TESTE DE HIPÓTESES5 lâminas

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TESTE DE HIPÓTESES
PROF. DR. EDMAN ALTHEMAN
CURVA NORMAL REDUZIDA
Z =
Z = Variável normal reduzida
X = Variável original
= Média populacional
σ = Desvio padrão populacional
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES – VARIÁVEL NORMAL REDUZIDA
EXEMPLOS/EXERCÍCIOS
EXEMPLOS/EXERCÍCIOS
EXEMPLOS/EXERCÍCIOS
Exercício 1.1. A variável X tem distribuição normal com µ = 150 e σ = 30. Determinar as probabilidades: 
P(X<202,5) ;	P(120<X<165) ; P(180<X<210)
Exercício 1.2. Para a distribuição normal com µ = 200 e σ = 50, determinar os valores de X tais que se tenha a probabilidade
 α = P(|x≥X|) = 0,05 (5%).
Exercício 1.3. Num processo industrial tem-se µ = 10,0 com σ = 0,02. Qual é a probabilidade de se encontrar, numa amostra retirada aleatoriamente desse processo, um resultado igual ou maior que 10,03? 
Exercício 1.4. Numa panificadora admite-se que um pacote de 1 kg pode ter uma variação de ± 10 g. Qual é a probabilidade de ser encontrado um pacote com mais de 1015 g.
Exercício 1.5. Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição
da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de 
algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão 
de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos 
com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m., 
respectivamente. 
(a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B. 
(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B. 
(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?
EXERCÍCIOS
Exercício 1.6. A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8;1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm? 
Exercício 1.7. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades 
com as especificações.
Exercicio 1.8. Suponha que as medidas da corrente elétrica em pedaço de fio sigam a distribuição Normal, com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliamperes. 
(a) Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes? 
(b) Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliamperes?
(c) Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar abaixo desse valor seja 0,98. 
Exercicio 1.9. O diâmetro de um eixo de um drive óptico de armazenagem é normalmente distribuído, com média 0,2505 polegadas e desvio-padrão de 0,0005 polegadas. As especificações do eixo são 0,2500±0,00015 polegadas. Que proporção de eixos obedece às especificações?
 Exercicio 1.10. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 cm e o desvio-padrão é 0,005. A finalidade para qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 cm. Se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.
Exercicio 1.11. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150000 km e desvio-padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: 
(a) Menos de 170000 km? 
(b) Entre 140000 km e 165000 km? 
(c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%? 
CONCEITO
UMA HIPÓTESE ESTATÍSTICA É UMA AFIRMAÇÃO OU SUPOSIÇÃO SOBRE UM PARÂMETRO, OU PARÂMETROS, DE UMA POPULAÇÃO (OU POPULAÇÕES);
PODE TAMBÉM SE REFERIR AO TIPO, OU NATUREZA, DA POPULAÇÃO (OU POPULAÇÕES)
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
VERIFICAÇÃO DO TIPO DE TESTE DE HIPÓTESES A SER ESTUDADO
1 MÉDIA COM DESVIO PADRÃO POPULACIONAL CONHECIDO;
2 MÉDIA COM DESVIO PADRÃO POPULACIONAL DESCONHECIDO
3 PROPORÇÕES
4 VARIÂNCIA
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
2.ENUNCIADO DAS HIPÓTESES NULA (H0) E ALTERNATIVA (H1)
A hipótese nula é usada para qualquer hipótese estabelecida prioritariamente para verificar-se se ela pode ser rejeitada
Como analogia, pode-se falar da pressuposição de inocência de um réu que continua a existir até que se prove o contrário, ou seja, até que se rejeite a sua inocência
A hipótese alternativa deve ser formulada junto com H0, pois, de outra forma, não saberíamos quando rejeitar H0
H0=> µ = µ0 	ou	H0=> µ = µ0		ou	 H0=> µ = µ0
H1=> µ > µ0		H1=> µ < µ0			 H1=> µ µ0
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
3. ADOÇÃO DE NÍVEIS DE SIGNIFICÂNCIA (α= alfa)
O nível de significância α é fixado para que se tenha determinada qual a probabilidade de rejeitar H0 quando, na realidade H0 é verdadeira.
Na linguagem estatística, α específica a probabilidade de ocorrência de um erro tipo I, ou seja o nível de significância do teste é α
Usualmente, 1%<α<5%
Situações dos testes de hipóteses: 
		Aceitar H0	Rejeitar H0
	H0 é verdadeira	Decisão correta	Erro Tipo I
	H0 é falsa	Erro Tipo II	Decisão correta
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
4. DETERMINAÇÃO DA ESTATÍSTICA DE TESTE
4.1 MEDIA COM DESVIO PADRÃO CONHECIDO
			
