a
b
, temos: bbbbb² = a = a = a = a = a ..... m m m m m (2ª relação),
que pode ter a seguinte interpretação:
O quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.
l Triângulo IIIIIIIIII semelhante ao triângulo IIIIIIIIIIIIIII, logo:
h
m
=
n
h
=
c
b
de: 
h
m
=
n
h
 , temos: hhhhh² = m = m = m = m = m ..... n n n n n (3ª relação),
que pode ter a seguinte interpretação:
O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto
a
b
c
b
BA
C
 h
 m
 h
 n
II III
I
das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
55
A U L A
b
x y
17
a
Exercícios
Somando a 1ª e a 2ª relação membro a membro, temos:
c² + b² = a . n + a . m
aplicando a propriedade
distributiva
c² + b² = a (n + m)
como m + n = a, chegamos ao Teorema de Pitágoras: ccccc² + b + b + b + b + b² = a = a = a = a = a²²²²²²
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Aplicando o Teorema de Pitágoras, verifique se são retângulos os triângu-
los que têm estas medidas de lados:
a)a)a)a)a) 6 cm, 8 cm e 10 cm c)c)c)c)c) 4 cm, 5 cm e 6 cm
b)b)b)b)b) 7 cm, 9 cm e 20 cm d)d)d)d)d) 13 cm, 12 cm e 5 cm
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Desenhe um triângulo retângulo e construa triângulos retângulos e isósceles
sobre seus catetos e sua hipotenusa, conforme este modelo:
Em seguida:
a)a)a)a)a) calcule a área de cada um dos triângulos desenhados sobre os catetos e
sobre a hipotenusa;
b)b)b)b)b) some as áreas dos triângulos desenhados sobre os catetos e compare
c o m
a área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa.
O que você concluiu?
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Usando as relações métricas no triângulo retângulo, calcule as medidas
indicadas na figura:
15
56
A U L A
Aplicação do Teorema
de Pitágoras
Para pensar
Nossa aula
Uma escada de 5 m de comprimento está
apoiada num muro. O pé da escada está afastado 3 m da base do muro. Qual
é a altura, no muro, que a escada alcança?
Para resolver esse problema, usaremos uma propriedade muito importante
dos triângulos retângulos que foi estudada na aula anterior. Ela é conhecida
como Teorema de Pitágoras e diz o seguinte:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.catetos.catetos.catetos.catetos.
Observe o seguinte triângulo retângulo:
A hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa é o lado maior do triângulo, BC. A hipotenusa pode ser
identificada também como o lado oposto ao ângulo reto do triângulo. Os outros
lados, AB e AC, são chamados de catetoscatetoscatetoscatetoscatetos.
Esses nomes, hipotenusa e cateto, são usados apenas para indicar os lados do
triângulo retângulo.
O Teorema de Pitágoras se aplica a todos os triângulos retângulos.
Portanto, uma maneira rápida e simples de saber se determinado triângulo é
retângulo quando conhecemos apenas as medidas de seus lados é aplicar o
Teorema de Pitágoras.
56
A U L AA U L A
AB
C
56
A U L AEXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Verifique se o triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm é
retângulo.
Elevando ao quadrado as medidas dos dois lados menores, os catetos, e
somando os resultados, temos:
10²² + 24²² = 100 + 576 = 676
Elevando também ao quadrado a medida da hipotenusa:
26²² = 676
Verificamos que: 26²² = 10²² + 24²² . Logo, este triângulo é retângulo.
Veja, agora, outras aplicações do Teorema de Pitágoras.
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
O lado de um quadrado mede 5 cm. Quanto mede a diagonal desse quadrado?
Você já sabe que a diagonal do quadrado é o segmento de reta que liga dois
vértices não consecutivos. Não se esqueça também de que o quadrado tem
os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos.
Ao traçar uma diagonal, o quadrado fica dividido em dois triângulos retân-
gulos iguais. A diagonal é a hipotenusa, e os lados do quadrado, os catetos.
Na figura ao lado, destacamos um
dos triângulos. Assinalamos a
diagonal com a letra ddddd. Vamos
aplicar o Teorema de Pitágoras
para determinar o valor de d d d d d (me-
dida da diagonal):
² = 5² + 5²
d² = 25 + 25
d² = 50 _ d = 50
O resultado 50 é um número irracional: tem uma infinidade de casas
decimais sem ser periódico.
Não existe nenhum número natural que elevado ao quadrado seja igual a 50.
Portanto, o resultado do problema ficará indicado por 50 . Usando a
máquina de calcular, obtemos um resultado aproximado com duas casas
decimais. A diagonal do quadrado de lado 5 cm é igual a 50 ou 7,077,077,077,077,07 cm,
aproximadamente.
5 cm
5 cm
5 cm
d
d²
56
A U L A EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Num losango, as diagonais medem 16 cm e 12 cm. Determine a medida do
lado do losango.
O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados iguais. Suas
diagonais são diferentes entre si e perpendiculares, isto é, cortam-se ao meio
formando quatro ângulos retos.
Observe na figura acima que, ao se cruzarem, as diagonais dividem o
losango em quatro triângulos retângulos. Em cada um deles os catetos
medem 8 cm e 6 cm, pois cada cateto é a metade de uma diagonal. Veja que
chamamos a hipotenusa do triângulo de xxxxx, representando a medida do ladoladoladoladolado
do losango que vamos calcular. Aplicando Pitágoras, temos:
x²² = 8²² + 6²²
x²² = 64 + 36
x²² = 100
x = 100 ® x = 10
Logo, o lado do losango mede 10 cm10 cm10 cm10 cm10 cm.
EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Um triângulo isósceles tem 16 cm de altura e 12 cm de base. Determine a
medida dos outros dois lados.
Vamos lembrar que o triângulo isósceles possui dois lados iguais e um
diferente, chamado basebasebasebasebase.
