Resumo de física ensino superior

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Resumo de Física fundamental 
Aluno: Marcos Vinícius de Sousa Silva 
Matrícula: 496761 
Curso: Engenharia Mecânica 
 
Centro de massa: Em um sistema de partículas o centro de massa é um ponto que facilita 
a representação do movimento como se todo o objeto estivesse nesse ponto, e o mesmo 
coincide com o centro geométrico do objeto. Podemos calcular da seguinte forma: 
Tal que o vetor 𝑟 depende da coordenada x, y e z. Depende do problema. 
𝑟𝐶𝑀 = 
𝑚1. 𝑟1 + 𝑚2. 𝑟2 + ⋯ + 𝑚𝑛. 𝑟𝑛
𝑀
 
 
𝑟𝐶𝑀 = 
1
𝑀
. ∑ 𝑚𝑛. 𝑟𝑛
𝑁
𝑖=1
 
 
Onde M é o a soma das massas. Assim calculamos separadamente para x, y e z. Ou 
simplesmente deixamos em vetor. 
Em um sistema com duas partículas calculamos mais facilmente o centro de massa. Se 
tivermos uma partícula no eixo x e na origem e outro a uma distância d, tal que a distância 
é 𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1. 
Como 𝑥1é igual a 0, então d = 𝑥2. Desta forma: 
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚2. 𝑑
𝑚1 + 𝑚2
 
 
Para corpos maciços temos que o objeto tem milhares de átomos como um limite 
tendendo ao infinito. Com isso chegamos a uma integral: 
 
𝑟𝐶𝑀 = 
1
𝑀
∫ 𝑟 𝑑𝑚 
Podemos adaptar para usar com o volume do corpo pela densidade da seguinte forma, se 
sabe que: 
𝑑𝑚
𝑑𝑉
=
𝑀
𝑉
= 𝜇 
 
 
Se isolarmos o dm, e substituirmos, chegamos a: 
 
𝑟𝐶𝑀 = 
1
𝑉
∫ 𝑟 𝑑𝑉 
 
Segunda lei de Newton para um sistema de partículas: 
O momento linear é dado pela seguinte equação: 
�⃗� = 𝑚. �⃗� 
No S.I a unidade no momento é kg.m\s 
A segunda lei de Newton vem a partir do momento, da seguinte forma: 
�⃗� = 
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
→ �⃗� = 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚. �⃗�) → �⃗� = 𝑚.
𝑑
𝑑𝑡
(�⃗�) → �⃗� = 𝑚. �⃗� 
Em uma visão mais abrangente temos que a segunda lei de Newton pode ser expressa 
como a derivada do momento linear em relação ao tempo. 
 
�⃗� = 
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 
Para calcularmos o momento em um sistema com n partículas, chegamos a seguinte: 
�⃗� = �⃗�1 + �⃗�2 + ⋯ + �⃗�𝑛 
�⃗� = 𝑚1�⃗�1 + 𝑚2�⃗�2 + ⋯ + 𝑚𝑛�⃗�𝑛 
Podemos escrever da seguinte forma: 
�⃗� = ∑ �⃗�𝑛
𝑛
𝑖=1
 
Colisão e impulso: 
Usando a segunda lei de Newton, conseguimos chegar a um teorema chamado de teorema 
do impulso e do momento linear, o mostramos da seguinte forma: 
 
 
 
 
�⃗� = 
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 → 𝑑�⃗� = �⃗�𝑑𝑡 
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎: 
�⃗�𝑓 − �⃗�𝑖 = ∫ �⃗�𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑖
→ Δ�⃗� = ∫ �⃗�𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑖
 
 
Assim consideramos que a variação do momento é o impulso (J), assim o impulso 
também pode ser igual a integral: 
𝐽 = ∫ �⃗�𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑖
 
 E também: 
Δ�⃗� = 𝐽 
 
Como a o impulso para uma força variável é uma integral e sabemos que a integral é nada 
mais nada menos que uma área, então o impulso é numericamente igual a área. 
Entretanto, esse que calculamos é o impulso quando a força não é constante, para uma 
força constante temos: 
 
