Modelagem de carga

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Capítulo 66
Modelagem de Carga
1. OBJETIVO
Este capítulo tem por objetivo apresentar a modelagem da carga de um
sistema elétrico a ser empregada em estudos de regime permanente (fluxo de
carga) e de curto circuito em sistemas elétricos.
O principal aspecto a ser considerado na modelagem de carga é a difi-
culdade de se representá-la pois ela está sempre variando, ao longo do se-
gundo, minuto, hora, mês ...
Em estudos de fluxo de potência a modelagem da carga com a tensão
tem importância significativa, daí a necessidade de um modelo mais rigoroso
nesses estudos, enquanto que nos estudos de curto circuito uma modelagem
precisa da carga não é tão importante, pois a correntes de carga são relativa-
mente pequenas em relação as correntes de curto. Nos estudos de curto cir-
cuito é essencial um modelo de carga que simplifique os cálculos.
Embora neste capítulo seja discutida a variação da carga de um dado
barramento tanto com a tensão quanto com a freqüência, será dada especial
ênfase a modelagem da carga com a tensão, devido a significativa importância
desta modelagem em estudos de fluxo de potência.
2. INTRODUÇÃO
Conceitua-se carga como sendo a potência ativa e reativa absorvida
por um conjunto de componentes de um sistema elétrico. A carga consiste
portanto das potências ativas e reativas consumidas por motores, fornos, lâm-
padas, eletrodomésticos, equipamentos eletrônicos ... Preliminarmente, é im-
Capítulo 6 Modelagem da Carga
VI - 2
portante destacar que desde as primeiras disciplinas do curso de engenharia
elétrica, quando se discute uma carga, sempre se faz referência a uma impe-
dância constante, contudo, nos sistemas elétricos típicos este modelo é impre-
ciso, pois quando a tensão na carga varia num sistema elétrico, os motores
elétricos absorvem mais corrente de forma a que as potências ativas e reativas
variem muito pouco.
Tipicamente num sistema elétrico a carga, entendida com a potência
ativa e reativa fornecida de um dado barramento, é equilibrada, usualmente
consome reativo e varia com o módulo da tensão e a freqüência elétrica. Por-
tanto, a potência ativa consumida a partir de um dado barramento é expressa
como: ),( fVPP LL = e a potência reativa como: ),( fVQQ LL = , e suas varia-
ções matematicamente são expressas por:
f
f
P
V
V
P
P
LL
L ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∂ [1]
f
f
Q
V
V
Q
Q
LL
L ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∂ [2]
Nas equações [1] e [2] as derivadas parciais não são facilmente obti-
das, contudo é importante destacar que as variações na freqüência elétrica
afetam muito mais significativamente a potência ativa consumida pela carga
enquanto que as variações no módulo da tensão de potência reativa afetam
muito mais significativamente a potência reativa consumida pela carga.
Como foi descrito no Capítulo 4, a carga é usualmente representada
através de um gráfico que registra as variações obtidas pela carga ao longo do
tempo, denominado curva de carga.
A composição da carga de um sistema elétrico é afetada de forma si-
gnificativa pela economia da região, sazonalidade, cultura, costumes e pela
segmentação dos consumidores (industriais, comerciais e residenciais) na car-
ga total. Por exemplo nos consumidores industriais existe uma porcentagem
Capítulo 6 Modelagem da Carga
VI - 3
elevada de motores de indução, enquanto nos consumidores residenciais pre-
dominam as cargas de aquecimento e de iluminação.
3. CONCEITOS BÁSICOS
As quantidades utilizadas na medida da carga são definidas da se-
guinte forma :
• Demanda máxima : refere-se ao valor médio da carga durante o in-
tervalo de tempo de 15 minutos em que a demanda é máxima.
• Fator de carga : é a relação entre as unidades de eletricidade forne-
cidas pelos geradores num determinado intervalo de tempo e o pro-
duto da demanda máxima, nesse período, pelo número de horas do
período, ou seja, é a relação entre a demanda média e a máxima
num determinado intervalo de tempo. Se o fator de carga for unitário
significa que todas as unidades geradoras estão sendo utilizadas a
plena carga durante o período. Seu valor varia com a natureza da
carga.
• Fator de diversidade : é a relação entre a soma das demandas má-
ximas individuais dos consumidores e a demanda máxima do siste-
ma. Este fator mede a diversidade da carga e diz respeito à capaci-
dade de geração e transmissão instalada. No caso da demanda má-
xima de todos os consumidores ocorrer simultaneamente, isto é, fa-
tor de diversidade unitário, deverão ser instalados muitos outros ge-
radores. Este fator é muito maior que a unidade principalmente para
consumidores residenciais.
