MA14_U12 à 21_Resolução

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Profmat 2011 - Teoria dos Números
Lista III - para ser entregue em 19/11/2011
Problema 1. Prove que 3636 + 4141 é diviśıvel por 77.
Problema 2. Determine com quantos zeros consecutivos termina a representação decimal de 2011!.
Problema 3. Sejam p e q primos distintos. Mostre que
i) pq + qp ≡ p+ q (mod pq)
ii)
⌊
pq + qp
pq
⌋
é par se p, q 6= 2.
Problema 4. Mostre que se n divide um número de Fibonacci então ele dividirá uma infinidade.
Problema 5. Seja d(n) a soma dos d́ıgitos de n. Suponha que n + d(n) + d(d(n)) = 1995. Quais os
posśıveis restos da divisão de n por 9?
Problema 6. Prove que para cada primo p a diferença 111 . . . 11222 . . . 22333 . . . 33 . . . 888 . . . 88999 . . . 99−
123456789 (onde cada digito está escrito exatamente p vezes) é múltiplo de p.
1
Profmat UEM – PR - Roberto Luiz Spenthof 
RESUMO DO CONTEÚDO DA 2ª PROVA – MA14 – ARITMÉTICA I 
 
UNIDADE 12 – Teorema Fundamental da Aritmética 
 
Proposição 1. Sejam a, b, *p   , com p primo. Se |p ab , então |p a ou |p b . 
Corolário. Se 1, , , np p p são números primos e, se 1| np p p , então ip p para algum 
1, ,i n  . 
Teorema 1 (Teorema Fundamental da Aritmética). Todo número natural maior do que 1 ou é 
primo ou se escreve de modo único (a menos da ordem dos fatores) como um produto de 
números primos. 
Teorema 1’. Dado um número natural 1n  , existem primos 1 rp p  e *1, , r    , 
univocamente determinados, tais que 11 rrn p p
   . 
Proposição 2. Seja 11 rrn p p
   um número natural escrito na forma acima. Se 'n é um 
divisor de n, então 11' rrn p p
   , onde 0 i i   , para 1, ,i r  . 
Teorema 2. Sejam 11 nna p p
   e 11 nnb p p
   . Pondo  min ,i i i   , 
 max ,i i i   , 1, ,i n  , tem-se que   11, nna b p p
   e 11, nna b p p
      . 
Teorema 3. Existem infinitos números primos. 
Lema 1. Se um número natural 1n  não é divisível por nenhum número primo p tal que 
2p n , então ele é primo. 
 
UNIDADE 13 – Pequeno Teorema de Fermat 
 
Lema 1. Seja p um número primo. Os números 
p
i
     
, onde 0 i p  , são todos divisíveis por 
p. 
Teorema 1 (Pequeno Teorema de Fermat). Dado um número primo p, tem-se que p divide o 
número pa a , para todo a   . 
Corolário. Se p é um número primo e se a é um número natural não divisível por p, então p 
divide 1 1pa   . 
 
UNIDADE 14 – Primos de Fermat e de Mersenne 
 
Proposição 1. Sejam a e n números naturais maiores do que 1. Se 1na  é primo, então a é 
par e 2mn  , com m   . 
Definição. Os números de Fermat são os números da forma 22 1nnF   , com n   . 
Corolário.  , 1n mF F  , se n m . 
Proposição 2. Sejam a e n números naturais maiores do que 1. Se 1na  é primo, então 
2a  e n é primo. 
Definição. Os números de Mersenne são os números da forma 2 1ppM   , onde p é um 
número primo. 
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Corolário.  , 1p qM M  , se p e q são números primos distintos. 
Teorema (de Dirichlet). Em uma PA de números naturais, com primeiro termo e razão 
primos entre si, existem infinitos números primos. 
Proposição 3. Na progressão aritmética 3, 7, 11, 15, , 3 4 ,n existem infinitos números 
primos. 
Proposição 4. Na progressão aritmética 1, 5, 9, 13, 17, , 4 1,n   existem infinitos números 
primos. 
 
