Estudo_Centroides_Momentos_Inercia

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Estudo de Centróides e Momentos de Inércia
Technical Report · February 2017
DOI: 10.13140/RG.2.2.10712.90880
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Paulo Mendes
Instituto Politécnico de Lisboa
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Instituto Politécnico de Lisboa 
 
Instituto Superior de Engenharia de Lisboa 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo de Centróides e 
Momentos de Inércia 
 
 
Unidade Curricular de Física Aplicada à Engenharia Civil 
 
 
 
 
Paulo Jorge Henriques Mendes 
 
 
 
 
 
 
Edição de 2005 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
i
Índice 
 
1. CENTRÓIDES ............................................................................................................................................. 1 
1.1 Definição ............................................................................................................................................... 2 
1.2 CENTRO DE FORÇAS PARALELAS ................................................................................................ 2 
1.3 CENTRO DE GRAVIDADE ................................................................................................................ 4 
1.4 CENTRO DE MASSA .......................................................................................................................... 5 
1.5 CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES E LINHAS ................................................................................... 6 
1.6 PROPRIEDADES DE BARICENTROS E CENTRÓIDES ................................................................. 8 
1.7 MOMENTO ESTÁTICO ...................................................................................................................... 9 
1.7.1 Momento estático de uma superfície plana ................................................................................... 9 
1.8 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS ............................................................................................ 10 
1.9 OUTRAS APLICAÇÕES .................................................................................................................... 12 
1.10 EXERCÍCIOS...................................................................................................................................... 12 
1.10.1 Exercício ..................................................................................................................................... 12 
1.10.2 Exercício ..................................................................................................................................... 13 
1.10.3 Exercício ..................................................................................................................................... 14 
1.10.4 Exercício ..................................................................................................................................... 16 
1.10.5 Exercício ..................................................................................................................................... 18 
1.11 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 19 
2. MOMENTOS DE INÉRCIA .................................................................................................................... 21 
2.1 DEFINIÇÃO........................................................................................................................................ 22 
2.1.1 Designações correntes ................................................................................................................ 23 
2.1.2 Propriedades dos momentos de inércia ...................................................................................... 23 
2.1.3 Representação dos momentos de inércia num sistema de eixos coordenados ............................ 24 
2.2 TEOREMA DOS EIXOS PERPENDICULARES .............................................................................. 25 
2.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS ( OU TEOREMA DE STEINER) ...................................... 26 
2.4 MOMENTOS DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES PLANAS ............................................................... 27 
2.4.1 Definição..................................................................................................................................... 27 
2.4.2 Raio de giração ........................................................................................................................... 28 
2.4.3 Momento de inércia polar ........................................................................................................... 28 
2.4.4 Teorema de Steiner ou dos eixos paralelos................................................................................. 28 
2.4.5 Produto de inércia ...................................................................................................................... 29 
2.4.6 Teorema de Steiner aplicado a produtos de inércia ................................................................... 29 
2.5 TRANSPOSIÇÃO DE EIXOS DE INÉRCIA ..................................................................................... 30 
2.6 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA ................................................................................................... 34 
2.7 CÍRCULO DE MOHR ........................................................................................................................ 35 
2.7.1 Método gráfico ............................................................................................................................ 35 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
ii
2.8 EXERCÍCIOS...................................................................................................................................... 36 
2.8.1 Exercício ..................................................................................................................................... 36 
2.9 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 41 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
1 
 
1 
1. CENTRÓIDES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo pretende-se introduzir o conceito de centróide, em especial quando aplicado 
para o caso de superfícies planas.♣ 
 
♣ Este documento, constitui apenas um instrumento de apoio às aulas de Física Aplicada à Engenharia Civil II. 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
2 
1.1 Definição 
Pode-se definir centróide, como o centro geométrico de um corpo, de uma superfície, ou de 
uma linha. Para formas relativamente simples a determinação de centróides é extremamente 
fácil e objectiva, por vezes até é intuitiva, no entanto quando se trata de formas mais 
complexas, para determinar centróides é necessário recorrer a alguns conceitos de base, os 
quais se apresentam de seguida. 
1.2 CENTRO DE FORÇAS PARALELAS 
Considere-se um sistema de forças paralelas, de expressão geral: 
 
i iF F u= ⋅
! ! 
 
 
a) 
 
b) 
Figura 1. a) Sistema de forças paralelas; b) Resultante do sistema de forças paralelas. 
 
A resultante das forças paralelas R
!
 e o momento resultante 0M
!
 em relação a 0 são dados 
pelas seguintes expressões: 
 
1
n
i
i
R F
=
=∑
! !
 0
1
n
i i
i
M r F
=
= ∧∑
! !! 
 
em que ir
! representa o vector de posiçãodo ponto de aplicação de cada uma das forças em 
relação à origem. Considerando u! como um vector unitário paralelo às forças representadas, 
as expressões anteriores também podem ser representadas do seguinte modo: 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
3 
1
n
i
i
R F u
=
= ⋅∑
! ! 0
1
n
i i
i
M r F u
=
= ∧ ⋅∑
! ! ! 
 
em que 0M
!
 também pode tomar a seguinte forma 
 
0
1
n
i i
i
M r F u
=
= ⋅ ∧∑
! ! ! 
 
Como já se viu, este sistema pode ser representado por uma força única R
!
, considerando cr
! 
como o vector de posição do ponto de aplicação de R
!
 em relação à origem 0, pode-se 
escrever a expressão de 0M
!
 na seguinte forma: 
 
0 cM r R= ∧
! !! 
 
igualando as expressões de 0M
!
, obtém-se a seguinte igualdade 
 
1
n
i i c
i
r F u r R
=
⋅ ∧ = ∧∑
!! ! ! em que 
1
n
i
i
R F
=
=∑
! !
 então 
 
1 1
1 1
1 1
n n
i i c i
i i
n n
i i c i
i i
n n
i i c i
i i
r F u r F
r F u r F u
r F u r F u
= =
= =
= =
⋅ ∧ = ∧ ⇔
 
⇔ ⋅ ∧ = ∧ ⋅ ⇔ 
 
 
⇔ ⋅ ∧ = ⋅ ∧ 
 
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
!! ! !
! ! ! !
! ! ! !
 
 
igualando os primeiros termos obtém-se 
 
1 1
n n
i i c i
i i
r F r F
= =
 
⋅ = ⋅ 
 
∑ ∑! ! que se pode expressar da seguinte forma 1
1
n
i i
i
c n
i
i
r F
r
F
=
=
⋅
=
∑
∑
!
! 
 
O vector cr
! , assim definido, representa o centro de forças paralelas, sendo o ponto de 
aplicação da resultante deste sistema. 
 
Considerando c c c cr x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅
!! !! , as coordenadas do centro de forças paralelas são dadas 
por: 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
4 
1
1
n
i i
i
c n
i
i
x F
x
F
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
c n
i
i
y F
y
F
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
c n
i
i
z F
z
F
=
=
⋅
=
∑
∑
 
1.3 CENTRO DE GRAVIDADE 
O peso de um corpo é definido como a força com que a Terra atrai o corpo. O ponto de 
aplicação do peso de um corpo é denominado por centro de gravidade ( CG ). Considerando 
um corpo como um sistema material, de massa total M , verifica-se que cada ponto material 
de massa im , está sujeito a uma força gravítica iPΔ . 
 
