Mecanica Classica

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Física | Mecânica Clássica 1
mecânica clássica
Marco Antônio dos Santos
Marcos Tadeu D’Azeredo Orlando
Universidade Aberta do Brasil
Universidade Federal do Espírito Santo
Física
Licenciatura
A1 Mecânica Clássica | Física
Este livro foi concebido com base em anos de expe-riência em novas formulações e desenvolvimento 
de aulas ministradas nos cursos de Mecânica Clássica 
para alunos de Física proferidos pelo Prof. Dr. Marco 
Antônio dos Santos, que é o atual (2012) coordenador 
do curso de Física da UFES. Com base nesse trabalho 
de pesquisa e didático, o Prof. Dr. Marco Antônio dos 
Santos me convidou para participar da elaboração 
deste livro tendo como base suas anotações e resu-
mos. Ressalto que a abordagem utilizada aqui é dife-
renciada e muito singular, trazendo novos elementos 
ao fascinante mundo da Mecânica Clássica.
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Núcleo de Educação Aberta e a Distância
Marco Antônio dos Santos 
Marcos Tadeu D'Azeredo Orlando
Vitória
2012
mecânica clássica
2
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(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)
Santos, Marco Antônio dos.
 Mecânica clássica / Marco Antônio dos Santos; Marcos Tadeu 
D'azeredo Orlando. - Vitória : UFES, Núcleo de Educação Aberta e a 
Distância, 2012.
 129 p. : il. 
 Inclui bibliografia.
 ISBN: 
 1. Mecânica. I. Orlando, Marcos Tadeu D'azeredo. II. Título. 
CDU: 531
S237m
Laboratório de Design Instrucional
3
4 Mecânica Clássica | Física
a cinemática da partícula ea cinemática do sólido 6
mecâ
nica 
newt
onian
a
39
mecânica na 
formulação Lagrangiana 78
mecânica na 
formulação Hamiltoniana 97
Física | Mecânica Clássica 5
a cinemática da partícula ea cinemática do sólido 6
mecâ
nica 
newt
onian
a
39
mecânica na 
formulação Lagrangiana 78
mecânica na 
formulação Hamiltoniana 97
6 Mecânica Clássica | Física
a cinemática da partícula e
a cinemática do sólido
1
Física | Mecânica Clássica 7
1. A Cinemática da Partícula
O problema fundamental da Mecânica Clássica se resume em des-
crever o movimento de um sistema (corpo, partícula ou sistema de 
partículas) sujeito a determinadas condições (forças, potenciais, vín-
culos, etc.). Mais especificamente, no formalismo newtoniano, dado 
uma partícula sujeita a determinada força, descrever seu movimento. 
Ou, inversamente, dada uma partícula se movimentando de determi-
nada maneira, descrever as forças que atuam sobre ela. Esta relação, 
entre forças e movimento, caracteriza o formalismo de Newton da 
Mecânica Clássica, com a grandeza vetorial força desempenhando 
um papel fundamental, enquanto que em outros formalismos, como 
os de Lagrange e Hamilton, as grandezas necessárias para a descri-
ção do movimento são basicamente as energias, cinética e potencial. 
Esta característica faz com que o formalismo Newtoniano seja um 
formalismo vetorial, sendo as grandezas vetoriais posição, veloci-
dade, aceleração e força fundamentais para esta descrição. Por isso 
o formalismo de Newton é muitas vezes chamado de formalismo 
vetorial, e sua mecânica é também chamada de Mecânica Vetorial, 
enquanto que os outros formalismos, que se baseiam em grandezas 
escalares como energia e coordenadas são também conhecidos como 
Mecânica Analítica. Neste curso iremos tratar inicialmente do for-
8 Mecânica Clássica | Física
malismo newtoniano, depois do formalismo lagrangiano, e por fim, 
do formalismo hamiltoniano. Importante frisar, e o faremos ao longo 
de todo este texto, que todos estes formalismos tratam do mesmo as-
sunto, qual seja, a descrição do movimento no âmbito da Mecânica 
Clássica. Quando o movimento se dá em situações de dimensões atô-
micas ou de velocidades muito grandes, próximas à da luz, as teorias 
que os descrevem são, respectivamente, a Mecânica Quântica e a Te-
oria da Relatividade, que estão fora do alcance deste Curso. Vamos 
então iniciar nossos estudos pela Mecânica de Newton.
Do ponto de vista puramente matemático, a descrição do movi-
mento de uma partícula, por exemplo, se realiza completamente com 
a caracterização da função vetorial r(t) ( ou das funções velocidade 
(v(t )) ou aceleração (a(t)), como veremos logo adiante), a posição 
em função do tempo. Em geral, dado um sistema cartesiano de ei-
xos com uma origem O, a posição da partícula em um determinado 
instante é representada pelo vetor posição r, que no instante t liga a 
origem O do sistema de eixos ao ponto P cujas coordenadas repre-
sentam esta posição. Usaremos frequentemente a notação
para representar o vetor com origem no ponto O e extremidade no 
ponto P.
Do ponto de vista da Física, tal sistema de coordenadas possui 
origem e eixos fixos em um referencial R, a partir do qual se ob-
serva o movimento da partícula. Este referencial é um objeto físico, 
diferente do sistema cartesiano, que é um objeto matemático. Mais 
ainda, o referencial é um corpo extenso e rígido, no qual se definem 
a origem e os eixos do sistema de coordenadas, e onde se encontra 
o observador. Assim, partícula, referencial e observador são elemen-
tos, ou ingredientes físicos fundamentais da Mecânica. A existência 
da partícula, objeto que se movimenta e do qual sabemos ter dimen-
sões desprezíveis, e que pode ser representada por um ponto, é su-
bentendida assim como a do observador, que se pode pensar como 
os instrumentos que medem posição, massa, peso, etc. Mas a exis-
tência do referencial é algo de maior importância para o físico, uma 
vez que seu estado de movimento é da maior importância no estudo 
do movimento da partícula. Assim, como o referencial é um corpo 
rígido e pode se movimentarem relação a outro referencial é de fun-
r = P - O = xx + yŷ + zz eq. 1
Física | Mecânica Clássica 9
damental importância conhecer a Cinemática do Corpo Rígido, o que 
faremos ao longo deste nosso estudo.
Retornemos ao problema matemático da descrição do movimento 
de uma partícula. De uma maneira geral, conhecida a função r(t), por 
meio de uma simples operação de derivação se obtém a função v(t), 
que por sua vez, também derivada fornece a(t). Inversamente, co-
nhecendo a(t), por uma integração se chega a v(t), que também pode 
gerar, via outra integração, a função r(t). Desta forma fica claro que 
para descrever o movimento de uma partícula, relativo a um sistema 
de coordenadas (que por sua vez encontra-se ligado a um corpo rí-
gido), basta obter qualquer uma das funções r(t), v(t) ou a(t), pois 
através de operações de derivações ou integrações se pode chegar 
sempre à função vetorial desejada, via de regra r(t). 
No apêndice 1 trataremos dos problemas matemáticos de escrever 
os vetores fundamentais da cinemática em diversos sistemas de co-
ordenadas. Os exemplos a seguir e alguns problemas propostos ao 
final deste Módulo encerram a questão da cinemática da partícula 
no contexto da formulação vetorial da Mecânica Clássica.
Resta, entretanto, a importante questão da Cinemática do Corpo 
Rígido, ou Cinemática dos Sólidos, uma vez que este se torna um 
tema fundamental para que se discuta o movimento de maneira 
correta - visto que todo referencial é um sólido. (Inclusive tere-
mos que tratar da questão fundamental da mudança de referen-
ciais e das forças que aparecem em referenciais não inerciais). 