Quando traçamos a altura do triângulo em relação à base ela forma dois
triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a alturaalturaalturaalturaaltura (16 cm), o outro
mede metade da basemetade da basemetade da basemetade da basemetade da base (6 cm) e a hipotenusa é um dos lados iguaislados iguaislados iguaislados iguaislados iguais do
triângulo isósceles, cuja medida é desconhecida (xxxxx).
x
8
6
x
16
6
12
_
56
A U L AAssim, aplicando Pitágoras:
x²² = 16²² + 6²²
x²² = 256 + 36
x²² = 292
x²² = 292
A medida dos lados iguais do triângulo isósceles é 292 cm ou 17,08 cm17,08 cm17,08 cm17,08 cm17,08 cm
aproximadamente.
EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5
Num triângulo equilátero cujo lado mede 8 cm, quanto mede a altura?
Da mesma forma que no triângulo isósceles, ao traçarmos a altura formam-
se dois triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a alturaalturaalturaalturaaltura (xxxxx) que
não conhecemos a medida, o outro mede metade do ladometade do ladometade do ladometade do ladometade do lado (4 cm) e a
hipotenusa é o ladoladoladoladolado do triângulo equilátero (8 cm). Aplicando o Teorema
de Pitágoras:
8²² = ² x² + 4²²
64 = x² + 16
64 - 16 = x²²+ 16 - 16 (lembre-se da Aula52)
48 = x²
A altura do triângulo retângulo de lado 8 cm é, portanto, 48 cm ou 6,926,926,926,926,92
cmcmcmcmcm aproximadamente.
Vamos agora resolver o problema sugerido no início da aula que é,
também, uma interessante aplicação prática do Teorema de Pitágoras.
Observe:
4 cm
8 cm
x
8 cm
5 m
3 m
x5 m
3 m
x
_ x = Ö48
56
A U L A
 (aplicando a operação inversa da adição, a subtração)
Exercícios
10
8
10 10
x
x
x
Ao encostar no muro, a escada forma um triângulo retângulo onde:
l o comprimento da escada é a hipotenusa do triângulo (5 m);
l a distância do pé da escada à base do muro é a medida de um dos catetos
do triângulo (3 m);
l a altura que a escada alcança no muro é a medida do outro cateto (xxxxx), que
não conhecemos.
 Aplicando Pitágoras:
5²² = 3² + x²² ²
25 = 9 + x²² ²
25 - 9 = x²² ²
x²² ² = 16
A altura que a escada alcança no muro é de 4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Verifique se o triângulo cujos lados medem 13 cm, 12 cm e 5 cm é um
triângulo retângulo.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine as medidas indicadas:
a)a)a)a)a) b) b) b) b) b)
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Calcule a medida do lado
desse losango.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Calcule a medida da diagonal de um retângulo cujos lados medem 36 m e 27 m.
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Calcule a medida da diagonal do quadrado cujo perímetro mede 24 cm.
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
As diagonais de um losango medem 6 m e 8 m. Qual é o perímetro desse
losango?
_ x = Ö16 _ x = 4
57
A U L A
A área do círculo
57
A U L A
Para pensar
Nossa aula
Em uma competição de ciclismo, foi decidido
que as rodas das bicicletas seriam pintadas com a cor da camisa de cada
competidor.
A pintura foi feita como na figura abaixo:
Que parte da roda foi pintada?
Você já aprendeu na Aula 45 que o comprimento de uma circunferência
depende de seu raio e pode ser obtido pela expressão:
Nesta expressão rrrrr é a medida do raio e p é um número irracional que
aproximamos para 3,14.
comprimento = 2 pr
r
57
A U L A EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Numa circunferência cujo raio é de 5 cm, qual é o comprimento?
2 . p . 5 = 10 . 3,14 = 31,4
O comprimento da circunferência é de aproximadamente 31,4 cm 31,4 cm 31,4 cm 31,4 cm 31,4 cm.
Agora, nesta aula, vamos aprender a calcular a área do círculo.
Para isso, imaginamos que o círculo seja formado por várias circunferên-
cias concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortar
e s s a s
circunferências e esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triângulo
retângulo:
Nesse processo, quanto maior for o número de circunferências utilizado
para completar o círculo, melhor será sua representação em um triângu-
lo.
Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua base
mede 2pr, isto é, o comprimento da maior circunferência, a fronteira do
círculo.
Calculando a área do triângulo, temos:
 =
 EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Vamos agora calcular a área do círculo do Exemplo 1.
Como r = 5 cm, r² = 5 x 5 = 25 cm².
A área então será: p x 25 = 3,14 ´ 25 = 78,5 cm78,5 cm78,5 cm78,5 cm78,5 cm²²²²²² .
 Área do círculo = pr²²
2pr
r
base . altura
 2
2pr . r
 2
= pr²
57
A U L AEXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Na figura abaixo, você pode perceber que a área do quadrado que contém
o círculo com o menor desperdício possível é maior que a área do
círculo. Qual é a área desperdiçada?
Se o raio do círculo é 5 cm, seu diâmetro mede 10 cm. O lado do quadrado
é igual ao diâmetro do círculo: 10 cm. Então:
Área do quadrado = l ²² = 10 . 10 = 100 cm²²
Área do círculo = 78,5 cm²² (ver Exemplo 2)
Desperdício = 100 - 78,5 = 21,5 cm²²
SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Avalie esse desperdício em termos percentuais.
Área do setor circular
Numa circunferência de centro OOOOO e raio rrrrr denominamos ângulo centralângulo centralângulo centralângulo centralângulo central ao
ângulo cujo vértice está no centro da circunferência e cujos lados cortam a
circunferência.
Um setor circularsetor circularsetor circularsetor circularsetor circular é a região do círculo de centro O O O O O e raio rrrrr delimitada por
um ângulo central.
Para calcular a área de um setor circular temos duas opções.
1.1.1.1.1. Se você sabe emquantas partes iguaispartes iguaispartes iguaispartes iguaispartes iguais um círculo foi dividido, é só
dividir a área do círculo pelo número de partes. Veja o exemplo
seguinte.
5 cm
ângulo central AÔB
A
B
O
r
setor circular
A
B
O
57
A U L A EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
2.2.2.2.2. Quando conhecemos o ânguloânguloânguloânguloângulo correspondente ao setor circular, pode-
mos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três. Veja
o exemplo seguinte.
EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5
Este setor circular corresponde a um
ângulo com abertura de 50º que é um
segmento do ângulo central.
O ângulo central que corresponde a
uma volta completa, ou seja, a todo o
círculo, mede 360º.
Já calculamos a área do círculo de raio 2 cm no Exemplo 4. Usando a
técnica da regra de três (ver Aula 51), temos:
 ÁREAÁREAÁREAÁREAÁREA ÂNGULOÂNGULOÂNGULOÂNGULOÂNGULO
CÍRCULOCÍRCULOCÍRCULOCÍRCULOCÍRCULO 12,56 cm² 360º
SETORSETORSETORSETORSETOR x 50º
Ou seja: 12,56 cm² — 360º
x — 5 0 º
Logo:
Área do círculo = 2 partes iguais
Área do setor =
4 partes iguais
Área do setor =
6 partes iguais
Área do setor =
2 cm 2 cm 2 cm
O O O
2 cm
50º
x =
12,56 × 50º
360º
= 1,74cm2
O
2 cm
@ 3,14cm²
pr² = p . 2² @
@12,56 cm²
12,56
2
= @6,28 cm² 12,56
 4
= 12,56
 6
= @ 2,09cm²
.
57
A U L A
R
r
O
Exercícios
30%
Área da coroa circular
Observe a figura ao lado. Denomina-se
cococococoroa circularroa circularroa circularroa circularroa circular à região sombreada, que é obti-
da com dois círculos de mesmo centro OOOOO e raios
diferentes RRRRR e rrrrr.
É muito simples calcular a área de uma
coroa circular, pois, como você percebe na figu-
ra, ela é obtida retirando-se um círculo menor
do círculo maior. Desse modo, sua área é
obtida subtraindo-se a área do círculo menor
da área do círculo maior. Acompanhe o exem-
plo.
EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6
Fazendo R = 5 mR = 5 mR = 5 mR = 5 mR = 5 m e r = 3 mr = 3 mr = 3 mr = 3 mr = 3 m, temos:
Área do círculo maior @ 3,14 · 25 = 78,5 m²
Área do círculo menor @ 3,14 · 9 = 28,26 m²
Área da coroa circular @ 78,5 - 28,26 = 50,24 m²50,24 m²50,24 m²50,24 m²50,24 m²
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Calcule a área de um círculo:
a)a)a)a)a) cujo raio mede 6 cm;
b)b)b)b)b) cujo diâmetro mede 8 cm.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Se um círculo com raio de 10 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule:
a)a)a)a)a) a área de um dos setores circulares assim obtidos;
b)b)b)b)b) a medida do correspondente ângulo central.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Use a regra de três para calcular a área de um setor circular de 150º de
abertura num círculo com 1 m de raio.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
No gráfico de setores abaixo, foi utilizado um círculo com 2 cm de raio.
Calcule a área de cada setor.
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Resolva como exercício a Sugestão ao final do Exemplo 3.
40%
20%
10%
58
A U L A
Calculando volumes
l Considere um cubo de aresta aaaaa:
Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de aaaaa, de quantos cubos de
aresta a a a a a precisaremos?
l Pegue uma caixa de fósforos e uma caixa de sapatos. Considerando a caixa
de fósforos como unidade de medida, qual o volume da caixa de sapatos?
l Com cartolina, ou algum outro papel encorpado, construa um cubo e uma
pirâmide de base quadrada de tal forma que:
- a base da pirâmide seja um quadrado igual à face do cubo;
- a altura da pirâmide seja igual à medida da aresta do cubo.
Nessas condições, qual a relação entre os volumes da pirâmide e do cubo?
58
A U L A
Para pensar
a
a
a
Esquema do cubo
(sem tampa)
Esquema da pirâmide
de base quadrada
a
a a
a
a
58
A U L ANa Aula 15, estudamos que os objetos têm área, volume e forma. Vimos
também que existem objetos com mesmo volume e formas diferentes.
Nesta aula, estudaremos um pouco mais esse assunto, aprendendo a
calcular o volume de alguns sólidos. Mas, antes, veremos algumas situações
que envolvem a idéia de volume e capacidade:
l areia retirada de um rio l uma garrafa
l entulho retirado de uma obra l uma seringa
l dejetos poluentes despejados l uma caixa d'água
nos rios, lagos ou mares l ar dos nossos pulmões
Medir o volume ou a capacidade de um objeto é saber a quantidade de
espaço que ele ocupa ou de que dispõe para armazenar.
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Esta garrafa está cheia. Ela contém
290 mililitros (290 ml) de refrigerante:
 Volume Volume Volume Volume Volume = 290 ml
Isso significa que 290 ml é a quantida-
de de líquido que a garrafa pode
armazenar:
 Capacidade Capacidade Capacidade Capacidade Capacidade = 290 ml
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Para encher uma caixa d’água de 2 metros de comprimento por 2 metros
de largura e 1 metro de profundidade, foram necessários 4.000 litros de
água .
VolumeVolumeVolumeVolumeVolume da caixa d’água = 2 m x 2 m x 1 m = 4 m3
CapacidadeCapacidadeCapacidadeCapacidadeCapacidade da caixa d’água = 4.000 litros
Nossa aula
CAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADE DEDEDEDEDEVOLUMEVOLUMEVOLUMEVOLUMEVOLUME DEDEDEDEDE
2 cm
2 cm
1 cm
58
A U L A As unidades de volume e de capacidade são estabelecidas pela seguinte
relação:
11111l = 1.000 cm = 1.000 cm = 1.000 cm = 1.000 cm = 1.000 cm³³³³³³
Isto é, se tivermos um cubo oco com 10 cm de aresta, podemos colocar nesse
cubo, exatamente, 1 litro de líquido (água, suco, leite, óleo etc.).
