AULA 02 - CALCULOS ALGÉBRICOS

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Matemática 
 
 Prof. Emanuel Menezes 
 
 
AULA 02 
CÁLCULOS ALGÉBRICOS 
 
01) Se 
2
)3( −
=
nn
d , calcule o valor de d para 
15=n . 
 
 
 
 
02) Calcule o valor numérico das expressões 
algébricas: 
a) 
22 3
5
ma
ma
−
−
 para 4=a e 1=m 
 
 
 
b) 
5
cba ++
 para 3−=a , 9−=b e 8−=c 
 
 
 
c) 
ab
ba
−
+ 32
 para 8−=a e 4−=b 
 
 
03) Calcule o valor numérico de 
xy
yx
+
+
1
 para 
2
1
=x 
e 
4
1
=y . 
 
 
 
 
 
 
 
04) Calcule o valor numérico de 
x
yx
−
−
5
3 2
 para 
2−=x e 16=y . 
 
 
 
 
05) Calcule o valor numérico de 
ma
am
+
5
 para 
2−=a e 25=m . 
 
 
 
 
06) Existe o valor numérico da expressão 
yx
x
−
5
 
para 2=x e 2=y ? Por quê? 
 
 
07) Qual o valor da expressão 
ab
ba +
 para 
3
1
=a e 
5
2
=b ? 
 
 
 
 
 
08) Qual o valor numérico da expressão 
1
23
2
4 22
−
+−
+
+
−
x
xx
x
x
, para 4=x ? 
 
 
 
 
 
09) Qual o valor numérico da expressão 
a
ba
−
−
1
3
 
para 1−=a e 3=b ? 
 
 
 
 
 
10) Sendo 2=A , 1−=B e 3=C , qual é o valor 
numérico da expressão 
C
BA 52 −
? 
 
 
 
 
11) O valor da expressão 
ab
ba
−
+
1
 para 1=a e 
2−=b ? 
 
 
 
 
12) Qual o valor numérico da expressão 
46 mx − 
para 1−=x e 2−=m ? 
 
 
 
 
 
13) Sendo 10=a , 2=x e 1=y , qual será o valor 
da expressão 
2223 3 yxaa − ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Produtos notáveis mais comuns 
 
Objetivos 
• Desenvolver algebricamente o quadrado da 
soma de dois termos. 
• Desenvolver geometricamente o quadrado da 
soma de dois termos. 
 
Os Produtos Notáveis podem ser desenvolvidos de 
duas maneiras: 
• Utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação, que consiste no 
desenvolvimento mais detalhado, optando 
pelo emprego exagerado de cálculos. 
• A utilização da regra prática, que vem a ser o 
uso de uma definição geral para cada caso, 
simplificando os cálculos. 
Há de se ressaltar que os dois métodos são objetivos 
e precisos. 
Os principais produtos notáveis são: 
• Quadrado da Soma 
• Quadrado da diferença 
• Produto da soma pela diferença 
• Cubo da Soma 
• Cubo da diferença 
 
 
Quadrado da soma 
Vamos determinar algebricamente o produto 
(a + b)2. 
 
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação 
teremos: 
(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = 
a2 + 2ab + b2 
 
Ou seja: 
A regra prática (A) pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
a) ( )28+x = 
 
b) ( )232 a+ = 
 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, mais o dobro do 
produto do primeiro pelo segundo termo, mais o 
quadrado do segundo termo. 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
c) ( )31+m = 
 
 
Quadrado da diferença 
 
Objetivos 
• Desenvolver algebricamente e 
geometricamente o quadrado da diferença de 
dois termos 
• Desenvolver algebricamente e 
geometricamente o produto da soma pela 
diferença de dois termos 
• Desenvolver algebricamente e 
geometricamente o cubo da soma de dois 
termos. 
 
Vamos determinar algebricamente o produto (a - b)2. 
 