Mas qual seria a maneira de descrever, por exemplo, a posição de 
um sólido? Um sistema rígido é constituído por uma distribuição 
contínua de massa que ocupa um determinado volume. Esta dis-
tribuição, cujas distâncias entre seus pontos permanecem fixas 
(por definição de um sistema rígido), pode, em princípio, ter seu 
movimento descrito a partir da descrição do movimento de cada 
um destes pontos. Ou seja, descrever o movimento de cada um 
dos pontos constituintes do sólido é uma maneira trivial de des-
crever o movimento do sólido, o que não aparenta ser uma tarefa 
simples. Ocorre que o estudo desta Cinemática pode ser muito 
simplificado se um pequeno e importante instrumento da Mate-
mática for conhecido antes, e este instrumento chama-se Cálculo 
Motorial. Este pequeno e importante tema será o nosso próximo 
objeto de estudo. Antes, porém, vejamos alguns exemplos que en-
volvem a cinemática da partícula.
10 Mecânica Clássica | Física
Exemplos 
1) Um tubo metálico, retilíneo e oco, encontra-se girando sobre uma 
mesa com velocidade angular constante e igual a w. No interior do 
tubo, uma formiga caminha com velocidade constante, em relação ao 
tubo, de módulo v, na direção paralela ao eixo de simetria do tubo e 
no sentido contrário ao ponto em que passa o eixo em torno do qual 
o tubo gira, que vamos tomar como origem de um sistema de coor-
denadas polar. Calcule a trajetória da formiga neste sistema polar su-
pondo que no instante inicial a formiga passava pela origem e o tubo 
passava pelo eixo polar, ou seja, em θ = 0.
Solução: 
Chamando de r a coordenada polar radial da formiga, podemos es-
crever que, de acordo com a condição inicial, r = vt. Também de 
acordo com a condição inicial podemos escrever que a coordenada 
angular polar θ pode ser descrita por θ = wt. Tomando t em ambas 
as relações e igualando os valores temos
Esta é a equação de uma espiral, em coordenadas polares, usual-
mente conhecida como espiral de Arquimedes.
2) Diz-se que uma partícula está animada de movimento central se a 
reta suporte de sua aceleração passar constantemente por um ponto 
fixo, que é usualmente chamado centro do movimento. São centrais, 
por exemplo, os movimentos dos planetas em torno do Sol, assim 
como são também centrais os movimentos dos elétrons no átomo clás-
sico de Bohr. Queremos demonstrar uma propriedade muito importante 
dos campos centrais que é a de que todo movimento central é plano.
Solução:
Considere a figura abaixo
r θ
v w= ⇒ θv = rw
o
Mo = r x v P
v
r
γ
Física | Mecânica Clássica 11
o ponto P representa a partícula em movimento sobre a curva γ e o 
ponto O, o centro do campo. O vetor MO é o momento da velocidade 
da partícula no ponto P em relação ao ponto O. Este vetor é cons-
tante no tempo uma vez que 
(o termo ṙ × v se anula uma vez que ṙ ≡ v e o termo r × v̇ se anula 
visto que a aceleração tem a direção do centro por definição). Mas se 
a direção definida por r e v é fixa, então o plano definido por estes 
vetores é único. Q. E. D.
3) Uma pequena esfera metálica é atirada verticalmente, de cima 
para baixo, sobre a superfície da água de uma lagoa. A esfera atra-
vessa a superfície e continua a se mover verticalmente no interior da 
água. Sabendo que em conseqüência da ação das forças que atuam 
sobre a esfera no interior da água a sua aceleração a é, em cada data 
t, vertical, dirigida de baixo para cima e tal que ‖a‖ = λ‖v‖, onde λ é 
uma constante positiva conhecida e v é a velocidade da esferazinha 
na data t, e sabendo, mais, que é igual a v0 a norma da velocidade da 
esferazinha imediatamente após ter atravessado a superfície da água 
da lagoa, deduza uma fórmula que permita calcular a velocidade es-
calar v da esferazinha em função da sua profundidade h abaixo da 
superfície da água da lagoa.
Solução:
que levado em (1) fornece: v = v0 - λh
Ṁo = ṙ x v + r x v = 0
λh
vo
→ e-λt = 1 - 
dv
dt
= - λv → v = voe
-λt
λ
dr = voe
-λtdt → h = 
voe
-λt
= - (e-λt - 1)t0
vo
λ
(1)
-
12 Mecânica Clássica | Física
2. Cálculo Motorial
Quando associamos a cada ponto do espaço o valor de uma grandeza 
física, temos o que os físicos chamam de um campo. Por exemplo, 
se associamos a cada ponto de uma região o valor da temperatura 
naquele ponto, falamos de um campo escalar (a temperatura é uma 
grandeza escalar), o campo das temperaturas. Se, por outro lado, fa-
lamos da força elétrica por unidade de carga associada a cada ponto 
do espaço, falamos de um campo vetorial, o campo elétrico. Os ma-
temáticos preferem falar em funções. Temos as funções escalares, 
as funções vetoriais, as funções uniformes, as funções constantes, 
etc. Vamos definir uma função vetorial particular, de tal forma que 
os vetores associados a cada ponto estão relacionados entre si de 
acordo com uma regra específica, comum a uma família de funções, 
ou campos. A este tipo especial de campo vetorial daremos o nome 
de Motor, ou Campo Motorial. Assim, todo campo motorial é um 
campo vetorial, mas nem todo campo vetorial é um campo motorial. 
Vamos à definição matemática.
Seja um conjunto n de vetores c1, c2,.....,cn aplicados respectiva-
mente nos pontos A1, A2,...., An. O momento deste conjunto de ve-
tores em relação a um ponto O é definido por
sendo ri = Ai - O o vetor posição do ponto Ai em relação ao ponto 
O. Desta forma, podemos associar a cada e qualquer ponto Q o ve-
tor MQ, o momento daquele conjunto de vetores, ci, em relação ao 
ponto Q. Temos então um campo vetorial . Veremos que este campo 
possui propriedades matemáticas comuns a muitos campos veto-
riais encontrados na Mecânica. Um campo vetorial assim definido 
usualmente é chamado de campo motorial.
É fácil ver que existe uma relação matemática entre os vetores 
associados aos pontos de um motor, que, aliás, é a propriedade que 
melhor caracteriza um campo vetorial como um motor. Veja que 
podemos escrever, conforme a figura 1, as coordenadas do campo 
ligadas aos pontos P e Q da seguinte maneira: 
MP = ri x ci
n
i = 1∑ 
MQ = r´i x ci
n
i = 1∑ 
M0 = ri x ci
n
i = 1∑ eq. 2
Física | Mecânica Clássica 13
Da figura se nota que podemos escrever r’i = (P-Q)+ ri na segunda 
expressão acima, de maneira que
onde usamos a definição . Ou seja, podemos escrever a relação
Esta é a principal relação do Cálculo Motorial, visto que ela define 
mesmo um campo motorial. Um campo vetorial cujas coordenadas 
ligadas aos seus pontos estão relacionadas desta forma é um campo 
motorial. Note que o vetor c não está relacionado a nenhum ponto em 
particular, mas é quem caracteriza a relação entre o valor do campo 
em um ponto com o valor em outro ponto. Esta relação é tão impor-
tante que recebe o nome de fórmula de Clifford, em homenagem ao 
grande matemático inglês do século XIX, Willian Kingdon Clifford, 
que foi quem estudou, pela primeira vez, o Cálculo Motorial.
Figura 1
A fórmula de Clifford nos informa que conhecemos todo o campo 
motorial, ou seja, conhecemos o vetor ligado a qualquer ponto Q, 
desde que conheçamos dois vetores: o vetor ligado a UM ponto, p.ex., 
o ponto P, e um vetor independente dos pontos, o vetor c na equação 
3. Por isso chamamos de coordenada livre o vetor c, e de coordenada 
ligada o vetor MP . Ou seja, bastam duas informações, duas coorde-
nadas vetoriais, usualmente representadas pelo par (MP, c) e conhe-
cemos todo o campo vetorial, se este for um motor. Esta seria apenas 
uma propriedade matemática interessante, não houvesse na Física 
alguns campos vetoriais muito importantes que se encontram nesta 
categoria. Um destes campos é aquele que nos motivou a fazer esta 
= 
n
i = 1∑ MP + (P - Q) x ci = MP + (P - Q) x c
MQ= = = +[(P - Q) + ri] x ci (P - Q) x ci 
n
i = 1∑ 
n
i = 1∑ ri x ci
n
i = 1∑ 
eq. 3MQ = MP + c x (Q - P) 
MP
MQ
Ai
ri r’i
ci
Q
P
14 Mecânica Clássica | Física
regressão matemática, ou seja, o campo vetorial formado pelas ve-
locidades associadas aos pontos de um corpo rígido em movimento. 