Outras relações, decorrentes dessa, também são bastante utilizadas:
 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m33333 ===== 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 l
1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm33333 ===== 1 m1 m1 m1 m1 ml
As unidades de medida de volume fazem parte do Sistema Decimal de
Medidas. As mais usadas são:
metro cúbico (m3)
decímetro cúbico (dm3)
centímetro cúbico (cm3)
milímetro cúbico (mm3)
1 m1 m1 m1 m1 m33333 = 1.000 dm = 1.000 dm = 1.000 dm = 1.000 dm = 1.000 dm33333 = 1.000.000 cm = 1.000.000 cm = 1.000.000 cm = 1.000.000 cm = 1.000.000 cm33333 = ... = ... = ... = ... = ...
Desse modo são necessários 1.000.000 de cubinhos de 1 cm de aresta
para formar um cubo de 1 m de aresta.
Volume do paralelepípedo
Paralelepípedo é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a
forma de uma caixa de sapato, de um tijolo etc. Na verdade, a definição de
paralelepípedo é mais geral. Se quisermos ser mais precisos, uma caixa de
sapato é um paralelepípedo reto de base retangular.
Na Aula 15, calculamos o volume do paralelepípedo, multiplicando suas
dimensões (comprimento, largura e altura):
10 cm
10 cm
 V = a V = a V = a V = a V = a ..... b b b b b ..... c c c c c
2 cm
2 cm
1 cm
58
A U L A
Qual o volume do cubo cuja aresta mede 5 cm? (Lembre-se de que o cubo é
um paralelepípedo cujas dimensões têm a mesma medida).
Imagine que esse cubo seja oco. Quantos litros de água seriam necessários
para enchê-lo até a boca?
Como: 1 l = 1.000 cm3
Então, fazendo uma regra de três, temos:
1 litro = 1.000 cm3
x litros = 125 cm3
x = 1× 125
1.000
 = 0,125 litros = 125 mililitros
Podemos colocar 125 125 125 125 125 l de água num cubo cujo volume é de 125 cm3.
Decompondo figuras sólidas
O paralelepípedo pode ser decomposto em duas outras figuras sólidas.
Veja:
 V = 5 cm V = 5 cm V = 5 cm V = 5 cm V = 5 cm ..... 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm . . . . . 5 cm = 125 cm 5 cm = 125 cm 5 cm = 125 cm 5 cm = 125 cm 5 cm = 125 cm333335 cm
5 cm
5 cm
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
58
A U L A Cada um dos sólidos que surge pela decomposição deste paralelepípedo
retângulo é um exemplo de prisma. Temos, em nosso caso, dois prismas retosprismas retosprismas retosprismas retosprismas retos
de base triangularde base triangularde base triangularde base triangularde base triangular.Observe que, neste exemplo, a base de cada prisma é um
triângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulo.
O volume do prisma reto de base triangular é metade do volume do
paralelepípedo. Portanto, o volume do prisma reto de base triangular é:
Note que o paralelepípedo também é um prisma reto, porém de base
retangular.
Para obter o volume de um prisma com uma base qualquer multiplicamos
a área da base área da base área da base área da base área da base pela alturaalturaalturaalturaaltura. Por exemplo:
Prisma reto de base quadrangular(ou paralelepípedo):
Volume = área da base x altura
V = (a . b) . c
 que é o resultado já conhecido para o volume do paralelepípedo.
a
a
b
b
c
c
b
a
V = a . b . cV = a . b . cV = a . b . cV = a . b . cV = a . b . c
V=V=V=V=V=
a . b . ca . b . ca . b . ca . b . ca . b . c
 2 2 2 2 2
58
A U L AVolume do cilindro
Cilindro é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma de
um latão de querosene ou de um cigarro. O cilindro é um sólido geométrico
cujas bases são dois círculos iguais, como na figura:
O volume do cilindro pode ser determinado do mesmo modo que o volume
do prisma reto:
Volume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . altura
Como a base do cilindro é um círculo, temos:
Área da base = área do círculo = pr2 , onde r é o raio do círculo
Então, a área do cilindro pode ser expressa por:
A = ² . aA = ² . aA = ² . aA = ² . aA = ² . a
EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Determine o volume de um cilindro de 30 centímetros de altura e cuja base
tem 20 centímetros de raio.
V = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · altura
Área da base = prrrrr22222
A = p . 202 = 3,14 . 400
A = 1.256 cm2
Volume = 1.256 . 30 = 37.680 cm37.680 cm37.680 cm37.680 cm37.680 cm33333
área do
círculo
da base
altura do
cilindro
{ {
20 cm
30 cm
P rrrrr²
58
A U L A Densidade de um corpo
Na Aula 14, aprendemos que a massamassamassamassamassa de um objeto pode ser dada pelo seu
peso. As unidades de medida de massa são o quilograma (kgkgkgkgkg) e o grama (ggggg).
Podemos definir a densidade de um objeto (ou corpo) como o quociente
entre sua massa e seu volume:
Um método prático para determinar o volume de objetos, por exemplo o
de uma pedra, é o seguinte:
l Pegue um recipiente transparente, cujas medidas sejam fáceis de calcular.
Por exemplo, um copo na forma de um cilindro.
l Encha-o com água e meça a altura que a água atingiu.
No nosso exemplo, o volume de água é:
V = p . 52 . 10 = 3,14 . 25 . 10 = 785 cm3
l Em seguida, mergulhe a pedra na água e meça novamente a altura
atingida.
Volume = p . 52 . 12 = 3,14 . 25 . 12 = 942 cm2
A diferença entre os dois resultados é o volume da pedra:
Volume da pedra = 942 - 785 = 157 cm157 cm157 cm157 cm157 cm33333.
Densidade =
massa
volume
10 cm
10 cm
12 cm
58
A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
De quantos cubinhos iguais a A precisamos para montar um cubo igual a B?
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Quantos litros de óleo cabem no galão abaixo?
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
O que significa m3 ?
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Qual o volume de um bolo cuja altura é 5 cm e cujo diâmetro é 60 cm?
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Quantos litros de leite cabem em um galão cilíndrico de 20 cm de diâmetro
e 60 cm de altura?
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Meça as arestas e calcule o volume de uma caixa de pasta de dentes.
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Calcule a capacidade, em metros cúbicos, de uma caixa que possa conter o
fogão de sua casa.
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8
Calcule o volume de duas latas de óleo com formatos diferentes.