Se o sistema for de pequenas dimensões, o conjunto destas forças iPΔ , constituem um sistema 
de forças paralelas, cuja resultante fica aplicada no ponto CG . 
 
Considerando i iP m gΔ = ⋅ , em que g representa a aceleração da gravidade, pode-se 
representar o peso total de um corpo como sendo: 
 
1
n
i
i
P P
=
= Δ∑ 
 
Desta forma e por analogia com o que foi apresentado na secção anterior, pode-se representar 
o vector de posição de um centro de gravidade (CG ), como: 
 
1
1
n
i i
i
CG n
i
i
r P
r
P
=
=
⋅ Δ
=
Δ
∑
∑
!
! 
 
tal como na secção anterior também se podem representar as coordenadas do centro de 
gravidade, as quais se podem escrever como: 
 
1
1
n
i i
i
CG n
i
i
x P
x
P
=
=
⋅Δ
=
Δ
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
CG n
i
i
y P
y
P
=
=
⋅ Δ
=
Δ
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
CG n
i
i
z P
z
P
=
=
⋅Δ
=
Δ
∑
∑
 
 
Considerando agora que o número de elementos em que se divide um determinado corpo é 
infinito, e que esses elementos apresentam simultaneamente dimensões menores, a 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
5 
determinação do seu centro de gravidade só será possível recorrendo ao conceito de cálculo 
integral. Desta forma o peso do corpo será determinado recorrendo à seguinte expressão: 
 
P dP= ∫ 
 
Desta forma o vector de posição do centro de gravidade ( CG ), será dado da seguinte forma: 
 
CG
rdP
r
dP
= ∫
∫
! 
 
e em que as coordenadas do centro de gravidade serão agora escritas da seguinte forma: 
 
CG
xdP
x
dP
= ∫
∫
; CG
ydP
y
dP
= ∫
∫
; CG
zdP
z
dP
= ∫
∫
 
1.4 CENTRO DE MASSA 
O conceito relativo à obtenção de centro de massa (CM ) baseia-se no exposto para o caso de 
centros de gravidade, baseando-se no facto de se considerar a aceleração da gravidade g 
como sendo constante, obtendo-se como se apresenta: 
 
11 1 1
1 1 11
nn n n
i ii i i i i i
ii i i
CM n n nn
i i ii
i i ii
g r mr P r m g r m
r
P m g mg m
== = =
= = ==
 
⋅ ⋅⋅Δ ⋅ ⋅ ⋅ 
 = = = =
 Δ ⋅ ⋅ 
 
∑∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑∑
!! ! !
! 
 
o qual se pode escrever também em função de um sistema de coordenadas: 
 
1
1
n
i i
i
CM n
i
i
x m
x
m
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
CM n
i
i
y m
y
m
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
CM n
i
i
z m
z
m
=
=
⋅
=
∑
∑
 
 
Considerando agora que se está perante um sistema material, com um grande número de 
partículas e uma distribuição contínua de matéria não decomponível em partes finitas. A 
determinação das coordenadas de centro de massa ( CM ) será feita com base nas seguintes 
expressões: 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
6 
CM
xdm
x
dm
= ∫
∫
; CM
ydm
y
dm
= ∫
∫
; CM
zdm
z
dm
= ∫
∫
 
 
Porém, o cálculo destes integrais não é directo, é necessário introduzir alguns conceitos, por 
forma a torná-los resolúveis. Como seja a passagem de elementos de massa para elementos de 
volume, pelo conceito de massa volúmica ρ , em que: 
 
dm dm dv
dv
ρ ρ= ⇔ = 
 
quando se está perante corpos com material homogéneo .constρ = , então as coordenadas de 
centro de massa ( CM ), passam a escrever-se da seguinte forma: 
 
CM
xdv
x
dv
= ∫
∫
; CM
ydv
y
dv
= ∫
∫
; CM
zdv
z
dv
= ∫
∫
 
 
Dependendo neste caso, só das dimensões do corpo. O ponto determinado por estas 
expressões, será para corpos homogéneos, designado por baricentro, uma vez que coincide 
com o centro geométrico (centróide) do corpo e com o seu centro de massa. 
1.5 CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES E LINHAS 
Relativamente às superfícies, o cálculo dos seus centróides é definido por analogia com que já 
foi apresentado para o caso de volumes. Assim sendo definem-se duas situações: 
 
i) Superfície decomponível em partes finitas de dimensões conhecidas iA , cujos 
centróides são conhecidos ( );i i iC x y . 
 
 
Figura 2. Superfície decomposta em figuras conhecidas de centróides conhecidos. 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
7 
1
1
n
i i
i
C n
i
i
A x
x
A
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
C n
i
i
A y
y
A
=
=
⋅
=
∑
∑
 
 
ii) Superfície só decomponível em partes infinitesimais, recorrendo a áreas elementares 
dA , cuja posição é definida pelas coordenadas x e y . 
 
 
Figura 3. Superfície decomponível em áreas elementares. 
 
C
xdA
x
dA
= ∫
∫
; C
ydA
y
dA
= ∫
∫
 
 
Associada à definição dos centróides de superfícies surge também a dos centróides de linhas, 
a qual se define da mesma maneira. Definem-se igualmente duas situações: 
 
i) Linha decomponível em partes finitas de dimensões conhecidas iL , cujos centróides 
são conhecidos ( );i i iC x y . 
 
1
1
n
i i
i
C n
i
i
L x
x
L
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
C n
i
i
L y
y
L
=
=
⋅
=
∑
∑
 
 
ii) Linha só decomponível em partes infinitesimais, recorrendo a troços elementares dL , 
cuja posição é definida pelas coordenadas x e y . 
 
C
xdL
x
dL
= ∫
∫
; C
ydL
y
dL
= ∫
∫
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
8 
1.6 PROPRIEDADES DE BARICENTROS E CENTRÓIDES 
Relativamente aos baricentros e/ou centróides existem algumas propriedades, as quais estão 
relacionadas com elementos de simetria, particularmente eixos e pontos de simetria, os quais 
importa definir em primeiro lugar: 
 
i) Eixo de simetria, é um eixo que divide uma superfície ou um corpo em duas partes 
exactamente iguais. A simetria axial não é forçosamente ortogonal, podendo 
manifestar-se paralelamente a uma qualquer recta não perpendicular ao eixo de 
simetria. 
 
ii) Centro de simetria, a uma transformação geométrica que a cada ponto A do plano faz 
corresponder outro ponto A’ desse plano de tal forma que ambos estejam alinhados 
com um determinado ponto fixo C, à mesma distância deste (não podendo ser 
coincidentes, A e A’ localizam-se em lados opostos relativamente a C) dá-se o nome 
de simetria central. O ponto C recebe o nome de centrode simetria e A e A’ dizem-se 
pontos simétricos. Também se pode designar esta transformação geométrica por 
simetria pontual. A simetria central pode entender-se como sendo um caso particular 
de uma rotação de 180º. 
 
 
a) 
 
b) 
Figura 4. a) Eixo de simetria; b) Centro de simetria. 
 
Apresentam-se em seguida as principais propriedades, relativas aos baricentros e centróides: 
 
• Se uma superfície apresenta um elemento de simetria, o centroíde está 
necessariamente contido nesse elemento; 
• Se a superfície tem um centro de simetria, esse ponto é o baricentro ou o centróide; 
• Se a superfície admite dois eixos de simetria o centróide ou baricentro é o ponto de 
encontro dos dois eixos; 
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9 
• Nem sempre o centróide está localizado no interior de uma superfície, poderá ser 
encontrado fora dela. 
 
 
a) 
 
b) 
Figura 5. a) Figuras com dois eixos de simetria; b) Centróide fora da superfície. 
 