Onde, z= variável normal reduzida do teste 
	= media amostral
	= media populacional
	= desvio padrão populacional
	= tamanho da amostra testada
calc
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
4. DETERMINAÇÃO DA ESTATÍSTICA DE TESTE
4.2 MEDIA COM DESVIO PADRÃO DESCONHECIDO
			
Onde, t= variável “t” de Student do teste
	= media amostral
	= media populacional (estimativa)
	= desvio padrão amostral (estimativa)
	= tamanho da amostra testada
calc
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
4. DETERMINAÇÃO DA ESTATÍSTICA DE TESTE
4.3 PROPORÇÃO
			 
Onde, z= variável normal reduzida do teste
	= proporção da variável na amostra
	= proporção da variável na população
	= tamanho da amostra testada
calc
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
4. DETERMINAÇÃO DA ESTATÍSTICA DE TESTE
4.3 VARIÂNCIA
			
Onde, = variável qui-quadrado
	= desvio padrão amostral
	= desvio padrão populacional
	= tamanho da amostra testada
calc
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
5. Conclusão do teste (rejeitar ou não H0)
Distribuição normal de 
probabilidades
Distribuição t de Student 
de probabilidades
Distribuição qui-quadrado 
de probabilidades
5. VERIFICAÇÃO DA ESTATÍSTICA ASSOCIADA À SIGNIFICÂNCIA DO TESTE
PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPÓTESES
5. Conclusão do teste (rejeitar ou não H0)
6. DECISÃO SOBRE A REJEIÇÃO DA HIPÓTESE NULA
zα
zcalc
REJEITAMOS H0
zα
zcalc
NÃO REJEITAMOS H0
zα
zcalc
REJEITAMOS H0
DISTRIBUIÇÃO “t” de STUDENT
DISTRIBUIÇÃO “Х2”
EXEMPLO
Uma oceanógrafa, com base numa amostra aleatória de tamanho n=35 e ´nível de significância de 5%, quer testar se a profundidade média do oceano numa determinada área é de 72,4 metros, conforme registrado. O que ela decidirá se obtiver média amostral de 73,2 metros e se puder supor, usando informações de estudos anteriores análogos, que o desvio padrão populacional σ= 2,1metros?
1. PASSO: tipo de teste => media com desvio padrão conhecido
2. PASSO: enunciado das hipóteses => 	Ho => µ = 72,4
				H1 => µ >72,4 
3. PASSO: Nível de significância => α = 5% => zα = 1,64
4. PASSO: Cálculo da estatística do teste => zcalc = (73,2-72,4)/(2,1/ = 2,42
5. PASSO: Rejeição ou não rejeição de H0 	
		 					 REJEITAMOS H0
zα
zcalc
LISTA DE EXERCÍCIOS – TESTE DE HIPÓTESES
1- Sabe-se que o custo mensal per capita dos dispêndiosde uma indústria tem distribuição normal, com desvio padrão R$750,00. A diretoria da organização resolveu que iniciaria uma grande campanha para redução de custos caso seu valor médio fosse maior que R$4000,00 per capita. Caso contrário, não iniciaria a campanha. Foi realizada uma pesquisa de opinião a partir de uma amostra de 45 colaboradores e foi verificado que a média dos dispêndios mensais desses indivíduos foi de 3900,00. Com  = 4%, qual decisão deve ser tomada pela diretoria?
2-Uma fábrica de eletrodomésticos sabe que os aparelhos de sua fabricação têm duração normal com média de 2 anos e desvio-padrão de 6 meses. Qual a probabilidade de que um aparelho, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, dure: 
(a) Menos de 28 meses? 
(b) Entre 26 meses e 30 meses 
(c) Se a fábrica substitui o aparelho que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de aparelhos substituídos seja inferior a 2%? 
3-As especificações de uma dada droga veterinária exigem 23,2g de álcool etílico. Uma amostra de 10 análises do produto apresentou um teor médio de álcool de 23,5g com desvio padrão de 0,24g. Pode-se concluir ao nível de significância de 1% que o produto satisfaz as condições exigidas?
4- Um processo deveria produzir mesas com 0,95m de altura. O engenheiro desconfia que as mesas que estão sendo produzidas são menores que o especificado. Uma amostra de 12 mesas foi coletada e indicou média de 0,943. Sabendo que o desvio padrão populacional é 0,012, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de 5%.
EXEMPLO 
Afirma-se que 40% de todos os consumidores conseguem identificar uma marca amplamente anunciada. Se, numa amostra aleatória, 50 dentre 90 consumidores foram capazes de identificar a marca, teste, com 5% de significância, se devemos aceitar ou rejeitar que existe esse conhecimento
1. PASSO: tipo de teste => proporções
2. PASSO: enunciado das hipóteses => 	Ho => p=40%
				H1 => p > 40%
3. PASSO: Nível de significância => α =5% => zα = 1,64
4. PASSO: Cálculo da estatística do teste => zcalc = (55,5-40)/5,2
5. PASSO: Rejeição ou não rejeição de H0 	
		 					