Exercícios
A B
50 cm
20 cm
20 cm
59
A U L A
59
A U L A
Escreva os números que são pedidos:
l os números naturais menores que 5;
l os números inteiros maiores que - 2 e menores que 1;
l os números naturais que são soluções da equação x + 3 = 2;
l os números inteiros que são soluções da equação 5x + 4 = 1;
l um número racional que seja maior que zero e menor que 1.
Vários tipos de número já foram estudados neste curso, mas seus nomes
não são conhecidos ainda. Vamos, então, organizar os diferentes tipos de
número que já conhecemos com seus respectivos nomes.
O primeiro contato que temos com os números é pela contagem, quando
surgem, de maneira natural, os números 1, 2, 3, 4 etc. Mais tarde, quando
estudamos nosso sistema de numeração, aparece o 0 (zero). Ele é usado para indicar
a ausência de unidades numa determinada ordem de um número.
Chamamos de números naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturais os números 0, 1, 2, 3, 4 ...
Considere as chamadas operações elementaresoperações elementaresoperações elementaresoperações elementaresoperações elementares (adição, subtração, multi-
plicação e divisão) com números naturais. Quais dessas operações têm sempre
como resultado um número natural? Isso é o mesmo que perguntar:
l A soma de dois números naturais é sempre um número natural?
l A diferença de dois números naturais é sempre um número natural?
l O produto de dois números naturais é sempre um número natural?
l O quociente de dois números naturais é sempre um número natural?
Nas aulas anteriores verificamos que:
A soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto de dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são sempre
números naturais.números naturais.números naturais.números naturais.números naturais.
A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois números naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número natural
quando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igual ao segundo. ao segundo. ao segundo. ao segundo. ao segundo.
Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: 7 7 7 7 7 - 3 = 4 3 = 4 3 = 4 3 = 4 3 = 4 é um número natural. é um número natural. é um número natural. é um número natural. é um número natural.
Organizando os
números
Vamos pensar
Nossa aula
59
A U L AQuando queremos fazer uma subtração em que o primeiro número é
menor que o segundo, precisamos usar os números negativosnúmeros negativosnúmeros negativosnúmeros negativosnúmeros negativos, que não são
números naturais:
4 4 4 4 4 - 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = - 3 não é um número natural 3 não é um número natural 3 não é um número natural 3 não é um número natural 3 não é um número natural
Vemos, assim, surgir um novo conjunto de números, formado pelos núme-
ros naturais mais os números negativos: os números inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteiros.
São, portanto, números inteiros os números ... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ... e podem
ser representados numa reta numérica da seguinte maneira:
Observamos que:
l os números negativos estão à esquerda do zero, portanto todo número
negativo é menor que zero;
l os números positivos estão à direita do zero, portanto todo número positivo
é maior que zero;
l os números negativos estão à esquerda dos númerospositivos, logo todo
número negativo é menor que qualquer número positivo;
l um número é sempre menor que o número que está à sua direita.
Exemplos: - 3 < 0 (- 3 é menor que zero)
- 1 < 1 (- 1 é menor que 1)
- 3 < - 1 (- 3 é menor que - 1)
2 > - 1 ( 2 é maior que - 1)
0 > - 7 ( zero é maior que - 7)
Voltando às operações, também já sabemos que:
Na divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será um
número natural quando o primeiro número (o dividendo) fornúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) fornúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) fornúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) fornúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) for
múltiplo do segundo (o divisor).múltiplo do segundo (o divisor).múltiplo do segundo (o divisor).múltiplo do segundo (o divisor).múltiplo do segundo (o divisor).
Assim: Assim: Assim: Assim: Assim: 16 16 16 16 16 ̧ 4 = 4 4 = 4 4 = 4 4 = 4 4 = 4 é um número natural. é um número natural. é um número natural. é um número natural. é um número natural.
Quando isso não acontece, usamos outros números para indicar o
quociente.
Exemplos: 5 ¸ 2 = 2,5 ou
5
2
1 ¸ 3 = 0,333 ou
1
3
-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4
59
A U L A Todos esses números - frações, decimais exatos, dízimas periódicas e os
inteiros - formam um conjunto chamado conjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionais.
Portanto, este conjunto é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.
Qualquer número racional pode ser representado por um ponto na reta
numérica.
Exemplo: assinale na reta numérica um número racional entre 0 e 1:
Será possível marcar na reta outro número racional entre 0 e 1 diferente de 0,5?
Entre 0 e 0,5, dividindo ao meio o segmento, podemos marcar o número 0,25.
E agora, será que ainda podemos marcar outro número racional entre 0 e 0,25?
O mesmo processo pode ser repetido: dividindo o novo segmento ao meio,
marcaremos o número 0,125.
Continuando sempre o mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois
números racionais existem infinitos outros números racionais. Daí a impossibi-
lidade de escrever todos todos todos todos todos eles.
Para ter uma idéia mais clara dos conjuntos numéricos, é interessante
representá-los por diagramas, que são representações gráficas de conjuntos por
meio de uma curva fechada. Podemos escrever os elementos do conjunto dentro
do diagrama ou apenas o nome do conjunto junto à curva.
Veja quais são as letras usadas para dar nomes aos conjuntos numéricos:
: conjunto dos números naturais;
: conjunto dos números inteiros;
: conjunto dos números racionais.
E o diagrama fica assim:
-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4
0,5
Z
Z
59
A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Escreva os números naturais múltiplos de 3 e maiores que 5.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Escreva os números inteiros menores que 1.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Escreva os números racionais que são a solução da equação: 5x + 1 = 10.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Escreva um número racional maior que 2.
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Escreva ao lado de cada sentença V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa:
a)a)a)a)a) ( ) - 6 é um número inteiro, logo é racional.
b)b)b)b)b) ( ) 2,516 é um número decimal exato, logo é racional.
c)c)c)c)c) ( ) 0,494949... é um número racional.
d)d)d)d)d) ( ) - 5 é um número natural.
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Escreva estes números racionais na forma de fração:
a)a)a)a)a) 3
b)b)b)b)b) 2,5
c)c)c)c)c) 0,555...
d)d)d)d)d) 0
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Dê exemplos de dois números racionais maiores que - 1,4.
