EEM001 Fundamentos matemáticos Gabarito Prova 23 09 2020

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GABARITO 
DISCIPLINA 
EEM001 - Fundamentos Matemáticos da 
Computação 
APLICAÇÃO 
23/09/2020 
CÓDIGO 
DA PROVA P006/07/08 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
Dois dos indicadores de classificação de fases do Plano São Paulo de enfrentamento à Covid-19, 
instituídas pelo governo do estado, são: p: “Óbitos por 100 mil habitantes nos últimos 14 dias” e q: 
“indicador de novos óbitos”. Abaixo, são apresentados os critérios que empregam esses indicadores 
na classificação de uma região do estado entre as fases laranja e amarela. 
 
Fase Laranja (Controle) Fase Amarela (Flexibilização) 
(p MAIOR que 5) E (q entre 1,0 e 2,0). (p MENOR que 5) OU (q MENOR que 1,0). 
 Fonte: Plano São Paulo (Classificação publicada no decreto nº 65.163, de 2/9/2020). 
 
Suponha que uma determinada região do estado apresente “p = 4 óbitos por cada 100 mil habitantes 
nos últimos 14 dias”, e que o indicador de novos óbitos seja q = 1,9. A região será classificada: 
 
a) Na fase amarela, pois, embora o indicador q de novos óbitos seja quase o dobro do valor limite 
da fase amarela, o número de óbitos por 100 mil habitantes nos últimos 14 dias é inferior a 5. 
b) Na fase laranja, pois o número de óbitos por 100 mil habitantes nos últimos 14 dias é maior que 
5, e o indicador de novos óbitos está entre 1,0 e 2,0. 
c) Na fase laranja, pois o indicador de novos óbitos está elevado, isto é, quase o dobro do 
permitido na fase amarela. 
d) Na fase amarela, pois tanto o número de novos óbitos quanto o número de óbitos por 100 mil 
habitantes nos últimos 14 dias estão dentro dos limites da fase amarela. 
e) Em outra fase, pois os números de novos óbitos e dos óbitos por cada 100 mil habitantes nos 
últimos 14 dias não estão dentro dos limites de nenhuma das duas fases. 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: A região será classificada na fase amarela, pois, embora o indicador q de novos 
óbitos seja quase o dobro do valor limite da fase amarela (= 1,0), o número de óbitos por 100 mil 
habitantes nos últimos 14 dias é inferior a 5. 
 
Justificativa 
Como a referida região apresenta p = 4 e q = 1,9, temos que p < 5, mas com 1,0 < q < 2,0. Porém, no 
caso da região amarela, apresenta-se o conectivo OU, isto é, basta que apenas uma das condições p < 
5 OU q < 1,0 seja verdadeira para que o valor lógico de ((𝑝 < 5) ˅ (𝑞 < 1,0)) seja verdadeiro, 
independentemente de o valor de q estar alto ou não, já que o critério leva em conta o cenário mais 
brando envolvendo ambos os indicadores. 
 
 
Questão 1.2 
Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ, tal que f(𝑥) =
𝑥+2
3
. 
Podemos afirmar que sua função inversa, 𝑓−1: ℝ → ℝ, é dada por: 
a) 𝑓−1(𝑥) =
2
𝑥+3
 
b) 𝑓−1(𝑥) = 3𝑥 − 2 
c) 𝑓−1(𝑥) =
3
𝑥+2
 
d) 𝑓−1(𝑥) = 3𝑥 + 4 
e) 𝑓−1(𝑥) =
𝑥−3
2
 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 𝑓−1(𝑥) = 3𝑥 − 2 
 
Justificativa 
Dada a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, chama-se função inversa de 𝑓 e denota-se por 𝑓−1, a função 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴, que 
associa cada elemento 𝑦 de 𝐵 ao elemento 𝑥 de 𝐴 de forma que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Dessa forma, temos que 
encontrar 𝑥, tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥): 
𝑦 =
𝑥+2
3
→ 3𝑦 = 𝑥 + 2 → 𝑥 = 3𝑦 − 2. 
Portanto, trocando as variáveis 𝑦 por 𝑥, segue que 𝑓−1(𝑥) = 3𝑥 − 2. 
 