zα
zcalc
REJEITAMOS H0, ou seja, há uma tendência de que o 
conhecimento da marca não seja de 40%, mas ,sim, 
um valor superior a 40%. De modo mais claro, devemos 
Entender que há o conhecimento da marca
LISTA DE EXERCÍCIOS – TESTE DE HIPÓTESES
 
5- Um determinado banco garante que apenas 48% de seus clientes fazem aplicações todos os meses. A fim de verificar a veracidade desta afirmação, foram analisados 500 clientes que têm aplicações com o banco dos quais 250 responderam, em um questionário aplicado a todos, que fazem estas aplicações. Discuta a afirmação do gerente.
6-Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o radar, são verificadas 8% de infrações diárias por excesso de velocidade acima de 100Km/hora. O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram: 8, 9, 6, 7, 8, 12, 7, 9, 6, 11%. Os dados trazem evidência de aumento nas infrações? (com 4% de significância).
7-Um determinado fabricante garante que suas máquinas produzem apenas 5% de peças defeituosas. A fim de verificar a veracidade desta afirmação, foram analisadas 1000 peças produzidas por uma máquina das quais 40 peças apresentaram algum tipo de defeito. Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção de peças defeituosas e discuta a afirmação do fabricante.
 
8-Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de peças defeituosas. A cada 15 minutos sorteia-se uma amostra de 40 peças e havendo mais do que 15% de peças defeituosas a produção é parada. Se num determinado momento, o número de peças defeituosas for 8, qual seria a decisão?
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – TESTE DE HIPÓTESES
 
9-A percentagem média da receita municipal dos quase 600 municípios de um estado têm sido 7%. O governo pretende melhorar este índice e, para isso, está estudando alguns incentivos. Para verificar os efeitos destes incentivos, sorteou 10 cidades e estudou quais seriam as percentagens investidas neles. Os resultados foram: 8, 10, 9, 11, 8, 12, 16, 9, 12, 10. Admitindo que estes números venham a ocorrer, os dados trazem evidência de melhoria? (Adote 5% de significância).
 
10-Um laboratório de vacinas contra febre aftosa reivindicou que ela imuniza 90% dos animais. Em uma amostra de 200 animais, nos quais foram aplicados a vacina, 160 foram imunizados. Verificar se a declaração do fabricante é verdadeira ao nível de 5%.
 
11-As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até os 70 anos é de 0,5. Testar essa hipótese ao nível de 3% se, em 800 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se que há 350 sobreviventes até 70 anos.
LISTA DE EXERCÍCIOS – TESTE DE HIPÓTESES
 
12- O rótulo de uma caixa de sementes informa que a taxa de germinação é de 90%. Entretanto, como a data de validade está vencida, acredita-se que a taxa de germinação seja inferior a este número. Faz se um experimento e de 400 sementes, tomadas ao acaso, 350 germinam. Qual a conclusão ao nível de 5% de significância?
 
13- Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças de sua linha de produção para análise da qualidade. As peças da amostra são classificadas como defeituosas ou não, sendo que a política da empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidência de mais que 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra, foram encontradas nove peças defeituosas. Usando nível de significância de 1%, o processo precisa ser revisto?
 
14- Um estudo é realizado para determinar a relação entre uma certa droga e certa anomalia em embriões de frango. Injetou-se 50 ovos fertilizados com a droga no quarto dia de incubação. No vigésimo dia de incubação, os embriões foram examinados e 7 apresentaram a anomalia. Suponha que se deseja averiguar se a proporção verdadeira é inferior a 25% com um nível de significância de 0,05.
 
15- Suponha que a experiência tenha mostrado que dos alunos submetidos a determinado tipo de prova, 20% são reprovados. Se de uma determinada turma de 100 alunos, são reprovados apenas 13, pode-se concluir, ao nível de significância de 5%, que estes alunos, são melhores? 
A extração de 6 amostras de lotes de minério de bauxita acusou os seguintes pesos
(em toneladas): 1,4; 1,6; 0,9; 1,9; 2,2; e 1,4. A partir dessa amostra o que se pode concluir acerca da afirmação de que o lote médio seja de 1,5 ton com um nível de significância de 5%?
1. PASSO: tipo de teste => media com desvio padrão desconhecido
2. PASSO: enunciado das hipóteses => 	Ho => µ = 1,5
				H1 => µ >1,5 
3. PASSO: Nível de significância => α =5% => GL=5 => tα = 2,015
X=(1,4+1,6+0,9+1,9+2,2+1,4)/5=1,57
S=√(0,17*0,17+0,03*0,03+0,67*0,67+0,33*0,33+0,63*0,63+0,17*0,17)/6 =√1,01/6=0,41
4. PASSO: Cálculo da estatística do teste => tcalc= (1,57-1,5)/(0,41/√6) = 1,02
5. PASSO: Rejeição ou não rejeição de H0 	
		 					
tα
tcalc
NÃO PODEMOS REJEITAR H0, ou seja, não se pode dizer 
que o lote médio não pesa 1,5 ton
EXEMPLO: 
LISTA DE EXERCÍCIOS – TESTE DE HIPÓTESES
 
12-Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o radar, são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade. O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram: 8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10. Os dados trazem evidência de aumento nas infrações? (com 5% de significância)
13-A média dos valores de aplicações de uma organização financeira é R$ 8000,00. Recentemente, uma campanha publicitária procurou incentivar as aplicações. A fim de determinar o efeito da campanha, 10 amostras foram testadas. Os valores observados foram: 7820,00 ; 7930,00 ; 7740,00 ; 7570,00 ; 7360,00 ; 7940,00 ; 7670,00 ; 7120,00 ; 7430,00 ; 7520,00
Podemosconcluir que o ajuste mudou o valor médio das aplicações? (Adote um nível de significância de 3%)
14-Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 25 minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou para ser atendido. O resultado dessa pesquisa encontra-se na tabela abaixo:
	21	27	26	24	28	25	24	27	29	26
	22	26	25	23	27	26	25	28	29	25
Comente o resultado, sabendo que o nível de significância é de 5%
15-A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável, com uma resistência média de 72 kg/mm2. Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas. Os valores observados foram: 76,2	78,3	76,4	74,7	72,6	78,4	75,7	70,2	73,3	74,2
Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração do aço? (Adote um nível de significância de 5%)
Uma máquina molda engrenagens em uma fundição. Uma amostra aleatória de 20 engrenagens resulta em uma variância da amostra do seu diâmetro do componente de S2=10mm2. Se a variância do diâmetro exceder 9 mm2, existirá uma proporção inaceitável de componentes fora da especificação. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com componentes fora da especificação? Use α=5% e considere que os diâmetros dos componentes têm distribuição normal.
1. PASSO: tipo de teste => variância
2. PASSO: enunciado das hipóteses => 	Ho => σ2 =9
				H1 => σ2 >9 
3. PASSO: Nível de significância => α =5% => GL=19 => Х2 = 30,14
4. PASSO: Cálculo da estatística do teste => Х2 calc= (20-1)10/9= 21,1
5. PASSO: Rejeição ou não rejeição de H0 	
		 					
