apol calculo numerico 1

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Cálculo Numérico
Considerando os conteúdos da Aula 3, Videoaula 6 - Tema 5 -integração numérica, assinale a alternativa que dá a aproximação da integral ∫20√2x2+1dx∫022x2+1dx, pelo método 1/3 de Simpson com 8 subintervalos.
Dado: Tabela com os valores da função f(x).f(x).
Nota: 10.0
	
	A
	3,800143,80014
	
	B
	3,669903,66990
	
	C
	3,6301713,630171
Você acertou!
Calculamos o valor de hh:
h=b−a6=2−08=0,25h=b−a6=2−08=0,25
Calculamos a aproximação, pelo método 1/3 de Simpson:
∫20√2x2+1dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x3)+f(x5)+f(x7))++2(f(x2)+f(x4)+f(x6))+f(x8))∫022x2+1dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x3)+f(x5)+f(x7))++2(f(x2)+f(x4)+f(x6))+f(x8))
∫20√2x2+1dx≈0,253(1+4(1,060660+1,457738++2,031010+2,669270)+2(1,224745+1,732051+2,345208)+3)≈3,630171∫022x2+1dx≈0,253(1+4(1,060660+1,457738++2,031010+2,669270)+2(1,224745+1,732051+2,345208)+3)≈3,630171
(Roteiro de estudos - aula 3 - vídeo 6 -tema 5 -integração numérica --3:32 s)
	
	D
	3,4569873,456987
	
	E
	3,2456013,245601
Questão 2/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre integração numérica:
"Os métodos de integração numérica aproximam valores de integrais definidas.
- A integração numérica é útil quando: - Não se conhece a função f. Tem-se apenas uma tabela de valores para f.
- f é conhecida mas é muito complexa, o que dificulta a determinação de sua primitiva."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.facom.ufms.br/~montera/integracao_parte1.pdf}. Acesso em 13 jun. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numéricocálculo numérico sobre integração numérica e o método dos trapézios, assinale a alternativa cujo valor aproximado é o da integral ∫91√6x−5dx∫196x−5dx, obtido pelo empregando o método dos trapézios com 8 subintervalos. 
Nota: 10.0
	
	A
	38,33
	
	B
	38,02
	
	C
	37,97
	
	D
	37,82
Você acertou!
Calculamos o valor de hh: 
h=b−a8=9−18=1h=b−a8=9−18=1
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x123456789f(x)12,6457513113,6055512754,35889894455,5677643636,082762536,5574385247x123456789f(x)12,6457513113,6055512754,35889894455,5677643636,082762536,5574385247
Calculamos a aproximação, pela fórmula dos trapézios para 8 subintervalos:
∫91√6x−5dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6)+f(x7)+f(x8))∫196x−5dx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6)+f(x7)+f(x8))
∫91√6x−5dx≈12(1+2.(2,645751311+3,605551275+4,358898944+5+5,567764363+6,08276253+6,557438524)+7))≈37,82∫196x−5dx≈12(1+2.(2,645751311+3,605551275+4,358898944+5+5,567764363+6,08276253+6,557438524)+7))≈37,82
OBS.: O Valor exato é 38 (não vale como resposta). (livro-base p. 64-66)
	
	E
	37,51
Questão 3/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho sobre o método iterativo linear:
"[...] para o caso de uma variável queríamos: f(x)=0f(x)=0. Reescreveríamos na forma x=ψ(x)x=ψ(x) e obtínhamos o seguinte processo iterativo: xk+1=ψ(xk)xk+1=ψ(xk)."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0301-1-11/MILSistemas.pdf. Acesso em 03 jun. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre o método iterativo linear e a função f(x)=x2−sen(x)+1f(x)=x2−sen(x)+1, assinale a alternativa cujo valor é o zero da função com valor inicial x0=1.3x0=1.3, pelo método iterativo linear com processo iterativo definido por xn+1=√sen(x)+1xn+1=sen(x)+1, com critério de parada |xn−xn+1|xn+1|xn−xn+1|xn+1 e precisão ϵ=0,001ϵ=0,001.
Complete a tabela a seguir (utilize as primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada). 
nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101234nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101234
Nota: 10.0
	