Neste caso as coordenadas ligadas são, naturalmente, as velocidades 
(vA) associadas a cada ponto do corpo, e a coordenada livre é o vetor 
velocidade de rotação do corpo, w. E é este fato de as velocidades dos 
pontos de um sólido se constituirem em um campo motorial, que faz 
a cinemática do sólido se tornar um assunto muito mais simples que 
seria caso não houvesse esta propriedade. Temos então
Outro exemplo físico de um campo motorial é o campo formado 
pelos vetores momento angular de um sistema de partículas, cada qual 
com momento linear p, associados aos diversos pontos de uma região. 
De maneira análoga aquela que nos levou à equação 3, podemos partir 
da definição de momento angular de um sistema de n partículas
e com o mesmo caminho utilizado em 3 chegar a
onde a coordenada livre é o momento linear total do sistema. De 
maneira análoga, podemos mostrar que vale para os torques de um 
sistema de forças a relação
onde agora é a soma das forças que faz o papel de coordenada livre. 
Embora seja um mero exercício chegar às eq. 5 e 6, não existe um 
caminho tão simples para mostrar que a eq.4 é válida. Para chegar 
a ela usaremos um teorema do Cálculo Motorial, que não julgamos 
conveniente demonstrar aqui, chamado de teorema discriminador (a 
demonstração deste teorema, embora não seja complicada, pode ser 
encontrada no livro Mecânica Vetorial, de L. P. M. Maia). A fim de 
usar este resultado na próxima seção, vamos enunciá-lo aqui:
L0 = ri x pi
n
i = 1∑ 
LQ = r´i x pi
n
i = 1∑ 
eq. 4vA = vB + w x (A - B)
eq. 5LQ = LO + P x (Q - O)
eq. 6NQ = NO + F x (Q - O)
Física | Mecânica Clássica 15
Teorema Discriminador: A condição necessária e suficiente para 
um campo vetorial ser um vetor é que sejam iguais entre si as com-
ponentes, segundo um eixo qualquer, dos vetores do campo asso-
ciados aos pontos do eixo.
3. A Cinemática do Sólido
Do ponto de vista da Mecânica um corpo rígido, ou um sólido, é uma 
distribuição contínua de massa com a propriedade, ou vínculo, de 
que a distância entre quaisquer dois pontos deste permaneça cons-
tante no tempo. Assim, escolhendo A e B como dois pontos quais-
quer do sólido, teremos que
‖ A - B ‖ = constante no tempo. 
Embora o movimento mais geral de um sólido seja, à primeira 
vista, bastante complicado de se descrever, existem dois casos espe-
cialmente simples e que, como veremos, servem de base para a descri-
ção mais geral. Trata-se do movimento puramente translacional e do 
movimento puramente rotacional. Vamos estudá-los em sequência.
Translação
O movimento puramente translacional é aquele em que o vetor que 
liga dois pontos quaisquer do corpo rígido permanece eqüipolente a 
um vetor fixo no referencial a partir do qual o movimento do corpo 
é estudado. Portanto, podemos escrever que, para quaisquer A e B 
pertencentes ao sólido em movimento translacional, temos:
A - B = constante no tempo.
Observe que o movimento de translação de um sólido não implica 
em trajetórias retilíneas para os pontos deste. O movimento da ca-
deira de uma roda-gigante é um exemplo clássico de um movimento 
de translação em que os pontos do sólido não descrevem um traje-
tória retilínea (e nem mesmo circular!).
É fácil perceber então que basta a descrição do movimento de 
UM ponto do sólido para que o movimento de todo o sólido esteja 
16 Mecânica Clássica | Física
descrito, uma vez que os vetores posição de todos os demais pontos 
do corpo, em relação ao ponto escolhido, permanecem constantes. 
E assim, a cinemática do movimento do sólido se reduz à cinemá-
tica do movimento de um ponto, assunto que já conhecemos da Ci-
nemática da Partícula. Para estabelecer de forma mais matemática 
esta conclusão, vamos colocá-la na forma de um teorema, e que 
pode assim ser redigido:
Teorema: Todos os pontos de um corpo rígido, com movimento 
puramente translacional, possuem, em cada instante, a mesma velo-
cidade e a mesma aceleração.
Demonstração: Considere que a figura 2 representa um corpo rí-
gido num momento em que este se move em translação, em relação 
ao referencial R. Podemos então escrever
Figura 2
rB = rA + rAB 
onde sabemos que rAB é um vetor constante no tempo. Podemos en-
tão derivar ambos os membros em relação ao tempo e obter (uma 
vez que a derivada temporal de rA é vA)
vA = vB 
Que por sua vez, também derivada em relação ao tempo fornece
aA = aB , q.e.d.
 
rAB
rA
rB
0
R
B
A
Física | Mecânica Clássica 17
Rotação
O movimento puramente rotacional é aquele em que dois pontos do 
sólido encontram-se em repouso em relação ao referencial em que 
este é observado. Estes dois pontos determinam uma reta, ∆, cha-
mada de eixo de rotação. Podemos mostrar que todos os pontos do 
sólido que se encontram sobre o eixo de rotação possuem, também, 
velocidade nula no referencial em pauta. Para se convencer disto, 
observe a figura 3, onde os pontos A e B são os pontos em repouso 
e que, por isso, definem a reta ∆:
Figura 3 
A equação vetorial que define a reta ∆ pode ser posta na forma
P - A = α(B - A), 
onde P representa um ponto qualquer da reta e α é um escalar ade-
quado a P e constante no tempo. Derivando em relação ao tempo 
esta equação temos:
Como = Ḃ = = 0, temos mostrado que Ṗ = 0, q.e.d.
Desta maneira, o único movimento que resta ao sólido é o de 
giro em torno do eixo ∆, como pode atestar a experiência. A este 
chamamos de movimento de rotação em torno do eixo ∆. Uma 
grandeza extremamente importante relacionada a este movimento 
é a velocidade de rotação, que iremos agora definir.
Na figura 4 representamos um sólido em movimento de rotação 
pura em um determinado referencial R, e escolhemos um sistema de 
B
A
S
R ∆
Ṗ - A = α(B - A) + α(Ḃ - A)
18 Mecânica Clássica | Física
eixos cartesianos fixo em tal referencial, de maneira que o eixo z 
deste sistema coincide com o eixo de rotação do sólido:
Figura 4
Seja P um ponto do sólido e P∆ o plano determinado por este 
pontoe o eixo ∆, de rotação. Estando o sólido em movimento de 
rotação em torno de ∆, o ângulo θ formado pelo plano e o eixo x é 
uma função do tempo, θ = θ(t). Definimos as derivadas primeira e 
segunda de θ em relação ao tempo respectivamente de velocidade 
angular e aceleração angular:
Percebe-se, por esta definição, que a velocidade angular in-
forma a respeito da rapidez com que o sólido gira em torno do 
eixo. Também é bastante intuitivo perceber que as velocidades de 
cada ponto do corpo são tão maiores quanto maior for a veloci-
dade angular, mas que para uma mesma velocidade angular a ve-
locidade de cada ponto é tão maior quanto maior a distância do 
ponto ao eixo de rotação. Tais informações podem ser obtidas com 
mais exatidão por uma investigação matemática muito simples a 
respeito de w e vP , a velocidade de cada ponto P do corpo. Tal 
investigação também nos revelará uma propriedade muito impor-
tante a respeito da Cinemática do Sólido.
