AULA 5 CALCULO 1 TEOREMA DE ROLE E VALOR MEDIO

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CÁLCULO I
Aula 5 – Teoremas Importantes
Conteúdo Programático desta aula
Enunciando o teorema do valor Intermediário
Enunciando o teorema do valor Médio
Enunciando o teorema de Rolle
Aplicações
Principais Teoremas– AULA 5
CÁLCULO I
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DERIVADA E RETA TANGENTE
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Teorema do Valor Intermediário.
 
Seja f função contínua no intervalo fechado [a,b] e suponha que. 
Se k é um número real qualquer estritamente entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um número c, estritamente entre a e b, tal que f(c)=k.”
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E o que esse Teorema do Valor Intermediário significa? 
Se temos uma função continua, dados dois valores dessa função, ela assumirá todos os valores possíveis entre esses dois valores. 
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E para que serve esse Teorema do Valor Intermediário? 
Utilizamos o Teorema do Valor Intermediário para localizar zeros ou raízes de funções contínuas. 
Observe que se fizermos k=0, o valor de c será um zero da função. 
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Exemplo:
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ATENÇÃO:
O Teorema do Valor Intermediário só nos assegura a EXISTÊNCIA de um número c, porém não nos indica COMO encontrar tal número. 
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Consequência do Teorema do Valor Intermediário
se f é uma função contínua em [a,b] e se f(a) e f(b) possuem sinais opostos, então existe um zero de f no intervalo aberto (a,b), ou ainda, existe um número c, tal que a<c<b e f(c)=0. 
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Exemplo: 
Considere a função 
A raiz dessa função pertence ao intervalo [1, 2].
Pois:
 e 
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Teorema do Valor Médio:
Suponha que seja uma função que é contínua no intervalo limitado fechado e que tenha uma derivada em cada ponto t do intervalo . Então, existe pelo menos um número c, com
, tal que:
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E o que o Teorema do Valor Médio significa? 
Dada uma secante ao gráfico de uma curva diferenciável, podemos sempre encontrar um ponto do gráfico situado entre os dois pontos de interseção da secante com a curva de tal forma que a reta tangente nesse ponto seja paralela à secante.
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Exemplo:
Verifique a conclusão do teorema do valor médio para função no intervalo [1, 3], determinando um número c conveniente.
Solução: precisamos determinar um número c, com
 1 < c < 3, tal que:
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Como e e , a equação fica:
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Teorema de Rolle 
Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) tal que f(a)=f(b). Existe pelo menos um número real tal que f´(c)=0.
Observe que o Teorema de Rolle é um caso particular do Teorema do Valor Médio. 
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Os quatro gráficos a seguir, há pelo menos um ponto onde a tangente é horizontal e, portanto Assim o teorema de Rolle é plausível.
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Caso 1: , uma constante.
 
Então assim, o número c pode ser tomado como qualquer número em (a, b)
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Caso 2: para algum x em (a, b).
A função f possui um valor máximo em algum ponto
[a, b]. Uma vez que f(a) = f(b), a função deve assumir esse valor máximo em um número c
No intervalo (a, b)
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Caso 3: 
Para algum x em (a, b)
Como f possui um valor mínimo em [a, b], e como a função assume esse valor mínimo em um número c em (a, b)
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Demonstre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Solução: pelo teorema do valor intermediário, temos:
 e Como a função f é uma função polinomial, ela é contínua em todo o seu domínio. O teorema afirma que existe um número c entre 0 e 1 tal que A equação dada possui uma raíz.
Para mostrar que a equação não tem outra raiz real, usamos o teorema de Rolle e argumentamos por contradição.
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Suponha que a função f possua duas raízes a e b. Então 
E uma vez que f é um polinômio, pelo teorema de Rolle, existe um número c entre a e b tal que . Mas para todo x. Portanto nunca poderá ser zero. Isso nos fornece uma contradição.
Portanto a equação não pode ter duas raízes reais. 
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Resumindo:
Teorema do valor Intermediário
Teorema do valor médio
Teorema de Rolle
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DERIVADA E RETA TANGENTE
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