7° Fatoração e Simplificação

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(
Aulas Particulares 
Prof.
: Nabor
Nome 
da aluno
: 
Disciplina: 
Matemática
 
 Série: 
 
 
 
 Data:
 
/ /
 
Prof.
: Nabor Nunes de Oliveira 
Netto
www.profnabor.com.br
)
fatoração utilizando fator comum em evidência
Calcula:
Se quizeres saber se esse resultado está correto, o que terias que fazer? Por quê? 
Então, o monômio pelo qual dividiste todos os termos é chamado de fator comum. Nesse caso o fator comum é 
Lembrando:
Fatorar um polinômio significa escrever o polinômio na forma de uma multiplicação.
Logo, fatorar colocando o fator comum em evidência, significa fazer o “oposto” da distributiva, ou seja, significa colocar na frente de um parênteses o monômio (com o maior coeficiente e com o maior expoente possível) que divide todos os termos desse polinômio.
OBS; colocar em evidência = destacar
Exemplos:
 
Observação:
O fator comum literal é sempre a letra que aparece em todos os termos com o menor expoente.
Exercício: Fatora por fator comum:
a) a6 – 4a² = 
b) 4x³ + 2x² + 6x  =
c) 6x³y³ – 9x²y + 15xy² =
d) 8b4 – 16b² – 24b7 =
e) 8x² – 32x – 24  =
f) 3x² – 9xy + 6x + 21x3 =
g) 5a²b³c4 + 15abc + 50a4bc2 =
Exercício: Fatorando obtemos:
a) 	b) c) d) 
Exercício: Se , então é igual a:
a) 30		b) 60 c) 40 	d) 120
fatoração utilizando fator comum em evidência - Exercícios
Exercício: Fatora por fator comum:
a) b) 
c) d) 
Exercício: Dado o polinômio ,determina:
a) a forma faorada desse polinômio:
b) seu valor numérico para e 
fatoração por agrupamento
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum). Para fazer o agrupamento, precisamos usar a fatoração por fator comum em evidência.  Na verdade, vamos aplicar duas vezes a fatoração, usando o processo do fator comum.
Exemplo:
 (
Fator
comum
Fator
comum
Fator
comum
(binômio)
)4x² + 8x + 6xy + 12y  = 4x(x + 2) + 6y(x + 2) = = (4x + 6y) (x + 2) 
Exercício: Fatora as expressões
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Exercício: Dado o polinômio ,determina:
a) a forma faorada desse polinômio:
b) seu valor numérico, sabendo que e .
Fatoração da diferença de dois quadrados
O produto notável produto da soma pela diferença de um binômio sempre dá como resultado a diferença entre o quadrado do 1º termo e do segundo. Então é possível fazer o caminho inverso. 
Lembrando: . 
Então, fatorando:
							
 							 
							
 							 
	 								 
				
Roteiro:
1. Achar a raiz quadrada de cada termo
2. O resultado será o produto da soma pela diferença entre esses dois termos.
Exercício: Fatora as expressões o máximo possível:
a) b) c) d) e) f) 
g) h) 
Exercício: Fatora as expressões, primeiramente por fator comum, e depois, se possível, pela diferença de dois quadrados:
a) b) 
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
O produto notável quadrado da soma de um binômio ou quadrado da diferença de um binômio sempre dá como resultado o primeiro termo ao quadrado mais o segundo termo ao quadrado + ou - o dobro do primeiro termo pelo segundo. Então é possível fazer o caminho inverso. Exemplo:
Lembrando: 
							
 						 
							 
 						 		 
	 								 