Vamos escolher ainda um sólido em rotação em torno de um eixo 
que coincida com o eixo z do sistema cartesiano, como na figura an-
terior, apenas explicitando agora dois dos pontos do sistema S que 
definem ∆, os pontos A e B na figura 5, e vamos usar também o sis-
tema de coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z):
0
x
y
z
S
∆
θ
w = θ e α = θ 
Física | Mecânica Clássica 19
Figura 5
Em primeiro lugar, notemos que a trajetória de cada ponto P do 
sistema rígido S é uma circunferência de raio ρ e centro no eixo ∆, 
exatamente no ponto do eixo com a coordena z do ponto P: por um 
lado a distância CP (ρ) é constante pelo fato de o sistema S ser rígido e 
de z ser o eixo de rotação ( PB é constante e BC também), e por outro 
lado, a distância OC (z) também é constante pelo fato de serem ambos 
pontos do eixo de rotação. Logo, as condições ρ = cte. e z = cte de-
finem uma circunferência de raio ρ em coordenadas cilíndricas. 
Como apenas θ muda com o tempo é conveniente escrever o ve-
tor posição de P em coordenadas cartesianas, mas usando as coor-
denadas cilíndricas para escrever suas componentes. Temos então:
r = ρcosθx̂ + ρsenθŷ + zẑ
Como apenas θ depende de t, a velocidade será
Tomando o módulo desta última equação e chamando de w, po-
demos escrever que
que confere com aquilo que nossa intuição previa. Podemos, entre-
tanto, ir mais além se definirmos o vetor velocidade de rotação, 
como usualmente se faz, como um vetor que possui como módulo a 
velocidade angular w, a direção dada pelo eixo de rotação e o sen-
x
y
A
0
p
B
SC
Pr
z ∆
θ
eq. 7v = r = -θ ρsenθx + θρcosθŷ = θρ(-senθx +cosθŷ)
eq. 8v = wρ
20 Mecânica Clássica | Física
tido dado pela regra da mão direita, ou regra do parafuso, como 
queira, e conforme está ilustrado na figura 6:
Figura 6
Assim definido, o vetor velocidade de rotação para o caso em 
pauta na figura 5 é simplesmente w = wẑ, e podemos ver que o re-
sultado expresso na eq. 7 é simplesmente
que também pode ser escrito como
vP = w × (P - O) 
Para qualquer outro ponto Q do sólido vale a mesma relação, ou seja,
vQ = w × (Q - O)
A Regra da Mão Direita
O sentido do vetor velocidade de 
rotação de um sistema rígido S é aquele 
indicado pelo polegar da mão direita, 
supondo-se que se abarcasse com a mão 
direita o eixo ∆ de rotação do sistema S 
de uma forma tal que os outros dedos 
�cassem disposto no sentido no qual 
está girando o sistema S.
A Regra do Parafuso
O sentido do vetor velocidade de um 
sistema rígido S é aquele no qual avançaria 
um parafuso comum cujo eixo coincidisse 
com o eixo ∆ de rotação do sistema S e que 
se �zesse girar no mesmo sentido no qual 
está girando o sistema rígido S.
eq. 9vP = w x rP
Física | Mecânica Clássica 21
Tomando a diferença entre estas duas temos:
vP - vQ = w × (P - O) - w × (Q - O) = w × (P - O - Q + O) = w × (P - Q)
Ou seja,
que é a própria eq.4 acima. Então, pelo menos para o caso do mo-
vimento de rotação pura, acabamos de demonstrar que o campo 
das velocidades de um sólido é um campo motorial, cuja coorde-
nada livre é a velocidade de rotação. O que também é verdade para 
o movimento de translação pura, uma vez que neste caso w = 0 e 
então a eq.10 se resume a vP = vQ.
Mas o que afirmar a respeito do movimento mais geral de um só-
lido, que não é nem bem uma translação nem bem uma rotação? Pode-
ríamos compreendê-lo como alguma combinação dos dois? A resposta 
a esta questão foi dada por Euler em 1752, mais de um século antes do 
trabalho de Clifford, e portanto, sem a facilidade do Cálculo Motorial e 
que vai ser aqui chamada de Teorema de Euler, que resolve de maneira 
definitiva a questão central da Cinemática do Corpo Rígido:
Teorema de Euler: O movimento mais geral possível de um sistema 
rígido pode sempre ser pensado como constituído, em cada data t, pela 
superposição de dois movimentos rígidos simples: um de translação e 
outro de rotação. O movimento de translação poderá ser caracterizado, 
na data t, em geral, por uma qualquer dentre uma infinidade de pos-
síveis velocidades, enquanto que o movimento de rotação é caracteri-
zado, na data t, por uma, e somente uma, velocidade de rotação.
Demonstração: Sejam A e B dois pontos quaisquer de um corpo 
rígido. Podemos afirmar então que
 
‖A - B‖ = cte. ⇒ (A-B)2 = cte
 
Derivando em relação ao tempo, temos:
2(A - B) . (Ȧ - Ḃ ) = 0 → Ȧ.(A - B) = Ḃ.(A - B)
eq. 10vP = vQ + w x (P - Q)
22 Mecânica Clássica | Física
Dividindo ambos os membros por ‖A - B‖, teremos o unitário û na 
direção do eixo que liga o ponto A ao ponto B, ou seja:
Ȧ . û = Ḃ . û 
Ou melhor,
vA . û = vB . û 
O que nos mostra que, segundo o teorema discriminador que 
enunciamos ao final da última seção, o campo das velocidades dos 
pontos de um corpo rígido, em seu movimento, qualquer que seja 
este, é um campo motorial, e portanto, vale a relação
(A rigor, esta expressão deveria ser escrita como vA = vB + w’ × 
× (A - B), onde w’ não teria nenhuma relação a priori com o vetor ve-
locidade de rotação. Uma discussão mais detalhada a este respeito será 
feita no Apêndice 2.)
Mas então o teorema encontra-se demonstrado, visto que numa 
data t, qualquer que seja esta, as velocidades dos pontos do sólido 
constituem um campo motorial no qual a coordenada livre é a velo-
cidade de rotação. Pois escolhido UM ponto do sólido para com sua 
velocidade representar o movimento de translação ( e existe um infi-
nidade de escolhas possíveis pois são infinitos os pontos passíveis de 
serem escolhidos), resta uma única possibilidade para o movimento 
de rotação, pois a coordenada livre é única. 
Formalmente, então, a eq.11 resolve nosso problema de descre-
ver o movimento de um sólido. Embora uma série de conseqüências 
desta solução, assim como vários casos particulares importantes do 
movimento de um sólido possam agora ser estudados, nos limitare-
mos a esta conclusão geral, pois que esta será suficiente para resol-
ver o problema que por hora nos preocupa, qual seja, a questão da 
mudança de referenciais na mecânica vetorial, ou newtoniana. 
eq. 11vA = vB + w x (A - B)
Física | Mecânica Clássica 23
4. O Problema Cinemático da 
Mudança de Referenciais
Para encerrar a discussão a respeito da Cinemática vamos tratar 
do importante problema de relacionar a cinemática da partícula do 
ponto de vista de dois referenciais que se movimentam, um relativo 
ao outro. Ou seja, vamos tratar da questão específica de, sabendo 
quais são as grandezas cinemáticas, posição, velocidade e acele-
ração de uma partícula, do ponto de vista de um referencial, como 
ficam relacionadas estas com aquelas, posição, velocidade e acelera-
ção da mesma partícula, do ponto de vista de um outro referencial 
(ou corpo rígido) que se move em relação ao primeiro de forma co-
nhecida (querdizer, do qual conhecemos a velocidade de um de seus 
pontos e sua velocidade de rotação).
