Apostila de Automação e Controle

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CURSO DE GRADUAÇÃO 
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 
7º SEMESTRE 
 
 
 
 
 
 
ALEXANDRE RODRIGUES DE FARIA 
R.A. 1809310048 
BRUNO HENRIQUE RAMON SILVA 
R.A. 1801242283 
J.MARCELO DE SOUZA MATTA 
R.A. 1801246725 
MARCOS MARQUES DE ANDRADE 
R.A. 1801244983 
 
 
 
 
ATPS 
DE 
ELETRÔNICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOROCABA 
12/2011 
 
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 ATPS – Eletrônica II___________________________________ 2-19 
 
ATPS ETAPA 3 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Este trabalho tem como objetivo descrever as características dos filtros ativos, 
tanto utilizados em equipamentos eletrônicos, sobre os quais, dentro da rotina 
estressante do dia a dia, passam totalmente despercebidos aos nossos olhos e apenas 
usufruímos dos recursos que estes nos possibilitam. Alem disso, visa também conhecer 
alguns dos principais componentes eletrônicos comerciais disponíveis no mercado e de 
acordo com as especificações dos componentes, projetar e simular o desempenho do 
circuito em software, demonstrando suas características de trabalho por meio deste. 
2. FILTROS ATIVOS - OUTRAS APLICAÇÕES DE AMPLIFICADORES 
OPERACIONAIS 
 
Os filtros são circuitos lineares projetados especificamente para permitir a 
passagem de uma determinada faixa de freqüência e atenuar outras, em função de uma 
freqüência a ele aplicado. Possuem como base elementos reativos (resistores, 
capacitores e indutores) e podem ser: Ativos ou Passivos. 
Passivos: São filtros construídos apenas com elementos passivos dos circuitos, em 
outras palavras, resistores, capacitores e indutores; 
Ativos: São filtros construídos com elementos passivos associados a algum 
elementos ativo amplificador, tais como transistores e amplificadores operacionais. 
Digitais: São os filtros que empregam tecnologia digital na sua construção, 
implementados através da programação de um sistema microprocessado. 
Aqui em particular, abordaremos somente os filtros ativos. 
 
2.1. Classificação Quanto a Freqüência de Resposta 
 
Quanto à freqüência de resposta, os filtros ativos podem ser classificados 
como: 
 
• Filtro Passa Baixa (FPB) 
• Filtro Passa Alta (FPA) 
• Filtro Passa Faixa (FPF) 
• Filtro Rejeita Faixa (FRF) 
 
 
2.1.2 Filtro Passa Baixa (FPB) 
 
 Filtro passa-baixas é o nome comum dado a um circuito Eletrônico que permite 
a passagem de baixas frequências sem dificuldades e atenua (ou reduz) a amplitude 
das frequências maiores que a frequência de corte. A quantidade de atenuação para 
cada frequência varia de filtro para filtro. 
O conceito de filtro passa-baixas existe de muitas formas diferentes, incluindo os 
circuitos eletrônicos, algoritmos digitais para trabalhar com conjuntos de dados, 
barreiras acústicas, trabalhos com imagens, entre outros. 
 
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2.1.3 Filtro Passa Alta (FPA) 
 
 Um filtro passa-altas é um filtro que permite a passagem das frequências altas 
com facilidade, porém atenua (ou reduz) a amplitude das frequências abaixo de 
frequência de corte. A quantidade de atenuação para cada frequência varia de filtro para 
filtro. O filtro passa-altas possui um princípio de funcionamento oposto ao do filtro passa-
baixas. Veja também o filtro passa-banda. 
 
Ele é muito utilizado para bloquear as frequências baixas não desejadas em um sinal 
complexo enquanto permite a passagem das frequências mais altas. As frequências são 
consideradas 'altas' ou 'baixas' quando estão acima ou abaixo da frequência de corte, 
respectivamente. 
 