𝐽 = �⃗� Δ𝑡 
 
Conservação do momento linear 
Como vimos no capítulo anterior, existem forças externas que podem influenciar em um 
sistema, mas existem sistemas que não tem forças externas agindo sobre elas, isso 
significa que �⃗� = 0, ou seja: 
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
= 0 → 𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑒 𝑝 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
Assim, dizemos que o momento linear inicial é igual ao final: 
�⃗�𝑖 = �⃗�𝑓 
Colisões e energia cinética 
As colisões podem ser inelásticas e elásticas. 
Em uma colisão inelástica temos que a energia cinética não é conservada diferente da 
colisão elástica. 
Começamos pela colisão elástica em uma Dimensão, para isso lembramos que o 
momento inicial é igual ao momento final, assim chegamos a: 
�⃗�1𝑖 + �⃗�2𝑖 = �⃗�1𝑓 + �⃗�2𝑓 
 
𝑚1�⃗�1𝑖 + 𝑚2�⃗�2𝑖 = 𝑚1�⃗�1𝑓 + 𝑚2�⃗�2𝑓 
Entretanto, em muitos casos teremos um alvo estacionário, isso é, quando a velocidade 
do objeto 2 é 0. Com isso obtemos que: 
�⃗�1𝑓 = �⃗�2𝑓 
Nos levando até a equação: 
𝑣𝑓 = 
𝑚1
𝑚1 + 𝑚2
. 𝑣1𝑖 
Para uma colisão elástica, temos que há a conservação da energia cinética: 
 
𝐾1𝑖 + 𝐾2𝑖 = 𝐾1𝑓 + 𝐾2𝑓 
 
Que se desenvolvermos essa fórmula pra um alvo estacionário, obteremos: 
 
𝑣1𝑓 = 
𝑚1 − 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
. 𝑣1𝑖 
𝑣2𝑓 = 
2. 𝑚1
𝑚1 + 𝑚2
. 𝑣1𝑖 
 
Temos alguns casos especiais por exemplo: 
• Massas iguais, o alvo 2 terá a velocidade final dele igual a inicial do outro; 
• Massa do objeto 2 maior que a do objeto 1, velocidade final 1 é 
aproximadamente a sua inicial, enquanto o a velocidade final do objeto 2 é 
próxima do dobro da inicial do objeto 1. 
Mas se tivermos um alvo em movimento, a história é outra, manipulando a equação da 
conservação de energia cinética temos: 
𝑣1𝑓 = 
𝑚1 − 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
. 𝑣1𝑖 + 
2. 𝑚1
𝑚1 + 𝑚2
. 𝑣2𝑖 
 
 𝑣2𝑓 = 
2. 𝑚1
𝑚1 + 𝑚2
. 𝑣1𝑖 +
𝑚1 − 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
. 𝑣2𝑖 
 
 
Outro caso de colisão elástica é em duas dimensões, onde se conserva o momento e a 
energia, e como ocorre em duas dimensões, obtemos duas equações: 
Observação o alvo dois é estacionário, um exemplo é em um jogo de sinuca: 
 
𝑚1𝑣1𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚2𝑣2𝑓𝑐𝑜𝑠𝛼 
0 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑚2𝑣2𝑓𝑠𝑒𝑛𝛼 
 
Sistema de massa variável 
Um sistema de massa variável é um sistema no qual não temos uma massa (s) constante 
(s) como os casos vistos anteriormente, o livro Halliday mostra um caso bem aplicável, 
que seria em um foguete, pois a medida que o combustível vai queimando, temos então 
mudança no sistema, e isso influencia. 
A aceleração do foguete é dada por: 
𝑅. 𝑣𝑟𝑒𝑙 = 𝑀𝑎 
M é a massa instantânea do foguete, incluindo aquele que não foi usado. 
R é a taxa de consumo de M, e 𝑣𝑟𝑒𝑙 é a velocidade da reação da combustão. Quando 
temos o R e 𝑣𝑟𝑒𝑙 constantes nesse caso temos uma variação na massa e na velocidade, 
chegando a seguinte equação: 
 
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 = 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑙𝑛
𝑀𝑖
𝑀𝑓