Para um corpo de forma irregular, constituído por materiais diferentes o centro de gravidade 
estará mais próximo da zona mais “pesada”. 
1.7 MOMENTO ESTÁTICO 
Em primeiro lugar convém abordar o conceito geral de momento de uma força. O momento 
estático de uma força em relação a um plano, eixo ou ponto, é igual ao produto da força pela 
distância do seu ponto de aplicação à base de referência. 
 
M F d= ⋅ 
 
1.7.1 Momento estático de uma superfície plana 
O momento estático de uma superfície plana difere do conceito geral de momento estático 
anteriormente definido em dois aspectos: 
 
i) A força F é substituída pela área A da superfície; 
ii) Relativamente às forças considera-se d como a distância do ponto de aplicação destas 
à base de referência, enquanto que para as superfícies se considera d como a distância 
do centróide da superfície à base de referência. 
 
Em seguida apresenta-se a definição de momento estático de acordo com o tipo de superfície 
considerada. Consideram-se as seguintes duas situações: 
 
i) Superfície decomponível em partes finitas (superfícies conhecidas como sejam 
rectângulos, triângulos, círculos, etc.) de área iA , tendo como coordenadas do seu 
ponto de aplicação (centróide) ( );i i iC x y 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
10 
1
n
X i i
i
M A y
=
= ⋅∑ ; 
1
n
Y i i
i
M A x
=
= ⋅∑ 
 
ii) Superfície só decomponível em parcelas infinitesimais, de área elementar dA , cuja 
posição é dada pelas coordenadas x e y 
 
XM ydA= ∫ ; YM xdA= ∫ 
 
O conceito de momento estático de linhas pode ser obtido por analogia com o de superfícies, 
no entanto, devido à sua pouca aplicabilidade, não será exposto. 
1.8 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS 
A formulação destes teoremas remonta ao século III a. C., os quais foram inicialmente 
abordados pelo geómetra grego Pappus e mais tarde retomados pelo matemático suíço 
Guldinus (1577-1643), resultando da combinação dos nomes destes dois autores a sua 
designação. Estudam superfícies e corpos de revolução, permitindo o cálculo das suas áreas e 
volumes. 
 
Antes de introduzir estes teoremas proceder-se-á à definição de superfície de revolução e 
corpo de revolução. 
 
Uma superfície de revolução é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma linha 
plana em torno de um eixo fixo, tal como se apresenta nas figuras seguintes. 
 
 
Superfície cónica 
 
Superfície esférica 
Figura 6. Superfícies de revolução. 
 
Um corpo de revolução é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma superfície plana 
em torno de um eixo fixo, tal como se apresenta nas figuras seguintes. 
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
11 
 
Cone 
 
Esfera 
Figura 7. Corpos de revolução. 
 
1º TEOREMA (linhas planas → superfícies): A área de uma superfície de revolução é 
obtida multiplicando o comprimento da linha geratriz, pelo percurso do centróide da linha, 
durante o movimento de rotação que gera a superfície. 
 
A d Lθ= ⋅ ⋅ 
 
em que: 
 
A - é a área da superfície de revolução; 
θ - é o ângulo de revolução, em radianos; 
d - é a distância do centróide da linha ao eixo de rotação; 
L - é comprimento da linha. 
 
 
2º TEOREMA (superfícies planas → corpos): O volume de um corpo de revolução é obtido 
multiplicando a área da superfície geradora, pelo percurso do centróide desta, durante o 
movimento de rotação que gera o volume. 
 
sV d Aθ= ⋅ ⋅ 
 
em que: 
 
V - é o volume de revolução; 
θ - é o ângulo de revolução, em radianos; 
d - é a distância do centróide da superfície plana ao eixo de rotação; 
sA - é a área da superfície plana. 
 
 
 
 
 
 
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12 
1.9 OUTRAS APLICAÇÕES 
O conceito de centróide pode também ser utilizado em outras aplicações, como seja no caso 
de cargas distribuídas em vigas, nas quais este conceito é aplicado para determinar a 
localização do ponto da viga em que deverá ser aplicada uma única carga concentrada (que 
representa a resultante das cargas distribuídas). 
 
 
a) 
 
b) 
Figura 8. a) Carga distribuída numa viga; b) Ponto de aplicação da carga concentrada. 
 
1.10 EXERCÍCIOS 
Apresentam-se agora alguns exercícios para melhor compreender e colocar em prática os 
conceitos atrás enunciados. 
1.10.1 Exercício 
Considere a chapa indicada na figura. Para as unidades dadas em [cm], determine: 
 
a) As coordenadas do centróide. 
b) O momento estático relativamente ao eixo y = - 2. 
 
0
Y
X
1
23
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
13 
R: A superfície aparece já dividida em figuras e com o sistema de eixos indicado. 
 
a) Para determinar as coordenadas do centróide basta aplicar as seguintes expressões: 
 
( )
( )
2
1
2
1
2 6 2 2 4 23 6 1,5 3
2 3 4 3
2,22 
2 6 23 6
2 4
n
i i
i
C n
i
i
A x
x cm
A
π
π
π
=
=
  ×  × ×   × × + × + − ×⋅       ×      = = ≈
 × × × + −   
   
∑
∑
 
 
( )
( )
2
1
2
1
2 6 2 6 2 4 23 6 3 6
2 3 4 3
2,96 
2 6 23 6
2 4
n
i i
i
C n
i
i
A y
y cm
A
π
π
π
=
=
  × ×  × ×   × × + × − × −⋅       ×      = = ≈
 × × × + −   
   
∑
∑
 
 
b) Relativamente ao momento estático, basta aplicar a expressão M A d= ⋅ , tem-se 
então: 
 
( ) ( )
3
2 20,86 2 2,96 103,47 yM A d cm=− = ⋅ ≈ × + ≈ 
1.10.2 Exercício 
A figura indicada é constituída pela secção transversal de dois perfis UNP, com iguais 
dimensões. Determine e indique na figura o centro de gravidade do conjunto. (Considere as 
unidades em cm) 
 
 
 
R: Em primeiro lugar deverá indicar-se o sistema de eixos a utilizar para a resolução do 
problema, de seguida procede-se à divisão da secção transversal (superfície) em figuras das 
quais se conhece perfeitamente os centróides (como sejam rectângulos, triângulos, círculos, 
etc.). Convém utilizar o menor numero de figuras possível, por forma a simplificar em termos 
de cálculo, na figura seguinte apresentam-se as opções tomadas, que podem ser outras. 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
14 
0
Y
X
12
3
4
 
 
Trata-se portanto de uma superfície decomponível em figuras, aplicando-se as seguintes 
expressões: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
7 14 3,5 5,5 11 2,75 14 7 14 11 5,5 14
9,355 
7 14 5,5 11 14 7 11 5,5
n
i i
i
C n
i
i
A x
x cm
A
=
=
⋅
× × − × × + × × − × ×
= = ≈
× − × + × − ×
∑
∑
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
7 14 7 5,5 11 7 14 7 10,5 11 5,5 9,75
9,355 
7 14 5,5 11 14 7 11 5,5
n
i i
i
C n
i
i
A y
y cm
A
=
=
⋅
× × − × × + × × − × ×
= = ≈
× − × + × − ×
∑
∑
 
 
em que os valores de ix representam as distâncias dos centróides das figuras ao eixo dos YY 
medidas no eixo dos XX e os valores de iy representam as distâncias dos centróides das 
figuras ao eixo dos XX medidas no eixo dos YY. 
1.10.3 Exercício 
As figuras que se apresentam em seguida contém a planta e a secção transversal de uma 
pequena barragem de betão, com as dimensões indicadasem metros. Determine: 
 
a) A área de cofragem necessária para a betonagem das faces laterais AB e CD. 
b) O volume total de betão necessário para a construção da barragem. 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
15 
 