Х2
Х2 calc
NÃO PODEMOS REJEITAR H0, ou seja, não se pode dizer 
que a variância não seja de 9mm2
EXEMPLO: 
LISTA DE EXERCÍCIOS – TESTE DE HIPÓTESES
16-	Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal, com desvio padrão 2 	Kg2. A diretoria da empresa que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a 	variância do consumo mensal fosse maior que 4 Kg2. Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa 	de mercado a partir de uma amostra de 25 	indivíduos e foi verificado que a variância do consumo mensal desses 	indivíduos foi de 5 Kg2. Com α=5%, qual decisão deve ser tomada pela diretoria?
17-	Uma máquina é utilizada para fabricar componentes de um fogão. Uma amostra aleatória de 30 fogões resulta 	em uma 	variância da amostra do diâmetro do componente de S2=15mm2. Se a variância do diâmetro exceder 13 mm2, existirá 	uma proporção inaceitável componentes fora da especificação. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o 	fabricante tenha um problema com componentes fora da especificação? Use α=5% e considere que os diâmetros dos 	componentes têm distribuição normal.
18-	Uma máquina ATM é utilizada para fornecer serviços aos clientes de uma agência bancária. Uma amostra aleatória 	de 30 clientes atendidos resulta em um desvio padrão do tempo de atendimento do cliente de s=4min. Se o desvio 	padrão do atendimento exceder 3min, existirá uma proporção inaceitável de clientes insatisfeitos com a falta de 	expectativa para ser atendido. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o tempo de atendimento no 	equipamento esteja criando esta falta de expectativa? Use α=5% e considere que os tempos de atendimento têm 	distribuição normal.
EXERCÍCIOS ADICIONAIS– TESTE DE HIPÓTESES
1-	Uma estudante deseja verificar a frase de sua professora de que fraudadores condenados passam uma media de 6,1 	meses na cadeia, procurado elementos para dizer que isso não acontece. Ela colheu os dados de 35 ex-detentos de 	forma aleatória e pretendeu que o teste tivesse 5% de significância. Essa amostra revelou que a media de permanência 	na cadeia foi de 5,8 meses. Sabe-se que o desvio padrão dessa populacional é de 1,9 meses. Qual a conclusão do teste?
2-	De acordo com as normas de uma entidade educacional, os alunos da 3ª etapa de um curso deveriam apresentar uma 	media 6,0 para aprovação (com desvio-padrão 0,8 ). Um professor acha que seus alunos estão acima dessa media e, 	para tentar provar isso ele decide averiguar a media de notas de uma turma de 45 alunos, obtendo o valor 6,7. Com 1% 	de significância, o que se pode concluir a respeito?
3-	Uma máquina de café expresso, testada 10 vezes, forneceu uma media de 75 ml de líquido. Supondo que esses dados 	possam ser considerados uma amostra aleatória de uma população normal com desvio padrão 1,8 ml e media 70 ml, 	 o que se pode concluir a respeito da media servida de café, com significância 3%?
4- 	Uma amostra aleatória extraída dos registros de uma operadora de turismo apresentou o número de dias em que a 	ocupação das cabines reservadas em sua cota ocorreu: 16, 16, 14, 17, 16, 19, 18, 16, 17, 14, 15, 12, 16 18, 11 e 9 dias. 	Supondo que a população da amostra apresente distribuição normal teste a hipótese nula H0=14 dias, ao nível de 	significância de 5%
5-	Cinco cães São Bernardo pesam 64, 66, 65, 63 e 62 quilogramas. Mostre que a média dessa amostra difere 	significativamente da media admitida de 60 quilogramas, admitida para a população. Use 1% de significância.
EXERCÍCIOS ADICIONAIS– TESTE DE HIPÓTESES
6-	Para avaliar certas características de segurança de um carro, um técnico precisa saber se o tempo de reação dos 	motoristas a uma determinada situação de emergência tem desvio padrão de 0,010 segundos, ou se é superior a esse 	valor. O que se pode concluir com nível de significância de 5% se o técnico obtiver a seguinte amostra aleatória de n=15 	tempos de reação:
			0,32	0,30	0,31	0,28	0,30
			0,31	0,28	0,31	0,29	0,28
			0,30	0,29	0,27	0,29	0,29
TESTE DE HIPÓTESES - DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS
(AMOSTRAS INDEPENDENTES)
Enunciado de Hipóteses
H0=> µ1 - µ2 = 0	ou	H0=> µ1 - µ2 = 0	ou	H0=> µ1 - µ2 = 0	
H1=> µ1 - µ2 > 0		H1=> µ1 - µ2 < 0 		H1=> µ1 - µ2 ≠ 0
Estatística do Teste
Z= (x1-x2) –(µ1 - µ2 ) 
 √(σ12/n1 + σ222)
TESTE DE HIPÓTESES - DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS
EXERCÍCIO 1:
Em um estudo para testar se há ou não diferença entre a altura média de mulheres adultas em dois países diferentes, amostras aleatórias de tamanho n1 =120 e n2 = 150 deram resultados x1 = 162,7 cm e x2 = 161,8 cm. Estudos intensos desse tipo mostraram que é razoável tomar σ1 = 7 cm e σ2 = 8 cm. Teste ao nível de significância 5% se há diferenças entre as amostras.
EXERCÍCIO 2:
Amostras aleatórias mostraram que 40 executivos do ramo de seguros debitaram uma média de 9,4 almoços de negócios como despesas dedutíveis a cada duas semanas, enquanto que 50 executivos do setor bancário debitaram uma media de 7,9 almoços de negócios como despesas dedutíveis a cada duas semanas. Se adotássemos σ1 = σ2 = 3,0 para esses dados, teste ao nível de significância 5% se é significante a diferença entre essas duas médias amostrais.
EXERCÍCIO 3:
Uma investigação de dois tipos de equipamento reprográfico mostrou que uma amostra aleatória de 60 quebras de um dos tipos de equipamento levou uma média de 84,2 minutos para consertar, enquanto que uma amostra aleatória de 60 quebras de outro tipo de equipamento levou uma média de 91,6 minutos para consertar. Se, com base em informação colateral, pudermos supor que σ1 = σ2 = 19,0 minutos para esses dados, teste ao nível de 2% se a diferença entre as duas médias amostrais é significante
CURVA NORMAL REDUZIDA
CURVA NORMAL REDUZIDA 
Qual a probabilidade de ocorrência de um evento que está correlacionado com uma curva normal e que está contido entre as variáveis normais reduzidas: 
a) z= -0,75 e -1,75					b) z= -0,75 e 1,75	
c) z=-1,35 e -0,55						d) z=-2,5 e 0
 
