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GILSON GENESIO DE OLIVEIRA

13/02/2023

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Trigonometria

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Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
MA093 – Matemática básica 2
Ângulos notáveis. Funções trigonométricas de qualquer ângulo
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Setembro de 2018
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Tópicos importantes
O objetivo dessa aula é investigar
1 Ângulos notáveis.
2 Ângulos de referência.
3 Funções trigonométricas de quaisquer ângulos.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Descobrindo seno e cosseno de 30◦, 45◦ e 60◦
Dividindo ao meio um triângulo
equilátero de lado 1, obtemos
sen(60◦) = cos(30◦) =
√
3
2
cos(60◦) = sen(30◦) =
1
2
Do triângulo retângulo isósceles de
hipotenusa 1, obtemos
sen(45◦) = cos(45◦) =
√
2
2
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Descobrindo a tangente de 30◦, 45◦ e 60◦
No triângulo retângulo,
tan(θ) =
cat. oposto
cat. adjacente
=
sen(θ)
cos(θ)
Logo,
tan(30◦) =
sen(30◦)
cos(30◦)
=
1/2√
3/2
=
√
3
3
tan(60◦) =
sen(60◦)
cos(60◦)
=
√
3/2
1/2
=
√
3
tan(45◦) =
sen(45◦)
cos(45◦)
=
√
2/2√
2/2
= 1
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis
θ 0 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
0 π/6 π/4 π/3 π/2
sen(θ) 0 1/2
√
2/2
√
3/2 1
cos(θ) 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0
tan(θ) 0
√
3/3 1
√
3 –
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Seno e cosseno de ângulos maiores que 90◦
Seja P = (x̄ , ȳ) o ponto
da circunferência unitária
associado ao ângulo θ.
Nesse caso, definimos
sen(θ) = ȳ e cos(θ) = x̄
Por exemplo, para θ = 120◦, temos
P(θ) = (cos(θ), sen(θ)) =
(
−1
2
,
√
3
2
)
.
Observe que sen(θ) e cos(θ) podem ser negativos.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Alguns valores do seno e do cosseno
Cada ponto Pi da
circunferência unitária tem
coordenadas xi e yi dadas
por
Pi = (cos(θ), sen(θ)),
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Sinal das funções trigonométricas
O sinal das funções
trigonométricas varia de acordo
com o quadrante.
A figura ao lado mostra os sinais
das funções em cada quadrante.
Assim,
sen(θ) > 0 em I e II;
cos(θ) > 0 em I e IV;
tan(θ) > 0 em I e III.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Ângulo de referência
Para todo ângulo θ definimos um
ângulo de referência, que é o ângulo
entre o eixo-x e o lado terminal de θ.
No 1o quadrante (0 < θ < 90◦), o
ângulo de referência é
θ̄ = θ.
Para calcular sen(θ) e cos(θ):
1 Obtemos o ângulo de referência θ̄.
2 Calculamos sen(θ̄) ou cos(θ̄).
3 Definimos o sinal, de acordo com a transparência anterior.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Seno e cosseno no segundo quadrante
Se θ está no 2o quadrante (90◦<θ<180◦),
definimos o ângulo de referência
θ̄ = 180◦ − θ.
Nesse caso,
sen(θ) = sen(θ̄)
cos(θ) = −cos(θ̄)
Exemplos:
sen(150◦) = sen(180◦ − 150◦)
= sen(30◦) = 1/2.
cos(135◦) = −cos(180◦ − 135◦)
= −cos(45◦) = −
√
2/2.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Seno e cosseno no terceiro quadrante
Para θ no 3o quadrante (180◦<θ<270◦),
definimos o ângulo de referência
θ̄ = θ − 180◦.
Nesse caso,
sen(θ) = −sen(θ̄)
cos(θ) = −cos(θ̄)
Exemplos:
sen(210◦) = −sen(210◦ − 180◦)
= −sen(30◦) = −1/2.
cos(225◦) = −cos(225◦ − 180◦)
= −cos(45◦) = −
√
2/2.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Seno e cosseno no quarto quadrante
Para θ no 4o quadrante (270◦<θ<360◦),
definimos o ângulo de referência
θ̄ = 360◦ − θ.
Nesse caso,
sen(θ) = −sen(θ̄)
cos(θ) = cos(θ̄)
Exemplos:
sen(330◦) = −sen(360◦ − 330◦)
= −sen(30◦) = −1/2.
cos(315◦) = cos(360◦ − 315◦)
= cos(45◦) =
√
2/2.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Relembrando os triângulos retângulos
Em um triângulo retângulo, temos
