Problemas de Trigonometria

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1
        Questão
	
	
	Considere um observador, de altura desprezível , vê o topo do prédio sob um ângulo de 60 graus quando sua distância até o prédio é de 30 metros da base e logo em seguida o mesmo observador começa a caminhar em sentido contrário ao prédio, x metros, onde volta observar o topo do prédio sob um ângulo de 30 graus. Determine o valor de x , em metros, percorrido pelo observador.
		
	 
	60
	
	15
	
	80
	
	25
	
	30
	Respondido em 24/09/2020 19:57:34
	
Explicação:
Fazendo um desenho observamos que há um primeiro triângulo retângulo com hipotenusa igual à primeira linha de visada com 60º em relação ao solo até o topo do prédio , cuja altura H é um cateto oposto aos 60º,  e a distância no solo até o prédio é outro cateto com 30m .  .Assim H / 30 = tg 60º = raiz3  ... donde H = 30 raiz3 ...
Quando de desloca x metros forma-se novo triângulo retângulo , sendo a nova linha de visada a hipotenusa fazendo 30º com o solo que é o novo cateto com medida  30 + x .  O outro cateto é a altuta H do prédio já calculada = 30raiz3 .   Assim  a relação entre os catetos 30raiz3 / (30 +x) = tg 30º  = raiz3/3..
Então:  30 raiz3 = (30 +x ) . raiz3 /3  ...  30 = (30 + x) /3  ...  90 = 30 + x   ... .x = 60m .
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
		2
        Questão
	
	
	Uma rampa forma um ângulo de 30 graus com o solo. Qual a distância em metros que se percorre sobre a rampa, a partir do seu início no solo, para se alcançar uma altura de 6 metros em relação ao solo?
		
	
	2V3
	
	3
	
	6V3     
	 
	12
	
	3V3
	Respondido em 24/09/2020 20:01:16
	
Explicação:
A distância d sobre a rampa é a hipotenusa  a altura alcançada 6 é o cateto oposto a 30º .
Portanto   6/d = seno 30º = 1/2 ..   Daí d = 6 x 2 = 12 .
	
	
	 
		3
        Questão
	
	
	João deseja apoiar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que ela forme um ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede João deve apoiar a escada no solo?
		
	
	10 metros
	
	6 metros
	
	8 metros
	 
	4 metros
	
	12 metros
	Respondido em 24/09/2020 20:01:45
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa com 8m. A distância d no piso, até a parede,  é o cateto adjacente ao ângulo 60º da escada com o piso . A altura na parede  é o outro cateto.  
Então, com esses dados pode-se usar :  cosseno 60º = cateto adjacente / hipotenusa .
Daí, substiuindo os dados :  1/2 = d / 8  , donde, igualando os produtos cruzados,  resulta :  2d = 8   e   d = 4m .
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
		4
        Questão
	
	
	Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Portanto, forma-se um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?
		
	
	comprimento da escada é 10 m
	
	comprimento da escada é 9 m
	
	comprimento da escada é 5 m.
	 
	comprimento da escada é 2,83 m
	
	comprimento da escada é 3 m
	Respondido em 24/09/2020 20:13:51
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa de comprimento L .  A altura do muro 2m é  o cateto.adjacente ao ângulo citado de 45º.
Então, com esses dados pode-se usar :  cosseno 45º = cateto adjacente / hipotenusa .
Daí, substiuindo os dados e usando raiz2 = 1,41 ( o resultado pode variar dependendo  dessa aproximação )
1,41  /2 = 2 / L  , donde,  igualando os produtos cruzados, 1,41 L = 4   e   L = 4 /1,41 = 2,83m aproximadamente.
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
		5
        Questão
	
	
	Uma escada de 6,5 metros de comprimento esta apoiada em um muro de 6 metros de altura. Determine a que distância do muro essa escada se encontra apoiada.
		
	
	1 metro do muro
	
	3 metros do muro.
	 
	2,5 metros do muro.
	
	2 metros do muro
	
	5 metros do muro.
	Respondido em 24/09/2020 20:15:45
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa a com 6,5m. A altura do muro 6m  é um cateto b.  A distância c no piso, da escada até o muro , é o outro cateto ..
Então, sabendo a hipotenusa e um cateto , para calcular o outro cateto c pode-se usar Pitágoras:  Hipotenusa a² = cateto b² + cateto c².
Daí, substiuindo os dados :  6,5²  = 6²  + c²  , donde  c² = 42,25 - 36 = 6,25 
Então  c = raiz quadrada de 6,25 =  ( e  só interessa a raiz positiva) = 2,5 m. .
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	 
		6
        Questão
	
	
	Uma escada de 6 metros está apoiada em uma parede formando com ela um ângulo de 30 graus. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à parede. Qual a distância em metros, no piso,  entre os pés da escada e a parede?
		
	
	V3      
	 
	3
	
	3V2  
	
	6V3
	
	3V3
	Respondido em 24/09/2020 20:19:46
	
Explicação:
A hipotenusa é 6  e a distância pedida d é o cateto oposto ao ângulo de 30º  .
Então d / 6  = sen30º = 1 /2.   ... donde d = 6/2 = 3.
	
	
	 
		7
        Questão
	
	
	Uma escada de 6 metros está apoiada em uma parede formando com ela um ângulo A. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à parede e estão a 3 metros da parede. Qual o valor do ângulo A ?
		
	
	60 graus
	
	75 graus
	 
	30 graus
	
	15 graus
	
	45 graus
	Respondido em 24/09/2020 20:21:39
	
Explicação:
 A escada forma com a parede um triângulo retângulo  e seu comprimento 6m é a hipotenusa , formando o ângulo A com a parede que é o cateto adajecente a esse ângulo. A distância 3m no solo é o outro cateto que é oposto ao ângulo A.  Com esses dados podemos usar a a relação cateto oposto / hipotenusa  = seno A .. . Substituindo os dados fica  : 3 / 6 = sen A  , donde  sen A = 1/2  . Assim  , pela tabela,  o ângulo A é 30º. 
	
	
	 
		8
        Questão
	
	
	Uma escada de 3 metros está apoiada em uma parede formando com ela um ângulo de 30 graus. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à parede. Qual a distância em metros, no piso, entre os pés da escada e a parede?
		
	
	1,5 raiz de 2
	
	3 raiz de 3
	
	raiz de 3
	 
	1,5
	
	1,5 raiz de 3
	Respondido em 24/09/2020 20:24:00
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa com 3m. A distância d no piso é o cateto oposto ao ângulo 30º da escada com a parede . A parede  é o outro cateto.  
Então, usando  seno 30º = cateto oposto / hipotenusa , resulta  ... 1/2 = d / 3  , donde  d = 3/2 = 1,5 m