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação 
teremos: 
 
(a - b)2 = (a - b).(a - b) = a.a - a.b - b.a + (-b).(-b) 
= a2 - 2ab + b2 
 
Ou seja: 
 
 
 
A regra prática (D) pode ser escrita como: 
 
EXEMPLOS: 
 
a) ( )28−x = 
 
b) ( )232 a− = 
 
c) ( )31−m = 
 
Produto da soma pela diferença 
 
Determinando-se algebricamente o produto (a + 
b).(a – b), utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação teremos: 
 
(a + b).(a - b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = 
a2 - ab + ab – b2 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
A regra prática (E) pode ser escrita como: 
a) ( ) ( )xaxa 22 1010 −+ 
b) ( ) ( )2323 bcabca +− 
c) 





−





+ 22
33
p
k
p
k
 
Cubo da soma 
Determinando-se algebricamente o produto (a + b)3, 
utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, 
teremos: 
(a + b)3 = (a + b).(a + b).(a + b) = (a + b)2.(a + 
b) = (a2 + 2ab + b2).(a + b) = 
= a2..a + a2.b + 2ab.a + 2ab.b + b2.a + b2.b = a3 + 
a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = 
=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
 
Ou seja: 
A regra prática (H) pode ser escrita como: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
a) (x4 + x2)3 = 
 
b) (a2 + ab
2
1
)3 = 
 
c) (3xy + 5x3y)3 = 
 
 
 
 
 
O quadrado da diferença de dois termos é igual 
ao quadrado do primeiro termo, menos o 
dobro do produto do primeiro pelo segundo 
termo, mais o quadrado do segundo termo. 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
O produto da soma pela diferença de dois 
termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo, menos o quadrado do segundo termo. 
(a + b).(a - b) = a2 - b2 
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro termo, mais três vezes o quadrado do 
primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais 
três vezes o primeiro termo multiplicado pelo 
quadrado do segundo, mais o cubo do segundo 
termo. 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (H) 
 
Cubo da diferença 
 
Objetivo 
• Desenvolver algebricamente e 
geometricamente o cubo da diferença de dois 
termos. 
 
Determinando-se algebricamente o produto (a - b)3, 
utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, 
teremos: 
 
(a - b)3 = (a - b).(a - b).(a - b) = (a - b)2.(a - b) = 
(a2 - 2ab + b2).(a - b) = 
= a2..a + a2.(-b) + (-2ab).a + (-2ab).(-b) + b2.a + 
b2.(-b) = 
a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + ab2 - b3 = =a3 + 3a2b + 
3ab2 + b3 
 
 
 
Ou seja: 
 
A regra prática (I) pode ser escrita como: 
 
EXEMPLOS: 
 
a) (4x2 – 2xy3)3 = 
 
b) (4x5y3 – 2x2y4)3 
 
c) (
3
2 a4 - ab5)3 
 
EXERCÍCIOS CONCURSOS 
 
01) A estatura de um adulto do sexo feminino pode 
ser estimada, através das alturas de seus pais, 
pela expressão: 
2
)13–( xy +
 
Considere que x é a altura da mãe e y a do pai, 
em cm. Somando-se ou subtraindo-se 8,5 cm da 
altura estimada, obtém-se, respectivamente, as 
alturas máxima e mínima que a filha adulta 
pode atingir. Segundo essa fórmula, se João tem 
1,72 m de altura e sua esposa tem 1,64, sua 
filha medirá, no máximo: 
a) 1,70 m. 
b) 1,71 m. 
c) 1,72 m. 
d) 1,73 m. 
 
