LISTA 1

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Exerćıcios – Lista 1 – Eletrostática
1) Quatro cargas pontuais iguais, de 20µC cada, estão localizadas
em P1(1, 0, 0) m, P2(−1, 0, 0) m, P3(0, 1, 0) m e P4(0,−1, 0)
m. Determine a força total na carga localizada no ponto P1.
2) Calcule a força que atua sobre uma carga de 50µC localizada em
(0, 0, 5) m devido à presença de uma carga de 500πµC,
uniformemente distribúıda sobre um disco circular com raio de 5
m localizado em z = 0 m.
3) Calcule a força que atua sobre uma carga de 100µC localizada no
eixo z a 3 m acima da origem, supondo a presença de quatro
cargas de 20µC nos eixos x e y nos pontos ±4 m.
4) Calcule o campo elétrico em (0, 0, 5) m em função das cargas
Q1 = 0, 35µC em (0, 4, 0) m e Q2 = −0, 55µC em (3, 0, 0) m.
Reginaldo N. de Souza 184 LT33C - Eletromagnetismo
5) Uma carga de −1 nC está localizada na origem no espaço livre.
Qual o valor da carga que deve ser posicionada em (2, 0, 0) m
para que Ex seja zero em (3, 1, 1) m?
6) Sobre o eixo z encontra-se uma distribuição linear de cargas
ρL = 20 nC/m entre z = −5 m e z = 5 m. Utilizando
coordenadas cartesianas e a definição geral do campo elétrico
(originada a partir da lei de Coulomb), calcule E no ponto
(2, 0, 0) m.
7) Um anel circular eletricamente carregado, com raio 4 m, está no
plano z = 0, com centro localizado na origem. Se a sua
densidade uniforme for ρL = 16 nC/m, calcular o valor de uma
carga pontual Q, localizada na origem, capaz de produzir o
mesmo campo elétrico em (0, 0, 5) m.
Reginaldo N. de Souza 185 LT33C - Eletromagnetismo
8) Determine o fluxo que passa através de uma superf́ıcie fechada S
envolvendo as cargas pontuais Q1 = 30 nC, Q2 = 140 nC e
Q3 = −70 nC.
9) Uma superf́ıcie fechada S envolve uma distribuição linear finita
de cargas definida pelo intervalo 0 ≤ L ≤ π m, com densidade de
cargas ρL = −ρ0 sin (L/2) C/m. Qual é o fluxo total que
atravessa a superf́ıcie S?
10) Dado o vetor densidade de fluxo ou deslocamento elétrico
D = 2xax + 3ay (C/m2), calcule o fluxo total que atravessa um
cubo de 2 m de aresta, centrado na origem de um sistema e com
as arestas paralelas aos eixos das coordenadas.
11) O eixo z de um sistema coordenado contém uma distribuição
uniforme de cargas, com densidade ρL = 50 nC/m. Calcule o
Reginaldo N. de Souza 186 LT33C - Eletromagnetismo
campo E em (10, 10, 25) m, expressando-o em coordenadas
ciĺındricas e cartesianas.
12) Obter o campo elétrico de um plano infinito de carga localizado
no plano xy, de densidade superficial ρS, utilizando a lei de
Gauss.
13) Duas lâminas infinitas, uniformemente carregadas, com
densidade ρS, estão situadas em x = ±1 m. Calcule o campo E
em todas as regiões.
14) Repita o exerćıcio anterior, supondo agora ρS em x = −1 e −ρS
em x = 1.
15) Em coordenadas ciĺındricas, o volume entre ρ = 2 e ρ = 4 m
contém uma densidade uniforme de cargas ρv . Utilize a lei de
Gauss para calcular a distribuição de E.
Reginaldo N. de Souza 187 LT33C - Eletromagnetismo
16) Certa configuração engloba duas distribuições uniformes: uma
peĺıcula carregada com ρS = −60 nC/m
2, em y = 3 m, e uma
linha carregada, paralela ao eixo x, com ρL = 0, 5 µC/m, situada
em z = −3 m e y = 2 m. Determine onde o campo E será nulo.