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8
Assinale na reta numérica os números: 1
3
 ; - 2 ; 1,5 ; - 
1
4
.
Exercícios
60
A U L A
A reta e os
números reais
Preencha os espaços abaixo com números
da seguinte lista:
 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 - 5 5 5 5 5 - 3,1 0,555... 0 3,1 0,555... 0 3,1 0,555... 0 3,1 0,555... 0 3,1 0,555... 0 11
l números inteiros não naturais: ...........................................................................
l números racionais não inteiros: ..........................................................................
l números reais não racionais: ...............................................................................
l números reais não irracionais: ............................................................................
Vimos, na Aula 59, que os números racionais podem ser: frações, inteiros,
decimais exatos e dízimas periódicas. Observe estes dois números:
0,250,250,250,250,25 e 0,252525...0,252525...0,252525...0,252525...0,252525...
O primeiro tem duas casas decimais, portanto um número finitonúmero finitonúmero finitonúmero finitonúmero finito de casas
decimais. Por isso, é chamado de decimal exatodecimal exatodecimal exatodecimal exatodecimal exato.
O segundo tem um número infinitonúmero infinitonúmero infinitonúmero infinitonúmero infinito de casas decimais com um período que
se repete (25). Esse número é conhecido como dízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódica.
Vejamos o que acontece com o número decimal:
 0,010110111...0,010110111...0,010110111...0,010110111...0,010110111...
Ele tem uma infinidade de casas decimais que não se repetem, portanto, não
é decimal periódico.
Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.
Após a vírgula, a 1ª casa decimal é o zero, seguido do número 1; depois
outro zero, seguido duas vezes do número 1, e assim por diante. Logo, os
próximos algarismos serão o zero e depois quatro vezes o número 1. Esse
número não é racional. Ele é um exemplo de número irracional. número irracional. número irracional. número irracional. número irracional.
Para pensar
Nossa aula
A U L A
60
60
A U L A
2 1 414213
3 1 73205
5 2 23606...
=
=
=
, ...
, ...
,
Outro exemplo de número irracional, bastante conhecido e muito
importante em Matemática, especialmente usado em geometria, é o
número p = = = = = 3,141592... 3,141592... 3,141592... 3,141592... 3,141592...
Ao estudar a operação de radiciação (Aula 54), e particularmente a raiz
quadrada, vimos que nem todo número natural tem raiz quadrada natural.
Os números naturais 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, são chamados
quadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitos. As raízes quadradas desses números são também núme-
ros naturais:
Os outros números naturais, diferentes dos números quadrados perfeitos,
têm como raízes quadradas números irracionais. Outras raízes, com índices
diferentes de 2 e que não são números naturais, também são números irracio-
nais. Por exemplo:
3 4 4 5 3 100
Ao fazer o cálculo das raízes abaixo, numa calculadora, encontramos os
seguintes resultados:
Os pontos que aparecem no final do número não aparecem no visor da
máquina de calcular. Eles indicam que as casas decimais continuariam a
aparecer se a máquina fosse maior e comportassemais algarismos.
Vimos também que podemos assinalar todos os números racionais na reta
numérica, associando a cada número um ponto da reta bem determinado.
Podemos fazer o mesmo com os números irracionais?
Vejamos a representação de 2 na reta numérica, com auxílio de uma
construção geométrica. Vamos construir um triângulo retângulo isósceles de
catetos iguais a 1 sobre a reta numérica:
Calculamos a medida da hipotenusa aplicando o Teorema de Pitágoras:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
x = 2
16 = 4
25 = 5
36 =6
0 =0
1 =1
4 = 2
9 = 3
49 =7
64 =8
81 =9
100 =10
-2 -1 0 1 2 31
x 1
60
A U L A Para marcar na reta a medida da hipotenusa, que é 2 , posicionamos em O
a ponta sem grafite (ponta seca) de um compasso, com abertura igual ao
tamanho da hipotenusa. Descrevendo um arco com o compasso, encontramos
o ponto na reta que corresponde a 2 :
Na prática, localizamos uma raiz quadrada na reta quando conhecemos um
valor aproximado da raiz. Por exemplo: localize o número 5 na reta numérica.
Vejamos quais são os números quadrados perfeitos mais próximos de 5:
5 está entre 4 e 9 = 4 < 5 < 9
 está entre e = 4< 5< 9
 está entre 2 e 3 = 2 < < 3
Assim, podemos assinalar a 5 entre os números 2 e 3 :
Procurando o valor de 5 por tentativa, teremos uma localização mais
exata. Sabendo que 5 está entre 2 e 3, podemos escrever que 5 = 2 ,...
Experimentamos então alguns números, por exemplo:
2,1 = (2,1)² = 4,41, que é um valor ainda distante de 5;
2,2 = (2,2)² = 4,84, que é bem próximo de 5.
Então, podemos representar 5 na reta com uma localização razoável, ou
seja, próxima do valor exato do número:
-2 -1 0 1 2 31
x 1
2
5
5
4 9
5
-2 -1 0 1 2 35
-2 -1 0 1 2 3
5
60
A U L ASabendo que é possível representar na reta os números racionais e os
irracionais, podemos chamá-la reta realreta realreta realreta realreta real. O conjunto dos números reais conjunto dos números reais conjunto dos números reais conjunto dos números reais conjunto dos números reais ( ), que
é a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais. Veja o diagrama abaixo:
O diagrama mostra a relação entre os diversos conjuntos: todo número
natural é inteiro; todo número inteiro é racional; todo número racional é real,
assim como, todo número irracional é também real. Inversamente, todo ponto
de reta real representa um número, que pode ser racional ou irracional
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Assinale na reta numérica os seguintes números reais:
- 2,5 0,75 2 p - 0,666...