02) Determine as expressões algébricas que dão o 
perímetro e a área do retângulo abaixo: 
 
 
 
 
 
03) Que termo devemos adicionar à expressão 
4x8 – 6x4y + 9y2 para que ela represente o 
quadrado de uma soma? 
a) 6x4y 
b) 12x4y 
c) 18x4y 
d) 24x4y 
 
04) Sendo a2 + b2 = x e ab = y, então (a + b)2 é 
igual a: 
a) x2 
b) x + y 
c) x – 2y 
d) x2 + 2y 
e) x + 2y 
 
05) Se x + 
x
1
= 3, então o valo de x3 + 
3
1
x
é: 
a) 9 
b) 18 
c) 27 
d) 54 
 
06) Das alternativas abaixo, uma é FALSA. Identifique-
a. 
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
b) a2 – b2 = (a – b) • (a + b) 
c) a3 – b3 = (a – b) • (a2 + ab + b2) 
d) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab 
e) a3 + b3 = (a + b) • (a2 – 2ab + b2) 
 
07) Sendo a + b = 4 e a – b = 2, calcule o valor de 
a2 – b2. 
 
 
 
 
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo 
do primeiro termo, menos três vezes o quadrado 
do primeiro termo multiplicado pelo segundo, 
mais três vezes o primeiro termo multiplicado 
pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo 
do segundo termo. 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
2x – 3y 
x – 2y 
 
08) Ao redor do jardim da casa de Carlos, vai ser 
construída uma calçada revestida de pedra. As 
medidas estão em metros. 
 
a) Qual a área ocupada pelo jardim? 
b) Escreva, na forma reduzida, um polinômio que 
expresse a área ocupada pela calçada. 
c) Se a largura da calçada for de 2m e o preço do 
metro quadrado de revestimento de pedras for 
R$ 25,00, quanto Carlos irá gastar? 
 
09) Desenvolva os produtos notáveis e simplifique a 
expressão ( x - 3)² + (3x + 1)² + (x – 3 )(x + 3). 
 
a) -11x² - 1 
b) 11x² + 1 
c) 11x² + 11x + 11 
d) 11x² + x + 1 
e)x² -11 x - 1 
 
10) Calcule o valor de: ( 5x² - 6x + 9) - ( -7x² -x – 9), 
observe que devemos primeiramente tirar os parênteses, 
e em seguida agrupar termos semelhantes. Lembre-se 
que o sinal de menos antes do parêntese faz com que 
mude os sinais dos termos dentro do parênteses. 
 
a) 12x² + 5x -18 
b) -12x² - 5x +18 
c) 12x² - 5x -18 
d) 12x² - 5x +18 
e) 12x³ + 5x -18 
 
FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS : 
 
 Assim como os números podem ser escritos 
na forma de produto de fatores primos, as 
expressões algébricas também podem ser escritas 
na forma de produto, como é o caso de todos os 
resultados das expressões nos exercícios 
anteriores .Ao processo que permite transformar 
uma expressão algébrica em produto chamamos 
Fatoração . Veja a seguir os casos mais comuns de 
fatoração algébrica . 
 
1) Fatoração de termo algébrico (monômio): 
 Um termo algébrico é composto de um 
coeficiente numérico e uma parte literal (letra). 
Assim, temos como exemplo, o termo 3x2y3, onde 
o coeficiente numérico é 3 e a parte literal é x2y3; no 
caso de 24b5 o coeficiente numérico é 24 e a parte 
literal é b5. Para fatorar um termo algébrico, basta 
fatorar o coeficiente e repetir a parte literal . 
EXEMPLO: 
Veja a forma fatorada de cada termo algébrico a 
seguir: 
a) 32x4 → forma fatorada: 25. x4 
b) 24x2y → forma fatorada: 23.3. x2 y 
c) –80ab7→ forma fatorada: - 24 . 5 . ab7 
 