4. ENSAIOS
Devido as dificuldades em se obter um modelo mais acurado da variação da
carga com a tensão e com a freqüência nos anos 70, muitos ensaios foram
realizados com este fim. Estes ensaios realizados nos barramentos de carga
das subestações, consistiam de por meios diversos variar a tensão e a fre-
Capítulo 6 Modelagem da Carga
VI - 4
qüência no barramento e registrar os valores de tensão, potência ativa e reati-
va total solicitada do barramento. É importante destacar que para os modelos
adotados em estudos de fluxo de carga, os ensaios devem registrar variações
lentas de tensão, porque variações súbitas, introduzem transitórios de curta
duração de difícil interpretação.
Os meios usualmente empregados para variar a tensão nos barra-
mentos das subestações, são:
• Mudanças nas derivações(tapes) de transformadores reguladores em
carga;
• Variações na excitação de Compensadores Síncronos;
• Súbita inserção ou remoção de bancos de capacitores e reatores;
• Súbita transferência de carga de transformadores para outros ligados
em paralelo;
• Desenergização de linhas ligadas em vazio ou em carga leve;
• Realização de curto circuito nas linhas,
Na Figura 1 apresentamos o diagrama unifilar de um desses ensaios reali-
zado no barramento de uma subestação em 13,8 kV descrito na referência [2],
onde as variações lentas de tensão, foram simuladas pela inserção e remoção
de bancos capacitores. As medições foram feitas, utilizando instrumentos
como : transformadores de corrente e tensão, oscilógrafos, amperímetros, vol-
tímetros e wattímetros.
MEDIÇÕES
13,8 kV
 69 kV
 Transformador
Capacitores
 Alimentadores
Figura 1 - Diagrama unifilar de ensaio para modelagem da carga
Capítulo 6 Modelagem da Carga
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A partir dos conjuntos de pontos ( IVI, PL, QL) levantados nesses en-
saios, diferentes técnicas de ajustamento de curva ou regressão eram utiliza-
das para obter funções que melhor retratavam o conjunto de pontos obtidos no
ensaio.
Dentre as técnicas de regressão no sentido de achar as funções potên-
cia ativa e reativa da carga em função do módulo da tensão, que melhor des-
crevessem matematicamente aqueles conjuntos de pontos destacou-se a re-
gressão polinomial.
Na regressão polinomial, os conjuntos de pontos ( ) iP, Vi L e ( ) iQ, Vi L
são ajustados pelas seguintes equações:
)...(
2
2100
n
nL VaVaVaaPP ++++= [3]
)...(
2
2100
n
nL VbVbVbbQQ ++++= [4]
onde os coeficientes são tais que: 1
1
=∑
=
n
i
ia e 1
1
=∑
=
n
i
ib
Os coeficientes a e b das equações [3] e [4] eram determinados empre-
gando o Método do Mínimos Quadrados. Neste método, estes coeficientes são
determinados de forma a minimizar a soma dos quadrados dos desvios. En-
tende-se desvio, como sendo a diferença entre o valor de potência obtido no
ensaio e o valor calculado de potência através das equações [3] e [4], para
uma mesma tensão na barra.
 Nos casos em que a regressão polinomial foi empregada para modela-
gem de carga em sistemas elétricos, verificou-se que os coeficientes dos ter-
mos de grau superior a três eram muito pequenos, quando comparados com os
demais coeficientes, de forma que eles passaram a ser usualmente despreza-dos, isto é:
Capítulo 6 Modelagem da Carga
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)(
2
2100 VaVaaPPL ++≅ [5]
)(
2
2100 VbVbbQQL ++≅ [6]
Os termos a0 e b0 são conhecidos como percentuais de potência
constante do modelo da carga, a1 e b1 como os percentuais de corrente cons-
tante e a2 e b2 como os percentuais de impedância constante.
Exemplo 1:
No barramento de 13,8 kV da subestação apresentada na Figura 1 , foram
conectados e desconectados os bancos capacitores no intuito de obter o mo-
delo da carga deste barramento. A tabela apresenta os valores obtidos neste
ensaio. Obtenha o modelo para a potência ativa fornecida desta barra em fun-
ção da tensão admitindo uma regressão quadrática.