 
2.1.4 Filtro Passa Faixa (FPF) 
 
 Um filtro passa-faixa é um dispositivo que permite a passagem das frequências 
de uma certa faixa e rejeita (atenua) as frequências fora dessa faixa. Um exemplo de um 
filtro passa-faixa analógico é o circuito RLC (um circuito resistor-indutor-capacitor). Estes 
filtros também podem ser obtidos através da combinação entre um filtro passa-baixas e 
um filtro passa-altas. 
 
 
2.1.5 Filtro Rejeita Faixa (FRF) 
 
 Um filtro rejeita-faixa ou filtro de rejeição de banda é um filtro que permite a 
passagem da maioria das frequências inalteradas, porém atenua aquelas que estejam 
em uma faixa determinada pelo filtro. O princípio de funcionamento é o oposto do filtro 
passa-faixa. 
 
 
2.1.6 Freqüência de Corte (fc) 
 
Temos como definição da freqüência de corte aquela na qual a potência média de 
saída é a metade da potência de entrada, ou seja, quando o ganho de potência for 0.5. 
 
2
1
==
e
s
P P
P
G 
 
 
2.2. Projeto do Filtro Ativo 
 
2.2.1. FPB 2º Ordem 
 
 O filtro passa baixa de 2ª ordem difere-se do de 1ª ordem no que diz respeito à 
atenuação da às freqüências mais altas, ou seja, a variação da queda da amplitude com 
o aumento da freqüência é mais acentuada. Na fig 2.2.a podemos ver claramente esta 
diferença. 
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Filtro Passa Baixa 1ª Ordem Filtro Passa Baixa 2ª Ordem 
 Fig. 2.2.a 
 
 Como podemos observar, a queda da linha verde (2ª ordem) é mais acentuada 
do que da linha vermelha (1ª ordem). Outro fato que podemos observar é o ângulo do 
“cotovelo”, ou seja o ângulo formado pela linha horizontal e pela inclinada, no gráfico de 
2ª ordem este ângulo é menor e a medida que vai aumentando a Ordem (3ª, 4ª ...) 
vemos que vai ficando cada vez menor, em conseqüência, a curva cada vez menos 
suave. Por exemplo, um filtro Butterworth de 2ª ordem produzirá uma diminuição da 
amplitude do sinal de um quarto em relação ao valor anterior, cada vez que a freqüência 
dobrar. 
 
2.2.2. Filtro tipo Butterworth 
 
 Este tipo de filtro foi descrito primeiramente pelo engenheiro britânico S. 
Butterworth em sua publicação "On the Theory of Filter Amplifiers" em 1930. 
 Seu desenvolvimento é realizado de modo que a resposta em freqüência seja o 
mais plana possível matematicamente na faixa passante. Possui uma resposta em 
freqüência muito plana na faixa passante e aproxima-se de zero na faixa rejeitada. 
Possui uma queda na magnitude da freqüência como uma função linear ω. Também é o 
único tipo de filtro que mantém o mesmo formato para ordens superiores a 1, ao 
contrário dos demais tipos como Bessel, Chebychev, etc, que variam suam formas de 
acordo com a ordem. Na fig 2.2.2ª podemos ver claramente a diferença entre os tipos de 
filtros com relação à sua resposta de saída em freqüência. 
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 Fig. 2.2.b 
 
2.2.3. Exercício Proposto 
 Nesta etapa, teremos o projeto do filtro ativo, tomando como referência os dados 
da etapa 3, passo 2. O filtro deverá possuir freqüência de corte de 800 Hz (alterado em 
relação ao ATPS por instrução do professor), de 2ª ordem, com resposta do tipo 
Butterworth e estrutura MFB (multiple-feedback). Na fig. 2.2.c temos o circuito proposto: 
 
 
 Fig.2.2.c 
 
 As equações utilizadas são mostradas abaixo: 
 
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 Na tabela 2.2.a, temos os valores dos coeficientes a e b de acordo com o tipo de 
projeto: 
 