Como preliminar da questão acima vamos analisar como mudam 
as derivadas temporais de vetores, derivadas estas vistas de um ou de 
outro referencial. Vamos chamar de R’ um referencial inicial e de R 
um referencial que se mova em relação ao primeiro de maneira co-
nhecida. É fácil perceber que, por exemplo, um vetor que é constante 
no referencial R, para um observador que se movimente “junto” com 
este referencial (imagine o vetor que liga dois pontos do referencial 
R), não parecerá constante do ponto de vista de outro observador no 
referencial R’, visto que o “corpo” de R se move em relação a R’. Usa-
remos a seguinte notação em nossa análise: d/dt (ou um ponto sobre 
um vetor) será usada para designar a derivada temporal relativa a R’ 
e ∂/∂t para designar a derivada temporal medida por um observador 
em R. Mostraremos agora que, para um vetor genérico g vale a se-
guinte relação:
onde w é a velocidade de rotação de R em relação a R’. Quer dizer, se 
o movimento de R, em relação a R’, for de translação pura, as deri-
vadas temporais de vetores tomadas em ambos os referenciais coin-
cidem. Mas caso haja movimento de rotação de R, em relação a R’, 
vale a eq.12. Vejamos primeiramente uma derivada particular, a de 
um vetor unitário fixo em R. Considere a figura 7 abaixo:
eq. 12
dg
dt
∂g
∂t
= + w x g
24 Mecânica Clássica | Física
Figura 7
O unitário em x, representado na figura pelo vetor que liga os 
pontos A e O, que são pontos do sólido S, pode ser escrito como
x̂ = A - O, 
cuja derivada temporal, vista de R’ se escreve como (lembre que em 
nossa convenção o ponto serve para derivada tomada em R’)
 = Ȧ - 
Mas Ȧ e são as velocidades de A e de O vistas de R’. Então po-
demos escrever
 = vA - vO
Mas o Cálculo Motorial nos informa que que vA- vO= w × (A - O) 
= w × x̂. Portanto,
Relações análogas valem,obviamente, para as derivadas dos uni-
tários em y e em z, ou seja,
Estas relações são conhecidas como fórmulas de Poisson, pois foi o 
grande matemático francês do século XIX quem as primeiro escreveu.
0
S
x
y
z
A
R’
eq. 13x = w x x
eq. 14y = w x y
z = w x z eq. 15
Física | Mecânica Clássica 25
Agora, a fim de mostrar que vale a eq.12, vamos considerar 
um vetor g, descrito na base cartesiana associada ao referencial 
móvel, R, como
g = g1 x̂ + g2 ŷ + g3ẑ
 
Por hipótese o referencial R possui velocidade de rotação w re-
lativa ao referencial R’. Vamos tomar a derivada temporal deste ve-
tor, derivada esta como calculada por um observador em R’. Ou seja, 
queremos, em nossa convenção, dg/dt , ou ġ:
Considere por um lado a soma do primeiro com o terceiro e o 
quinto termo do lado direito: eles resultam em ∂g/∂t = ġ1x̂ + ġ2ŷ + 
ġ3ẑ, a derivada de g tomada em R. Por outro lado, os termos restantes 
podem ser reescritos usando as equações 13, 14 e 15, e se resumem a
Temos então, como consequência destes resultados a eq.12. q.e.d. 
A equação 12 é também conhecida como fórmula de Poisson, 
e será fundamental na solução do problema que nos propomos a 
resolver no início desta seção, qual seja, uma vez conhecido o mo-
vimento de uma partícula em relação a um dado referencial, des-
crever este mesmo movimento, mas do ponto de vista de um outro 
referencial, que se move em relação ao primeiro de forma conhe-
cida. Esta é a questão cinemática da mudança de referenciais. O 
problema dinâmico, isto é, como mudam as leis de movimento ao 
mudarmos de referencial, será objeto de estudo do próximo Mó-
dulo, do qual o atual é pré-requisito fundamental.
Vamos considerar a situação exposta na figura 8:
g = g1x + g1x + g2y + g2y + g3z + g3z 
dg
=dt
g1x + g2y + g3z = g1(w x x) + g2(w x y) + g3(w x z) = w x (g1x + g2y + g3z) = w x g
P
R
r
0’
R0
R’
R0x
y
z
26 Mecânica Clássica | Física
Nesta figura está representada a partícula no ponto P, descrito 
pelo vetor posição R em relação à origem O’ no referencial R’, onde 
está a observadora feminina, e descrito pelo vetor posição r em re-
lação à origem O no referencial R, referencial este representado na 
figura pelo sólido onde está o observador masculino, do qual conhe-
cemos, por hipótese, a velocidade do ponto O e também a velocidade 
de rotação, ambas em relação ao referencial R’. Ou seja, conhecemos 
o movimento do sólido, ou de R em relação a R’.
Considere a relação facilmente obtida desta figura, entre os veto-
res posição da partícula em relação a ambos os referenciais:
Vamos tomar a derivada temporal desta equação, mas do ponto 
vista do observador em R’. Temos:
Ṙ = R 
O 
 + r 
Claramente, podemos identificar Ṙ com V, a velocidade da par-
tícula em relação ao referencial R’, assim como ṘO com VO, a velo-
cidade do ponto O em relação também a R’. Para ṙ podemos usar a 
eq.12, e, identificando ∂r/∂t com v, a velocidade relativa, velocidade 
da partícula em relação a R, e escrever finalmente
Esta é a relação entre a velocidade da partícula, vista do refe-
rencial R’, e a velocidade da partícula, vista do referencial R, uma 
vez que se sabe que R se move em relação a R’ de acordo com as 
coordenadas (VO, w), ligada e livre, respectivamente do sólido S 
que representa R. A soma do primeiro com o terceiro termo do lado 
direito desta equação é normalmente chamada de velocidade de 
transporte, Vtr, pois é a velocidade que a partícula teria, relativa ao 
referencial R’, ainda que estivesse em repouso no referencial R, ou 
seja, apenas “transportada por este”.
Finalmente, tomando a derivada temporal em relação ao referen-
cial R’, desta última equação, obteremos uma relação envolvendo as 
acelerações vistas dos dois referenciais:
V̇ = V̇O + v̇ + ẇ × r + w × r 
eq. 16R = Ro + r
eq. 17V = Vo + v + w x r
Física | Mecânica Clássica 27
Vamos identificar o termo V̇ com A, a aceleração da partícula em 
relação ao referencial R’ e o termo V̇O com AO, a aceleração do ponto 
O também relativa a R’. Usaremos a eq.12 para reescrever o termo v̇ 
como ∂v/∂t + w × v = a + w × v (uma vez que identifiquemos a acele-
ração relativa ao referencial R, a, com ∂v/∂t ) e o termo w × ṙ como 
w × (∂r/∂t + w × r) = w × v + w × (w × r). Observe que o vetor w pos-
sui derivada temporal invariante ante uma mudança de referencial, 
como se pode notar da eq.12 tomando o vetor g como o próprio w. 
Escrevemos então:
A = AO + a + w × v + ẇ × r + w × v + w × (w × r)
 
Rearranjando os termos podemos escrever finalmente
Analogamente à definição feita relativa à velocidade, é comum 
chamar de aceleração de transporte a soma dos segundo, terceiro e 
quartos termos do lado direito desta equação, pelas mesmas razões 
anteriores, pois seria a aceleração de uma partícula fixa em relação 
ao referencial R, que estaria então sendo “transportada” pelo refe-
rencial. .As equações 16, 17 e 18 resolvem o problema cinemático 
da mudança de referenciais, pois relacionam os vetores posição, ve-
locidade e aceleração de uma partícula vistos de um referencial com 
os seus correspondentes vistos de um outro referencial que se move 
de maneira conhecida em relação ao primeiro. A equação 18 será 
de importância fundamental para o estudo que faremos no próximo 
módulo a respeito da Mecânica newtoniana.
