2 lista PE

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Universidade Federal de Mato Grosso
Campus Universitário do Araguaia
Instituto de Ciências Exatas e da Terra
2o lista de exerćıcios de Probabilidade e Estat́ıstica
1. Considere o tipo de secadora de roupas (a gás ou elétricas) comprada por cinco clientes
diferentes em uma loja.
a) Se a probabilidade de no máximo um desses clientes fazer uma compra de uma secadora
elétrica for 0, 428, qual será a probabilidade de ao menos dois clientes comprarem uma
secadora elétrica?
b) Se P (os cinco comprarema gás) = 0, 116 e P (os cinco compraremelétricas) = 0, 005,
qual será a probabilidade de haver uma compra de ao menos uma de cada tipo?
2. Um armazém de universidade recebeu uma entrega de 25 impressoras, das quais 10 são
impressoras a laser e 15 são a jato de tinta. Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente
para serem verificadas por um técnico, qual será a probabilidade de que exatamente 3 delas
sejam a laser (sendo as outras 3 a jato de tinta)?
3. Uma caixa em um depósito contém quatro lâmpadas de 40W , cinco de 60W e seis de 75W .
Suponha que três lâmpadas sejam selecionadas aleatoriamente.
a) Qual a probabilidade de que exatamente duas das lâmpadas selecionadas sejam de 75W?
b) Qual a probabilidade de que as três lâmpadas selecionadas tenham a mesma potência?
4. Considere os seguintes eventos, A e B, com P (A) = 0, 5, P (B) = 0, 4 e P (A ∩ B) = 0, 25.
Calcule cada uma das probabilidades a seguir.
a) P (A|B).
b) P (B|A).
5. Certa loja faz reparos em componentes de áudio e v́ıdeo. Represente por A o evento em que o
próximo componente trazido para conserto seja de áudio e por B o evento em que o próximo
componente seja um CD-player (de forma que o evento B está contido em A). Suponha que
P (A) = 0, 6 e P (B) = 0, 05. Qual é P (B|A)?
6. Uma viga de concreto pode apresentar falha por cisalhamento (C) ou flexão (F ). Suponha
que três vigas com defeito sejam selecionadas aleatoriamente e o tipo de falha seja deter-
minado para cada uma delas. Seja X igual número de vigas entre as três selecionadas que
falharam por cisalhamento. Relacione cada resultado no espaço amostral juntamente com o
valor de X associado.
7. Cada vez que um componente é testado, o teste resulta em sucesso (S) ou falha (F ). Suponha
que o componente seja testado repetidamente até que ocorra sucesso em três tentativas
consecutivas. Seja Y o número de tentativas necessárias para atingir esse objetivo. Relacione
todos os resultados correspondentes aos cinco menores valores de Y e diga que valor de Y
está associado a cada um.
8. Uma instalação de recondicionamento de automóveis especializada em regulagem de motores
sabe que 45% de todas as regulagens são feitas em automóveis de quatro cilindros, 40% em
automóveis de seis cilindros e 15% em automóveis de oito cilindros. Seja X igual o número
de cilindros do próximo carro a ser preparado.
a) Qual é a distribuição de probabilidade de X.
b) Qual é a probabilidade de o próximo carro a ser regulado ter no mı́nimo seis cilindros?
Mais de seis cilindros?.
9. Uma empresa que fornece computadores pelo correio tem seis linhas telefônicas. Seja X o
número de linhas em uso em determinado horário. Suponha que a distribuição de probabi-
lidade de X seja conforme a tabela a seguir.
x 0 1 2 3 4 5 6
p(x) 0,10 0,15 0,20 0,25 0,20 0,06 0,04
Calcule a probabilidade de cada um dos seguintes eventos.
a) {no máximo três linhas estão em uso}
b) {menos de três linhas estão em uso}
c) {pelo menos três linhas estão em uso}
d) {entre duas e cinco linhas, inclusive, estão em uso}
e) {entre duas e quatro linhas, inclusive, não estão em uso}
f) {pelo menos quatro linhas não estão em uso}
10. Muitos fabricantes possuem programas de controle de qualidade que incluem a inspeção de
defeitos no recebimento dos materiais. Suponha que um fabricante de computadores receba
placas em lotes de cinco. Duas placas em cada lote são selecionadas para inspeção. Podemos
representar os resultados posśıveis do processo pela seleção de pares. Por exemplo: o par
(1, 2) representa a seleção das placas 1 e 2 para inspeção.
a) Relacione os 10 resultados diferentes posśıveis.
b) Suponha que as placas 1 e 2 sejam as únicas com defeito em um lote de cinco. Duas
placas serão escolhidas aleatoriamente. Defina X como o número observado de placas
com defeito entre as inspecionadas. Determine a distribuição de probabilidades de X.
c) Seja F (x) a função de distribuição acumulada de X. Primeiro determine F (0) = P (X ≤
0), F (1), e F (2), e depois obtenha F (x) para todos os outros x.
11. Uma organização de consumidores que avalia automóveis novos relata costumeiramente o
número de defeitos graves em cada carro examinado. Seja X o número de defeitos graves
em um carro de determinado tipo selecionado aleatoriamente. A função de distribuição
acumulada de X é como abaixo:
F (x) =

0 se x < 0
0, 06 se 0 ≤ x < 1
0, 19 se 1 ≤ x < 2
0, 39 se 2 ≤ x < 3
0, 67 se 3 ≤ x < 4
0, 92 se 4 ≤ x < 5
0, 97 se 5 ≤ x < 6
1 se 6 < x
Calcule as seguintes probabilidades diretamente pela função de distribuição acumulada:
a) p(2) isto é P (X = 2)
b) P (X > 3)
c) P (2 ≤ X ≤ 5)
c) P (2 < X < 5)
12. A função de distribuição de probabilidade de X igual o número de defeitos graves em um
eletrodoméstico selecionado aleatoriamente é
x 0 1 2 3 4
p(x) 0,08 0,15 0,45 0,27 0,05
Calcule os dados a seguir:
a) E(X)
b) V (X)
c) O desvio padrão de X
13. Seja X o tempo que um livro de uma reserva de duas horas, na biblioteca de uma faculdade,
é examinado por um estudante selecionado aleatoriamente e suponha que X tenha função
de densidade
f(x) =
{
0, 5x se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contrário
Calcule as probabilidades a seguir:
a) P (X ≤ 1)
b) P (0, 5 ≤ x ≤ 1, 5)
c) P (1, 5 < X)
14. Um professor de faculdade nunca finaliza sua aula antes do final do horário e sempre termina
dentro de dois minutos após o horário. Seja X igual o tempo entre o fim do horário e o fim
da aula e suponha que a f.d.p. de X seja
f(x) =
{
kx2 se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contrário
a) Determine o valor de k. [Sugestão: a área total abaixo do gráfico de f(x) é 1].
b) Qual é a probabilidade de a aula terminar dentro de 1 minuto do final do horário?
c) Qual é a probabilidade de a aula continuar além do horário por 60 a 90 segundos?
d) Qual é a probabilidade de a aula continuar por pelo menos 90 segundos após o final do
horário?
15. A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é dada por
F (x) =

0 x < 0
x2/4 0 ≤ x < 2
1 2 ≤ x
Use tais condições para calcular os itens a seguir
a) P (X ≤ 1)
b) P (0, 5 ≤ x ≤ 1)
c) P (X > 0, 5)
d) F ′(x) para obter a função de densidade f(x)
e) E(X)
f) V (X) e σX