UNIDADE 15 – Números Perfeitos 
 
Definição. Seja n um número natural maior do que 1. Denotamos por  S n a soma de todos 
os divisores de n. 
Proposição 1. Seja 11 rrn p p
   , onde 1, , rp p são números primos e *1, , r    . 
Então, 
  
1 1 1
1
1
1 1
1 1
r
r
r
p p
S n
p p
   

 
 
Corolário. A função  S n é multiplicativa; isto é, se  , 1n m  , então 
     S n m S n S m   . 
Lema 1. Seja *n   . Tem-se que   1S n n  se, e somente se, n é um número primo. 
Teorema 1 (Euclides-Euler). Um número natural n é um número perfeito par se, e somente 
se,  12 2 1p pn   , onde 2 1p  é um primo de Mersenne. 
 
UNIDADE 16 – Decomposição do Fatorial em Fatores Primos 
 
Definição. O símbolo b
a
 
 
  
 significa o quociente da divisão de b por a, na divisão euclidiana. 
Proposição 1. Sejam a   e *,b c   . Temos que 
a
b a
c bc
   
   
         
     
  
. 
Teorema 1 (Legendre). Sejam n um número natural e p um número primo. Então, 
  
2 3
!p
n n n
E n
p p p
    
                
 
onde  !pE n é o expoente de p na decomposição em fatores primos de !n . Para calcular 
 !pE n , usamos o seguinte algoritmo: 
 
1 1
1 2 2
1s s s
n pq r
q pq r
q pq r
 
 
 

 
Como 1 2q q , segue que, para algum s, tem-se que sq p . Portanto, segue-se que 
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   1 2!p sE n q q q    . 
Lema 2. Sejam 1, , ,ma a b números naturais, com 0b  . Tem-se que 
 1 1m ma a a a
b b b
                      

 . 
Corolário. Se 1, , ma a são números naturais, então é natural o número 
 1
1
!
! !
m
m
a a
a a
 

. 
Teorema 2. Sejam *,p n   com p primo. Suponha que 11 1 0r rr rn n p n p n p n     
seja a representação p-ádica de n. Então    0 1!
1
r
p
n n n n
E n
p
   



. 
 
UNIDADE 17 – Aritmética dos Restos 
 
Definição. Seja m um número natural diferente de zero. Dizemos que dois números naturais a 
e b são “congruentes módulo m” se os restos de sua divisão euclidiana por m são iguais, e 
escrevemos moda b m . 
Proposição 1. A operação  é uma relação de equivalência. De fato, seja m   , com 
1m  . Para todos , ,a b c   , tem-se que: 
(i) moda a m 
(ii) se moda b m , então modb a m 
(iii) se moda b m e modb c m , então moda c m . 
Proposição 2. Suponha que ,a b   são tais que b a . Tem-se que moda b m se, e 
somente se, |m b a . 
Definição. Chamamos de “sistema completo de resíduos módulo m” a todo conjunto de 
números naturais cujos restos pela divisão por m são os números 0, 1, , 1m  , sem repetições 
e numa ordem qualquer. 
Proposição 3. Sejam , , , ,a b c d m   , com 1m  . 
(i) Se moda b m e modc d m , então moda c b d m   . 
(ii) Se moda b m e modc d m , então modac bd m . 
Corolário 1. Para todos *n   , ,a b   , se moda b m , então modn na b m . 
Corolário 2. Sejam *, ,a b m   , com 1m  . Se 0 moda b m  , então, para todo n   , 
tem-se que 2 2 modn na b m e 2 1 2 1 0 modn na b m   . 
Teorema (Pequeno Teorema de Fermat). Se p é um número primo e a   , então 
modpa a p , e se |p a , então 1 1 modpa p  . 
Proposição 4. Sejam , , ,a b c m   , com 1m  . Tem-se que 
mod moda c b c m a b m     
Proposição 5. Sejam , , ,a b c m   , com 0c  e 1m  . Temos que 
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 
mod mod
,
m
ac bc m a b
c m
   
Corolário. Sejam , , ,a b c m   , com 1m  e  , 1c m  . Temos que 
mod modac bc m a b m   
Proposição 6. Sejam , ,a k m   , com 1m  e  , 1k m  . Se 1, , ma a é um sistema 
completo de resíduos módulo m, então 1, , ma ka a ka  também é um sistema completo de 
resíduos módulo m. 
Proposição 7. Sejam ,a b   , 1, , , , rm n m m   \ 0,1 . Temos que 
(i) se moda b m e |n m , então moda b n ; 
(ii) mod ia b m , 1, ,i r  1mod , , ra b m m     ; 
(iii) se moda b m , então    , ,a m b m . 
 