Exemplos
4) Uma partícula se move no interior de um tubo rígido e retilí-
neo, com velocidade escalar, relativa ao tubo, constante e igual a 
μ, enquanto o tubo gira, num plano α, com velocidade angular, re-
lativa ao plano, constante e igual a w. Sabendo que na data esco-
lhida como inicial a partícula estava passando no ponto O do tubo, 
ponto este que é fixo em relação ao plano α, utilize a técnica de 
mudança de referenciais e calcule numa data genérica t: 1) a velo-
cidade da partícula em relação aoplano; 2) a aceleração da partí-
cula em relação ao plano.
eq. 18A = a + AO + w × (w × r) + ẇ × r + 2w × v
28 Mecânica Clássica | Física
Solução:
Figura 9
De forma coerente com a nomenclatura que temos usado neste 
texto, o referencial ligado ao tubo, Oxy, será o referencial R, aquele 
que se movimenta em relação ao referencial “fixo” R’, do sistema 
Ox’y’. Podemos então escrever, mantendo a notação que temos utili-
zado, a eq. 17 onde v = μx̂, VO = 0, w = wẑ e r = xx̂ = μtx̂ como
(Na figura estão representadas as velocidades de transporte e re-
lativa, que somadas fornecem a velocidade relativa ao referencial 
“fixo”.) Não há a menor dificuldade em exprimir esta velocidade no 
sistema ligado a R’, uma vez que se percebe facilmente da figura a 
validade das relações
Usando estas relações na eq. i obtemos:
V = μ[(coswt - wt sin wt) x̂’ + (sinwt + wt cos wt) ŷ’]
Deixamos ao estudante a tarefa de calcular, de forma análoga, 
as expressões das acelerações, seja em um referencial seja em outro.
y’
y x
x’
V
v
Vtr
ω
θ
0
eq. iV = μx + wẑ x μtx = μ(x + wty)
eq. ii
x = cosθx’ + sinθy’ = coswtx’ + sinwty’
y = -sinθx’ + cosθy’ = -sinwtx’ + coswty’
Física | Mecânica Clássica 29
5) O êmbolo do sistema mecânico representado na figura 10 fun-
ciona conjugado com uma manivela (na extremidade da haste as-
sociada ao êmbolo existe um pino que desliza ao longo de um 
sulco retilíneo existente na manivela). O êmbulo executa um mo-
vimento de vaivém, em relação ao plano α da figura, imprimindo, 
assim, um movimento oscilatória à manivela, que numa data ge-
nérica t faz um ângulo θ com o eixo Ox’ (que é paralelo à haste do 
êmbolo e é fixo no plano α) e a sua velocidade angular vale w. Os 
sistemas cartesianos Oxyz e Ox’y’z’ indicados na figura SAP são 
solidários à manivela e ao plano α, respectivamente. Sabendo que 
é igual a λ a distância da haste do êmbolo ao eixo Ox’ calcule, na 
posição genérica θ, a norma: 1) da velocidade v com que a extre-
midade da haste está se movendo relativamente à manivela; 2) da 
velocidade V do êmbolo em relação ao plano α; 3) da aceleração 
de Coriolis, acor, da extremidade da haste do sistema êmbolo-haste, 
caso sejam utilizados os dois seguintes referenciais: um, R, solidá-
rio à manivela, e outro, R’, solidário ao plano α.
Figura 10
Solução:
No sistema Oxyz temos que, mantendo coerência com a notação ado-
tada neste texto, a primeira parte da questão está respondida assim:
y’
v λ
θ
V
0
x
y
x’
ω
Vtr
v = xx
λ = xsinθ
⇒ v = - xθcotθx ⇒ ǁvǁ = |λwcotθcscθ|
30 Mecânica Clássica | Física
A segunda parte também é de simples solução, desde que lem-
bremos que em nossa notação, V0 = 0, w = wẑ e r = xx̂ = λcscθx̂, e 
portanto, w × r = wλ cscθŷ. Então a eq. 17 nos diz que:
V = VO + v + w × r = -λwcotθcscθx̂ + λwcscθŷ
O cálculo da aceleração de Coriolis é imediato:
acor = 2w × v = 2wẑ ×(-λwcotθcscθx̂) = -2λw2cotθcscθŷ 
6) Composição de velocidade angular 
 Vamos analisar a seguinte questão ilustrada na figura 11: se numa 
data t a velocidade angular de um sólido relativa a um referencial R1 
é dada por w1 , e na mesma data a velocidade angular do referencial 
R1 em relação a outro referencial R2 é w12 , qual será, nesta data, a 
velocidade angular do sólido referente a R2?
Figura11
Solução
Sejam ∂⁄∂t e d⁄dt as derivadas temporais relativas a R1 e R2 , respec-
tivamente. Sejam os pontos A e B do sólido, e em nossa notação fica 
claro que podemos escrever
∂⁄∂t (A - B) = vA - vB = w1 × (A - B) i 
d⁄dt (A - B) = VA - VB = w2 × (A - B) ii 
R2
R1
S
A
B
Física | Mecânica Clássica 31
Por outro lado, a fórmula de Poison, eq. 12, nos garante que
d⁄dt (A - B) = ∂⁄∂t (A - B) + w12 × (A - B) iii
Usando os resultados i e ii em iii temos:
w2 ×(A - B) = w1 ×(A - B) + w12 ×(A - B) ⇒ (w2 - w1 - w12) × (A - B) = 0 
A única solução para esta condição é então
w2 = w1 + w12
32 Mecânica Clássica | Física
Exercícios
1) Aos pontos P1 e P2 de uma haste rígida e retilínea estão ligados 
dois pinos que podem deslizar ao longo de dois sulcos retilíneos e 
mutuamente perpendiculares, conforme indicado na figura abaixo. 
Sabendo que na data t a haste forma com o sulco inferior um ângulo 
igual a θ e que o ponto P1 está então se movendo com uma velo-
cidade de norma igual a ‖v1‖, calcule qual será, na mesma data t, a 
norma da velocidade do ponto P2.
2) Uma partícula está animada de um movimento plano tal que as 
componentes polares de sua velocidade satisfazem, em cada ponto 
P ↔ P (r, θ) da sua trajetória, a seguinte condição: vr = λvθ, onde 
λ = cte. Calcule qual a trajetória da partícula, sabendo que foi re-
gistrado que em alguma data ela cortou o eixo polar no ponto cuja 
coordenada radial é igual a b.
3) O avião representado na figura estava voando horizontalmente 
com uma velocidade v0 no momento em que largou um objeto.
Supondo que a aceleração local da gravidade tenha um valor g = 
cte e que seja irrelevante a resistência oferecida pelo ar ao movi-
mento do objeto ( cuja velocidade escalar num ponto genérico da 
sua trajetória tem um valor igual a v), calcule: 1) a componente 
tangencial da aceleração do objeto, na data em que sua velocidade 
escalar tem o valor v; 2) a componente normal da aceleração do 
objeto, na data mencionada no item anterior; 3) o raio de curva-
tura da trajetória do objeto, correspondente ao ponto onde a sua 
velocidade escalar tem o valor v.
 
P2
P1
Física | Mecânica Clássica 33
4) A reta ∆ representada na figura é paralela ao eixo das abs-
cissas Ox do sistema de eixos cartesianos Oxy e a sua distância 
a esse eixo é constante e igual a h, enquanto que a reta ζ gira 
com velocidade angular w = cte em torno da origem cartesiana O, 
mantendo-se sempre no plano xOy. Considere o ponto I de inter-
seção das retas ∆ e ζ e calcule em função do ângulo θ indicado na 
figura: 1) a velocidade escalar com que o ponto I percorre a reta 
∆; 2) a velocidade escalar com que o ponto I percorre a reta ζ; 3) 
a aceleração tangencial com que o ponto I percorre a reta ∆; 4) a 
aceleração tangencial com que o ponto I percorre a reta ζ.