2) Fator comum: 
 Uma expressão algébrica é uma soma de 
termos algébricos ou apenas um termo 
algébrico.Quando uma expressão algébrica tem 
mais de um termo algébrico, é possível que esses 
termos tenham, quando fatorados, fatores 
comuns.Tais fatores comuns podem ser colocados 
em evidência, ou seja, podem constituir um dos 
fatores da expressão fatorada. Nesse caso, dividindo-
se cada termo da expressão pelo fator comum, 
obtém-se as parcelas da expressão que vai constituir 
o outro fator. Em geral, o fator comum nos 
coeficientes numéricos é o MDC desses coeficientes. 
Veja os exemplos: 
a) 3a + 3b = 3.(a + b), onde o 3 é fator comum e 
foi destacado na expressão. 
b) 2x – 6y = 2x - 2.3y = 2.(x - 3y), onde o 2, 
MDC(2 , 6), é fator comum. 
c) 12b2a + 18ba3 = 2.6.b.b.a + 3.6.b.a .a2 = 
6ba(2b + 3a2) 
d) 10m3n - 15m2n2 + 5mn3 = 5mn(2m2 – 3mn + n2) 
 
3) Fatoração por agrupamento: 
 Em alguns casos , a expressão algébrica 
apresenta pares de termos com fatores comuns . 
Então, em cada par , evidencia-se o fator comum, 
reduzindo a expressão a um menor número de 
termos ainda com fatores comuns . 
EXEMPLOS: 
a) x2 + bx + ax + ab. 
Como se pode observar, os dois primeiros termos 
têm x como fator comum e os dois últimos têm a 
como fator comum.Veja como fica a fatoração : 
 x2 + bx + ax + ab = x(x + b) + a(x + b) 
 A expressão ficou com dois termos x(x + b) e 
a(x + b) cujo fator comum é (x + b) . Colocando-
se (x + b) em evidência, tem-se 
 
x2 + bx + ax + ab = x(x + b) + a(x + b) = 
(x + b)(x + a) 
 
b) 6a2b - 4a2 – 3ab + 2a = 2a2 (3b – 2) – a (3b – 2) 
= (3b – 2) (2a2 – a) . 
 
 
Neste caso, o fator comum aos dois primeiros 
termos é 2a2 e o fator comum aos dois últimos é -a 
 
4) Trinômio quadrado perfeito: 
 Assim como todas as expressões do tipo (a + 
b)2 ou (a – b)2 podem se transformadas, 
respectivamente, em expressões do tipo a2 + 2ab + 
b2 ou a2 - 2ab + b2, o processo inverso também é 
possível . Para isso , dois termos da expressão 
devem ser quadrados perfeitos e o terceiro deve 
corresponder ao duplo produto das raízes 
quadradas daqueles dois termos.Veja os exemplos: 
 
a) 4x2 + 12x + 9 b) m2n4 – 4m2n2 + 4m2 
 
 
 
c) 10x3y + x4 + 25x2y2 
 
 
 
 
5) Diferença de dois quadrados: 
 
 Trata-se do correspondente ao produto da 
soma pela diferença e a expressão deve 
apresentar uma diferença entre dois quadrados 
perfeitos. Veja os exemplos: 
 
a) 16x2 – 4y2 b) m4n2 – 4m2 
 
 
 
 
 
c) = 9b - 12
242 cb . 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
01) Conhecendo a área do quadrado ABCD abaixo, 
determine: 
(sugestão, fatore o T.Q.P.) 
a medida do seu lado.____________________________ 
a medida do seu perímetro.:______________________ 
 
 Cálculos 
 
 
 
 
 
 
02) Utilize um dos casos de fatoração conveniente e fatore a 
expressão x² - 16 
 
a) x – 4 
b) x + 4 
c) (x – 4)(x + 4) 
d) (x – 4)² 
e) (x + 4)² 
 
03) Efetue as divisões de polinômios por monômios 
abaixo: 
a) =
−+
x
xxx
5
20105 62
 
b) =
−+
22
222432
2
2124
yx
yxyyx
 
04) A tabela abaixo mostra o número de horas que Lúcia 
assiste à televisão em relação ao número de dias. 
 