UNIDADE 18 – Aplicações das Congruências 
 
Apenas exemplos. 
 
UNIDADE 19 – Os Teoremas de Euler e Wilson 
 
Proposição 1. Sejam ,a m   , com 1m  . A congruência 1 modaX m possui uma 
solução 0x se, e somente se,  , 1a m  . Além disso, x é uma solução da congruência se, e 
somente se, 0 modx x m . 
Definição (Função fi de Euler). Designaremos por  m à quantidade de números naturais 
entre 0 e 1m  que são primos com m. Assim,   1m m   , para todo natural m e 
  1m m   se, e somente se, m é um número primo. 
Resultado Importante (Gauss).  
|dn
d n  
Proposição 2. Obtêm-se um “sistema reduzido de resíduos 1, , sr r módulo m” a partir de um 
sistema completo de resíduos 1, , ma a módulo m, eliminando os elementos ia que não sejam 
primos com m. Seja  1, , mr r um sistema reduzido de resíduos módulo m e seja a   tal que 
 , 1a m  . Então  1, , mar ar é um sistema reduzido de resíduos módulo m. 
Teorema 1 (Euler). Sejam ,m a   com 1m  e  , 1a m  . Então   1 modma m  . 
Corolário (Pequeno Teorema de Fermat). Sejam ,a p   , onde p é um número primo e 
 , 1a p  . Tem-se que 1 1 modpa p  . 
Proposição 3. Sejam , 'm m   , com 1m  , ' 1m  e  , ' 1m m  . Então 
     ' 'm m m m     
Lema 1. Se p é um número primo e r, um número natural, então tem-se que 
   1 11r r r rp p p p
p
 
       
 
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Teorema 2. Se 11 nnm p p
   é a decomposição de m em fatores primos, então 
   11
1
1 1
1 1nn
n
m p p
p p
 
                
  
 
que pode ser reescrita como:      1 1 1 11 1 1 1 1n nn n np p p p p p         . 
Proposição 4. Dado *a   , existe *h   tal que 1 modha m se, e somente se, 
 , 1a m  . 
Definição. Define-se a “ordem de a com respeito a m” como sendo o número natural 
   *min ; 1 modimord a i a m   . 
Lema 2. Temos que 1 modna m se, e somente se,   |mord a n . 
Corolário. Sejam ,a m   , com  , 1a m  . Temos que    |mord a m . 
Proposição 5. Todo divisor de nF é da forma 12 1n k  . 
Corolário. Na progressão aritmética de primeiro termo 1 e razão 2r , para r   fixo, existem 
infinitos números primos. 
Teorema 3 (Lucas). Sejam a e m dois números naturais tais que  , 1a m  . Suponha que 
1 1 modma m  , e que 1 mod , , 1ka m k k m    ; então, m é primo. 
Teorema 4 (Wilson). p é um número primo se, e somente se,  1 ! 1 modp p p   . Em 
outras palavras, p é primo se, e somente se,  1 ! 1 0 modp p   . 
 
UNIDADE 20 – Resolução de Congruências 
 
Proposição 1. Dados *, ,a c m   , com 1m  , as congruências modaX c m e 
0 modaX c m  possuem solução se, e somente se,  , |a m c . 
Teorema 1. Sejam *, ,a c m   , com 1m  e  , |a m c . Se 0x é a solução minimal (i.e, a 
menor solução) da congruência modaX c m (respectivamente, 0 modaX c m  ), então 
  0 0 0 0, , 2 , , 1
m m m
x x x x d
d d d
    
onde  ,d a m formam um sistema completo de soluções incongruentes da congruência. 
Corolário 1. Se  , 1a m  , então as congruências modaX c m e 0 modaX c m  
possuem uma única solução módulo m. 
Corolário 2. Sejam 1m  e 'R um conjunto reduzido de resíduos módulo m. Seja *a   , 
com  , 1a m  . Então, para todo 'r R , a congruência modrX a m possui uma única 
solução em 'R . 
Teorema 2 (Teorema Chinês dos Restos). O sistema 
Profmat UEM – PR - Roberto Luiz Spenthof 
 
1 1
2 2
mod
mod
modr r
X c n
X c n
X c n




 
onde  , 1i jn n  , para todo par ,i jn n com i j , possui uma única solução módulo 
1 2 rN n n n  . Tal solução pode ser obtida como se segue: 1 1 1 r r rx N y c N y c   , onde 
i iN N n e iy é solução de 1 modi iNY n , 1, ,i r  . 
 