5) O bloco B e a polia P representados na figura têm dimensões 
desprezíveis e o bloco B está preso a uma das extremidades de um 
fio inextensível e que passa sobre a polia P ( que está situada a 
uma altura H acima do solo horizontal sobre o qual está apoiado 
o bloco). O extremo livre do fio está situado a uma altura h < H 
acima do solo e inicialmente os dois ramos do fio são verticais. A 
partir de um certo instante faz-se o extremo livre do fio se mover 
0
N
V
T
Hv0
y
x
P
0
θ
Δ
ωζ
Hh I
y
x
34 Mecânica Clássica | Física
com uma velocidade constante v0, da esquerda para a direita, per-
manecendo, porém, sempre a uma mesma altura h acima do solo. 
Sabendo que o bloco B e o extremo livre do fio se mantêm num 
mesmo plano, calcule a velocidade do bloco numa data genérica 
t e o intervalo de tempo transcorrido desde o instante inicial ( ins-
tante da partida) até o instante em que o bloco B atingiu a polia P.
6) O disco circular representado na figura tem raio igual a R, é rígido 
e está rolando, sem deslizar, sobre um piso horizontal. Sabe-se que é 
retilínea a trajetória descrita pelo centro C do disco e que todos os 
pontos deste se mantêm num mesmo plano vertical. A figura é cor-
respondente a uma certa data t, quando a velocidade do centro C do 
disco tinha norma igual a ‖vC‖ e O era o ponto do disco que estava 
em contato com o piso. Sabendo que as distâncias dos pontos A, B e 
D ao ponto O são respectivamente iguais a 3R/2, 2R e 5R/4, calcule 
as normas das velocidades de tais pontos, correspondentes à data t.
7) A, B e C são três pontos não colineares pertencentes a umsis-
tema rígido S. Sabendo que em cada data t tem-se que vA = vB = 
P
Vo
h
H
B
O
D
C
A
B
O
Física | Mecânica Clássica 35
vC, onde vA, vB e vC são as velocidades dos pontos A, B e C, res-
pectivamente, correspondentes à data t, demonstre que o sistema 
rígido S está animado de movimento puramente translacional.
8) O comprimento do raio da esfera fixa representada na figura vale 
R, enquanto que o da esfera menor e que rola sobre ela vale r. No ins-
tante em que o segmento de reta OC forma com a vertical um ângulo 
igual a θ a velocidade angular da esfera móvel vale w. Sabendo que 
a esfera móvel rola sem deslizar, calcule a velocidade do seu centro, 
no instante mencionado. (Todas as velocidades são relativas ao re-
ferencial onde a esfera maior é fixa, e ambas as esferas são rígidas.)
9) Na figura está representada uma seção plana e vertical de um he-
misfério, de raio R, cavado na rocha, e no interior do qual rola, sem 
deslizar, uma esfera rígida, de raio r < R. A seção representada con-
tém os centros O e C do hemisfério e da esfera rolante. Numa data 
genérica t a velocidade angular da esfera móvel é igual a w e o seg-
mento de reta OC que une os pontos O e C forma com a vertical um 
ângulo θ. Calcule: 1) a velocidade escalar do centro C da esfera ro-
lante, na data t; 2) o valor de na data t. ( Todas as velocidades men-
cionadas são relativas a um referencial solidário à rocha.)
R
r
C
O
θ
θ
R
O
O
36 Mecânica Clássica | Física
10) Na figura está representado um carretel, cujo raio de cada um 
dos dois discos externos tem um valor igual a R e a fita fica enro-
lada sobre um cilindro co-axial com os dois discos. Na data t a que 
a figura corresponde, a extremidade livre da fita estava sendo pu-
xada horizontalmente com uma velocidade escalar de valor igual 
a v e o raio da parte enrolada da fita era igual a r < R, conforme 
indicado na figura. Sabendo que o carretel rola, sem deslizar, so-
bre um plano horizontal, calcule qual a velocidade com que estava 
se movendo o seu centro, na data t.
11) Calcule a velocidade angular de um disco, relativa á Galáxia, 
sabendo que o disco está girando em torno do próprio eixo, verti-
cal e fixo em relação à Terra, com uma velocidade angular, rela-
tiva à Terra, igual a duas vezes a velocidade angular com que esta 
gira em relação à Galáxia (e que é wTG = 1 rotação/dia). Sabe-se 
que o disco está num ponto da Terra onde a vertical faz com o 
eixo polar um ângulo θ = 60°. Calcule, também, o valor do ân-
gulo φ que formam entre si as velocidades de rotação wDG e wTG do 
disco e da Terra, relativas à Galáxia.
θ
ωTC
ωDT
Física | Mecânica Clássica 37
12) As duas hastes rígidas, retilíneas e horizontais, representadas 
na figura, giram em torno de um eixo vertical, ∆, fixo em relação 
à Terra. Ao longo de cada haste desliza um bloco que é movimen-
tado ao longo das hastes com auxílio de um fio manipulado por 
um experimentador que está fazendo com que cada um dos blocos 
se mova, relativamente às hastes, com movimento uniforme, sendo 
a norma da velocidade de cada um deles igual a v. Escolha um sis-
tema cartesiano de eixos Oxyz cujos eixos Ox e Oz coincidam com 
as hastes e com o eixo ∆, respectivamente, e calcule, numa data 
genérica t, a norma: 1) da velocidade de transporte de cada bloco; 
2) a velocidade de cada bloco, relativa à Terra; 3) da aceleração de 
cada bloco, relativa às hastes; 4) da aceleração de transporte de 
cada bloco; 5) da aceleração de Coriolis de cada bloco; 6) da ace-
leração de cada bloco, relativa à Terra. Sabe-se que na data t as 
abscissas dos dois blocos são iguais respectivamente a b > 0 e –b 
e que a velocidade angular e a aceleração angular das hastes, rela-
tivas à Terra, são respectivamente iguais a w e α.
13) Um fio inextensível está enrolado sobre a periferia de um disco 
circular, de raio igual a R. Uma das extremidades do fio está presa a 
um suporte fixo em relação à Terra e o outro extremo está ligado ao 
disco. O disco partiu do repouso e está descendo de uma forma tal que 
o seu eixo se mantém horizontal e o seu centro se move percorrendo 
uma reta vertical. Solidário ao disco existe um sistema de eixos car-
tesianos Oxyz cuja origem O coincide com o centro do disco e cujo 
eixo das cotas (eixo Oz) se mantém horizontal. Uma formiga está se 
deslocando ao longo do eixo das abscissas (eixo Ox), movendo-se, em 
relação ao disco, com movimento uniforme, de velocidade escalar v 
> 0. No instante em que a formiga está a uma distância do centro do 
ω
Δ
38 Mecânica Clássica | Física
disco igual a ½ R, o eixo Ox está na vertical e dirigido de baixo para 
cima. Considerando o disco como referencial relativo e a Terra como 
referencial absoluto, e sabendo que desde o instante em que o disco 
iniciou o seu movimento até o instante em que a formiga atingiu a 
posição já mencionada transcorreu um intervalo de tempo igual a T 
e que a aceleração absoluta do centro O do disco tem norma igual a 
¾ g, calcule, na data T: 1) a velocidade de transporte da formiga; 2) a 
velocidade absoluta da formiga; 3) a aceleração de transporte da for-
miga; 4) a aceleração de Coriolis e a aceleração absoluta da formiga.
y
x
O
Física | Mecânica Clássica 39
mecânica newtoniana
2
40 Mecânica Clássica | Física
1. As Leis de Newton
A mecânica da partícula formulada por Isaac Newton (1642-1727) 
se fundamenta em três leis ou princípios básicos, que são popular-
mente conhecidos como as leis de Newton. Certamente o estudante 
deste curso já teve contato com tais princípios mais de uma vez, e 
seria pertinente que se perguntasse pelas razões para que se os es-
tude mais uma vez. Recapitulemos então que a possível primeira 
vez tenha sido nos estudos do Ensino Médio, quando se estuda a 
Mecânica de forma introdutória, apenas em situações mais simpli-
ficadas, como por exemplo, nos movimentos em que se pode abrir 
mão do Cálculo Vetorial e do Cálculo Diferencial. Depois, já no iní-
cio do Curso Superior e tomando contato com uma Matemática mais 
elaborada, se reestuda a mesma Mecânica, embora de forma mais 
avançada, exatamente pela posse de tais ferramentas matemáticas. 