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa:
a)a)a)a)a) ( ) 1
3
 é um número real menor que 1.
b)b)b)b)b) ( ) 10 é um número real menor que 3.
c)c)c)c)c) ( ) 2,151617... é um número racional.
d)d)d)d)d) ( ) - 5 é um número inteiro, logo é um número real.
e)e)e)e)e) ( ) p não é um número real.
f)f)f)f)f) ( ) 3 é um número real
g)g)g)g)g) ( ) 3é um número racional.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
a)a)a)a)a) Qual o menor número inteiro maior que 
3
4
b)b)b)b)b) Qual o maior número inteiro menor que - 1
4
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Dê exemplo de:
a)a)a)a)a) dois números inteiros maiores que - 1
4
b)b)b)b)b) dois números racionais que estão entre - 1 e 0.
Exercícios
Z
Aula 41 - - - - - Triângulo
Para pensar:
Na figura, existem 46 triângulos.
Exercícios:
1.
a) retângulo; isósceles
b) acutângulo; equilátero
c) obtusângulo; escaleno
d) obtusângulo; isósceles
e) retângulo; escaleno
f) acutângulo; escaleno
2.
a) escaleno
b) isósceles
c) equilátero
3.
a) retângulo
b) obtusângulo
c) acutângulo
4.
a) 85º
b) 92º
c) 40º
5. 60º
6. 80º
Gabarito das aulas
41 a 60
7. 35º
8.
a) 140º
b) Medindo com o transferidor ou observando que:
 a + 40º = 180º
 a = 180º - 40º = 140º
c) Sua medida é a soma dos dois ângulos internos opostos:
a = 90º + 50º
 a = 140º
9.
a) a = 80º
b) a = 120º
10.
a) Sim.
b) Sim.
c) Não.
d) Não.
Aula 42 ----- O quadrado e outros quadriláteros
1.
a) paralelogramo
b) trapézio
c) retângulo (o quadrado é um retângulo)
d) retângulo (o quadrado é um retângulo)
2.
a) Lados iguais; tamanhos diferentes.
b) 1 par de lados paralelos; trapézio retângulo - trapézio isósceles.
c) 4 ângulos iguais; 4 lados iguais - lados opostos iguais dois a dois.
d) 2 pares de ângulos opostos iguais; lados opostos iguais - 4 lados iguais.
e) 4 lados iguais; 4 ângulos iguais - ângulos iguais 2 a 2.
3.
a) losango
b) retângulo
c) trapézio retângulo
d) paralelogramo ou losango
4. a) 14 quadrados b) 30 quadrados
5. Resposta pessoal.
6. 45º, 135º e 135º.
Aula 43 ----- Polígonos e mosaicos
1. Várias respostas.
2. Primeiro: 60º, 150º, 90º, 90º e 150º.
Segundo: 60º, 60º, 120º e 120º.
3. Não, pois apesar de ter os 4 lados iguais, seus ângulos não são iguais.
4.
a) 6
b) Sim.
c) 6 . 180º = 1.080º
5.
3 0 1 180º
4 1 2 360º
5 2 3 540º
6 3 4 720º
7 4 5 900º
8 5 6 1.080º
9 6 7 1.260º
10 7 8 1.440º
6. Sim. A diferença entre o número de lados do polígono e o número de
triângulos formados é constante e igual a 2.
7.
a) n - 2 (n = nº de lados)
b) (n - 2) · 180º
Aula 44 ----- A linguagem matemática
1.
a) 2x
b) 3x
c) y - 7
d) a
2
+ 1
2.
a) x . y = y . x
b) a + b = b + a
3.
a) 2x + 2y = 20
b) se x = 4, y = 6 ;
se x = 2, y = 8; etc.
4. x
2
Aula 45 ----- O círculo e o número p
Exercícios:
1. Mantendo 5 cm de distância entre as pernas do compasso, centre a ponta
metálica e gire.
2. Se o diâmetro é de 10 cm, o raio terá 5 cm e essa circunferência será do mesmo
tamanho que a do Exercício 1.
3. A de 6 cm de raio tem o comprimento maior.
4. 2 . 26 . 3,14 = 163,28 cm
5. 62,8 ¸ 3,14 = 20 cm
6.
1 2 6,28
2,5 5 15,7
3 6 18,84
7. 18,84 ¸ 2 = 9,42 m
8. 18,84 ¸ 4 = 4,71 m
9. Essa corda é o diâmetro e mede 2 cm.
10. Várias soluções possíveis, como a que está na figura:
Aula 46 - - - - - Novamente frações
Para pensar:
Para fazer duas paradas, é preciso dividir a distância entre as cidades (220 km)
em 3 etapas: 220 ¸ 3 = 73,333...
1ª parada 2ª parada
|________________|_______________|_________________|
Exercícios:
1.
a) 0,13
b) 0,35
c) 6,222 ...
d) 4,26666...
2.
a) 0,111 ...
b) 0,222 ...
c) 0,333 ...
3.
a) 0,444 ...
b) 0,555 ...
c) 0,666 ...
4.
a) decimal finita
b) decimal finita
c) decimal infinita periódica
d) decimal infinita não periódica
e) decimal infinita periódica
f) decimal infinita não periódica
 146,6 km 73,3 km0 km 220 km
5.
a) racional
b) racional
c) racional
d) irracional
e) racional
f) racional
Aula 47 - - - - - Números proporcionais
Para pensar:
1
200.000
=
x
40.000.000
 ® x = 200 cm
Exercícios:
1.
a) A B RAZÃO A
B
b) 18 21
18
21
6
7
c) 30 35
30
35
6
7
d) 85,71 100
85,71
100
6
7
e) 100 116,6 ...
100
116,66
6
7
2.
a) 12
30
b) 18
30
c) 12
18
3.
a) x = 15
b) x = 42
c) x = 15
d) x = 5,33...
4. 40 cm
5. 4
3,50
=
12
x
4x = 42
x = 42 ¸ 4
x = R$ 10,50
Aula 48 - - - - - O Teorema de Tales
Para pensar:
l 3,34 m.
l 11,7 kg .
l Sim.
Exercícios:
1.
a) 2,8
b) 3,2
2. x = 36 m; y = 54 m
3. 20 m
4.
alturadocoqueiro
sombradocoqueiro
=
alturadapessoa
sombradapessoa
Aula 49 - - - - - Figuras semelhantes
1. Um quarto mede 3 m por 4 m e o outro mede 3 m por 3,40 m.
2. 100 cm · 100.000 = 10.000.000 cm = 100 km
3. 204 cm ¸ 12 = 17 cm
4. 1,5 ¸ 30 = 0,05 m2
Aula 50 ----- Proporção inversa
Para pensar:
l Levará 3 horas.
l São grandezas inversamente proporcionais.