17) Dado A =
(
3x2 + y
)
ax +
(
x− y2
)
ay, calcule ∇ ·A.
18) Dado A = ρ sinφaρ + 2ρ cosφaφ + 2z
2az, calcule ∇ ·A.
19) Dado A = 5 sin θaθ + 5 sinφaφ, calcule ∇ ·A no ponto
(0, 5; π/4; π/4).
20) Para a região 0 < ρ ≤ 2 m (coordenadas ciĺındricas),
D =
(
4ρ−1 + 2e−0,5ρ + 4ρ−1e−0,5ρ
)
aρ, e para ρ > 2 m,
D =
(
2, 057ρ−1
)
aρ. Obter a densidade volumétrica de cargas ρv
para ambas as regiões.
Reginaldo N. de Souza 188 LT33C - Eletromagnetismo
21) Dado D =
(
10ρ3/4
)
aρ em coordenadas ciĺındricas, calcule
ambos os lados do teorema da divergência para o volume
limitado por ρ = 3 m, 2 ≤ z ≤ 12 m.
22) Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga
pontual Q = −20 mC no campo E = (2x + 8y) ax + 8xay da
origem ao ponto (6, 4, 1) m, ao longo do percurso x2 = 9y.
23) Uma carga pontual de 0, 6 nC está localizada no ponto (3, 6, 6)
m. Calcule a diferença VAB, entre os pontos A(3, 3, 6) m e
B(−3, 3, 6) m.
24) Calcule o potencial de um ponto A(2, φ, z), em relação a um
ponto B(3, φ′, z′), usando coordenadas ciĺındricas, onde o campo
elétrico devido a uma distribuição linear de cargas ao longo do
eixo z vale E = (30/ρ) aρ.
Reginaldo N. de Souza 189 LT33C - Eletromagnetismo
25) Dado um campo E =
(
−16/r2
)
ar em coordenadas esféricas,
calcule o potencial do ponto A(2, π, π/2) em relação ao ponto
B(4, 0, π).
26) Dois semiplanos condutores, pouco espessos, localizados em
φ = 0 e φ = π/6, acham-se isolados entre si ao longo do eixo z.
O potencial elétrico é dado por V = −60φ/π, 0 ≤ φ ≤ π/6.
Calcule o campo elétrico para esta configuração e a energia
armazenada entre os semiplanos 0, 1 ≤ ρ ≤ 0, 6 m e 0 ≤ z ≤ 1
m. Admita espaço livre.
27) Um fio condutor de cobre AWG 12 (AWG = American Wire
Gauge) com um diâmetro de 80, 5 mil (1 mil = 1/1000 de
polegada) e 100 pés de comprimento (1 pé = 12 polegadas)
conduz uma intensidade de corrente de 20 A. Calcule a
intensidade do campo elétrico E, a velocidade de deslocamento
(deriva ou arraste) vd, a queda de tensão V e a resistência
elétrica R ao longo do condutor. Utilize como dados para o
Reginaldo N. de Souza 190 LT33C - Eletromagnetismo
cobre: condutividade σ = 5, 8× 107 S/m, mobilidade dos
elétrons livres µ = 0, 0032 m2/(Vs).
28) Próximo ao ponto P (5, 7,−5) m, a densidade de corrente pode
ser representada pelo vetor J = 2x3yax − 5x
2z2ay + 4x
2yzaz
(A/m2). Qual é a corrente deixando um cubo de 1 m de lado,
centrado em P e com as arestas paralelas aos eixos coordenados?
Qual é a taxa de crescimento da densidade volumétrica de carga
no ponto P ?
29) Em coordenadas ciĺındricas, para a região 0, 02 ≤ ρ ≤ 0, 03 mm,
0 ≤ z ≤ 1 m, J = 10e−100ρaφ (A/m
2). Encontre a corrente total
que atravessa a interseção desta região com o plano
φ = constante.
Reginaldo N. de Souza 191 LT33C - Eletromagnetismo
30) Determine o valor de E em um material que tem suscetibilidade
elétrica χe = 3, 5 e polarização P = 2, 3× 10
−7an (C/m
2)
suposta linear e isotrópica.