 
R: Em primeiro lugar convém compreender bem a figura, à esquerda encontra-se a planta e à 
direita um corte. 
 
a) Relativamente a esta alínea, resolve-se aplicando o 1º teorema de Pappus-Guldinus, 
que se baseia na aplicação da seguinte expressão A d Lθ= ⋅ ⋅ . Uma vez que o que se 
pretende é a superfície gerada pela rotação das linhas AB e CD (que se podem ver no 
corte AA’). O ângulo de rotação θ está indicado na planta da figura, em que o valor 
de 45º deverá obrigatoriamente ser convertido em radianos / 4π ou 0,785≈ . 
Relativamente à distância d , para a face lateral AB corresponde à distância do centro 
de rotação ao centróide da linha AB medida em planta, ou seja, aos 100 m 
correspondentes ao raio R deverão somar-se 1,5 m que corresponde à distância do 
centróide da linha AB até A, quando esta é projectada em planta. Para a face lateral 
CD, aos 100 m correspondentes ao raio R deverão somar-se 7 m , que corresponde à 
distãncia de A a D (a projecção em planta do centróide da linha CD corresponde ao 
próprio ponto D e também ao ponto C). Relativamente aos comprimentos das linhas 
L , para a linha AB aplica-se o teorema de Pitágoras, enquanto que o comprimento da 
linha CD é dado directamente. Assim sendo: 
 
2 210 3 10,44 ABL m= + = 
 
2101,5 10, 44 832, 26 
4AB
A mπ= × × ≈ 
 
2107 10 840,38 
4CD
A mπ= × × ≈ 
 
21672,64 total AB CDA A A m= + ≈ 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
16 
b) A resolução desta alínea baseia-se na aplicação do 2º teorema de Pappus-Guldinus, 
que consiste na aplicação da expressão sV d Aθ= ⋅ ⋅ . O ângulo de rotação θ é 45º, 
deverá obrigatoriamente ser convertido em radianos / 4π ou 0,785≈ . A distância d , 
vai do centro de rotação até à projecção em planta do centróide da secção AA’. E sA 
corresponde à área da secção transversal do corte AA’. Considere-se a secção 
transversal como se mostra em seguida. 
 
0
Y
X
1
2
 
 
( )
( )
1
1
3 10 2 4 10 5
2 4,18 
3 10 4 10
2
n
i i
i
C n
i
i
A x
x m
A
=
=
× × + × ×⋅  
 = = ≈
× + × 
 
∑
∑
 
 
100 4,18 104,18 d m= + = 
 
( ) 23 10 4 10 55 
2s
A m× = + × = 
 
 
 
3104,18 55 4500, 25 
4
V mπ= × × = 
1.10.4 Exercício 
Uma chapa metálica foi cortada ao longo da curva y = x2, da recta y = 0 e x = 2 (unidades SI), 
determine por integração: 
 
a) A sua área. 
b) As coordenadas do baricentro. 
c) Determine o volume do sólido gerado pela rotação completa da referida chapa em 
torno do eixo x = 6. 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
17 
R: Em primeiro lugar convém “desenhar” a superfície: 
 
 
 
Uma vez “desenhada” a superfície a resposta às várias alíneas é quase imediata (é necessário 
proceder à resolução dos integrais). 
 
a) A área de uma superfície é dada pelo seguinte integral: 
 
( )
2
23 32 2 2 2
0 0 0
0
2 2,67 
3 3
x xA dA dydx x dx m
 
= = = = = ≈ 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
b) Para determinar as coordenadas do baricentro ou centróide é necessário calcular os 
momentos estáticos relativamente aos eixos X e Y: 
 
( )
2
2
22 4 52 2 2 3
0 0 0 0
0 0
3,2 
2 2 10
x
x
X
y x xM ydA y dydx dx dx m
   
= = = = = ≈   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) [ ]
22
242 2 2 3 3
0 0 0 0
0
4,0 
4
xx
Y o
xM xdA x dydx x y dx x dx m
 
= = = = = = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
as coordenadas dos centróide são dadas por: 
 
4,0 1,50 
2,67
Y
C
xdAMx m
A dA
= = = ≈∫
∫
 
 
3, 2 1, 20 
2,67
X
C
ydAMy m
A dA
= = = ≈∫
∫
 
 
c) Relativamente ao cálculo deste volume, consiste na aplicação do 2º teorema de 
Pappus-Guldinus, que se baseia na seguinte expressão sV d Aθ= ⋅ ⋅ , em que θ é o 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
18 
ângulo de revolução, que neste caso como é uma rotação completa corresponde a 2π 
(este valor é sempre considerado em radianos). O parâmetro d , representa a distância 
que vai do centro de rotação (neste caso o eixo x = 6) até ao centróide da figura. E sA 
corresponde à área da figura. Tem-se então: 
 
( ) 32 6 1,5 2,67 75,49 sV d A mθ π= ⋅ ⋅ = × − × ≈ 
1.10.5 Exercício 
Considere uma superfície limitada pelas seguintes linhas, y = 2; y = 4; y = x2; e y = x/2, com 
unidades dadas em [m]. Determine: 
 
a) O momento estático relativamente ao eixo y = -5. 
b) Qual a rotação necessária para originar um volume de 20 m3 em torno do eixo x = 10. 
 
R: Em primeiro lugar convém “desenhar” a superfície: 
 
 
 
a) A determinação do momento estático não é directa, em primeiro lugar determina-se 
por intergração a área da figura e o centróide Cy : 
 
[ ] ( )
43
24 2 4 4 12 2 22
2 2 2
2
2 8,55 3
2
y y
yy
yA dA dxdy x dy y y dy y m
 
 = = = = − = − ≈
  
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) [ ] ( )
4532 24 2 4 4 32 32
2 2 2
2
22 26,80 53 2
yy
X y y
y yM ydA y dxdy xy dy y y dy m
 
 = = = = − = − ≈
  
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
26,80 3,13 
8,55
X
C
ydAMy m
A dA
= = = ≈∫
∫
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
19 
Uma vez determinada a área da superfície e o seu centróide relativamente ao eixo dos XX, 
basta aplicar a definição do conceito de momento estático, ou seja M A d= ⋅ , tem-se então: 
 
( ) ( )
3
5 8,55 5 3,13 69,51 yM A d cm=− = ⋅ ≈ × + ≈ 
 
b) Em primeiro lugar é necessário determinar o centróide Cx , 
 
( )
2 42 2 3 24 2 4 4 3
2 2 2
2
4 4 34,33 
2 2 2 6 4
y
y
Y y
y
x y y y yM xdA x dxdy dy dy m
     
= = = = − = − ≈    
     
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
34,33 4,02 
8,55
Y
C
xdAMx m
A dA
= = = ≈∫
∫
 
 
agora basta aplicar o 2º teorema de Pappus-Guldinus, ou seja, a expressão sV d Aθ= ⋅ ⋅ : 
 
( )20 10 4,02 8,55 0,39 sV d A radθ θ θ= ⋅ ⋅ ⇔ = × − × ⇔ ≈ 
 
 
1.11 BIBLIOGRAFIA 
Beer, F.; Johnston, E. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Estática (sexta edição)”, 
MacGrawHill, 1998. 
Meriam, J.; Kraige, L. “Engineering Mechanics – Statics (fourth edition)”, John Willey & 
Sons, INC, 1998. 
Brazão Farinha, J. “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E. T. L. L.da, 1998. 
 