	A
	1,500012441,50001244
	
	B
	1,39992161,3999216
	
	C
	1,493256261,49325626
	
	D
	1,555566111,55556611
	
	E
	1,4095961961,409596196
Você acertou!
Comentário: Construindo a tabela, pelo método MIL, temos: 
nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101,31,4012702040,0722702911,4012702041,4091361990,0055821421,4091361991,4095961960,00032633234nxnxn+1|xn−xn+1|xn+101,31,4012702040,0722702911,4012702041,4091361990,0055821421,4091361991,4095961960,00032633234 
A raiz é x=1,409596x=1,409596 e o erro absoluto é igual 0,000326.0,000326.
(Livro-base p. 41-44)
Questão 4/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre integração numérica:
"Alguns casos só podem ser resolvidos através de métodos algorítmicos, como quando não possuímos a expressão analítica de f.
Queremos obter a solução numérica (chamada de quadratura) de uma integral simples de modo que:
Sendo f(x)f(x) uma função contínua em [a, b], existe uma primitiva neste intervalo e 
F(x)F(x) é tal que ∫f(x)dx=F(x)+c∫f(x)dx=F(x)+c, com F´(x)=f(x)F´(x)=f(x) e ∫baf(x)dx=F(b)−F(a).∫abf(x)dx=F(b)−F(a).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.inf.ufpr.br/kunzle/disciplinas/ci202/2017-2/slides/6a-integra%C3%A7%C3%A3o%20num%C3%A9rica.pdf}. Acesso em 03 Jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numéricocálculo numérico sobre integração numérica, assinale a alternativa que dá o valor aproximado da integral ∫41√ln(x)dx∫14ln(x)dx, empregando o método 3/8 de Simpson com 6 subintervalos. 
Nota: 10.0
	
	A
	2,6253876932,625387693
Você acertou!
Calculamos o valor de hh: 
h=b−a6=4−16=0,5h=b−a6=4−16=0,5
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x11,522,533,54f(x)00,6367614220,8325546110,9572307621,0481470741,1192689441,177410023x11,522,533,54f(x)00,6367614220,8325546110,9572307621,0481470741,1192689441,177410023
Calculamos a aproximação, pelo método 3/8 de Simpson:
∫41√ln(x)dx≈3h8.((f(x0)+3.(f(x1)+f(x2)+f(x4))+f(x5))+2f(x3)+f(x6))∫14ln(x)dx≈3h8.((f(x0)+3.(f(x1)+f(x2)+f(x4))+f(x5))+2f(x3)+f(x6))
∫41√ln(x)dx≈3.0,58(0+4(0,636761422+0,832554611+1,048147074+1,119268944)+2.0,957230762+1,177410023)≈2,625387693∫14ln(x)dx≈3.0,58(0+4(0,636761422+0,832554611+1,048147074+1,119268944)+2.0,957230762+1,177410023)≈2,625387693
(livro-base p. 66-68)
	
	B
	2,66141542,6614154
	
	C
	2,711225542,71122554
	
	D
	2,512465892,51246589
	
	E
	2,78895622,7889562
Questão 5/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho sobre o método de Newton-Raphson: 
"Este método, sob determinadas condições, apresenta vantagens sobre os  método anteriores: é de convergência mais rápida e, para encontrar as raízes, não é  obrigatória a condição f(a)×f(b)<0f(a)×f(b)<0." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/114/arquivos/matematica/calculo_numerico/met_newton_raphson.pdf. Acesso em 02 jun. 2018. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre o método da Newton-Raphson e a função f(x)=x2+x−6f(x)=x2+x−6, assinale a alternativa que dá o zero da função com valor inicial x0=1,5x0=1,5, pelo método de Newton-Raphson, com critério de parada |xn−xn+1||xn−xn+1| e precisão ϵ=0,07ϵ=0,07. 
Complete a tabela a seguir (utilize as primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada).
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01234
Nota: 10.0
	
