PLE - Aula 2 - Elasticidade e Plasticidade

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Relações entre Tensões e Deformações
MET 162 – Transformação Mecânica dos 
Metais
Universidade Federal de Ouro Preto 
Escola de Minas 
Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Materiais 
1
2
Elasticidade
Deformação elástica
Deformações elásticas são deformações recuperáveis.
Mecanismo: estiramento de ligações químicas.
3
Elasticidade
Carregamento Uniaxial – Ensaio de Tração
Em materiais metálicos, a deformação elástica é da 
ordem de 0,2%.
4
Elasticidade
Relação tensão vs deformação no regime elástico
Materiais metálicos → comportamento elástico linear
F = k.Δx
σ = E. ε
Lei de Hooke
5
Elasticidade
Módulo de elasticidade (Módulo de Young) 
• Medida de rigidez do material;
• Depende da força de ligação entre os átomos do material;
• Obtido pela inclinação da região linear da curva σ-ε.
σ = E. ε
[Pa]
6
Elasticidade
Módulo de elasticidade (Módulo de Young)
σ = E. ε
ε
σ σ
ε
Por que o módulo de elasticidade de materiais cerâmicos é 
tipicamente maior do que o de materiais metálicos? 
E = tan θ
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Elasticidade
Módulo de elasticidade (Módulo de Young)
Valores típicos de E (GPa)
Diamante
Alumina 
Aço 
Alumínio
Borracha
1000
390
200
70
0.01-01
8
Elasticidade
Coeficiente de Poisson (ν)
s1
s1
ε2 e ε3 de 
contração
ε1 de tração
ν = −
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
Se a direção de aplicação da tensão na barra é a direção x:
ν = −
𝜀𝑦
𝜀𝑥
= −
𝜀𝑧
𝜀𝑥
Materiais metálicos: ν ≈ 0,3
𝜀2 = 𝜀3 = −ν𝜀1
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Elasticidade
Módulo de Cisalhamento
• Medida de rigidez do material;
• Depende da força de ligação entre os átomos do material;
• Obtido pela inclinação da região linear da curva τ-γ.
τ = G.γ
[Pa]
10
Elasticidade
Relação entre as constantes elásticas
𝐺 =
𝐸
ሻ2(1 + ν
Materiais metálicos: 
G ≈
3𝐸
8
11
Elasticidade
Lei de Hooke Generalizada
σ = E. ε
Estado triaxial de 
tensões
Deformações provocadas por σ𝟏: 
• 𝜀1
• 𝜀2 = 𝜀3 = −𝜈𝜀1
12
Elasticidade
Lei de Hooke Generalizada
σ = E. ε
Estado triaxial de 
tensões
1 2 3
s
s
s
Tensão 
aplicada
Deformação provocada pela tensão 
nas direções
E
σ 3ν−
E
σ 2ν−
E
σ 1ν−
E
σ 1ν−
E
σ 2ν−
E
σ 3ν−
E
σ1
E
σ2
E
σ3
𝜺𝟐 = 𝜺𝟑 = −𝝂𝜺𝟏
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Elasticidade
Lei de Hooke Generalizada
Estado triaxial de 
tensões
𝜺𝟏 =
𝟏
𝑬
𝝈𝟏 − ν 𝝈𝟐 + 𝝈𝟑
𝜺𝟐 =
𝟏
𝑬
𝝈𝟐 − ν 𝝈𝟏 + 𝝈𝟑
𝜺𝟑 =
𝟏
𝑬
𝝈𝟑 − ν 𝝈𝟏 + 𝝈𝟐
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Elasticidade
A deformação volumétrica na deformação elástica
Fazendo 𝛆𝟏+ 𝛆𝟐+ 𝛆𝟑, temos:
( )





 ++−
=++
3
σσσ
E
2ν13
eee 321321𝛆𝟏+ 𝛆𝟐+ 𝛆𝟑
Componente hidrostática σH
Deformação volumétrica Δ
15
Elasticidade
A deformação volumétrica na deformação elástica
Fazendo 𝜺𝟏+ 𝜺𝟐+ 𝜺𝟑, temos:
( )
Oσ
E
2ν13 −
=
H
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Elasticidade
Lei de Hooke Generalizada
s
s
s
sH
sH
sH
s−sH
s−sH
s−sH
ESTADO
DE TENSÕES
GENÉRICO
COMPONENTE
HIDROSTÁTICA
COMPONENTE
DESVIADORA
Responsável pela 
mudança de volume
Responsável pela 
mudança de forma 
(deformação plástica)
Exercícios
1) Duas barras são submetidas a F = 300kN, sofrendo o mesmo alongamento. As 
áreas de suas seções transversais são iguais. Qual parte da carga é suportada 
pelo Cu e qual pelo Al? (ECu= 110GPa; EAl = 70GPa)
2) Um corpo é carregado elasticamente com ε2=0 e σ3= 0; σ1 e σ2 finitos e 
diferentes de zero. Determinar ε3 = f(σ1).