 
Questão 1.3 
Em uma turma de Engenharia da Computação da Univesp, há 21 alunos, sendo eles 14 homens e 7 
mulheres. Essa turma está em seu penúltimo ano de Graduação e, por isso, os alunos decidiram 
formar uma comissão de formatura. Quantas comissões de 5 pessoas eles podem formar se em cada 
uma deve haver 3 homens e 2 mulheres? 
a) 7.644 
b) 4.550 
c) 2.510 
d) 2.500 
e) 8.650 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 7644 
 
Justificativa 
Podemos escolher 3 homens entre 14 da seguinte forma: 
(
14
3
) =
14!
3! (14 − 3)!
=
14!
3! 11!
=
14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11!
3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 11!
=
14 ⋅ 13 ⋅ 12
3 ∙ 2
= 14 ∙ 13 ∙ 2 = 364. 
 
Analogamente, podemos escolher 2 mulheres entre 7 da seguinte forma: 
(
7
2
) =
7!
2! (7 − 2)!
=
7!
2! 5!
=
7 ⋅ 6 ⋅ 5!
2 ⋅ 5!
=
7 ⋅ 6
2
= 7 ∙ 3 = 21. 
Logo, cada grupo dos 364 formados por 3 homens pode constituir uma comissão com um dos 21 
grupos de mulheres. Sendo assim, temos 364 ∙ 21 = 7644 maneiras distintas de formar uma comissão 
com as especificações do enunciado. 
 
Questão 1.4 
Sejam os seguintes grafos representados abaixo: 
 
 
Leia as afirmações abaixo e preencha com V, caso a afirmação seja verdadeira, ou com F, caso seja 
falsa. 
 
( ) O Grafo 𝐺1 é um grafo simples. 
( ) O Grafo 𝐺1 é um grafo 2-regular. 
( ) O Grafo 𝐺3 é um grafo orientado. 
( ) O Grafo 𝐺2 é um grafo bipartido. 
( ) O Grafo 𝐺3 possui arestas paralelas. 
 
Obs.: um grafo é chamado de bipartido se o conjunto de seus vértices 𝑉 pode ser dividido em dois 
conjuntos distintos, 𝑉1 e 𝑉2, de forma que cada aresta de 𝐺 conecta um vértice de 𝑉1 a um vértice de 𝑉2. 
 
A sequência correta de preenchimento das lacunas é: 
a) V, V, F, F, V 
b) F, F, V, F, V 
c) V, F, V, F, F 
d) V, V, V, V, V 
e) F, V, V, F, V 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: V, V, V, V, V 
 
Justificativa 
( V ) O Grafo 𝐺1 é um grafo simples. 
Um grafo simples é um grafo sem laços e sem arestas paralelas, logo, 𝐺1 é um grafo simples. 
( V ) O Grafo 𝐺1 é um grafo 2-regular. 
Um grafo 𝐺 é chamado de regular se todos os seus vértices possuem o mesmo grau 𝑟. Neste caso, é 
chamado de 𝑟-regular. O grafo 𝐺1 possui todos os vértices de grau 2, logo, é 2-regular. 
( V ) O Grafo 𝐺3 é um grafo orientado. 
O grafo 𝐺3 é orientado quando seu conjunto de arestas é constituído de pares ordenados ao invés de 
não ordenados, como em um grafo sem orientação. 
( V ) O Grafo 𝐺2 é um grafo bipartido. 
Um grafo é chamado de bipartido se o conjunto de seus vértices 𝑉 pode ser dividido em dois 
conjuntos distintos 𝑉1 e 𝑉2, de forma que cada aresta de 𝐺 conecta um vértice de 𝑉1 a um vértice de 𝑉2. 
Seja o grafo 𝐺2, onde 𝑉1 é o conjunto formado pelo vértice central (em cinza), e 𝑉2 é constituído pelo 
conjunto dos demais vértices (em preto). 
 