18) Qual o valor de z que corresponde a uma probabilidade na curva normal de: 
a) 80%				b)1%				c)10%		
d)42%				e)61%				f)70%	
 
CURVA NORMAL REDUZIDA 
19)Quais as probabilidades de ocorrência de um fenômeno cuja variável normal reduzida z seja:
< -1,56
< 1,56
> 1,78
>-1,78-1,24 <z<-0,41
-1,65<z<0
CURVA NORMAL REDUZIDA 
Qual a probabilidade de ocorrência de um evento que está correlacionado com uma curva normal e que está contido entre as variáveis normais reduzidas: 
a) z= -0,88 e -1,44					b) z= -0,88 e 1,44	
c) z=-1,26 e -0,67						d) z=-1,5 e 0
 
18) Qual o valor de z que corresponde a uma probabilidade na curva normal de: 
a) 69%				b)2%				c)8%		
d)46%				e)57%				f)80%	
 
CURVA NORMAL REDUZIDA 
19)Quais as probabilidades de ocorrência de um fenômeno cuja variável normal reduzida z seja:
< -1,25
< 1,25
> 1,48
>-1,48
-1,18 <z<-0,37
-1,25<z<0
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES – VARIÁVEL NORMAL REDUZIDA
EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1 
 
Um teste de inteligência foi aplicado em um grupo de 50 adolescentes do 3o ano do 20 grau. Os 
resultados obtidos apresentaram uma distribuição aproximadamente normal, com média 50 e 
desvio padrão 6. Qual é o percentual de alunos com notas superiores a 60? 
 