	A
	1,9551,955
	
	B
	2,06252,0625
	
	C
	2,00076212,0007621
Você acertou!
Comentário: Construindo a tabela, pelo método de Newton, temos:
nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,5−2,254∗12,06250,316406255,1250,562522,0007621950,0038115575,001524390,061737805nxf(x)f´(x)|(xn−xn+1|01,5−2,254∗12,06250,316406255,1250,562522,0007621950,0038115575,001524390,061737805
A raiz é x=2,0007621x=2,0007621 e o erro absoluto é igual 0,061737805.0,061737805.
(livro-base p. 44-46)
	
	D
	2,122352,12235
	
	E
	1,89991,8999
Questão 6/10 - Cálculo Numérico
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre conversão da base decimal para a binária, assinale a alternativa cujo valor é a representação binária do número decimal 19101910.
Nota: 10.0
	
	A
	1910=1110121910=111012
	
	B
	1910=1100121910=110012
	
	C
	1910=1001121910=100112Você acertou!
Dividindo 19 por 2, temos
19÷2=9,r=19÷2=4,r=14÷2=2,r=02÷2=1,r=019÷2=9,r=19÷2=4,r=14÷2=2,r=02÷2=1,r=0Juntamos o último resultado da divisão com os restos e temos 19_{10}=10011_2.
(livro-base p.21-26)
	
	D
	1910=1010121910=101012
	
	E
	1910=0110121910=011012
Questão 7/10 - Cálculo Numérico
Leia trecho de texto a seguir:
"Demanda significa a quantidade de um bem ou serviço que os consumidores desejam adquirir por um preço definido em um mercado." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em https://www.significados.com.br/demanda/ Acesso em 20 Mai. 2018. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo numérico sobre erros, leia as seguintes informações:
A função de demanda de um produto é dado em função dos seu preço de venda xx. Se a função de demanda tem a forma d(x)=−x2+9x−8,d(x)=−x2+9x−8,  com 1≤x≤81≤x≤8,  assinale a alternativa que dá a demanda, quando o preço do produto é de R$ 2,752,75, efetuando o arredondamento na segunda casa decimal para cada operação.
Nota: 10.0
	
	A
	9,18
	
	B
	9,19
Você acertou!
Comentário:
 d(2,75)=−(2,75)2+9×2,35−8=−7,5625+24,75−8=−7,56+16,75=9,19d(2,75)=−(2,75)2+9×2,35−8=−7,5625+24,75−8=−7,56+16,75=9,19 
(livro-base, p. 5-12)
	
	C
	9,2
	
	D
	9,20
	
	E
	9,1
Questão 8/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre integração numérica:
"Calcular integrais é uma tarefa rotineira em engenharia, aparecendo em quase todo problema que exige algum cálculo mais sofisticado. Diferente de outras operações matemáticas, integração de funções não é simples. Por exemplo, somos capazes de derivar quase qualquer função, por mais complicada que seja. Integração é uma história completamente diferente."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/an/Integracao01.pdf}. Acesso em 13 jun. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numéricocálculo numérico sobre integração numérica e regra de Simpson, assinale a alternativa cujo valor aproximado é o da integral 4∫1011+x2dx4∫0111+x2dx, obtido pelo empregando da regra 1/3 de Simpson com 8 subintervalos. 
Nota: 10.0
	
	A
	3,5014
	
	B
	3,1225...
	