Tabela 1 - Resultados de Ensaio
Tensão na
barra (pu)
Potência
Ativa (pu)
Potência
Reativa (pu)
0.90 0.77 0,.69
0.95 0.83 0.74
1.00 0.86 0.78
1.05 0.91 0.84
1.10 0.95 0.91
Solução:
A regressão quadrática consiste em determinar a0, b0, a1, b1, a2 e b2 das equa-
ções [5] e [6] . Os valores de P0 e Q0 são obtidos diretamente da Tabela 1,
pois correspondem aos valores de potência ativa e reativa fornecida ao barra-
mento quando a tensão neste é a nominal,
86.00 =P e 78.00 =Q
Os desvios calculados para cada ponto são:
Capítulo 6 Modelagem da Carga
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)210.110.1.(86.095.0
)205.105.1.(86.091.0
).(86.086.0
)295.095.0.(86.083.0
)290.090.0.(86.077.0
.2.105
.2.104
2103
.2.102
.2.101
aaaD
aaaD
aaaD
aaaD
aaaD
++−=
++−=
++−=
++−=
++−=
Empregar o método dos mínimos quadrados, consiste em resolver as seguin-
tes equações, para determinar a0, a1, a2:


















=−+−+−+−+−=
∂






∂
=−+−+−+−+−=
∂






∂
=−+−+−+−+−=
∂






∂
∑
∑
∑
=
=
=
004.1.2948.0.286.0.2776.0.2697.0.2
0946.0.2903.0.286.0.2817.0.2774.0.2
086.0.286.0.286.0.286.0.286.0.2
54321
2
5
1
2
54321
1
5
1
2
54321
0
5
1
2
DDDDD
a
Di
DDDDD
a
Di
DDDDD
a
Di
i
i
i
Resolvendo este sistema de equações obtemos a0 = 0.34, a1 = 0.19, a2 = 0.47.
Uma vez realizado um teste para uma dada subestação cuja composi-
ção de carga é bem conhecida, pode-se extrapolar os resultados para outras
subestações, mesmo que tenham composições de carga diferentes, através de
uma manipulação matemática conveniente. Para aplicação deste método, ad-
mite-se, porém, que a curva de carga para cada categoria (residencial, indus-
trial ou comercial) seja a mesma e que se conhece o consumo KWh por cate-
goria, da área servida pela subestação.
É importante ressaltar que medições de carga podem ser afetados por di-
versos fatores :
• Variação da composição da carga ao longo do dia;
• Variação da composição da carga ao longo para dias da semana;
Capítulo 6 Modelagem da Carga
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• Variação da composição da carga ao longo para os meses do
ano;
• Desligamento de consumidores industriais por atuação da prote-
ção de subtensão nos mesmos;
• Manutenções tanto no sistema elétrico da concessionária como
no do consumidor;
• Corte de carga em alimentadores;
• Injeção de blocos de reativo para variação de tensão.
A realização desses ensaios durante os anos 70, viabilizaram a obten-
ção de modelos de carga mais precisos, contudo nos tempos atuais é intolerá-
vel a realização desses ensaios, pois eles afetam a qualidade do fornecimento
de energia elétrica das concessionárias, pertubam processos industriais, po-
dem provocam mau funcionamento de equipamentos e dispositivos. Em grande
parte dos processos industriais variações de tensão podem significar não
conformidades no produto fabricado acarretando prejuízos, prejudicando assim
a qualidade do fornecimento de energia, provocando perdas e danos ao con-
sumidor.
5. MODELO QUADRÁTICO
Consiste em modelar a variação da carga do barramento de uma su-
bestação com a tensão, pelas seguintes equações:
)(
2
2100 VaVaaPPL ++= [7]
)(
2
2100 VbVbbQQL ++= [8]
onde: V é o módulo da tensão no barramento, P0 e Q0 são respectivamente
as potências ativas e reativas fornecida ao barramento quando ele está ope-
rando na tensão nominal 1,0 pu, e os coeficientes a0, a1, a2, b0, b1 e b2 são os
percentuais de potência.
Capítulo 6 Modelagem da Carga
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Utilizando esta modelagem para a carga, diz-se que uma carga é do
tipo potência constante quando a0 = 1.0 e a1 = a2 = 0, a carga que mais se as-
semelha a um comportamento deste é um motor de indução operando a plena
carga acionando uma carga com conjugado constante. Quando a tensão cai
nos terminais de um motor indução a plena carga ele absorve mais corrente da
rede para que a potência mecânica a carga permaneça constante. Este com-
portamento dos motores de indução podem ser entendido a partir do circuito
equivalente apresentado na figura. Neste circuito a resistência de armadura é
desprezada e as perdas de magnetização atrito e ventilação são adicionadas a
carga.