tan(θ) = cateto opostocateto adjacente =
1
tan(θ)
cot(θ) = cateto adjacentecateto oposto =
1
tan(θ)
sec(θ) = hipotenusacateto adjacente =
1
cos(θ)
csc(θ) = hipotenusacateto oposto =
1
sen(θ)
Observe que tan(θ) = sen(θ)cos(θ) e cot(θ) =
cos(θ)
sen(θ) .
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Coordenadas e funções trigonométricas
Se (x , y) são as coordenadas de um ponto P da circunferência
unitária, então
sen(θ) = y cos(θ) = x tan(θ) = yx
csc(θ) = 1y sec(θ) =
1
x cot(θ) =
x
y
Observe que:
tan(θ) e sec(θ) não estão definidas quando x = 0.
cot(θ) e csc(θ) não estão definidas quando y = 0.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Ângulos notáveis no segundo quadrante
θ 90◦ 60◦ 45◦ 30◦ 0
sen(θ) 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0
cos(θ) 0 1/2
√
2/2
√
3/2 1
tan(θ) –
√
3 1
√
3/3 0
θ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦
sen(θ) 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0
cos(θ) 0 −1/2 −
√
2/2 −
√
3/2 −1
tan(θ) – −
√
3 −1 −
√
3/3 0
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Outros ângulos notáveis
θ 0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦
sen(θ) 0 1 0 −1 0
cos(θ) 1 0 −1 0 1
tan(θ) 0 – 0 – 0
csc(θ) – 1 – −1 –
sec(θ) 1 – −1 – 1
cot(θ) – 0 – 0 –
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Ângulos coterminais
Funções trigonométricas
Funções trigonométricas têm o mesmo
valor para ângulos coterminais.
sen(765◦) = sen(45◦) = sen(−315◦) =
√
2/2.
cos(765◦) = cos(45◦) = cos(−315◦) =
√
2/2.
tan(765◦) = tan(45◦) = tan(−315◦) = 1.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Calculando o seno e o cosseno de ângulos quaisquer
Aproximações por séries
Supondo que x seja dado em radianos, temos
sen(x) = x − x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ · · ·
cos(x) = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · ·
Para x = π/9 = 20◦, somando os 4 termos acima obtemos
sen(π9 ) ≈ 0, 3420201431 (melhor aproximação: 0,3420201433)
cos(π9 ) ≈ 0, 9396926153 (melhor aproximação: 0,9396926208)
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 1
Problema
Indique o quadrante associado aos ângulos abaixo e dê o sinal do
seno de cada um deles.
150◦, 210◦ e 330◦.
A) +, +, −
B) +, −, −
C) +, −, +
D) −, −, +
E) −, +, +
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 2
Problema
Determine o ângulo de referência associado a cada ângulo abaixo.
100◦, 345◦ e 250◦
80◦, 15◦, 70◦.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 3
Problema
Sabendo que sen(60◦) =
√
3/2, calcule
sen(120◦), sen(240◦) e sen(300◦).
Dica: marque arcos na circunferência unitária.
√
3/2, −
√
3/2, −
√
3/2.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 4
Problema
Indique o quadrante associado aos ângulos abaixo e dê o sinal do
cosseno de cada um deles.
120◦, 240◦ e 300◦.
A) +, +, −
B) +, −, −
C) +, −, +
D) −, −, +
E) −, +, +
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 5
Problema
Sabendo que cos(60◦) = 1/2, calcule
cos(240◦) e cos(300◦).
Dica: marque arcos na circunferência unitária.
−1/2, 1/2.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 6
Problema
Seja 0 ≤ x ≤ 180◦. Se sen(x) = 3/5, calcule
cos(x) e cos(x + 180◦).
4/5, −4/5.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 7
Problema
Sabendo que sen(45◦) = cos(45◦) =
√
2/2, calcule
tan(45◦), tan(135◦) e tan(225◦).
Dica: marque arcos na circunferência unitária.
1, −1, 1.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 8
Problema
Sem usar calculadora, determine
sen(780◦).
Dica:ache um ângulo coterminal a 780◦ no intervalo [0, 360◦].
sen(780◦) = sen(60◦) =
√
3/2.
Ângulos notáveis Funções trigonométricas de qualquer ângulo Exerćıcios
Exerćıcio 9
Problema
Sabendo que sen(30◦) = 1/2 e
cos(30◦) =
√
3/2, determine
sec(150◦), csc(150◦) e cot(150◦).
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