Lista de Exercícios 2

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 - CD23NB - 2017/1
Professor: Geovani Raulino
Lista de Exerćıcios - 2ª Avaliação
Superf́ıcies Parametrizadas e suas áreas
1. Identifique a superf́ıcie que tem equação paramétrica dada.
(a) ~r(u, v) = 〈u+ v, 3− v, 1 + 4u+ 5v〉
(b) ~r(u, v) = 〈2 sen u, 3 cos u, v〉, 0 6 v 6 2
(c) r(u, v) = (u, cos v, sen v)
(d) r(u, v) = (u, u cos v, u sen v)
2. Determine uma equação do plano tangente à superf́ıcie parametrizada dada no ponto especifi-
cado.
(a) x = u+ v, y = 3u2, z = u− v; (2, 3, 0).
(b) x = u2, y = v2, z = uv; u = 1 e v = 1
(c) ~r(u, v) = 〈u2, 2u sen v, u cos v〉; u = 1 e v = 0.
(d) ~r(u, v) = 〈uv, u sen v, v cos u〉; u = 0 e v = π.
3. Determine a área da superf́ıcie:
(a) A parte do plano 3x+ 2y + z = 6 que está no primeiro octante.
(b) A parte do plano 2x+ 5y + z = 10 que está dentro do cilindro x2 + y2 = 9.
(c) A superf́ıcie z = 2
3
(x3/2 + y3/2), onde 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1.
(d) A parte do plano com equação r(u, v) = (1+v, u−2v, 3−5u+v) que é dada por 0 6 u 6 1,
0 6 v 6 1.
(e) A parte da superf́ıcie z = xy que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1.
(f) A parte do paraboloide hiperbólico z = y2 − x2 que está entre os cilindros x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 = 4.
(g) A superf́ıcie com equações paramétricas x = u2, y = uv, z = 1
2
v2, 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 2.
(h) Encontre a área da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4z que está dentro do paraboloide
z = x2 + y2.
1
Integrais de Superf́ıcie
4. Calcule a integral de superf́ıcie.
(a)
∫∫
S
x2yz dS, onde S é a parte do plano z = 1 + 2x + 3y que está acima do retângulo
[0, 3]× [0, 2].
(b)
∫∫
S
xy dS, onde S é a região triangular com vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2).
(c)
∫∫
S
yz dS, onde S é a parte do plano x+ y + z = 1 que está no primeiro octante.
(d)
∫∫
S
y dS, onde S é a superf́ıcie z = 2
3
(x3/2 + y3/2), onde 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1.
(e)
∫∫
S
yz dS, onde S é a superf́ıcie com equações paramétricas x = u2, y = u sen v, z =
u cos v, com 0 6 u 6 1, 0 6 v 6
π
2
.
(f)
∫∫
S
√
x2 + y2 + 1 dS, onde S é o helicoide com equação vetorial ~r(u, v) =
〈u cos v, u sen v, v〉, com 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 π.
(g)
∫∫
S
x2z2 dS, onde S é a parte do cone z2 = x2 + y2 que está entre os planos z = 1 e z = 3.
(h)
∫∫
S
z dS, onde S é a superf́ıcie x = y + 2z2, 0 6 y 6 1, 0 6 z 6 1. e acima do plano xy.
(i)
∫∫
S
(x2z + y2z) dS, onde S é o hemisfério x2 + y2 + z2 = 4, z > 0.
(j)
∫∫
S
(z + x2y) dS, onde S é a parte do cilindro y2 + z2 = 1 que está entre os planos x = 0
e x = 3 no primeiro octante.
5. Calcule a integral de superf́ıcie
∫∫
S
~F .d~S para o campo vetorial ~F e a superf́ıcie orientada S.
Em outras palavras, determine o fluxo de ~F através de S. Para superf́ıcies fechadas, use a
orientação positiva (para fora).
(a) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k, onde S é a esfera x2 + y2 + z2 = 9.