Figura 2 - Circuito equivalente aproximado do motor de indução
Assumindo a potência mecânica da carga constante, podemos escre-
ver que:
2.
2
2
..3 I
s
r
PP LMEC 




== [9]
2
221
2
)..(3
.3
IXX
X
V
Q
M
L ++= [10]
A partir do circuito equivalente do motor de indução mostrado na
Figura 2 podemos obter a expressão da corrente de rotor I2 :
2
2
2
2
X
s
r
V
I
+





= [11]
Capítulo 6 Modelagem da Carga
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Substituindo a equação [11] na equação [9], obtém-se:
2
2
2
2
).(
...3
2 Xsr
srV
PL
+
= [12]
As curvas P-V ( linhas pontilhadas )e Q-V ( linhas cheias ) para o mo-
tor de indução, obtidas a partir das equações [10] e [12] são mostradas na
Figura 3.
Figura 3 - Curvas P-V e Q-V para um motor de indução
É importante destacar que quando a tensão varia nos terminais do
motor de indução, o torque varia com o quadrado da tensão, portanto acionan-
Capítulo 6 Modelagem da Carga
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do uma carga que exige potência mecânica constante no seu eixo, se atensão
é reduzida, o motor perde velocidade.
A Figura 4 mostra um conjunto de curvas torque escorregamento para
diferentes valores de tensão terminal de um motor de indução que aciona uma
carga que exige potência mecânica constante no seu eixo. Nesta curva pode-
se visualizar que existe um valor limite de afundamento de tensão que faz com
que o motor ainda acione a carga.
Figura 4 - Curvas torque-escorregamento
Nos motores síncronos a potência ativa pode ser assumida pratica-
mente constante com a tensão e para uma corrente de excitação constante,
quando a tensão cai nos terminais do motor, a potência reativa cedida au-
menta como pode ser visto na Figura 5.
Figura 5 - Curvas P-V e Q-V de um motor síncrono
Capítulo 6 Modelagem da Carga
VI - 12
 Uma carga é dita do tipo corrente constante quando a1 = 1.0 e a0 = a2
= 0, os equipamentos que mais se assemelham a um comportamento deste
são os conversores e equipamentos eletrônicos como o vídeo e a televisão.
No grupo de cargas que podem ser modeladas, dentro de boa preci-
são, como impedância constante estão as cargas de iluminação e aquecimen-
to. As lâmpadas incandescentes são cargas que podem ser aproximadas pelas
seguintes equações 
2
.0 VPPL = e 0=LQ , a referencia [3] ainda comenta que
quando se quer considerar à variação da resistência do filamento com a tem-
peratura, a representação mais precisa seria 
6,1
0.VPPL = e 0=LQ .
As lâmpadas de descarga em meio gasoso que possuem fator de po-
tência entre 0,6 e 0,8 são modeladas pelas seguintes equações: 
2
.0 VPPL = e
2
0.VQQL = .
Exemplo 2:
A carga medida na tensão de 13.8 kV num barramento de uma subestação é
de (4 + j.3.6), obtenha as potências ativas e reativas fornecidas neste barra-
mento quandoa tensão é de 14.2 kV. A carga neste barramento pode ser mo-
delada tanto para a potência ativa como para a reativa com 40% de potência
constante, 25% corrente constante e 35% de impedância constante.
Solução:
Admitindo SBASE = 5 MVA e VBASE = 13,8 kV :
 pu 0.72
5
6.3
Q e pu 0.8
5
4
00 ====P
A tensão no qual se quer determinar a carga do barramento é:
pu 1.028
8.13
2.14
1 ==V
No enunciado são dados: a0 = b0 = 0.4, a1 = b1= 0.25 e a2 = b2 = 0.35, logo:
( )
( ) pu 0,739028,1.35.0028,1.25,04,0.72,0)028,1(
pu 0,821028,1.35.0028,1.25,04,0.8,0)028,1(
2
2
=++=
=++=
L
L
Q
P
Capítulo 6 Modelagem da Carga
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6. MODELAGEM EXPONENCIAL
Em estudos envolvendo cargas especiais é também utilizado para a
modelagem da carga o modelo exponencial, neste modelo a potência comple-
xa fornecida a um barramento numa tensão V1 é expressa na seguinte forma
geral:
n
NOM
NOM
V
V
SS 




= 1.1 [13]
7. MODELAGEM IMPEDÂNCIA CONSTANTE
Em estudos de curto circuito, onde as correntes de carga são muito
pequenas quando comparadas com as correntes de curto, e em análises onde
a precisão na modelagem de carga não é tão necessária, o modelo mais ade-
quado do ponto de vista de simplificação dos cálculos é o da impedância
constante.
