Oscilações Forçadas e Ressonância na Física

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AULA 5
FÍSICA II
OSCILAÇÕES FORÇADAS E
RESSONÂNCIA
VALDIR BINDILATTI
AULA 5 – OSCILAÇÕES FORÇADAS E
RESSONÂNCIA
OSCILAÇÕES LIVRES E FORÇADAS
OSCILADOR FORÇADO
EQUAÇÃO DE MOVIMENTO
REGIME ESTACIONÁRIO
RESSONÂNCIA E ENERGIA
REGIME ESTACIONÁRIO
LARGURA DO PICO DE RESSONÂNCIA
RESUMO
OSCILAÇÕES LIVRES E FORÇADAS
I OSCILAÇÕES LIVRES:
depois de deslocado do estado de equilíbrio, o
oscilador é abandonado a si mesmo e oscila na sua
frequência natural.
I OSCILAÇÕES FORÇADAS:
um estímulo externo, oscilatório, atua continuamente
sobre o oscilador.
I RESSONÂNCIA:
a resposta é tanto maior quanto mais próxima a
frequência da excitação estiver da frequência natural
do oscilador.
OSCILADOR FORÇADO
SISTEMA MASSA–MOLA
I Segunda Lei para o oscilador Livre:
m
d2x
dt2
= −kx− bv
d2x
dt2
+ γ
dx
dt
+ ω20x = 0
ω0 =
√
k/m γ = b/m
OSCILADOR FORÇADO
SISTEMA MASSA–MOLA
I Oscilações amortecidas
xt(t) = Ae
−12γt cos(ωγ t+ φ)
ω2γ = ω
2
0 −
(
1
2γ
)2
τ =
1
γ
=
Q
ω0
OSCILADOR FORÇADO
SISTEMA MASSA–MOLA
I Excitação: força externa senoidal de frequência ω
(fixa, mas qualquer):
F (t) = F0 cos(ω t)
I Análogo elétrico (RLC): f.e.m. alternada
E(t) = E0 cos(ω t) C E0 L
R
OSCILADOR FORÇADO
EQUAÇÃO DE MOVIMENTO
I Segunda Lei, com F0 = kAf = mω
2
0Af
d2x
dt2
+ γ
dx
dt
+ ω20x = ω
2
0Af cos(ω t)
I Equação diferencial não homogênea
EQUAÇÃO DE MOVIMENTO
Solução da Equação Diferencial
I Solução particular:
xf(t) = Aω cos(ω t− δ)
I Solução completa:
x(t) = xt(t) + xf(t)
I Regimes: transiente e estacionário
REGIME ESTACIONÁRIO
I Solução particular: amplitude e defasagem
xf(t) = Aω cos(ω t− δ)
Aω = Af
ω20√
(ω20−ω2)
2
+(γω)2
sen δ = Aω
ω20Af
γω cos δ = Aω
ω20Af
(
ω20 − ω2
)
1 2
REGIME ESTACIONÁRIO
Resposta em função da frequência
I Amplitude e fase
I Baixa frequência
ω � ω0 ⇒
{
Aω
Af
→ 1
δ → 0
I Alta frequência
ω � ω0 ⇒
{
Aω
Af
→
(
ω0
ω
)2
δ → π 0 1 2
ω/ω0
δ
0
π
2
π
0
2
4
6
8
10
A
ω
/A
f
Q = 2
Q = 10
REGIME ESTACIONÁRIO
Resposta em função da frequência
I RESSONÂNCIA
ω ≈ ω0 ⇒
{
Aω
Af
→ Q
δ → π2
0 1 2
ω/ω0
δ
0
π
2
π
0
2
4
6
8
10
A
ω
/A
f
Q = 2
Q = 10
REGIME ESTACIONÁRIO
Resposta em função da frequência
I Amplitude na ressonância e
fator de qualidade
Aω0 = QAf
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 
0 
10
20
30
40
50
ω/ω0
A
ω
/A
f
Q = 50
Q = 20
Q = 10
Q = 2
RESSONÂNCIA E ENERGIA
Balanço da energia
I Potência dissipada:
Pv = −γmv2
I Potência da força externa
Pf = Fv
I Velocidade:
v(t) = vt(t) + vf(t)
I A energia não é constante:
dE
dt
= Pv + Pf
RESSONÂNCIA E ENERGIA
REGIME ESTACIONÁRIO
I Força externa
F (t) = F0 cos(ω t) = mω
2
0Af cos(ω t)
I Velocidade
vf(t) =
dxf
dt
= −ωAω sen(ω t− δ)
= ωAω [sen δ cos(ω t)− cos δ sen(ω t)]
RESSONÂNCIA E ENERGIA
REGIME ESTACIONÁRIO
I Potência externa
Pf(t) = F (t)v(t) = mω
2
0AfωAω ×[
sen δ cos2(ω t) − cos δ sen(ω t) cos(ω t)]
I Potência média absorvida
Pω = 〈Pf(t)〉 = 12m
(
ω20Af sen δ
)
ωAω
= 12γmω
2A2ω
RESSONÂNCIA E ENERGIA
REGIME ESTACIONÁRIO
I Potência dissipada
Pv(t) = −γmv2f
= −γmω2A2ω sen2(ω t− δ)
P v = 〈Pv(t)〉 = −12γmω2A2ω
I Energia média é constante:〈
dE
dt
〉
= P v + Pω = 0
REGIME ESTACIONÁRIO
Energia Média
I Energia média no regime estacionário
Eω = 〈U +K〉 = 14m
(
ω20 + ω
2
)
A2ω
Eω =
ω20+ω
2
2ω2
1
ω0
Q Pω
REGIME ESTACIONÁRIO
Potência Média
I Potência média (absorvida e dissipada)
Pω =
1
2γmω
2A2ω
= 12mω
3
0A
2
f
ω0γω
2(
ω20 − ω2
)2
+ (γω)2
REGIME ESTACIONÁRIO
Amplitude, Potência e Energia
I Ressonância: ω = ω0
Aω0 = Af ×Q
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 
0 
10
20
30
40
50
ω/ω0
A
ω
/A
f
Q = 50
Q = 20
Q = 10
Q = 2
REGIME ESTACIONÁRIO
Amplitude, Potência e Energia
I Ressonância: ω = ω0
Aω0 = Af ×Q
Pω0 =
1
2mω
3
0A
2
f ×Q
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
10
20
30
40
50
ω/ω0
Pω
1
2
mω3
0
A2
f
Q = 50
Q = 20
Q = 10
Q = 2
RESSONÂNCIA E ENERGIA
Amplitude, Potência e Energia
I Ressonância: ω = ω0
Aω0 = QAf
Pω0 =
1
2mω
3
0A
2
f ×Q
Eω0 =
1
2mω
2
0A
2
f ×Q2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
500
1000
1500
2000
2500
ω/ω0
Eω
1
2
mω2
0
A2
f
Q = 50
Q = 20
Q = 10
Q = 2
RESSONÂNCIA E ENERGIA
LARGURA DO PICO DE RESSONÂNCIA
I Com Q = ω0/γ:
Pω =
Pω0
1 +Q2
[
(ω0+ω)(ω0−ω)
ω0ω
]2
I Largura a meia altura
ω = ω0 ± 12∆ω12 : Pω =
1
2Pω0
RESSONÂNCIA E ENERGIA
LARGURA DO PICO DE RESSONÂNCIA
I Largura a meia altura para
Q� 1:
∆ω1
2
=
ω0
Q
= γ
I Sintonia C E0 L
R
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 
0 
 