Resposta: P (X>60) = 4,75% 
 
Qual é o percentual de alunos com notas entre 44 e 60? 
 
Resposta: P( 44 X < 60) = 34,13% + 45,25 = 79,38% 
 
Qual é o percentual de alunos com notas compreendidas entre 35 e 45? 
 
Resposta: P( 35<X<45) = 49,38 – 29,67 = 19,71% 
 
Com os dados do problema acima, determinar a nota abaixo da qual se situam 75% dos alunos. 
 
Resposta: Nota 54,08 (z=0,68, na realidade teremos 75,17% de alunos abaixo de 54,08) 
 
Achar a probabilidade de que um valor escolhido ao acaso seja superior a 50, n uma distribuição 
aproximadamente normal de média 35 e desvio padrão 8. 
 
Resposta: 0,03005 
 
Sejam os seguintes valores típicos obtidos na aplicação de um inventário de personalidade 
destinado a medir, dentre outras variáveis, a dimensão agressividade: Média = 6,74 e s = 2,30. 
Qual a probabilidade de se encontrar, ao acaso, um valor inferior a 3,40? 
 
Resposta: 0,07353 = 7,35% 
 
Determine os valores de z, simétricos em relação à origem, tais que a probabilidade de um valor 
escolhido ao acaso se encontrar fora do intervalo assim obtido seja 0,05. 
 
Resposta: z = -1,96 e z = + 1,96 
 
Suponha que o tempo médio de permanência em um hospital para doenças crônicas sejam 50 
dias, com um desvio padrão igual a 10 dias. Se for razoável pressupor que o tempo de 
permanência tem distribuição aproximadamente normal, qual é a probabilidade de um paciente 
permanecer no hospital: a) mais de 30 dias b) menos de 30 dias? 
 
a) 97,72% b) 2,28% 
 
Em certa população, a estatura dos homens tem distribuição normal, com médi a igual a 172 cm 
e desvio padrão 10 cm. 
 
14.1 – Que percentagem de homens tem estatura inferior a 160 cm? 
 
14.2 – Qual a probabilidade de que um homem dessa população tenha estatura entre 175 e 185 
cm? 
 
14.3 – Quais são as estaturas esperadas para os 8% ma is altos da população? 
Resposta 14.1 – 11,51% 14.2 – 0,2853 14.3 – 186 cm ou mais 
15. Preocupado com o desempenho em matemática dos alunos da 8ª. série, certa escola deseja 
proporcionar aulas extras para aqueles que têm mais dificuldade nessa matéria. Os professores 
têm condições de atender 10% do total de alunos da 8ª. série. Sabendo que as notas nessa série 
têm distribuição normal, com média igual a 7,0 e desvio padrão igual a 1, determine a nota 
abaixo da qual o aluno receberá aulas extras. 
 
Resposta 15. z=1,28 ( nota = 5,7 
 
Em determinado concurso, havia 600 candidatos para 120 vagas. Realizada a prova, o número 
médio de acertos foi 70, com desvio padrão 5. Qual o número mínimo de acertos para que um 
candidato se classifique, sabendo que est a variável apresentou distribuição normal? 
 
Repostas: 16. z = 0,84 ( 74,2) 
 
17) Qual a probabilidade de ocorrência de um evento que está correlacionado com uma curva 
normal e que está contido entre as variáveis normais reduzidas: 
a) z= -0,75 e -1,75 b) z= -0,75 e 1,75 c) z=-1,35 e -0,55 d) z=-2,5 e 0 
 
18) Qual o valor de z que corresponde a uma probabilidade na curva normal de: 
a) 80% b)1% c)10% d)42% e)61% f)70% 
 
 19)Quais as probabilidades de ocorrência de um fenômeno cuja variável normal reduzida z seja: 
1. < -1,56 
2. < 1,56 
3. > 1,78 
4. >-1,78 
5. -1,24 <z<-0,41 
6. -1,65<z<0 
7. 1,65<z<1,98