 
 
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
20 
FORMULÁRIOS DE CENTRÓIDES 
 
 
 
LINHAS 
 
FORMA X Y 
Arco
de 
Circun-
ferência
R
α G
X
0 X
Y
 
2
2
sen
R
α
α
 
 
 
 
0 
Quarto
de 
Circun-
ferência
Y
X
G
R
X
Y
0
 
2R
π
 
2R
π
 
Meia
Circunferência
Y
X
G
0 R
Y
 
0 
2R
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
FORMA X Y 
Sector
Circular
Y
X0
X
Gα
R
 
2 2
3 2
sen
R
α
α
 
 
  0 
Quarto
de 
Círculo
0
Y
X
R
G
X
Y
 
4
3
R
π
 4
3
R
π
 
Meio Círculo
Y
R0
G
X
Y
 
0 
4
3
R
π
 
Quarto
de 
Elipse
X
Y
X
Gb
Y
0 a
 
4
3
a
π
 4
3
b
π
 
Y
Triângulo
0
G
X
Y
h
b
 
- 
3
h 
 
 
 
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
21 
 
2 
2. MOMENTOS DE INÉRCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo pretende-se introduzir o conceito de momento de inércia, em especial quando 
aplicado para o caso de superfícies planas.♣ 
 
 
 
♣ Este documento, constitui apenas um instrumento de apoio às aulas de Física Aplicada à Engenharia Civil II. 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
22 
 
 
2.1 DEFINIÇÃO 
Em termos gerais, pode-se definir momento de inércia, como a resistência que um 
determinado elemento oferece ao movimento de rotação. 
 
Considerando um ponto material constituído por uma pequena massa mΔ , o momento de 
inércia desse ponto material, em relação a um eixo, é, por definição, o produto da massa do 
ponto pelo quadrado da distância ao eixo. 
 
 
Figura 9. Momento de inércia de um ponto material relativamente a um eixo. 
 
Tendo por base, a figura anterior o momento de inércia do ponto de massa mΔ , que se 
encontra à distância r do eixoAA’, é dado por: 
 
2I r m= Δ 
 
No entanto, não faz muito sentido falar de pontos materiais isolados, mas sim abordar um 
conjunto de pontos materiais, ou seja, considerar um sistema constituído por vários pontos 
materiais (ainda que independentes, ou descontínuos), nesse caso pode-se definir o momento 
de inércia como sendo o devido ao referido conjunto de pontos materiais, dados pela seguinte 
expressão: 
 
2
1
n
i i
i
I m r
=
=∑ 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
23 
Que traduz a soma dos momentos de inércia de todos os pontos que constituem o sistema 
material. Por outro lado, quando se está perante um sistema material contínuo, a abordagem 
assume outra perspectiva, ou seja, é necessário recorrer ao conceito de contínuo que se baseia 
na aplicação de cálculo integral, traduzido pela seguinte expressão: 
 
2
M
I r dm= ∫ 
 
2.1.1 Designações correntes 
Os momentos de inércia, podem apresentar diferentes designações, dependendo da base de 
referência (planos, eixos, ou pontos), relativamente à qual são determinados, assim tem-se 
para: 
 
• Planos – momentos de inércia planares; 
• Eixos – momentos de inércia axiais; 
• Pontos – momentos de inércia polares. 
 
Refira-se porém que o momento de inércia planar não encontra aplicação prática em 
engenharia. O momento de inércia axial é o de utilização corrente, sendo usual designar-se 
simplesmente por momento de inércia, quando se deseja fazer referência a um momento de 
inércia axial. 
 
2.1.2 Propriedades dos momentos de inércia 
Os momentos de inércia têm as seguintes propriedades: 
 
• São sempre grandezas positivas, uma vez que a massa é uma grandeza positiva e o 
quadrado de uma distância também; 
• Só é nulo para pontos sobre a base de referência (plano, eixo, ou, ponto); 
• Nunca é negativo. 
 
Assim definidos os momentos de inércia, têm como unidades 2kg m⋅ . 
 
Uma outra propriedade dos momentos de inércia é o raio de giração (i), que se define como a 
distância, em relação à base de referência, a que se deve concentrar toda a massa para que o 
seu momento de inércia, em relação a essa base de referência, permaneça constante. A 
aplicação desta propriedade traduz-se pela seguinte expressão: 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
24 
Ii
m
= 
 
2.1.3 Representação dos momentos de inércia num sistema de eixos coordenados 
Recorrendo à definição de sistemas materiais contínuos, já apresentada anteriormente, 
recorre-se à seguinte expressão: 
 
2
M
I r dm= ∫ 
 
em que r , representa a distância do elemento de massa dm , ao eixo de referência. No 
entanto, os elementos de massa podem passar para elementos de volume, pelo conceito de 
massa volúmica ρ , em que: 
 
dm dm dv
dv
ρ ρ= ⇔ = 
 
quando se está perante corpos com material homogéneo .constρ = , tendo por base a figura 
seguinte: 
 
 
Figura 10. Representação no espaço de um elmento de volume. 
 
Desta forma a determinação do momento de inércia relativamente ao eixo dos ZZ será dada 
por: 
 
2
Z zI r dm= ∫ , em que 2 2 2zr x y= + e dm dvρ= , tem-se então ( )2 2ZI x y dvρ= +∫ 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
25 
de forma análoga obtêm-se os momentos de inércia relativamente aos eixos dos XX e dos 
YY, que são dadas pelas seguintes expressões: 
 
( )2 2XI y z dvρ= +∫ ; ( )2 2YI x z dvρ= +∫ 
2.2 TEOREMA DOS EIXOS PERPENDICULARES 
Este teorema também é conhecido pelo teorema das placas finas. Considere-se um elemento 
(ou corpo) com duas direcções bastante desenvolvidas comparativamente com uma terceira, a 
qual apresenta um desenvolvimento muito reduzido. A um elemento com estas características 
dá-se a designação de placa fina. 
 
 
Figura 11. Exemplo de uma placa fina. 
 
Para a placa representada na figura 3, o momento de inércia relativamente ao eixo Z é 
 
( )2 2ZI x y dvρ= +∫ 
 
já relativamente aos eixos X e Y, uma vez que a espessura na direção Z é desprezável, os 
momentos de inércia representam-se da seguinte forma: 
 
2
XI y dvρ= ∫ ; 2YI x dvρ= ∫ 
 
Neste caso, Z X YI I I= + , pelo que se conclui que, o momento de inércia de um eixo 
perpendicular a uma placa é dado pela soma dos momentos de inércia, relativos aos eixos 
perpendiculares assentes sobre a placa, Teorema dos Eixos Perpendiculares. 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
26 
2.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS ( OU TEOREMA DE STEINER) 
O Teorema dos eixos paralelos, mais conhecido por Teorema de Steiner, também relaciona 
entre si momentos de inércia, determinados em relação a eixos paralelos, em que pelo menos 
um passa pelo baricentro, ou centróide do corpo. 
 