Exercícios:
1.
a) Sim, k = 40.
b) Não.
c) Sim, k = 80.
2. 20 dias.
3. 1h30min
4. 6h40min aproximadamente
Aula 51 ----- Regra de três
Para pensar: 51 dias.
1. 40 min
2. 24 operários
3. 20 m
4. 300 peças
5. 37,5 l
6. 45%
7. R$ 200,00
8. R$ 1.200,00
Aula 52 ----- Introdução à álgebra
Para pensar:
l 3 kg
l 2 kg
l Daqui a 24 anos, quando André tiver 32 anos e sua mãe 64 anos.
Exercícios:1. 674 e 675
2.
a) x = 3
b) x = 5
c) x = 14
3.
a) 2 (x + 1) + 4x = 3,20
b) R$ 1,20
c) 20 centavos
4. 12
Aula 53 ----- Calculando áreas
Para pensar:
l A área.
l As áreas são iguais .
l 10.000.
Exercícios:
1.
a) 6,375 cm2
b) 2,625 cm2
c) 6,75 cm2
2. Resposta pessoal.
3. Aproximadamente 553,5 cm2.
4. Resposta pessoal.
5. Aproximadamente 2.000 azulejos.
6. Os 4 triângulos têm áreas iguais, apesar de terem formatos diferentes.
Todos têm a mesma base e a mesma altura.
7. 14 cm2
8. 0,24 cm2
9. 93 + 145 = 119, aproximadamente 119 u.
2
Aula 54 ----- Potências e raízes
Para pensar:
a) 5² fichas brancas
b) 5³ fichas pretas
c) 54 fichas verdes
Exercícios:
1.
a) 13² = 169
b) 4³ = 64
2.
a) l l l
l l l
l l l
b) impossível
c) l l l l
l l l l
l l l l
l l l l
3.
a) 8
b) 1
c) 1
d) 0
e) 1.000... ( 10 zeros)
4.
a) 7
b) 8
c) 1
d) 10
e) 6
5.
a) 2
b) 1
c) 10
d) 4
e) 0
Aula 55 ----- O Teorema de Pitágoras
Para pensar:
l Sim, porque os três triângulos têm os ângulos com a mesma medida.
l Sim.
Exercícios:
1.
a) Sim: 10² = 8² + 6².
b) Não, porque 20² ¹ 9² + 7².
c) Não, porque 6² ¹ 5² + 4².
d) Sim: 13² = 12² + 5²
2. A área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas
dos triângulos desenhados sobre os catetos. Observe que esse exemplo é
uma extensão do Teorema de Pitágoras.
3. a = 8
b = 8,50
x = 3,76
y = 19,26
Observação: Os valores decimais foram considerados até os centésimos,
desprezando-se os demais.
Aula 56 ----- Aplicação do Teorema de Pitágoras
Para pensar: 4 metros
Exercícios:
1. Sim: 13² = 12² + 5²
169 = 144 + 25
2.
a) 84
b) 50
3. x = 15 cm
4. 2.025 = 45m
5. d = 72 cm
6. 20 cm
Aula 57 ----- A área do círculo
Para pensar:
Foi pintada metade da área da roda.
Exercícios:
1.
a) 113,04 cm²
b) 50,24 cm²
2.
a) 34,89 m²
b) 40º
3. 1,31 m²
4. 10% = 1,256 cm²
20% = 2,512 cm²
30% = 3,768 cm²
40% = 5,024 cm²
5. 21,5% da área do quadrado.
Aula 58 ----- Calculando volumes
Para pensar:
l 8
l Resposta pessoal.
l Volume da pirâmide = 1
3
 do volume do cubo.
Exercícios:
1. 64 cubinhos
2. 20.000 cm3 = 20 litros
3. Resposta pessoal.
4. 14.137 cm3
5. 18,84 litros
6. Resposta pessoal.
7. Resposta pessoal.
8. Resposta pessoal.
Aula 59 ----- Organizando os números
Para pensar:
a) 0, 1, 2, 3, 4
b) -1, 0
c) Não tem.
d) Não tem.
e) 0,5 (há uma infininidade de outras soluções).
Exercícios:
1. 6, 9, 12, 15 ...
2. 0, -1, -2, -3 ...
3.
9
5
 ou 1,8
4. Existe uma infinidade. Exemplos: 2,1; 2,2; 3,5; 4.
5.
a) V
b) V
c) V
d) F
6.
a) 3
1
 ou 6
2
ou 12
4
, .....
b) 25
10
 = 5
2
c) 5
9
d) 0
1
Observação: Todos os itens do Exercício 6 têm outras soluções.
7. 1,3; 0; 2,3; etc.
8.
- 2 - 1 0 1 2
-
1
4
1
3
1,5
Aula 60 ----- A reta e os números reais
Para pensar:
a) -5
b) 4,2; - 3,1; 0,555...
c) 11
d) 4,2; -5; -3,1; 0,555...; 0
Exercícios:
1.
2.
a) V
b) F
c) F
d) V
e) F
f) V
g) F
3.
a) 1
b) -1
4.
a) 0 e 1 (há uma infinidade de outras respostas)
b) -0,25 e -0,5 (há uma infinidade de outras respostas)
-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4
-2,5 -0,666... 0,75 2 π
	Triângulos
	O quadrado e outros quadriláteros
	Polígonos e mosaicos
	A linguagem matemática
	O círculo e o número pi
	Novamente frações
	Números proporcionais
	O teorema de Tales
	Figuras semelhantes
	Proporção inversa
	Regra de três
	Introdução à álgebra
	Calculando áreas
	Potências e raízes
	O teorema de Pitágoras
	Aplicação do Teorema de Pitágoras
	A área do círculo
	Calculando volumes
	Organizando os números
	A reta e os números reais
	Gabarito das aulas 41 a 60