 
 
Indica-se por h o número de horas e por d o número de dias. 
A sentença algébrica que relaciona, de forma correta, as 
duas grandezas é: 
 
a) d = h – 2 
b) d = h∙3 
c) h/3= d 
d) h – 3 = d 
e) d – 3 = h 
 
05) Na loja de Carlos, o plano de venda de um videogame é 
dado pela expressão R$ 400 + 5p, em que p representa o 
valor da prestação. Suponha que o Lucas foi à loja de Carlos 
comprar um videogame cujo preço é R$ 4.200, 00. Qual 
será o valor de cada prestação se o Lucas adquirir o 
videogame? 
 
 
 
 
x2-10x + 25 
 
06) Como resultado de uma pesquisa sobre a relação entre 
o comprimento C do pé de uma pessoa, em centímetros, e o 
número (tamanho) do calçado brasileiro, obteve-se uma 
fórmula que dá, em média, o número inteiro N (tamanho do 
calçado). Pela fórmula matemática obtida, tem-se N = 5/4 . C 
+ 7. Determine o 
número do calçado correspondente a um pé cujo 
comprimento é 32 cm. 
EMÁTICA 
 
 
 
07) Simplifique a fração 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) A estatura de um adulto do sexo feminino pode 
ser estimada, através das alturas de seus pais, 
pela expressão: 
2
)13–( xy +
 
Considere que x é a altura da mãe e y a do pai, 
em cm. Somando-se ou subtraindo-se 8,5 cm da 
altura estimada, obtém-se, respectivamente, as 
alturas máxima e mínima que a filha adulta 
pode atingir. Segundo essa fórmula, se João tem 
1,72 m de altura e sua esposa tem 1,64, sua 
filha medirá, no máximo: 
a) 1,70 m. 
b) 1,71 m. 
c) 1,72 m. 
d) 1,73 m. 
 
09) Observe que, na figura, a área de um quadrado é 
x2 e a área do outro quadrado é 49: 
 
a) Qual a área do retângulo hachurado (riscado)? 
b) Qual a área do retângulo colorido (preto)? 
c) Qual a área total da figura? 
 
10) Sendo x um número positivo tal que 
, o valor de é 
a) 52. 
b) 54. 
c) 56. 
d) 58. 
e) 60. 
 
11) O valor da expressão x2y + xy2, onde xy = 12 e 
x + y = 8, é: 
 
a) 40 
b) 96 
c) 44 
d) 88 
e) 22 
 
12) Sendo a 3 e a 0, a forma mais simples da 
expressão 
 
 
 
 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS: 
 
 Assim como no caso das frações numéricas, é 
possível também simplificar frações algébricas; 
basta fatorar os termos da fração e simplificar 
aqueles fatores que estão no numerador e no 
denominador e são idênticos. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) 
x
1 -2x 
 
)12(
1) -1)(2x (2x 
 
 x 2x
1 - 4
2
2
=
+
+
=
+ xx
x
 
 
Neste caso, o numerador é uma diferença de dois 
quadrados e o denominador tem X como fator 
comum (evidência). 
b) 
2
2 - m
 
4) 2(2
4) 2m 2)(m - (m
 
8 4m 2m
8 - 
2
2
2
3
=
++
++
=
++ mm
m
 
Aqui, o numerador é uma diferença de dois cubos e 
o denominador tem 2 como fator comum . 
c) 
 b) - b)(a (5
b) - (a
 
5b - 5
b 2ab - 2
22
22
=
+
=
+
aa
a
 
 b) (5
b) - (a
 
+a
 
2
2
1
x 14
x
+ = 3
3
1
x
x
+
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Simplifique cada fração algébrica a seguir: 
a) 
126
123 2
+
−
a
a
 b) 
44
2
−
−
x
xx
 
 
c) 
2010
205 2
+
−
aa
 d) 
33
33
1010
55
xyyx
xyyx
−
−
 
 
e) 
aa
aaaa
−
−−+
3
234 55
 f) 
9
12427
2
2
−
+−
a
aa
 
 
g) 
882
12102
2
2
++
++
mm
mm
 h) 
42
162
2
3
++
−
xx
x