31) Encontre a polarização num material dielétrico com constante
dielétrica εr = 1, 8 dado o deslocamento D = 4, 0× 10
−7an
(C/m2).
32) Calcule os módulos dos vetores densidade de fluxo elétrico e
polarização, e a permissividade relativa para um material
dielétrico no qual E = 0, 15 MV/m, com χe = 4, 25.
33) Mostre que a resistência elétrica de qualquer material com
condutividade σ vale R = L/(σA), admitindo-se que uma
distribuição uniforme de corrente atravessa uma secção reta de
área constante A ao longo do seu comprimento L.
Reginaldo N. de Souza 192 LT33C - Eletromagnetismo
34) Calcule a resistência de isolação de um cabo coaxial de
comprimento L, raio interno ra e raio externo rb.
35) Calcule a capacitância que existe entre duas placas paralelas,
uma superior com carga +Q e uma inferior com carga −Q,
existindo entre elas um dielétrico de permissividade ε e separadas
por uma distância d. Despreze o espraiamento do campo elétrico
nas bordas das placas condutoras.
36) Determine a capacitância de um cabo coaxial de comprimento
finito L, onde o condutor interno tem raio a e o externo raio b,
tendo entre eles um dielétrico de permissividade ε.
Reginaldo N. de Souza 193 LT33C - Eletromagnetismo
Respostas – Lista 1 – Eletrostática
1) F = 3, 44ax N
2) F = 16, 56az N
3) F = 1, 73az N
4) E = 74, 9ax − 48, 0ay − 64, 9az V/m
5) Q = 0, 43 nC
6) E = 167, 1ax V/m
7) Q = 191, 5 nC
8) Ψ = 100 nC
Reginaldo N. de Souza 194 LT33C - Eletromagnetismo
9) Ψ = −2ρ0 C
10) Ψ = 16 C
11) E = 63, 64aρ N/C e E = 45ax + 45ay N/C
12) E = ρS2ε0az N/C
13) E =



−(ρS/ε0)ax
0
(ρS/ε0)ax
x < −1
−1 < x < 1
x > 1
N/C
14) E =



0
(ρS/ε0)ax
0
x < −1
−1 < x < 1
x > 1
N/C
Reginaldo N. de Souza 195 LT33C - Eletromagnetismo15) E =





0
ρv(ρ2−4)
2ρε0
aρ
6ρv
ρε0
aρ
0 < ρ < 2
2 6 ρ 6 4
ρ > 4
N/C
16) (x;−0, 65;−3) e (x; 4, 65;−3)
17) ∇ ·A = 6x− 2y
18) ∇ ·A = 4z
19) ∇ ·A|(0,5;π/4;π/4) = 24, 14
20) ρv =
{
−e−0,5ρ, 0 < ρ 6 2
0, ρ > 2
21)
∮
D · dS =
∫
(∇ ·D) dv = 4050π
Reginaldo N. de Souza 196 LT33C - Eletromagnetismo
22) W = 4, 56 J
23) VAB = 0, 994 V
24) VAB = 12, 16 V
25) VAB = −4 V
26) E = 60πρaφ V/m e WE = 1, 51 nJ
27) E = 105 mV/m, vd = 3, 36× 10
−4 m/s, V = 3, 2 V e
R = 0, 16 Ω
28) I = 1756 A e ∂ρ∂t = −1750 C/(m
3s)
29) I = 100 µA
Reginaldo N. de Souza 197 LT33C - Eletromagnetismo
30) E = 7, 43× 103an V/m
31) P = 1, 78× 10−7an (C/m
2)
32) D = 6, 96× 10−6 C/m2, P = 5, 64× 10−6 C/m2 e εr = 5, 25
33) #
34) R = 12πσL ln
(
rb
ra
)
35) C = εAd
36) C = 2πεL
ln( ba)
Reginaldo N. de Souza 198 LT33C - Eletromagnetismo