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18
Critérios de Escoamento
Carregamento uniaxial:
σeng
eO
𝜎1
𝜎𝑦
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Critérios de Escoamento
Quando um estado complexo de tensões é aplicado em um 
material, quando ele começará a se deformar 
plasticamente?
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Critérios de Escoamento
Critérios de escoamento buscam relacionar as 
componentes principais de um estado complexo de 
tensões com a tensão limite de escoamento obtida em 
ensaios de tração (carregamento uniaxial) 
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Critérios de Escoamento
Critério de Tresca – Tensão cisalhante crítica
𝝉𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐 =
𝝈𝟏 − 𝝈𝟑
𝟐
ENSAIO DE TRAÇÃO:
𝝈𝟏 = 𝝈𝒚 ; 𝝈𝟐 = 𝝈𝟑 = 𝟎 ⇨ 𝝈𝒚 = 𝟐𝝉𝒄𝒓𝒊𝒕
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Critérios de Escoamento
Critério de von Misses – Energia de distorção crítica
ENSAIO DE TRAÇÃO:
𝝈𝒄𝒓𝒊𝒕 =
𝟏
𝟐
𝝈𝟏− 𝝈𝟐
𝟐 + 𝝈𝟏− 𝝈𝟑
𝟐 + 𝝈𝟐− 𝝈𝟑
𝟐
𝝈𝟏 = 𝝈𝒚 ; 𝝈𝟐 = 𝝈𝟑 = 𝟎 ⇨ 𝝈𝒚 = 𝝈𝒄𝒓𝒊𝒕
Exercícios
3) Seja σy a tensão de escoamento à tração de um metal, qual σ1 devo aplicar a este 
metal para que ele escoe, de acordo com Tresca nos casos abaixo? E de acordo com 
von Mises? Compare as previsões dos dois critérios
a) Tração pura (σ1 ≠ 0; σ2 = σ3 = 0)
b) Torção (σ1 = - σ3; σ2 = 0)
c) Tração biaxial simétrica (σ1 = σ2; σ3 = 0)
d) Tração biaxial assimétrica (σ1 = 2σ2; σ3 = 0)
e) Tração triaxial assimétrica (σ1 = 2σ2 = 2σ3)
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Exercícios
4) Uma liga metálica com limite de escoamento igual a 300 MPa é submetida a
diferentes estados de tensão como indicado abaixo:
a) Compressão uniaxial: 𝝈𝟏= 𝝈𝟐= 0 e 𝝈𝟑= -280 MPa;
b) Cisalhamento simples: 𝝈𝟏= 140 MPa, 𝝈𝟐= 0, 𝝈𝟑= -140 MPa;
c) Tensão biaxial: 𝝈𝟏= 305 MPa, 𝝈𝟐= 290 MPa, 𝝈𝟑= 0.
Indique se este material irá deformar plasticamente de acordo com os critérios de
(i) Tresca e (ii) von Mises.
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Exercícios
5) Um material isotrópico é carregado de modo que as tensões principais 
coincidam com os eixos x, y e z. Considere válido o critério de escoamento de Von 
Misses e determine a curva de escoamento de (σx,σy) para σz = 0.
6) Para um estado plano de tensão (σ3 = 0), qual é a maior razão possível de σ1/ σy
no início do escoamento? Leve em conta o critério de Von Misses. σy é a tensão 
limite de escoamento do material. 
25
Introdução à plasticidade
26
Deformações plásticas são deformações permanentes.
Mecanismos:
• Deslizamento de planos cristalinos; 
• Maclação; 
• Transformação de fases
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Carregamento uniaxial:
σeng
eO
𝜎𝑦
Introdução à plasticidade
Deformação 
plástica 
uniforme
Formação da 
estricção
Deformação 
plástica 
localizada
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Curva tensão vs deformação verdadeira (σ-ε)
No regime de deformação plástica, onde deformações altas são 
obtidas, a descrição da relação tensão vs deformação é mais bem 
descrita pelos valores verdadeiros, que levam em consideração as 
dimensões instantâneas do corpo deformado. 
Introdução à plasticidade
Para análise de processos de conformação 
mecânica → curva σ-ε
29
Curva tensão vs deformação verdadeira (σ-ε)
Ensaios mecânicos → avaliação das propriedades mecânicas do material → curva 
tensão vs deformação de engenharia (σeng – e).