Tab. 2.2.a 
Tabela de Coeficientes 
 
Coeficiente Passa-Baixa para 2ª ordem e 4ª ordem 
 Butterworth Chebishev 
n 0.1 dB 0.5 dB 1.0 dB
2 
a 1 . 4 1 4 2 1 2.3721 1.4256 1.0977
b 1 3.3133 1.5162 1.1025
4 
a1 0 . 7 6 5 3 7 0.5283 0.3507 0.2791
b1 1 1.3298 1.0635 0.9865
a2 1 . 8 4 7 7 6 1.2754 0.8467 0.6737
b2 1 0.6228 0.3564 0.27940
 
 
2.2.4. Resolução Matemática 
 
Cálculo do ωc: 
 
fcc ××= πω 2 
Hzc 8002 ××= πω 
Hzc 55.5026=ω 
 
Cálculo do C1: 
 
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fc
FC 10)(1 ≈μ 
 
800
10)(1 ≈FC μ 
 
0125.0)(1 ≈FC μ 
pFC 125001 ≈ 
 Valor comercialmente encontrado mais próximo: 
 
nFC
ou
pFC
10
10000
1
1
=
=
 
 
 Para calcularmos C2 será necessário definirmos os valores de a, b e K. 
Verificando na tabela dos coeficientes para n=2 temos: 
a=1.41421 
b= 1 
 
 Para k, adotaremos o valor de k=2. 
 Com base nos valores adotados e calculados, podemos calcular o valor C2: 
 
Cálculo do C2: 
 
)1(4
1
2
2 −××
×
=
kb
CaC 
 Para esta fórmula, teríamos que inserir o valor de k negativo (lembrando que para 
esta estrutura o ganho será sempre negativo). Contudo, teríamos um valor de C2 
negativo, o que na pratica não existe. Sendo assim, foi necessário a reestruturação da 
fórmula conforme abaixo: 
 
 
)1|(|4
1
2
2 +××
×
=
kb
CaC
 
 
)12(14
100002
2
2 +××
×
=C
 
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12
20000
2 =C 
pFC 7.16662 = 
 Contudo, este valor não é comercialmente encontrado. Sendo assim adotaremos: 
 
nFC
ou
pFC
5.1
1500
2
2
=
=
 
 
Cálculo do R2: 
 
 Seguindo a fórmula indicada no ATPS e no site, não foi possível encontrar os 
mesmo resultados do cálculo automático do site. Sendo assim, analisando possíveis 
contradições matemáticas, chegamos à conclusão de que a fórmula deveria ser: 
 
ckCCbCaCa
kR
ω}))]1|(|4()[({
)1|(|2
5.0
211
2
1
2 +×××−×+×
+×
=
 
 
 
c
R
ω}))]1|2(|105.1101014()10102[(10102{
)1|2(|2
5.0992992 +×××××−××+××
+×
= −−−−
c
R
ω}]3106102[102{
6
5.0171682 ××−×+×
= −−− 
 
 
c
R
ω}]102[102{
6
5.01782 −− ×+×
=
 
 
 
c
R
ω}10472.4102{
6
982 −− ×+×
=
 
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Ω=
Ω=
×
= −
KR
ou
R
R
156.64
15.64126
10356.9
6
2
2
52
 
 
 
Cálculo do R1: 
 
k
RR 21 = 
 
Ω=
Ω=
=
kR
ou
R
R
063.32
07.32063
2
15.64126
1
1
1
 
 
Cálculo do R3: 
 
2
221
2
3
cRCCb
RR
ω××××
= 
 
 Para a fórmula acima, também tivemos contradições matemáticas de resultados e 
analisando a mesma, chegamos a conclusão que a fórmula correta seria a mostrada 
abaixo: 
2
221
2
3 )( cRCCb
RR
ω××××
= 
2993 )55.502615.64126(105.110101
15.64126
××××××
= −−R 
 