	C
	3,0901
	
	D
	3,0099
	
	E
	3,1415...
Você acertou!
Calculamos o valor de hh:
 
h=b−a8=1−08=0,125h=b−a8=1−08=0,125
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x00,1250,250,3750,50,6250,750,8751f(x)10,9846153850,9411764710,8767123290,80,7191011240,640,5663716810,5x00,1250,250,3750,50,6250,750,8751f(x)10,9846153850,9411764710,8767123290,80,7191011240,640,5663716810,5
Calculamos a aproximação, pela regra 1/3 de Simpson para 8 subintervalos:
4∫1011+x2dx≈h3.(f(x1)+4.(f(x2)+f(x4)+f(x6)+f(x8))+2(f(x3)+f(x5)+f(x7))+f(x9))4∫0111+x2dx≈h3.(f(x1)+4.(f(x2)+f(x4)+f(x6)+f(x8))+2(f(x3)+f(x5)+f(x7))+f(x9))
4∫1011+x2dx≈4[0,1253(1+4(0,984615385++0,876712329+0,719101124+0,566371681)+2(0,941176471+0,8+0,64)+0,5))]≈3,1415925024∫0111+x2dx≈4[0,1253(1+4(0,984615385++0,876712329+0,719101124+0,566371681)+2(0,941176471+0,8+0,64)+0,5))]≈3,141592502
OBS.: O Valor exato é ππ . (livro-base p. 66-68)
Questão 9/10 - Cálculo Numérico
Leia o trecho a seguir sobre regra do trapézio:
"O que caracteriza as quadraturas newtonianas é o espaçamento constante entre os pontos. O caso mais simples é denominado regra do trapézio na qual apenas dois pontos são utilizados. De acordo com o sistema, a quadratura com dois pontos é dada pela fórmula ∫baf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b).∫abf(x)dx≈C1f(a)+C2f(b).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.mat.ufrgs.br/~guidi/grad/MAT01032/calculo_numerico.cap7.pdf}. Acesso em 03 Jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base cálculo numéricocálculo numérico sobre integração numérica e o método dos trapézios, calcule a integral ∫1,80√1+exdx∫01,81+exdx, empregando o método dos trapézios com 6 subintervalos. Apresente todo o desenvolvimento.
Nota: 10.0
	
	A
	3,612543,61254
	
	B
	3,4581891823,458189182
Você acertou!
Calculamos o valor de hh: 
h=b−a6=1,8−06=0,3h=b−a6=1,8−06=0,3
construímos a tabela com os valores para x e f(x):
x00,30,60,91,21,51,8f(x)1,4142135621,5329249191,6799163081,8600008362,0784890962,3413007222,655117222x00,30,60,91,21,51,8f(x)1,4142135621,5329249191,6799163081,8600008362,0784890962,3413007222,655117222
Calculamos a aproximação, pela fórmula dos trapézios para 8 subintervalos:
∫1,80√1+exdx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6))∫01,81+exdx≈h2.((f(x0)+2.(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5))+f(x6))∫1,80√1+exdx≈0,32(1,414213562+2(1,532924919+1,679916308+1,860000836+2,078489096+2,341300722)+2,655117222)≈3,458189182∫01,81+exdx≈0,32(1,414213562+2(1,532924919+1,679916308+1,860000836+2,078489096+2,341300722)+2,655117222)≈3,458189182
(livro-base p. 64-66)
	
	C
	3,330023,33002
	
	D
	3,78813,7881
	
	E
	3,66663,6666
Questão 10/10 - Cálculo Numérico
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre integração numérica pelo método dos retângulos com altura tomada pela direita, assinale a alternativa cujo valor aproximado é da integral definida, obtida pelo método dos retângulos, com 3 subintervalos, dada por:
∫3011+xdx∫0311+xdx.
Dado:
∫baf(x)dx≈h[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]∫abf(x)dx≈h[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
Nota: 10.0
	
	A
	1,083333
Você acertou!
Dado que ∫baf(x)dx≈h[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]h=3−03=1∫baf(x)dx≈1.[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]∫baf(x)dx≈1.[1+0,5+0,33333+0,25]=1,083333∫abf(x)dx≈h[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]h=3−03=1∫abf(x)dx≈1.[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]∫abf(x)dx≈1.[1+0,5+0,33333+0,25]=1,083333
(livro-base p.58-60)
	
	B
	1,386294
	
	C
	1,235896
	
	D
	1,592857
	
	E
	1,217857