Teste				 Teste 
Então:
	 e 
Roteiro para fatorar TQP
1. Achar a raiz quadrada dos dois termos que tem raiz exata
2. O termo sem raiz quadrada exata deve ser o dobro do produto das raízes
3. O resultado terá o sinal do termo sem raiz quadrada exata.
I- Marca os trinômios que são quadrados perfeitos:
a) 		b) 			c) 
d) 		e) 			f) 
II- Fatora os T.Q.P. que encontraste no exercício 1:
Roteiro para fatorar:
1. Verificar se existe um fator comum. Se existir, deve-se colocá-lo em evidência.
2. Verificar se é um trinômio quadrado perfeito. Se for, escrevê-lo na forma de potência.
3. Verificar se é uma diferença de dois quadrados. Se for, escrevê-lo como o produto da soma pela diferença.
4. Verificar se é um polinômio com 4 termos ou mais e verificar se, nesse caso, é possível o agrupamento.
5. Após fatorar a primeira vez, ver se nos parênteses ficou um dos casos acima. Em caso positivo, fatorar de novo.
Exercícios
Fatora completamente as expressões, aplicando os casos estudados:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
· Frações algébricas são aquelas que têm variáveis no denominador.
Para simplificar frações algébricas:
· Se os termos forem monômios, cancelamos os fatores comuns;
· Se forem polinômios, fatoramos o numerador e/ou o denominador e, 
depois, cancelamos os fatores comuns.
· Para fatorar o numerador e/ou o denominador, usamos a seguinte 
ordem:
[1] Primeiramente, colocamos o(s) fator(es) comum(comuns) em evidência;
[2] Depois:
a) Se obtivermos um binômio, verificamos se é uma diferença
de dois quadrados e o fatoramos;
b) Se for um trinômio, verificamos se é um T.Q.P. e o
fatoramos;
c) Se tiver quatro termos ou mais, verificamos se é possível realizar o agrupamento.
Observações:
Como o denominador de uma fração nunca pode ser igual a zero, vamos sempre considerar diferente de zero o denominador literal de uma fração algébrica.
Uma fração que não admite mais simplificação é chamada de irredutível.
Exercício: Fatora, se necessário, e simplifica, se possível, tornando as frações 
irredutíveis:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
(
)
comum
fator
my
mx
¯
-
=
-
K
K
K
K
K
K
25
5
=
-
16
4
2
a
=
-
3
5
3
3
x
x
(
)
=
+
+
+
=
+
2
2
2
b
ab
ab
a
b
a
2
2
2
b
ab
a
+
+
9
6
2
+
+
x
x
4
12
9
2
+
-
a
a
2
x
9
2
9
a
4
(
)
comum
fator
mx
ax
xy
¯
-
+
=
-
+
K
K
K
K
K
K
K
K
2
6
4
3
a
3
2
x
x
6
3
2
=
×
×
a
a
12
2
3
2
=
×
×
=
+
+
9
6
2
x
x
(
)
(
)
(
)
3
3
3
2
+
×
+
+
x
x
ou
x
=
+
-
4
12
9
2
a
a
(
)
2
2
3
=
a
25
10
2
+
-
x
x
(
)
comum
fator
x
x
x
¯
+
-
=
+
-
K
K
K
K
K
K
K
K
2
3
4
15
12
6
2
12
36
n
n
+
-
4
4
2
+
+
m
m
64
18
2
+
-
a
a
1
3
2
+
+
x
x
1
4
4
2
+
+
x
x
=
-
25
4
6
4
x
b
=
+
+
+
1
2
3
x
x
x
=
+
-
2
4
5
6
200
40
2
y
x
y
x
x
=
-
1
4
m
=
-
+
x
x
36
18
18
2
c
a
27
18
-
-
=
-
+
2
16
3
2
4
y
y
y
=
-
-
+
12
8
3
2
2
3
m
m
m
=
+
+
+
4
5
5
4
1
2
2
a
x
x
a
=
-
-
-
4
4
2
x
x
=
-
-
5
3
21
7
ac
c
a
=
+
-
-
12
12
3
10
5
2
m
m
m
=
-
+
-
1
4
1
4
4
2
2
x
x
x
=
+
-
x
x
3
6
4
2
=
+
+
+
100
20
10
2
x
x
x
=
-
+
-
-
4
4
4
2
2
3
x
x
x
x
(
)
a
c
2
3
9
-
=
+
+
+
2
4
2
2
2
a
a
a
a
=
-
+
16
10
4
2
2
a
ad
ad
(
)
c
a
3
2
9
-
(
)
c
a
3
2
9
-
-
(
)
c
a
3
2
9
+
-
15
=
+
y
x
y
x
4
4
+
=
-
3
2
2
3
14
35
y
x
y
x
=
+
+
+
7
5
3
y
y
y
y
=
+
+
2
2
2
5
3
a
a
a
=
+
+
2
2
2
5
3
a
a
a
2
2
2
2
my
mx
+
10
=
m
26
2
2
=
+
y
x
=
+
+
+
ay
ax
y
x
5
5
=
-
-
+
2
2
2
2
7
42
6
y
b
y
x
b
x
=
-
+
-
y
xy
x
x
10
10
2
=
+
+
+
2
3
2
3
5
5
b
ab
a
b
a
=
-
+
-
+
-
x
xy
x
xy
x
xy
8
4
6
3
4
2
yz
xy
xz
x
2
2
2
-
+
-
5
=
-
z
x
27
2
=
+
y
x
(
)
=
+
-
3
4
2
2
x
x
x
(
)
(
)
=
-
+
4
4
3
4
4
2
1
DIFERENÇA
PELA
SOMA
DA
PRODUTO
b
a
b
a
4
4
3
4
4
2
1
segundo
do
quadrado
menos
primeiro
do
quadrado
b
a
b
ab
ab
a
2
2
2
2
-
=
-
+
-
25
2
-
x
2
49
a
-
25
2
x
2
49
a
x
5
7
a
(
)
comum
fator
cy
by
ay
¯
+
+
=
+
+
K
K
K
K
K
K
K
K
(
)
(
)
5
5
25
2
-
+
=
-
x
x
x
(
)
(
)
a
a
a
-
+
=
-
7
7
49
2
=
-
49
2
x
=
-
2
64
a
=
-
2
4
81
x
=
-
16
9
2
m
=
-
6
4
2
y
b
a
=
-
16
4
x
=
-
25
4
2
b
=
-
16
9
1
2
2
y
x