Ω=
Ω=
KR
ou
R
146.41
56.41146
3
3
 
 
2.2.5. Componentes Comercialmente Disponíveis 
 
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 Em função da particularidade de cada projeto, se os fabricantes fossem produzir 
componentes com valores específicos a cada um deles, teríamos uma infinidade de 
valores, o que inviabiliza uma produção em série, conseqüentemente atrelando a esses 
componentes valores impraticáveis. Sendo assim, alguns valores de componentes 
foram assumidos como valores padronizados para comercialização. 
 Na tabela 2.2.b, 2.2.c e 2.2.d são mostrados os valores de capacitores e 
resistores comercialmente disponíveis. 
 
 
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2.2.6. Resistores Comerciais para o Projeto 
 
 
 Abaixo temos os resistores resultantes dos cálculos: 
 
Ω=
Ω=
Ω=
56.41146
07.32063
15.64126
3
2
1
R
R
R
 
 Como podemos ver comparando os valores acima com os das tabelas 2.2.c e 
2.2.d, os valores calculados não são comuns, ou seja, não são valores comumente 
encontrados para venda. 
 Neste ponto, temos 2 opções: 
• Adotar valores próximos, o que causaria o funcionamento do filtro fora do 
valor previamente estabelecido; 
• Partir para resistores de precisão, porém isso teria o agravante do custo 
(resistores de precisão são mais caros do que os normais). 
 
 Contudo, existe ainda uma maneira de alcançar um valos de resistor associando-
se dois resistores em paralelo. Sendo assim teríamos: 
 
 
BA
BA
RR
RRR
11
11
1
*
+
=
R1B
33k
R1A
1.2M
 
 
33000102.1
33000*102.1
6
6
1 +×
×
=R
 
 
Ω= 78.321161R
 
 Contudo, este método empregaria o dobro de resistores, conseqüentemente, o 
espaço físico do circuito também seria comprometido. Portanto, adotaremos valores 
comerciais. 
 
 
 
 
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2.2.7. Montagem e Simulação no CircuitMaker 
 
 Com o objetivo de comprovar os valores calculados, montaremos o circuito no 
Software CircuitMaker Student V6.2c. 
 Antes de tudo, devemos ter em mente o que será analisado nesta simulação. Em 
debate do grupo, chegamos aos seguintes parâmetros: 
 
• Se este circuito é um filtro passa baixa, então devemos aplicar em sua 
entrada um sinal que seja superior à fc. 
• Novamente, se este circuito é um filtro, o objetivo da simulação nada mais 
é do que verificar se o mesmo esta filtrando o sinal aplicado à sua entrada. 
• Deste modo, mediremos a atenuação do sinal afim de comprovar sua 
eficácia. 
 
 A montagem do circuito é mostrada na fig. 2.2.d. 
V3
-12V
V2
12V
+
U1
OPAMP5
1
10kHz
V1
-1/1V
C1
10000pF
C2
1500pF
R1
32063
R2
64126
R3
41146
 
 Pontos importantes: 
 
• A freqüência de entrada é superior à fc; 
• A disposição dos componentes deve respeitar rigorosamente a mesma 
adotada nas fórmulas, caso contrário, não teremos a resposta esperada. 
• Por enquanto, os valores aqui aplicados, são exatamente os mesmos 
resultantes dos cálculos (valores não comuns). 
 
 Para a simulação, ajustamos os valores conforme mostrado abaixo nas figuras 
2.2.e, 2.2.f: 
 
 
Fig. 2.2.e 
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Fig. 2.2.f 
 
 O circuito e o ponto de medição da simulação são mostrados na Fig. 2.2.g, 
 
Fig. 2.2.g 
 
 O gráfico da simulação é mostrado na figura 2.2.h e 2.2.i, no qual é possível ver 
que a que a atenuação da curva ocorre no ponto em que a freqüência atinge 0.707Av, 
ou seja, aproximadamente 1.414 no eixo Y e aproximadamente 800Hz no eixo X. 
 