UNIDADE 21 – Aritmética das Classes Residuais 
 
Definição. O conjunto  ; moda x x a m       é chamado de “classe residual módulo m” 
do elemento a de  . 
Proposição 1. As classes residuais módulo m possuem as seguintes propriedades: 
(i) a b       se e somente se moda b m ; 
(ii) Se a b         , então a b       ; 
(iii) 
a
a

   

 . 
Proposição 2. Para cada a   existe um, e somente um r   , com r m , tal que 
a r       . 
Corolário. Existem exatamente m classes residuais módulo m distintas, a saber: 
0 , 1 , , 1m           . 
Definição. Em m definimos as seguintes operações: 
Adição: a b a b             
Multiplicação: a b a b             
Propriedades da Adição: Para todos , , ma b c             , temos 
1)A Associatividade:    a b c a b c                           ; 
2)A Comutatividade: a b b a                 ; 
3)A Existência de zero: 0a a            para todo ma     ; 
4)A Existência do simétrico: Para todo a m , tem-se que 0a m a             . 
Propriedades da Multiplicação: Para todos , , ma b c             , temos 
1)M Associatividade:    a b c a b c                           ; 
2)M Comutatividade: a b b a                 ; 
3)M Existência de unidade: 1a a            ; 
)AM Distributividade:  a b c a b a c                                . 
Proposição 3. ma     é invertível se, e somente se,  , 1a m  . 
Corolário. m é um corpo se, e somente se, m é primo. 
 
PROFMAT-UFRPE Lista de Exercícios U13 MA 14 
 Pedro José da Silva Santos Júnior 
 
Resolução 
1) De fato: 
a. O Pequeno Teorema de Fermat (denotaremos por PTF) nos garante que 7|a7-a. 
b. a7 e a tem mesma paridade, portanto a7-a é par, ou seja, 2| a7-a. 
c. Basta mostrar que 3|a7-a= a(a6-1)= a(a3-1) (a3+1). Vejamos: 
i. Se a=3k ok. 
ii. Se a=3k+1 então (a3-1) = ((3k+1)3-1) = 
 
 
 
 = 3j 
iii. Se a=3k-1 então (a3+1) = 3p. 
E segue o resultado. 
2) Pelo PTF temos que 1212| 
p
p ou seja )1
1
12(12| 


p
p , como p é primo p|12 ou 
)1
1
12(| 
p
p . Dois casos temos a considerar: 
a. p|12 então r = 0; 
b. 11,1
1
121
1
12)1
1
12(| 





rpcomqp
p
qp
p
quetalNqentão
p
p
 
3) De fato: 
    .2
.
3
3
2
.
5
5
3
15
303
15
105
15
9
15
10
15
9
15
11
15
103
15
10
15
95
15
9
15
113
15
105
15
9
15
113
3
25
5
3
n
bObs
nn
aObs
nnnnnnn
nnnnnnnnnnnnn













 


