Considere-se a figura 4, em que ir , representa a distância de im ao eixo Z e iCr , representa a 
distância de im ao eixo CZ , sendo Z paralelo a CZ , afastados entre si de d . 
 
 
Figura 12. Aplicação do Teorema de Steiner. 
 
Geometricamente, verifica-se que: 
 
2 2 2
i i ir x y= + e 
2 2 2
iC iC iCr x y= + , em que i iCx x= e i iCy y d= + 
 
Por definição, os momentos de inércia, relativamente a Z e CZ , são: 
 
2
1
n
Z i i
i
I m r
=
=∑ e 2
1
C
n
Z i iC
i
I m r
=
=∑ 
 
para os relacionar, basta estabelecer uma relação entre 2ir e 
2
iCr , pode-se então escrever 
 
( )22 2 2 2 2 2 2 2 22 2i iC iC i iC iC iC i iC iCr x y d r x y d y d r r d y d= + + ⇔ = + + + ⇔ = + + 
 
multiplicando os dois termos por 
1
n
i
i
m
=
∑ , vem 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
27 
2 2 2
1 1 1 1
2
n n n n
i i i iC i i iC
i i i i
m r m r d m d m y
= = = =
= + +∑ ∑ ∑ ∑ 
 
em 
1
n
i
i
m M
=
=∑ , uma vez que representa a massa total do corpo e 
1
0
n
i iC
i
m y
=
=∑ representa o 
momento estático do corpo em relação a um eixo baricêntrico, pelo que se obtém 
 
2
CZ Z
I I M d= + ⋅ 
 
Desta forma, a definição do Teorema de Steiner consiste, no seguinte: o momento de inércia 
relativo a um eixo qualquer Z , é dado pela soma do momento de inércia relativo a um eixo 
baricêntrico paralelo CZ , com o produto da massa total do corpo, pelo quadrado da distância 
entre os dois eixos. 
2.4 MOMENTOS DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES PLANAS 
Numa perspectiva de Engenharia Civil, a aplicação do conceito de momento de inércia, está 
generalizada para superfícies planas, nomeadamente quando aplicado a secções transversais 
de elementos lineares prismáticos, como sejam por exemplo, o caso de vigas e pilares. No 
entanto, convém partir da definição geral que se apresenta de seguida. 
2.4.1 Definição 
Em termos conceptuais, o momento de inércia, também é conhecido como momento de 
segunda ordem. Considerando uma superfície finita em relação a um eixo arbitrário no plano 
da área, o momento de inércia é dado pelo somatório dos momentos de inércia em relação a 
esse mesmo eixo de todos os elementos de área contidos na superfície finita. Quando 
determinado por integração assume a seguinte forma: 
 
2
XI y dA= ∫ ; 2YI x dA= ∫ 
 
 
Figura 13. Superfície finita. 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
28 
Quando se considera uma superfície plana, composta por n subáreas iA , o integral é 
substituído por um somatório: 
 
( )
1
n
X X i
i
I I
=
=∑ ; ( )
1
n
Y Y i
i
I I
=
=∑ 
 
Em termos de unidades, os momentos de inércia representam a quarta potência de uma 
distância, que em unidades SI é [m4]. 
2.4.2 Raio de giração 
Apesar de não possuir qualquer significado físico, é frequentemente utilizado para fins 
comparativos, é definido por: 
 
X
X
Ii
A
= ; YY
Ii
A
= 
 
Dado que as unidades de I , representam a quarta potência de uma distância e A é o 
quadrado de uma distância, o raio de giração tem unidades de comprimento, em unidades SI é 
[m]. 
2.4.3 Momento de inércia polar 
O momento de inércia polar, ou momento polar de inércia, é dado pela soma dos momentos 
de inércia de uma dada superfície plana, em relação a dois eixos perpendiculares quaisquer, 
centrados no ponto de referência. Tendo porexemplo a figura 5, o momento de inércia 
relativamente à origem é dado por: 
 
O X YI I I= + 
2.4.4 Teorema de Steiner ou dos eixos paralelos 
O Teorema de Steiner para momentos de inércia de uma área finita mostra que o momento de 
inércia de uma área em relação a um eixo arbitrário é igual à soma do momento de inércia em 
relação a um eixo paralelo que passa no baricentro da área com o produto da área pelo 
quadrado da distância, medida na perpendicular, entre os dois eixos. Considerando a figura 6, 
os eixos GX e GY passam no baricentro da superfície plana. Os eixos X e Y , são eixos 
paralelos localizados às distâncias 1x e 1y dos eixos baricêntricos. Considerando A , como a 
área total da figura, tem-se então que: 
 
( )21GX XI I A y= + ; ( )
2
1GY Y
I I A x= + 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
29 
em que 
GX
I e 
GY
I são os momentos de inércia em relação aos eixos baricêntricos e XI e YI , 
são os momentos de inércia em relação aos eixos X e Y . 
 
 
Figura 14. Teorema de Steiner. 
2.4.5 Produto de inércia 
Considere-se a superfície finita representada na figura 5, o produto de inércia em relação aos 
eixos X e Y , no plano da área é dado pela soma dos produtos de inércia em relação a esses 
mesmos eixos de todos os elementos de área contidos na superfície finita. Tem-se então por 
integração: 
 
XYI xydA= ∫ 
 
Para uma superfície plana composta por n subáreas iA , cujos produtos de inércia são 
conhecidos em relação aos eixos X e Y , o integral é substituído pelo somatório, tem-se 
então: 
 
( )
1
n
XY XY i
i
I I
=
=∑ 
 
O produto de uma secção pode ser positivo ou negativo (conforme a área se situe em relação 
aos eixos) ou nulo. É nulo se pelo menos um dos eixos, é um eixo de simetria. 
 
Em termos de unidades, os produtos de inércia representam a quarta potência de uma 
distância, que em unidades SI é [m4]. 
2.4.6 Teorema de Steiner aplicado a produtos de inércia 
Considerando a figura 6, o teorema de Steiner para produtos de inércia de uma superfície 
finita mostra que o produto de inércia de uma superfície em relação aos eixos X e Y é igual 
à soma do produto de inércia em relação aos eixos no baricentro da superfície e são paralelos 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
30 
a X e Y , com o produto da área pelas duas distâncias medidas na perpendicular ao 
baricentro da superfície. Os eixos GX e GY passam no baricentro da superfície plana. Os 
eixos X e Y , são eixos paralelos localizados às distâncias 1x e 1y dos eixos baricêntricos. 
Considerando A , como a área total da figura, tem-se então que: 
 
1 1G GXY X Y
I I Ax y= + 
 
em que 
G GX Y
I representa o produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos e XYI , o 
produto de inércia em relação aos eixos X e Y . 
2.5 TRANSPOSIÇÃO DE EIXOS DE INÉRCIA 
Considere-se a figura 7 na qual está representada uma superfície de área A , tendo por base o 
elemento de área representado, verfica-se a existência de algumas relações entre as 
coordenadas X e Y e as coordenadas U e V , nomeadamente: 
 
cosu x ysenθ θ= + ; cosv y xsenθ θ= − 
 
 
Figura 15. Transposição de eixos de inércia. 
Por definição sabe-se que: 
 