Nesta modelagem, uma carga PL + j.QL num dada tensão V1 é repre-
sentada por um dos circuitos mostrados na Figura 6.
RL
jX
L
L
GjB
L
Figura 6 - Modelo da carga impedância constante
Adotando o modelo impedância constante e escolhendo um dos cir-
cuitos mostrados na Figura 6, quando são conhecidas as potências ativa (P0) e
Capítulo 6 Modelagem da Carga
VI - 14
reativa (Q0) supridas num dado barramento operando na tensão V1, os parâ-
metros podem ser obtidos a partir das seguintes equações:
2
0
0
I
P
RL = [14]
2
0
0
I
Q
XL = [15]
2
1
0
V
P
GL = [16]
2
1
0
V
Q
BL = [17]
8. MODELAGEM DA CARGA EM ESTUDOS DE FLUXO DE PO-
TÊNCIA
Os estudos de fluxo de potência consistem em se determinar o estado
de operação de um sistema elétrico para uma dada condição de carga. Eles
são estudos imprescindíveis nas fases de planejamento e operação dos siste-
mas elétricos. Num estudo de fluxo de carga ou 'load flow' são determinadas
todas as tensões nas diferentes barras de um sistema elétrico e os respectivos
fluxos de potência ativa e reativa nos diferentes circuitos de um sistema elétri-
co numa dada condição de carga.
Nesses os valores das cargas e as respectivas modelagens podem
conduzir a significativas diferenças nos resultados obtidos. Na realização des-
ses estudos, é importante conhecer o ciclo diário de carga de um dia útil e de
final de semana e feriado para que se possa avaliar o momento mais adequa-
do para, por exemplo, para decidir a inserção ou não de um banco de capaci-
tores e / ou reatores. Geralmente o que se faz é decidir patamares de carga,
ao longo da curva diária, para se fazer análises de fluxo de carga e avaliar a
melhor política de utilização das fontes de reativo e de controle de tensão.
Capítulo 6 Modelagem da Carga
VI - 15
Para se definir a melhor estratégia para a utilização das fontes de
controle ( capacitores, reatores, compensadores síncronos, compensadores
estáticos, tapes de transformadores ...) são utilizados limites de carga repre-
sentativos de cargas leve, média e pesada, e a partir daí se faz simulações de
fluxo de carga. Para finais de semana e feriados o maior interesse é na condi-
ção da menor carga registrada, com a finalidade de se analisar a pior situação
em termos de absorção de reativos dos equipamentos. É importante a compa-
tibilização , ou seja, investigações em outros patamares de carga pois em fi-
nais de semana e em feriados geralmente se programam grandes desliga-
mentos no sistema, para verificar se a capacidade do sistema suporta estas
liberações.
Em estudos de fluxo de carga convencionais as cargas, tanto ativas como
reativa, são apresentadas como potência constante. Em estudos de sistemas
que apresentam um perfil irregular de tensão ou em estudos de emergência no
sistema é importante a representação real da carga. Por exemplo, quando a
carga do sistema em estudo for predominantemente indutiva (constante), vari-
ável com o quadrado da tensão, a redução nos níveis de tensão em uma
emergência serão atenuados pelo decréscimo da carga absorvida com o novo
perfil de tensão.
Utilizando-se programas de computadores a representação correta das
cargas não apresenta grandes dificuldades para manipulação e indicação de
como proceder e as melhores alternativas de controle. A representação real
das cargas pode, em alguns casos, conduzir a uma redução de investimentos
em equipamentos compensadores de reativo ou mesmo evitar uma expansão
prematura do sistema de transmissão, pois sabe-se que a carga varia ao longo
do tempo.
9. BIBLIOGRAFIA
[1] Weedy, B.M. – Sistemas Elétricos de Potência
[2] Stevenson, W. D. – Elementos de Analise de Sistemas de Potência
[3] Fitzgerald, A. E. - Máquinas Elétricas
6 Modelagem da Carga
 - 16
[5] Beeman - Industrial Power Systems Handbook
[6] Stagg - Computação Aplicada a Sistemas Elétricos de Potência