 
a.   )(5|5,
5
3 5
PTFnnpoisNnn  ; 
b.   )(3|3,
3
2 3
PTFnnpoisNnn  . 
4) Raciocínio idêntico ao da questão anterior. Vejamos: 
nnnnnnnnnnnnnnn 15)
3
(5)
5
(35375
3
53
5
37
3
5
5
3  
Cada uma das parcelas é divisível por 15 (veja as observações a. e b. da questão anterior), e o 
resultado segue. 
PROFMAT-UFRPE Lista de Exercícios U13 MA 14 
 Pedro José da Silva Santos Júnior 
5) De fato: 
a. )(
5
|5 PTFnn  , mas )1²)(1)(1()1²)(1²()1
4
(
5
 nnnnnnnnnnn 
ou seja, 
 ).1²(|55)1²)(1)(1(|5  nfatoresprimeirostrêsdosqualquerdividenãomasnnnn 
b. Raciocínio análogo sabendo que )(
7
|7 PTFnn  e, fatorando, chegaremos ao 
resultado pretendido 
6) Sabemos que )(
7
|7 PTFnn  para todo n. em particular para 
k
an  . Sendo assim 
  )1|71)7,(),1|7|77|7 667 ((   kkkkkk aaaaaa amaska 
7) Mostremos: 
a. Por 2 : a13 e a têm mesma paridade 
b. Por 13: aplicação direta do PTF 
c. Por 7: 
divide
aaaaaaaaaaaaaa
7
)7()1
6
()
7
()
7
(
6771313
 
d. Por 91: 13.7= 91 e (13,7)=1 
e. Por 5: 

divide
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
5
)5()1
48
()
5
()
5
(
4
)
5
(
855991313

 
f. Por 3: 

divide
aaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaa
3
)3()1
246810
(
)
3
()
3
(
2
)
3
(
4
)
3
(
6
)
3
(
8
)
3
(
10
3355779911111313



 
g. Por 273: é por 3 e por 91, com 3.91=273 e (3,91)=1 
8) Deve-se mostrar que: 
a. 13| a12-b12, se (13,a) = (13,b) = 1. De fato 
i. )1
12
(|13
(*)
)1
12
(|13)(
13
|13  aaaPTFaa 
ii. )1
12
(|13
(*)
)1
12
(|13)(
13
|13  bbbPTFbb 
As implicações (*) se dão pelo fato de (13,a) = (13,b) = 1. Sendo assim temos que temos que: 
.
1212
|13)1
12
()1
12
(|13 baba  
 
b. 91| a12-b12, de fato. Basta usar a letra d da questão 7 e mesmo raciocínio da letra a. deste 
item.UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MA14- ARITMÉTICA – UNID. 16 
 
PROFESSORES: 
ROGER MOURA 
CARLOS HUMBERTO SOARES JÚNIOR 
 
GRUPO DE ESTUDO: 
 
ALBERTO CUNHA ALVES 
ALIPRECÍDIO JOSÉ DE SIQUEIRA FILHO 
DANIEL RIBEIRO DA FONSECA 
FÁBIO BARBOSA DE OLIVEIRA 
FRANJOSSAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teresina – Outubro – 2011 
 
1) Ache a decomposição em fatores primos de 100! e determine com quantos zeros termina a representação decimal 
desse número. 
Tomaremos primeiro as potências de 2 na decomposição de 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 
Desta maneira, podemos escrever que a decomposição de 100! Será dado por: 
 
Já com relação a quantidade de zeros de 100! Está vinculado ao às potências de 5. Desta forma teremos que a quantidade de 
zeros será determinado pelo expoente de 5 e neste caso será de 24 zeros. 
 
2) 
a) Ache as maiores potências de 2 e de 5 que dividem 10000! . 
Achar as maiores potências de 2 e 5 que dividem 10000! É encontrar ( ) quando p for igual a 2 ou a 5. 
Assim, 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
]
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
b) Determine com quanto zeros termina a representação decimal de 10000! . 
Basta observar as potências de 5. Como tem-se que a quantidade de zeros em 10000! Será de 2499 zeros. 
c) Ache a maior potência de 104 que divide 10000! . 
Primeiro: observemos que 
Segundo: Como já encontramos ( ) , procuremos o resultado de ( ). 
Assim, 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) 
 ( ) 
Assim, o maior expoente de 2 é 9995 e o de 13 é 832 e sabemos ainda que ( ) 
Logo, existem menos fatores de 13 do que de , portanto a maior potência de 104 que divide 10000! É 
3) Ache o menor valor de n, de modo que a maior potência de 5 que divide n! seja . Quais são os outros números 
que gozam dessa propriedade? 
Primeiro vamos calcular as potências de 5 com relação a n!. 
Pelo Teorema 8.3.2 temos que ( ) 
 ( )
 
 
Desta forma, 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( ) 
Tomando veremos que a potência de de será , pois 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Observamos que para acrescentar mais uma unidade nas potências de 5 precisamos de mais um múltiplo de 5, desta forma 
como precisamos de mais 2 unidades tomaremos 345. 
Assim, 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Veremos para termos expoente 84, o maior valor de n deverá ser 349, pois 350 acrescentariam mais uma unidade. 
Logo, os outros valores deverão ser: 346, 347, 348 e 349. 
 