(b) ~F (x, y, z) = xy~i + yz~j + zx~k, onde S é a parte do paraboloide z = 4 − x2 − y2 que está
acima do quadrado 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, com orientação para cima.
(c) ~F (x, y, z) = y~i+x~j+ z2~k, onde S é o helicoide do exerćıcio 4.f com orientação para cima.
(d) ~F (x, y, z) = xzey~i − xzey~j + z~k, onde S é a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro
octante, com orientação para baixo.
(e) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j+ z4~k, onde S é a parte do cone z =
√
x2 + y2 abaixo do plano z = 1,
com orientação para baixo.
(f) ~F (x, y, z) = x~i+ 2y~j + 3z~k, onde S é o cubo de vértices (±1,±, 1,±1).
(g) ~F (x, y, z) = y~j − z~k, onde S é formado pelo parabolóide y = x2 + z2, 0 6 y 6 1 e pelo
ćırculo x2 + z2 6 1, y = 1.
2
(h) ~F (x, y, z) = xy~i + 4x4~j + yz~k onde S é a superf́ıcie z = xey, 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 com
orientação para cima.
(i) ~F (x, y, z) = y~i + (z − y)~j + x~k, onde S é a superf́ıcie do tetraedro com vértices (0, 0, 0),
(1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
(j) ~F (x, y, z) = x~i+y~j+5~k, onde S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x2+z2 = 1
e pelos planos y = 0 e x+ y = 2.
6. Suponha que um fluido com densidade ρ(x, y, z) e campo de velocidade ~v(x, y, z) que flui através
de uma superf́ıcie S. A taxa de fluxo (massa por unidade de tempo) por unidade de área é
ρ~v. Temos que ~F = ρ~v é um campo vetorial em R, então a integral∫∫
S
~F .d~S =
∫∫
S
ρ~v.d~S
representa a vazão do flúıdo através de S.
Considere um flúıdo tem densidade 870 kg/m3 e escoa com velocidade ~v(x, y, z) = z~i+y2~j+x2~k,
onde x, y e z são medidos em metros e as componentes de ~v em metros por segundo. Encontre
a vazão para fora do cilindro x2 + y2 = 4, 0 6 z 6 1.
7. Se ~E é um campo elétrico, então a integral de superf́ıcie
∫∫
S
~E.d~S chama-se fluxo elétrico de
~E através da superf́ıcie S. Uma importante lei de eletrostática é a Lei de Gauss, que diz que
a carga total englobada por uma superf́ıcie S é
Q = �0
∫∫
S
~E.d~S
onde �0 é uma constante (denominada permissividade no vácuo) que depende das unidades
usadas.
Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido x2 + y2 + z2 6 a2, z > 0,
se o campo elétrico for ~E(x, y, z) = x~i+ y~j + 2z~k.
8. Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z). Então o fluxo
de calor é definido como o campo vetorial ~F = −K∇u, onde K é uma constante determinada
experimentalmente, chamada condutividade da substância. A taxa de transmissão de calor
através da superf́ıcie S no corpo é então dada pela integral de superf́ıcie∫∫
S
~F .d~S = −K
∫∫
S
∇u.d~S
Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em uma substância com condutividade
K = 6, 5 é u(x, y, z) = 2y2 + 2z2. Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância
para dentro da superf́ıcie ciĺındrica y2 + z2 = 6, 0 6 x 6 4.
3
Teorema de Stokes
9. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫∫
S
rot ~F .d~S.
(a) ~F (x, y, z) = x2z2~i + y2z2~j + xyz~k, onde S é a parte do paraboloide z = x2 + y2 que está
dentro do cilindro x2 + y2 = 4, com orientação ascendente.
(b) ~F (x, y, z) = xyz~i+ xy~j+ x2yz~k, onde S é formada pelo topo pelos quatro lados (mas não
pelo fundo) do cubo com vértices (±1,±1,±1) com orientação para fora.
10. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
~F .d~r. Em cada caso, C é orientada no sentido
anti-horário quando visto de cima.
(a) ~F (x, y, z) = (x+ y2)~i+ (y + z2)~j + (z + x2)~k, onde C é o triângulo com vértices (1, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 0, 1).
(b) ~F (x, y, z) = yz~i+ 2xz~j + exy~k, onde C é o ćırculo x2 + y2 = 16, z = 5.
(c) ~F (x, y, z) = x2z~i+xy2~j+ z2~k, onde C é a curva da interseção do plano x+ y+ z = 1 com
o cilindro x2 + y2 = 9.
11. Uma part́ıcula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1),
(0, 2, 1), e de volta para a origem sob a influência do campo de forças
~F (x, y, z) = z2~i+ 2xy~j + 4y2~k
Encontre o trabalho realizado.
Teorema do Divergente
12. Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superf́ıcie
∫∫
S
~F .d~S, ou seja, calcule
o fluxo de ~F através de S.
(a) ~F (x, y, z) = xyez~i+ xy2z3~j− yez~k, onde S é a superf́ıcie da caixa delimitada pelos planos
coordenados e pelos planos x = 3, y = 2, z = 1.
(b) ~F (x, y, z) = 3xy2~i + xez~j + z3~k, onde S é a superf́ıcie do sólido limitado pelo cilindro
y2 + z2 = 1 e os planos x = −1, x = 2.
(c) ~F (x, y, z) = x2sen y~i+ x cos y~j − xz sen y~k, onde S é a “esfera gorda” x8 + y8 + z8 = 8.
(d) ~F (x, y, z) = (cos z+xy2)~i+xe−z~j+(sen y+x2z)~k, onde S é a superf́ıcie do sólido limitado
pelo paraboloide z = x2 + y2 e o plano z = 4.
(e) ~F = ‖~r‖~r, onde ~r(x, y, z) = x~i + y~j + z~k, e S consiste no hemisfério z =
√
1− x2 − y2 e
no disco x2 + y2 6 1 no plano xy.
4
Observações
Os exerćıcios 2.a, 3.b, 4.g, 5.b, 6, 7, 9.b, 10.c, 11, 12.d deverão ser entregues no dia da 2ª avaliação
(19/05) e esta será a 2ª APS que terá peso 2 na 2ª nota.
Gabarito
1. (a) Plano que passa por (0, 3, 1) e contém os vetores (1, 0, 4) e (1,−1, 5).
(b) Cilindro eĺıptico x2
4
+ y
2
9
= 1.
(c) Cilindro de equação y2 + z2 = 1.
(d) Cone de equação y2 + z2 = x2.
2. (a) 3x− y + 3z = 3
(b) x+ y − 2z = 0
(c) x− 2z = −1
(d) y = 0
3. (a) 3
√
14
(b) 9π
√
30
(c)
4
15
(9
√
3− 8
√
2 + 1)
(d)
√
107
(e)
2π
3
(2
√
2− 1)
(f)
π
6
(17
√
17− 5
√
5)
(g) 4
(h) 4π
4. (a) 171
√
14
(b)
√
6
6
(c)
√
3
24
(d)
36
√
3 + 16
√
2− 8
105
(e)
50
√
5 + 2
480
(f)
4π
3
(g)
364π
√
2
3
(h)
13
√
2
12
(i) 16π
(j) 12
5. (a) 108π
(b)
713
180
(c)
π3
6
(d) −1
6
(e)
π
3
(f) 48
(g) 0
(h)
2
3
(1− e)
(i) −1
6
(j) 2π
5
6. 0kg/s
7.
8πa3�0
3
8. 1248π
9. (a) 0 (b) 0
10. (a) −1 (b) 80π (c) 40, 5π
11. 3
12. (a)
9
2
(b)
9π
2
(c) 0
(d)
32π
3
(e) 2π
6