 
 
 
0,5
 
 
 
 
1 
 
(ω − ω0)/γ
Pω
Pω0
Q = ω0/γ ≫ 1
∆ω 1
2
= γ
RESSONÂNCIA E ENERGIA
ILUSTRAÇÃO
I Q = 20: abaixo da ressonância
Yeq
Y ↑
Y0
0
x↑
2Af
2Aω
P
Fk
Fv
F
v
Oscilador Forçado
Q=ω0/γ=20,0
ω/ω0=0,9
Aω/Af=5,12
.
−6 −4 −2
0 
5 
10
15
20
25
30
35 x/Af
E/Ef
U K
 −1 0 1 
 
 
−1
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 1
 
 x/Aω
v/ωAω
17 18 19 20 21 22 23 24
−1
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
+1
t/T0
x/Aω
v/ωAω
17 18 19 20 21 22 23 24
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
 
 
t/T0
U/Eω
K/Eω
E/Eω
RESSONÂNCIA E ENERGIA
ILUSTRAÇÃO
I Q = 20: na ressonância
Yeq
Y ↑
Y0
0
x↑
2Af
2Aω
P
Fk
Fv
F
v
Oscilador Forçado
Q=ω0/γ=20,0
ω/ω0=1
Aω/Af=20,00
.
−20 −10 0 10 20 
0 
100
200
300
400
500
x/Af
E/Ef
U K
 −1 0 1 
 
 
−1
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 1
 
 x/Aω
v/ωAω
17 18 19 20 21 22 23 24
−1
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
+1
t/T0
x/Aω
v/ωAω
17 18 19 20 21 22 23 24
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
 
 
t/T0
U/Eω
K/Eω
E/Eω
RESSONÂNCIA E ENERGIA
ILUSTRAÇÃO
I Q = 20: acima da ressonância ANIMAÇÃO
Yeq
Y ↑
Y0
0
x↑
2Af
2Aω
P
Fk
Fv
F
v
Oscilador Forçado
Q=ω0/γ=20,0
ω/ω0=1,1
Aω/Af=4,61
.
−5 0 5 
0 
5 
10
15
20
25
x/Af
E/Ef
U K
 −1 0 1 
 
 
−1
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 1
 
 x/Aω
v/ωAω
17 18 19 20 21 22 23 24
−1
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
+1
t/T0
x/Aω
v/ωAω
17 18 19 20 21 22 23 24
 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
 
 
t/T0
U/Eω
K/Eω
E/Eω
http://fmt.if.usp.br/~bindilat/UNIVESP/univespvideo.php?fname=NovovideoForcado1
RESUMO
OSCILADORES FORÇADOS
I Resposta depende de ω − ω0
I Ressonância: ω ≈ ω0:
I Aω ∝ Q
I P ∝ Q
I E ∝ Q2
I
∆ω
ω0
∝ 1
Q
	OSCILAÇÕES LIVRES E FORÇADAS
	OSCILADOR FORÇADO
	RESSONÂNCIA E ENERGIA
	RESUMO