4) Mostre que não há nenhum número natural n tal que seja a maior potência de 3 que divida n!. 
Temos que: 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( ) 
Faremos agora alguns testes: 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
Observamos que as potências de 3 entre 15 e 18 (múltiplos de 3) é 6 e 8, mostrando que não aparecerá nenhuma potência de 3 
com expoente 7. 
Logo, podemos afirmar que não divide nenhum n!. 
5) Dados e , mostre que 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Prova de [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Tomando , ..., . Como temos que [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] . 
Agora se somarmos membro a membro as igualdades, obteremos 
[
 
 
] [
 
 
] ( ) ( ) 
Desta forma, se ( ) , o que nos dá 
[
 
 
] [
 
 
] ( ) (I) 
No entanto, se ( ) , com temos que[
 
 
] , e assim 
com . Desta forma, 
[
 
 
] [
 
 
] ( ), a qual poderemos afirmar que: 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] (II) 
Portanto , tomando (I) e (II) vamos obter que: 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 
(solução Franjossan) Prova de [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Tomando com , com ..., com . Como temos 
que [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] . 
Agora se somarmos membro a membro as igualdades os restos obteremos: 
( ) ( ) 
Logo, ao tomarmos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )< ( ) . 
Portanto 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
6) (Solução Pablo) Mostre que, se são tais que ( ) , então 
( ) 
 
 
Pelo corolário pág. 106, temos que 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( )( ) 
 
 
 
 
 
(( ) ) 
( ) 
 
 
Como ( ) , segue que . 
Mas 
( ) 
 
 , logo , ou ainda: 
(( ) ) 
 ( ) 
 
 
(( ) ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
Segue que 
( ) 
 
 
7) (solução Helder) Sejam com . Mostre que 
a) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Sejam 
 
 
 [
 
 
] e 
 
 
 [
 
 
] , com e . Assim sendo, temos os seguintes casos 
1º Caso: ⁄ e 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] , temos então [
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Observamos também que: 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] e 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] 
Então, 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
2º Caso: ⁄ e 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] , temos então [
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Observamos também que: 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] e 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] 
Então, 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 
3º Caso: ⁄ e 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] , temos então {
[
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] ⁄
[
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] ⁄ 
 
Observamos também que: 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] e 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] 
Então, 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 
4º Caso: ⁄ e 
 
 ⁄ . Análogo ao 3º caso. 
Portanto, 
 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
b) 
( ) ( ) 
 ( ) 
 é um número natural. 
 
 
Pelo corolário pág. 106, 
Temos que os números abaixo são naturais 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
( ) 
 
( ) ( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
Como 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
( ) 
 É natural, tem se então que 
( ) ( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 também é naturale sabemos ainda que 
( ) 
 
 é natural. 
Portanto, tem-se que 
( ) ( ) 
 ( ) 
 É natural. 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MA14- ARITMÉTICA – UNID. 17 
 
PROFESSORES: 
ROGER MOURA 
CARLOS HUMBERTO SOARES JÚNIOR 
 
GRUPO DE ESTUDO: 
 
ALBERTO CUNHA ALVES 
ALIPRECÍDIO JOSÉ DE SIQUEIRA FILHO 
DANIEL RIBEIRO DA FONSECA 
FÁBIO BARBOSA DE OLIVEIRA 
FRANJOSSAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teresina – Outubro – 2011 
1) Sejam , com . 
a) Mostre que, se e , então . 
Se então e como então . 
Assim, 
 ( ) ( ) 
Como ( ) e ( ) tem-se que e assim 
b) Mostre que, se ( ) e ( ), então 
Tomando tem-se que e tem-se . 
Desta forma, 
 ( ) ( ) 
Como ( ) e ( ) tem-se que . Logo . 
c) Suponha que , . Mostre que 
se n é ímpar, então + ; e, 
se n é par, então . 
 
d) Dê uma outra prova para o Corolário 2 da Proposição 3 . 
 