Para obtenção da curva verdadeira: 
Introdução à plasticidade
Deformação verdadeira, ε: 
ε = ln(1 + 𝑒ሻ
Tensão verdadeira, σ: 
σ = σ𝑒𝑛𝑔 (1 + 𝑒ሻ
(Relações válidas somente até a estricção do corpo de prova)
30
Relação entre tensões e deformações no regime plástico – ensaio de 
tração 
Introdução à plasticidade
𝜎
𝜀
• HOLLOMON:
𝜎 = 𝐾𝜀𝑛
• LUDWIK:
𝜎 = 𝜎0 + 𝐾𝑙𝜀
𝑛𝑙
(Relações válidas somente até a estricção do corpo de prova)
31
Tensões efetivas
Introdução à plasticidade
𝜎𝑒𝑓
𝜎1
𝜎2
𝜎3
A tensão efetiva é uma grandeza que substitui um estado 
complexo de tensões por uma grandeza com efeito equivalente, 
comparável ao estado de tração pura.
32
Tensões efetivas
Introdução à plasticidade
𝜎𝑒𝑓
𝜎1
𝜎2
𝜎3
Estados de tensão equivalentes tem o mesmo valor de 
tensão efetiva 
33
Tensão efetiva de von Mises
A tensão efetiva pode ser calculada como:
Para um estado geral: 
Introdução à plasticidade
𝝈𝒆𝒇 =
𝟏
𝟐
𝝈𝟏− 𝝈𝟐
𝟐 + 𝝈𝟏− 𝝈𝟑
𝟐 + 𝝈𝟐− 𝝈𝟑
𝟐
𝝈𝒆𝒇 = 
34
Tensão efetiva de von Mises
No ensaio de tração – deformação uniforme
𝝈𝟐= 𝝈𝟑= 𝟎
𝝈𝒆𝒇= 𝝈𝟏
Introdução à plasticidade
𝝈𝒆𝒇 =
𝟏
𝟐
𝝈𝟏− 𝝈𝟐
𝟐 + 𝝈𝟏− 𝝈𝟑
𝟐 + 𝝈𝟐− 𝝈𝟑
𝟐
35
Tensão efetiva de von Mises
No ensaio de tração – após a estricção:
Introdução à plasticidade
σef = σ1 − σ3
𝝈𝟐= 𝝈𝟑
𝜎2
𝜎3
𝜎1
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Deformação efetiva
Introdução à plasticidade
A deformação efetiva é uma grandeza que substitui um estadocomplexo de deformações por uma grandeza com efeito 
equivalente, comparável ao estado de tração pura.
37
Deformação efetiva de von Mises
A deformação efetiva pode ser calculada como:
Para um estado geral: 
Introdução à plasticidade
𝒅𝜺𝒆𝒇 =
𝟐
𝟑
𝒅𝜺𝟏 − 𝒅𝜺𝟐
𝟐 + 𝒅𝜺𝟏 − 𝒅𝜺𝟑
𝟐 + 𝒅𝜺𝟐 − 𝒅𝜺𝟑
𝟐
𝜺𝒆𝒇 = ර
𝜺𝒆𝒇
𝒊
𝜺𝒆𝒇
𝒇
𝒅𝜺𝒆𝒇
𝜺𝒆𝒇
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Deformação efetiva de von Mises
A deformação efetiva depende do caminho de deformação.
Exercício: 
Um cilindro é alongado a frio por tração (ε1  0, ε2 = ε3 = -ε1/2) desde 8 mm de 
comprimento até 12 mm, e depois comprimido (ε1  0, ε2 = ε3 = -ε1/2) até o 
comprimento de 10 mm. Calcule a deformação efetiva considerando:
(a) somente as dimensões iniciais e finais do cilindro 
(b) o caminho de deformação.
Justifique as diferenças encontradas. 
Introdução à plasticidade
39
Deformação efetiva de von Mises
No ensaio de tração:
Introdução à plasticidade
𝒅𝜺𝒆𝒇 =
𝟐
𝟑
𝒅𝜺𝟏 − 𝒅𝜺𝟐
𝟐 + 𝒅𝜺𝟏 − 𝒅𝜺𝟑
𝟐 + 𝒅𝜺𝟐 − 𝒅𝜺𝟑
𝟐
𝑑𝜀1 = −2𝑑𝜀2 = −2𝑑𝜀3
𝒅𝜺𝒆𝒇 = 𝒅𝜺𝟏 ∴ 𝜺𝟏 = 𝜺𝒆𝒇
∆ = 𝑑𝜀1 + 𝑑𝜀2 + 𝑑𝜀3 = 0
40
Tensões e deformações efetivas
Introdução à plasticidade
A curva σ-ε obtida através do ensaio de tração é uma curva 
𝝈𝒆𝒇 - 𝜺𝒆𝒇, que caracteriza o material 
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Equações de fluxo
As relações entre tensões e deformações no regime plástico são 
comumente denominadas equações de fluxo.