2
XI y dA= ∫ ; 2YI x dA= ∫ ; XYI xydA= ∫ 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
31 
e que 
 
2
UI v dA= ∫ ; 2VI u dA= ∫ ; UVI uvdA= ∫ 
 
utilizando as relações entre coordenadas, aplicadas às últimas expressões obtém-se: 
 
( )2cosUI y xsen dAθ θ= −∫ ; 
( )2cosVI x ysen dAθ θ= +∫ ; 
( ) ( )cos cosUVI x ysen y xsen dAθ θ θ θ= + −∫ ; 
 
desenvolvendo 
 
( )2 2 2 2cos 2 cosUI y x sen xysen dAθ θ θ θ= + −∫ ; 
( )2 2 2 2cos 2 cosVI x y sen xysen dAθ θ θ θ= + +∫ ; 
( )2 2 2 2cos cos cosUVI xy x sen y sen xysen dAθ θ θ θ θ θ= − + −∫ ; 
⇔ 
2 2 2 2cos 2 cosUI y dA x sen dA xysen dAθ θ θ θ= + −∫ ∫ ∫ ; 
2 2 2 2cos 2 cosVI x dA y sen dA xysen dAθ θ θ θ= + +∫ ∫ ∫ ; 
( ) ( )2 2 2 2cos cosUVI xy sen dA y x sen dAθ θ θ θ= − + −∫ ∫ ; 
⇔ 
2 2 2 2cos 2 cosUI y dA sen x dA sen xydAθ θ θ θ= + −∫ ∫ ∫ ; 
2 2 2 2cos 2 cosVI x dA sen y dA sen xydAθ θ θ θ= + +∫ ∫ ∫ ; 
( ) ( )2 2 2 2cos cosUVI sen xydA sen y x dAθ θ θ θ= − + −∫ ∫ ; 
⇔ 
( )2 2cos 2U X Y XYI I I sen I senθ θ θ= + − ; 
( )2 2cos 2V X Y XYI I sen I I senθ θ θ= + + ; 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
UV XY
I II sen Iθ θ−= + ; 
 
Com base nestas expressões, uma vez conhecidos os momentos de inércia e o produto de 
inércia relativamente aos eixos X e Y , é possível determinar analiticamente os momentos de 
inércia e produto de inércia relativamente a quaisquer eixos U e V , que estejam rodados 
relativamente a X e Y de θ , no sentido anti-horário (como está representado na figura 7). 
 
As três equações obtidas podem ser expressas só em função de 2θ , utilizando as seguintes 
relações trigonométricas: 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
32 
( )2 1 cos 2cos
2
θ
θ
+
= ; ( )2 1 cos 2
2
sen
θ
θ
−
= 
 
passando a ser escritas como: 
 
( ) ( )cos 2 2
2 2
X Y X Y
U XY
I I I II I senθ θ+ −= + − ; 
( ) ( )cos 2 2
2 2
X Y X Y
V XY
I I I II I senθ θ+ −= − + ; 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
UV XY
I II sen Iθ θ−= + ; 
 
A primeira e a terceira, são as equações paramétricas de uma circunferência. Isto significa 
que, se for escolhido um par de eixos cartesianos e se se desenhar um ponto M de abcissa UI 
e ordenada UVI , para um valor genérico do parâmetro θ , todos os pontos assim obtidos 
encontrar-se-ão sobre uma circunferência. Para o verificar-mos elimina-se θ das equações, da 
seguinte forma: 
 
( ) ( )cos 2 2
2 2
X Y X Y
U XY
I I I II I senθ θ+ −= + − ; 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
UV XY
I II sen Iθ θ−= + ; 
⇔ 
( ) ( )cos 2 2
2 2
X Y X Y
U XY
I I I II I senθ θ+ −− = − ; 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
UV XY
I II sen Iθ θ−= + ; 
 
elevando agora ao quadrado os membros das equações e adicionando, obtém-se 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 cos 2 2 2 cos 2
2 2 2
X Y X Y X Y
U UV XY XY
I I I I I II I I sen sen Iθ θ θ θ+ − −     − + = − + +     
     
⇔ 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
X Y X Y
U UV XY
I I I II I I+ −   − + = +   
   
 
 
fazendo 
 
. 2
X Y
méd
I II += e ( )
2
2
2
X Y
XY
I IR I− = + 
 
 
aquela igualdade pode-se escrever na forma seguinte 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
33 
 
( ) ( )2 2 2.U méd UVI I I R− + = 
 
que é a equação de uma circunferência de raio R e centro no ponto C , cujas coordenadas x e 
y são .médI e zero respectivamente. 
 
Iméd.
IU
IUV
P
I
R
Imáx.
Imín.
M (IU ; IUV)
0
 
Figura 16. 
 
Note-se ainda que a equação de VI e UVI , também são as equações paramétricas da mesma 
circunferência. Só que neste caso, devido à simetria da circunferência em relação ao eixo 
horinzontal, obter-se-ia um ponto genérico N, de coordenadas ( VI ; - UVI ), como se mostra na 
figura seguinte. 
 
Iméd.IV
- IUV
P
I
R
Imáx.
Imín.
0
N (IV ; -IUV)
 
Figura 17. 
 
Os pontos onde a circunferência intersecta o eixo horizontal, têm um interesse especial; o 
ponto à direita corresponde ao valor máximo do momento de inércia .máxI , enquanto que o 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
34 
ponto à esquerda corresponde ao valor mínimo do momento de inércia .mínI . Além disso, para 
ambos os pontos o produto de inércia é nulo. 
 
Relativamente ao parâmetro 2θ , obtém-se mediante o cálculo dos máximos e mínimos da 
função UI , que traduz o ângulo que as rectas ( ).;médI M e ( ).;médI N fazem com a horizontal, 
desta forma: 
 
0UdI
dθ
= 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 cos 2 0
2
X Y
XY
I I sen Iθ θ− − − = 
( ) ( )2 cos 2
2
X Y
XY
I Isen Iθ θ−− = 
( )
( )
2 2
cos 2
XY
X Y
sen I
I I
θ
θ
= −
−
 
 
( ) 2tan 2 XY
X Y
I
I I
θ = −
−
 
2.6 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA 
Como já se viu, para qualquer ponto genérico situado no plano de uma superfície existem 
sempre dois eixos perpendiculares, que se cruzam nesse ponto, em relação aos quais os 
momentos de inércia da superfície sãodenominados momentos principais de inércia, um 
deles máximo e o outro mínimo. 
 
( )
2
2
. 2 2
X Y X Y
máx XY
I I I II I+ −   = + +   
   
 . .máx médI I R= + 
 
( )
2
2
. 2 2
X Y X Y
mín XY
I I I II I+ −   = − +   
   
 . .mín médI I R= − 
 
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
35 
2.7 CÍRCULO DE MOHR 
O círculo de Mohr para momentos de inércia, é um método gráfico que se baseia no traçado 
da circunferência atrás referida, conhecidos XI , YI e XYI , para uma dada superfície em 
relação ao par de eixos X e Y . Com base neste método é possível determinar: 
 
i) Eixos e momentos principais de inércia em relação ao ponto, que é o centro de 
simetria dos eixos; 
ii) Momentos de produtos de inércia, da mesma superfície em relação a qualquer par de 
eixos ortogonais U e V , que se cruzem no centro do sistema de eixos X e Y . 
 
Cada ponto da circunferência representa a imagem de um eixo, representando a circunferência 
a infinidade de eixos que se cruzam num determinado ponto. Dois eixos perpendiculares são 
representados por dois pontos diametralmente opostos, como se mostra por exemplo na 
figura 10. 
 