2) Sejam , com , e . 
a) Mostre que se então . 
Tomando temos que ( ) logo 
b) Mostre que ( )
 
 . 
Temos que ( )
 
 , a qual temos que ao dividir ( )
 por m tem-se que deixa resto 
 , ou seja, 
( )
 
 . 
 
3) Sejam , com p primo. Mostre que, se , então ou . 
Ao tomarmos tem-se que e que ( )( ). Desta forma, tem-se que: 
Ou neste caso tem-se que 
Ou neste caso tem-se que ou ainda que que implica que 
 
4) Ache o resto da divisão 
a) de por 51 
 . Logo, ( ) ou seja, 
Desta maneira para que o resto da divisão por 51 deixe resto zero, precisamos encontrar e , sabendo que 
 
e que , onde . Como , tem-se que Logo, o resto da divisão é 19. 
b) por 11 
Sabemos que pelo pequeno teorema de Fermat que: 
 . Logo, ( ) . Assim, o resto da divisão é de 1. 
c) por 127. 
Temos que . Desta maneira,    
 . 
Logo, o resto da divisão é 126. 
d) por 17 
Sabemos que , pelo pequeno teorema de Fermat. Desta maneira, tem-se que ( ) e que 
 . Desta forma, o resto da divisão é 1. 
e) ( ) por 8 
Sabemos que: 
 e que: 
  
Assim, e desta maneira, tem-se que ( ) . Agora pare encontrar o resta da 
divisão encontremos o resto da divisão de por 8. 
No entanto, sabemos que . Assim, ( ) e que . Portanto, o resto da divisão é 5. 
f) por 3 
Temos que , logo, 
Vejamos agora com relação a 
 
Sabemos que e que ( ) . Podemos observar que . 
Como , tem-se que 
Portanto 
 ( ) . Logo, . O resto da divisão é 0. 
 
g) de ( ) por 
 
5) (ENC 98) O resto da divisão de por 5 é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
Pelo pequeno teorema de Fermat que: 
 , assim ( ) . Logo, o resto da divisão é 1. 
 
6) Para todo , mostre que: 
a) é divisível por 70; 
Observemos que: 
 (corolário 1) 
Temos ainda que pelo pequeno teorema de Fermat que 
Pela proposição 9.1.7, podemos afirmar que: 
 e ainda pelo corolário 1 temos . Logo, . 
Portanto, é divisível por 70. 
 
b) é divisível por 17. 
Primeiro observamos que: 
 Pelo corolário 1 da proposição 9.1.3 
 a qual temos 
 Pelo corolário 1 da proposição 9.1.3 
( ) . Logo 
Portanto, é divisível por 17. 
 
7) Determine o resto da divisão por 7 do número. 
a) 
 
 
 
 
 
 
Temos que: 
 
 
 
Logo, o resto de por 7 é 4. 
Vejamos agora para 
 
 
 
 
No entanto, vemos que 
 
 
Logo, 
 
 
 
Logo, o resto de 
 
 por 7 é 4. 
Vejamos mais um caso. 
 
 
 
Já sabemos que 
 
 . Assim, 
 
 
 
Ao tomarmos os 
 
 numa divisão por 7 teremos que o resto da divisão será 4. Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
Concluímos desta maneira que, o resto da divisão por 7 é igual a 1. 
 
b) 
Tomando o pequeno teorema de Fermat temos que: . Logo 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, podemos afirmar que o resto de por 7 é 3. 
 
c) 
De novo, usaremos o pequeno teorema de Fermat, pois temos que . 
Desta maneira, 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Portanto, o resto da divisão de por 7 é 2. 
 
d) 
Tomando . 
 
( ) 
 
Desta forma, 
 
 
Tomando agora 
 
( ) 
 
Desta forma, 
 
 
Sabemos que encontrar o resto da divisão de por 7 é o mesmo que 
 
Logo, o resto da divisão é 4. 
 
8) Determine o resto da divisão por 4 do número 
a) 
Observando as potências com tem-se que . Logo, 
Desta forma, 
 
O resto é 3. 
 
b) 
Pelo item anterior os múltiplos de 4 deixam resto 0 quando divididos por 4. 
Assim, as potências dos números pares deixam resto 0, pois aparecem , desta maneira temos. 
 