 
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Fig. 2.2.h 
 
Fig 2.2.i 
 Agora analisando com Sweep em oitava, conforme mostrado nas figuras 2.2.j, 
2.2.k e 2.2.l. 
 
 
Fig. 2.2.j 
 
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Fig. 2.2.k 
 
 
 
Fig.2.2.l 
 
 Podemos observar que o comportamento foi o mesmo. Com isso, concluímos que 
os cálculos estão corretos. 
 
2.2.8. Montagem e Simulação com Componentes Comerciais 
 
 
Na tabela 2.2.e temos as opções de filtros com componentes comerciais, dentre os 
quais vamos escolher aquele se adapte melhor. 
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Filtro Freqüência -3db K R1 R2 R3
1 835.7 Hz 2.07 30.0K 62.0K 39.0K
2 835.7 Hz 1.88 33.0K 62.0K 39.0K
3 798.0 Hz 2.27 30.0K 68.0K 39.0K
4 798.0 Hz 2.06 33.0K 68.0K 39.0K
5 795.9 Hz 2.07 30.0K 62.0K 43.0K
6 795.9 Hz 1.88 33.0K 62.0K 43.0K
7 760.0 Hz 2.27 30.0K 68.0K 43.0K
8 760.0 Hz 2.06 33.0K 68.0K 43.0K
Tab. 2.2.e 
 
 Dentro do problema proposto, em debate com o grupo, optamos poradotar a 
versão 4 da tabela, por se aproximar mais tanto no que diz respeito à freqüência, quanto 
ao ganho. Sendo assim teremos o circuito conforme mostrado na figura 2.2.m. 
 
 
Fig. 2.2.m 
 
 Vale lembrar que para este caso, o valor de K=2.06, portanto, deveremos 
encontrar uma atenuação a qual ocorra no ponto 0.707*2.0606, ou seja, 1.4568. 
 A análise é mostrada na fig. 2.2.n e 2.2.p, na qual é possível ver que a curva foi 
atenuada aproximadamente no ponto de Y=1.4568 e tem como respectivo no eixo X= 
798Hz. 
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Fig. 2.2.n 
 
 
 
Fig. 2.2.p 
 
3. Conclusão 
 
 Com isso concluímos que os cálculos com as fórmulas alteradas apresentaram 
resultados satisfatórios dentro do simulador do CircuitMaker, contudo para aplicação 
real os valores obtidos nos cálculos são impraticáveis apor se tratarem de valores não 
comercialmente comuns. Sendo assim, faz-se necessário a adaptação desses valores, 
de acordo com valores comercialmente encontrados, o mais próximo possível dos 
valores calculados afim de se obter o resultado pratico o mais próximo possível do 
teórico. 
 A utilização do software CircuitMaker foi indispensável para realização deste 
trabalho, uma vez que através do mesmo pudemos comprovar, de maneira virtual, o 
desempenho do circuito elaborado. 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
 
Sites: 
http://www.k7mem.com/Electronic_Notebook/filters/act_lpfil.html#Standard 
http://www.clubedaeletronica.com.br/Eletronica/PDF/AMPOP/Amp-OP%20IV%20-
%20filtros.pdf 
http://pt.wikipedia.org 
http://www.science.unitn.it/~bassi/Signal/TInotes/sloa049.pdf 
http://www.newtoncbraga.com.br 
 
Notas de Aula do curso de Engª de Controle e Automação – Disciplina Eletrônica II 
- Faculdade Anhanguera Sorocaba – Prof. Xavier 
Livros: 
Dispositivos Eletrônicos – 8ª Edição – Robert L. Boylestad and Louis Nashelsky – 
Editora Person 
RF Circuit Design – Reinhold Ludwig, Pravel Bretchko 
 
 
 
 
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