Podemos notar que, cada aresta de 𝐺 conecta o vértice cinza (𝑉1) a cada um dos vértices pretos de 𝑉2. 
( V ) O Grafo 𝐺3 possui arestas paralelas. 
Duas ou mais arestas de um grafo são ditas paralelas se possuem mesmos extremos e mesma 
orientação. 𝐺3 possui duas arestas com mesmo extremo e com mesmas orientações. 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 2 
Complete a tabela verdade para a seguinte proposição: 
 
𝐸 = (𝑝 ⊕ 𝑞)˅(𝑝 ⊕ ¬𝑞) 
 
𝑝 𝑞 (𝑝 ⊕ 𝑞) (𝑝 ⊕ ¬𝑞) (𝑝 ⊕ 𝑞) ˅ (𝑝 ⊕ ¬𝑞) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Obs.: O operador 𝑝 ⊕ 𝑞 expressa “p ou q, mas não ambos”. 
 
RESOLUÇÃO 
O operador 𝑝 ⊕ 𝑞 expressa “𝑝 ou 𝑞, mas não ambos”, ou seja, só será verdade quando apenas 𝑝 ou 
apenas 𝑞 forem verdade, mas não quando ambas forem. Logo, 
 
𝑝 𝑞 (𝑝 ⊕ 𝑞) (𝑝 ⊕ ¬𝑞) (𝑝 ⊕ 𝑞)˅(𝑝 ⊕ ¬𝑞) 
V V F V V 
V F V F V 
F V V F V 
F F F V V 
 
Rubricas | critérios de correção 
Considerar a nota proporcional à quantidade de acertos, isto é, dividir 2,0 pontos nas 12 lacunas a 
serem preenchidas. 
 
 
Questão 3 
Indução matemática ou indução finita é um método de prova matemática usado quando queremos 
demostrar a validade de uma proposição envolvendo infinitos elementos. Basicamente, ela consiste de 
três passos: 
 
i. Mostrar que a expressão é válida para o primeiro número natural definido na proposição. 
ii. Afirmar, através da hipótese de indução, que a expressão é válida para 𝑛 = 𝑘. 
iii. Utilizar a hipótese de indução ii de forma a verificar que a expressão também será válida para 
𝑛 = 𝑘 + 1. 
 
Sendo assim, utilize os três passos da indução finita (especificando cada um deles) para provar que: 
2 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + ⋯ + 2 ∙ 𝑛 = 𝑛2 + 𝑛, 
para qualquer número natural 𝑛 maior ou igual a 1. 
 
RESOLUÇÃO 
i. Seja 𝑛 = 1, temos 
2 ∙ 1 = 2 = 12 + 1. 
ii. Agora, vamos supor que seja válida a igualdade para 𝑃(𝑛), ou seja, 
𝑃(𝑛): 2 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + ⋯ + 2 ∙ 𝑛 =𝑛2 + 𝑛. 
iii. Vamos provar que a igualdade é válida para 𝑃(𝑛 + 1). De fato, 
2 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + ⋯ + 2 ∙ 𝑛 + 2(𝑛 + 1) = 𝑛2 + 𝑛 + 2𝑛 + 2 = 
(𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)2 + 𝑛 + 1. 
Logo, é válida para todo 𝑛 ∈ ℕ. 
 
Rubricas | critérios de correção 
Descontar 0,5 ponto se o aluno não especificar os três passos. Caso o aluno pule as etapas i e ii, 
demonstrando apenas iii, considerar 1,5 ponto. Finalmente, se o aluno descrever as etapas i e ii, mas 
não conseguir demonstrar iii, considerar 0,5 ponto da questão.