R
CB A
IX
IY
- IXY
IXY X (IX;IXY)
P
I
2θ
R
2θ
Y (IY;-IXY)
0
 
Figura 18. Círculo de Mohr. 
 
2.7.1 Método gráfico 
De seguida apresentam-se as várias etapas que compõem o traçado do designado método 
gráfico do círculo de Mohr de momentos de inércia para superfícies planas. 
 
1. Graduam-se os eixos e marcam-se XI X e YI sobre o eixo dos I ; 
2. A partir de XI , marca-se XYI (para cima se é positivo ou para baixo se é negativo), 
obtém-se X a imagem no círculo do eixo dos XX; 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
36 
3. A partir de YI , marca-se XYI− , obtendo-se o ponto Y . Une-se X com Y e encontra-
se C , no ponto de intercepção com o eixo dos I ; 
4. Traça-se a circunferência com raio CX . A circunferência corta o eixo dos I, nos 
pontos A e B . Medem-se as distâncias OA e OB . 
5. O ângulo que CX faz com CA é 2θ , partindo do eixo dos XX, com o sentido da 
rotação de CX para coincidir com CA , fica determinada a posição de um eixo 
principal 1; o eixo 2 é perpendicular no ponto base. 
 
Nota: Os ângulos no círculo, são sempre duplos dos reais. 
 
 
2.8 EXERCÍCIOS 
Nesta secção serão resolvidos alguns exercícios, para uma melhor percepção prática da 
aplicação dos conceitos teóricos. 
2.8.1 Exercício 
Dada a secção representada na figura, determine: 
 
Y Y'
X
X'
A
B
 
 
a) O centro de gravidade relativamente aos eixos X’Y’. 
b) O momento de inércia relativamente ao ponto A. 
c) O círculo de Mohr para o ponto A. Indique na figura os eixos principais de inércia e 
determine os momentos principais de inércia. 
d) O momento de inércia relativamente ao eixo Y’. 
e) O círculo de Mohr para o ponto B indicando os eixos principais de inércia. 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
37 
f) Determine o volume gerado pela rotação da peça em torno do eixo Y’. Diga e enuncie 
o teorema em que se baseu. 
 
 
R: Em primeiro lugar convém dividir a superfície num conjunto de figuras conhecidas. Como 
por exemplo se apresenta em seguida. 
 
1
2
3
4
 
 
De notar que a figura 3 corresponde a um rectângulo que se irá “retirar” ao conjunto das 
outras figuras. 
 
a) Relativamente aos eixos X’Y’, o centro de gravidade será: 
 
1
1
3,00 
n
i i
i
CG n
i
i
A x
x cm
A
=
=
⋅
= = −
∑
∑
 corresponde a um eixo de simetria da superfície. 
 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2
1
2
1
3 4 3 3 2 22 6 2 1 3 1 1,5
2 3 2 3
1,98 
3 3 26 2 3 1
2 2
n
i i
i
CG n
i
i
A y
y cm
A
π
π
π
=
=
 × ×  ×    × + + × × − × × + × −⋅       ×     = = ≈
 × × + × − × +   
  
∑
∑
 
 
b) Corresponde ao momento polar de inércia, que é dado pela soma de XAI com YAI , 
 
24 3 3 3
43 6 2 3 1 3 2 3 2 22 68,81 
8 3 3 36 2 3XA
I cmπ
         × × × × ×  = + − + + × + =                        
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
38 
4 3 3 3
43 2 6 1 3 2 1,5 2 66,68 
8 12 12 12YA
I cmπ
        × × × ×
= + − + × =        
        
 
 
então 468,81 66,68 135, 49 A XA YAI I I cm= + = + = 
 
c) Como o eixo Y é um eixo de simetria, os eixos X e Y são eixos principais de inércia, 
então como XA YAI I> o eixo X é o eixo principal máximo e o eixo Y o eixo principal 
mínimo. Logo o produto de inércia 0XAYAI = , então o círculo de Mohr será o seguinte 
 
C
X (68,81;0)
P
I0
Y (66,68;0)
12
 
 
Relativamente aos eixos principais de inércia 1 e 2 coincidem com X e Y respectivamente, 
como se mostra na figura seguinte. 
 
1
2
A
X
Y
 
 
Quanto aos valores dos momentos principais de inércia, são 
 
4
1 68,81 A XAI I cm= = 
 
4
2 66,68 A YAI I cm= = 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
39 
d) Como o eixo Y’ é paralelo ao eixo Y, e sendo este um eixo que passa no centro de 
gravidade da superfície, pode-se aplicar “directamente” o teorema de Steiner, obtendo-
se então 
 
2
'Y YAI I A d= + ⋅ , em que A é a área da superfície e d é a distância entre Y e Y’ 
 
2 4
' 66,68 26,14 3 301,94 YI cm= + × = 
 
e) Para traçar o círculo de Mohr para o ponto, é necessário determinar XBI , YBI e XBYBI . 
Na alínea anterior determinou-se 'Y YBI I= , falta então determinar XBI e XBYBI . 
 
Para determinar XBI , vai-se utilizar o valor de XAI , transpondo-o para o centro de gravidade 
da superfície e daí para o eixo XB . Tem-se então 
 
2
CGXA X
I I A d= + ⋅ 
 
( )2 468,81 26,14 2 1,98 68,80 
CG CGX X
I I cm= + × − ⇔ = 
 
e agora far-se-á a transposição, do centro de gravidade para o eixo XB 
 
2
CGXB X
I I A d= + ⋅ 
 
2 468,80 26,14 1,98 171, 28 XB XBI I cm= + × ⇔ = 
 
Agora irá determinar-se XBYBI 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
2
4
3 4 30 3 0 6 2 3 1 0 3 1 3 0,5
2 3
3 2 20 3 2 10,5 
2 3
XBYBI
cm
π
π
 × × = + × − × + + × × − × − − + × × − × − +  ×  
 ×  + + × − × − − = −    
 
 
Conhecendo XBI , YBI e XBYBI , pode-se traçar o círculo de Mohr, para o ponto B. 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
40 
C
Y (301,94;10,5)
P
I
0
X (171,28;-10,5)
1
2
 
 
Os eixos principais de inércia estão representados no círculo como 1 e 2 e correspondem 
respectivamente ao eixo principal de inércia máximo e mínimo. Em seguida apresenta-se a 
sua representação na superfície. 
 
2
1
B
X
Y
 
 
f) A determinação do volume gerado pela rotação de uma superfície plana em torno de 
um eixo, baseia-se na aplicação do 2º teorema de Pappus Guldinus, o qualse baseia no 
cáculo de volumes a partir da revolução de superfícies planas em trono de eixos. 
 
SV d Aθ= ⋅ ⋅ 
 
em que θ , é o ângulo de rotação em radianos, d é a distância entre o eixo de rotação e o 
centro de gravidade da superfície plana e SA é a área da superfície, tem-se então 
 
32 26,14 3 492,73 V mπ= × × = 
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
41 
2.9 BIBLIOGRAFIA 
Beer, F.; Johnston, E. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Estática (sexta edição)”, 
MacGrawHill, 1998. 
Meriam, J.; Kraige, L. “Engineering Mechanics – Statics (fourth edition)”, John Willey & 
Sons, INC, 1998. 
Brazão Farinha, J. “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E. T. L. L.da, 1998. 
 
 
 
 
 
 
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