Deformação elástica → Lei de Hooke
Deformação plástica → Equações de Levi-Mises
Introdução à plasticidade
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Equações de Levi-Mises
Introdução à plasticidade
𝑑𝜀𝑒𝑓
𝜎𝑒𝑓
𝑑𝜀𝑒𝑓
𝜎𝑒𝑓
𝑑𝜀𝑒𝑓
𝜎𝑒𝑓
Cálculo das deformações principais finais 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑
• Deformação elástica → deformação final depende somente do estado final de 
tensões.
• Deformação plástica depende: 
oDo estado final de tensões;
oDa sequência de estados de tensão seguida para se chegar ao estado final de 
tensões;
oDa história termomecânica do material.
43
Introdução à plasticidade
Cálculo das deformações principais finais 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑
44
Introdução à plasticidade
DADOS INICIAIS
• ε1, ε2, ε3 iniciais;
• σ1, σ2, σ3 aplicadas (finais);
• Curva σef x εef do material;
• “Caminho” seguido pelas tensões, desde o estado inicial até o final.
𝝈𝒆𝒇
𝝈𝒆𝒇,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒅𝜺𝒆𝒇
𝜺𝒆𝒇
𝒅𝜺𝒆𝒇
Iteração 1 Iteração 2
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Introdução à plasticidade
ETAPAS DE CÁLCULO
1. Calcular σef aplicada a partir de σ1, σ2, σ3 aplicadas (tensão efetiva de von Mises)
2. Calcular εef inicial e obter εef final na etapa considerada a partir da curva de fluxo e calcular dεef (dεef = εef final
- εef inicial)
εef inicial → No primeiro passo de deformação, requer informações do estado inicial do material. Nos passos seguintes, é a
deformação final do passo anterior.
σef → Curva σef- εef do material – equação de Hollomon → εef final
3. Calcular dε1, dε2, dε3 (Equações de Levi-Mises)
4. Calcular ε1, ε2, ε3 finais:
• ε1 final = ε1 inicial + dε1;
• ε2 final = ε2 inicial + dε2;
• ε3 final = ε3 inicial + dε3;
5. Reiniciar iteração até finalização da trajetória de deformação.
Cálculo das deformações principais finais 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑
46
Introdução à plasticidade
Exemplo
Uma barra de cobre cuja equação de fluxo é dada 𝝈𝒆𝒇 = 𝟒𝟎𝟎𝜺𝒆𝒇
𝟎,𝟓 foi inicialmente submetida a um
estado de tensões durante deformação a frio tal que 𝝈𝟏 = −𝟒𝝈𝟐 = −𝟒𝝈𝟑. Considerando que 𝝈𝟏 =
𝟏𝟎𝟎𝑴𝑷𝒂 qual o estado de deformação da barra após a aplicação destas tensões?
DADOS INICIAIS
• ε1, ε2, ε3 iniciais:
• ε1,inicial = ε2,inicial = ε3,inicial = 0
• σ1, σ2, σ3 aplicados:
• σ1,final= 100 MPa; σ2,final= σ3,final = -25 MPa
• Curva σef x εef do material:
• 𝜎𝑒𝑓 = 400𝜀𝑒𝑓
0,5
• “Caminho” seguido pelas tensões.
• A relação 𝝈𝟏 = −𝟒𝝈𝟐 = −𝟒𝝈𝟑 é obedecida de 0 a 100 MPa.
CALCULAR
εef,final ; ε1,final ; ε2,final ; ε3,final
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Introdução à plasticidade
Exemplo
1. Calculo de σef aplicada:
σef =
1
2
σ1− σ2
2 + σ1− σ3
2 + σ2− σ3
2 𝝈𝒆𝒇,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏𝟐𝟓𝑴𝑷𝒂
2. Calculo de εef inicial, εef final e dεef:
ε𝒆𝒇,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 =
𝟏𝟐𝟓
𝟒𝟎𝟎
𝟐
≈ 𝟎, 𝟏σef = 400εef
0,5
𝜀𝒆𝒇,𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟎
dε𝒆𝒇 ≈ 𝟎, 𝟏
48
Introdução à plasticidade
Exemplo
3. Calculo de dε1, dε2, dε3:
4. Calcular ε1, ε2, ε3 finais:
dε1 =
dεef
σef
σ1 −
1
2
σ2 + σ3
dε2 =
dεef
σef
σ2 −
1
2
σ1 + σ3
dε3 =
dεef
σef
σ3 −
1
2
σ1 + σ2
ቐ
ε1,final = ε1,inicial + dε1 = 0 + 0,10 = 0,10
ε2,final = ε2,inicial + dε2 = 0 − 0,05 = −0,05
ε3,final = ε3,inicial + dε3 = 0 − 0,05 = −0,05
dε1 =
0,1
125
100 −
1
2
−50 = 0,1
dε2 = dε3 e dε1 + dε2 + dε3 = 0
dε2 = dε3 = −0,05