Logo, precisamos saber o resto da divisão de por 4. Podemos observar que todos ( ) deixam resto 1 
quando divididos por 4. Assim, 
 ( ) 
Logo, o resto é 2. 
 
9) Determine o algarismo das unidades do número 
 
. 
Sabemos que e sabemos pelo corolário 2 que se tem-se . 
Assim, como é ímpar, tem-se que: 
 
 
 
 
 , pois é do tipo , ou seja, é ímpar. Desta forma, temos que: 
 
 
 
Logo, o termo das unidades é 9. 
10) Ache os algarismos das centenas e das unidades do número . 
Sabemos que: 
 
( ) 
 
Desta maneira, tem-se que a unidade é 3 e a centena 3. 
 
11) Mostre, para todo , que 
a) 
 , tem-se que e logo, ( )( ). Como ( )( ) segue que 
 e pelo corolário 1 tem-se que . 
 
b) 
Temos que ( )( ) e como , tem-se que e portanto 
 . 
 
12) Se , então 
 tem-se que . Assim, como ( )( ). Logo ou . Assim, 
 o que nos dá ou . 
 
13) Suponha que 
 
 . Mostre que: 
 
 , . 
Sabemos que 
 , pois 
 
 . Desta maneira, pela proposição 9.1.7 temosque: 
 
 
 
 para cada . 
 
14) Ache o menor número natural que deixa restos 5 , 4 , 3 e 2 quando dividido, respectivamente, por 6 , 5 , 4 e 3 . 
Podemos observar que: 
 , ou seja, . Assim, 
 
Assim, 
 
Como . Temos desta forma que . Logo, 
 
 
 
15) 
a) Mostre que um quadrado perfeito é congruente a 0, 1 ou 4 , módulo 8. 
Observamos que um número pode ser escrito da forma . Assim, temos que pode ser escrito como: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Logo, os restos de qualquer quadrado perfeito ao ser dividido por 8 é 0, 1 ou 4. 
b) Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na sequência: 
Tomando o número 2 já sabemos que o mesmo não é quadrado perfeito. No entanto, vamos observar que um número é 
quadrado perfeito se deixa resto o, 1 ou 4 quando divididos por 8. 
Tomando ou outros valores temos 
 
 
 
 
Como, ao dividir por 8 sempre deixa resto 6. Desta maneira, como não deixa resto 0, 1 ou 4. Logo, dentre os números 
 não existe um quadrado perfeito. 
 
c) Mostre que não há nenhum quadrado perfeito na PA: 
A PA: são dados pelos números da forma ( ) , a qual podemos ver que numa divisão por 8 terá 
como resto 3, ou seja, 
 ( ) 
Ora, como na divisão por 8, não deixa resto nem 0, 1 ou 4 temos que na PA: não há quadrado perfeito. 
16) Mostre que a soma dos quadrados de quatro números naturais consecutivos nunca p o de ser um quadrado. 
Tomando , temos que a soma dos quadrados de quatro números consecutivos será dado por: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) . Assim, 
 ( ) ( ) ( ) . 
Já vimos em questões anteriores que para ser quadrado perfeito, o número precisa deixar resto 0, 1 ou 4 quando divididos por 
8, o que não acontece com a soma dos quadrados acima. 
 
17) Mostre que nenhum número natural da forma pode ser escrito como a soma de dois quadrados. 
Um quadrado pode ser escrito como: 
 (I) ou (II) ou (III) 
Assim, Tomando estes valores dois a dois teremos: 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
Desta forma, vemos que a soma de dois quadrados não tem como resultado . 
 
18) Se , mostre, para a ímpar, que 
 
 . 
Provemos que por indução que 
 
 . Lembrando que a é ímpar, então podemos escrever 
i) Para , temos que: 
 
 
 ( ) 
ii) Vamos supor válido que 
 
 , o que nos dá que 
 
 
Supor válido para 
( ) 
 , o que nos dá 
 . 
Tomando 
 
( ) 
 
 
 
 
 ( 
 
)
 
 ( 
 
 ) ( 
 
 ) 
 ( ) ( ) 
 ( )