Finalmente, já encerrando o Curso Superior, retorna-se ao tema de 
estudar a teoria de Newton da Mecânica. As razões para tal são vá-
rias, mas vamos nos ater a apenas algumas que podem ser conside-
radas suficientes para justificar tal “repetição”.
Em primeiro lugar, o aparato matemático necessário para a com-
preensão da teoria encontra-se mais familiar e mais maduro. Já não 
Física | Mecânica Clássica 41
se pode duvidar ou fraquejar ante o reconhecimento da natureza ve-
torial de determinadas grandezas como posição, velocidade, acele-
ração e força, apenas para citar algumas. E não há empecilhos para 
tratar com elas, quer dizer, manipular, calcular, etc. Também os con-
ceitos e as operações do Cálculo Diferencial e Integral são mais fami-
liares e mais maduros. Torna-se mais fácil entender que a velocidade 
de uma partícula SÓ pode ser definida e compreendida como uma 
DERIVADA da função posição em relação ao tempo. Então, esta re-
leitura torna-se obrigatória, ao menos do ponto de vista matemático.
Do ponto de vista físico, porém, existem questões fundamentais 
que precisam ser mais bem discutidas, a fim de que se adquira uma 
compreensão mais sólida da Mecânica de Newton. E entre elas, sem 
sombra de dúvida, está a questão do referencial. Via de regra, o es-
tudante que está cursando esta disciplina, já ao final de seu Curso de 
Graduação, compreende muito mal a questão do referencial. E não se 
pode culpar ao estudante, quando mesmo os professores e os livros 
texto fazem um tratamento deficiente e obscuro desta questão. Então, 
por exemplo, ao ser colocado para analisar uma situação que envolve 
a presençada força centrífuga, o estudante penetra em uma nuvem 
de raciocínios pouco claros e imprecisos para “decifrar” o enigma. Há 
uma força fictícia no problema? O que é mesmo uma força fictícia? 
Ela existe? É mesmo uma força? Mas se ela tem o mesmo módulo e 
sentido contrário à força centrípeta, a soma das duas é zero? Então 
o corpo se encontra em M. R. U., e não em uma curva? Elas formam 
um par ação e reação? Imagine-se dormir com um barulho desses.
Podemos dizer que a confusão a respeito da questão do referencial 
foi plantada mesmo no livro magistral de Isaac Newton, Philosophiae 
Naturalis Principia Mathematica, publicado em Londres em 1687. 
Ali Newton solucionou o problema do movimento que perturbava a 
mente humana por cerca de 2000 anos, desde Aristóteles, pelo me-
nos. De forma genial, Newton formulou uma teoria matematicamente 
consistente (para isso Newton desenvolveu o Cálculo Diferencial) e 
que resolveu de forma aparentemente definitiva a questão do movi-
mento, chegando inclusive, magistralmente, à correta descrição do 
movimento dos planetas e dos corpos celestes em geral. Havia, entre-
tanto, um pressuposto na construção teórica de Newton, que embora 
não leve necessariamente a nenhuma incorreção nesta teoria, neces-
sita de uma discussão mais profunda, a fim de desfazer a confusão 
42 Mecânica Clássica | Física
que em geral produz. Este pressuposto refere-se à própria concepção 
do movimento, tendo conseqüência direta na questão do referencial, 
como veremos neste Módulo. Este, por si só, já seria um fortissimo 
argumento para que uma releitura do formalismo newtoniano fosse 
feito. Mas existe ainda a questão da aparente simplicidade do con-
teúdo das leis de Newton, fato ilusório que em geral é responsável 
por induzir os estudantes a freqüentes erros na interpretação e apli-
cação da teoria. Vamos então aproveitar a oportunidade deste Curso 
para refinar nossa compreensão da teoria de Newton, tanto do ponto 
de vista conceitual quanto prático, pois nos dedicaremos também a 
resolver problemas que envolvam situações matematicamente mais 
avançadas que aquelas encontradas no Curso Básico.
Antes mesmo de analisar as leis de Newton vamos tentar enten-
der o conceito Newtoniano de força. Em sua teoria Newton conside-
rava força como um agente, que atuando sobre uma partícula, fosse 
capaz de alterar o seu estado de movimento. Assim, estando uma 
partícula em repouso, esta sairia deste estado se um agente realizasse 
uma ação sobre ela, e esta ação seria representada pela grandeza 
força atuante sobre a partícula. O mesmo aconteceria em qualquer 
outra situação em que fosse alterado o estado de movimento, ou a 
velocidade, de uma partícula. Assim podemos já notar que em sua 
teoria, Newton considerava força como o resultado de uma intera-
ção, alguém ou algo no ambiente deve atuar sobre a partícula para 
que esta sofra a ação de uma força. Quer dizer, força pressupõe inte-
ração. Neste texto chamaremos de força de interação aquilo que era 
entendido apenas como força por Newton e seus seguidores. 
Vamos então à análise das leis de Newton, começando pela pri-
meira lei, que foi assim enunciada pelo próprio Newton em sua 
obra acima citada: 
Lei I – Cada partícula permanece em seu estado de repouso, ou em 
movimento retilíneo e uniforme, a não ser que seja compelida a al-
terá-lo por forças que atuem sobre ela.
Realmente, alguns autores consideram que tal lei pode mesmo 
ser compreendida como uma definição qualitativa de força. De fato, 
este é um ponto de vista coerente com a análise que fizemos ante-
riormente sobre o conceito de força usado por Newton ( assim como 
Galileu e seus contemporâneos). Entretanto, partindo do princípio de 
Física | Mecânica Clássica 43
que tal definição já fosse subentendida, esta pode ser vista como uma 
definição da inércia, sendo por isso a primeira lei frequentemente 
chamada de lei da inércia. Galileu já havia “compreendido” que os 
corpos possuem esta propriedade, como se pode ver desta passagem 
retirada de seu livro Discorsi Intorno a Due Nuove Scienze, de 1638: 
Imagine uma partícula qualquer lançada sobre um plano horizon-
tal, sem atrito; se o plano for ilimitado, a partícula se moverá sobre 
ele com movimento uniforme e perpétuo.
É importante notar que a primeira lei também pode ser enunciada 
em sua forma mais moderna como a lei da conservação do momentum:
É constante o momentum de uma partícula, a não ser que seja 
diferente de zero a soma das forças que atuam sobre ela.
A segunda lei de Newton, ou o princípio do momentum linear, 
como também é chamada, pode ser assim enunciada ( e de fato assim 
o foi por Newton em seu Principia):
Lei II – A soma das forças que atuam sobre uma partícula é igual à 
derivada temporal do seu momentum linear.
Debruçado sobre o trabalho experimental e matemático de Gali-
leu, Newton relacionou de forma concisa a força com a aceleração, 
conforme podemos ver matematicamente, escrevendo o momentum 
linear como o produto da massa pela velocidade:
Na situação particular em que a massa da partícula é constante 
o primeiro termo do lado direito é igual a zero, e então (e só en-
tão) podemos escrever
que é a forma mais comum em que encontramos a segunda lei es-
crita. Enfatizando, foi Galileu Galilei quem, cerca de um século 
antes de Newton e após uma criteriosa investigação experimental 
descobriu que a força estaria relacionada com a aceleração e não 
com a velocidade como até então se cria, desde a época de Aris-
F = ṗΣ eq. 1
F = = = v + m 
dp
dtΣ
d(mv)
dt
dm
dt
dv
dt
F = maΣ eq. 2
44 Mecânica Clássica | Física
tóteles, o sábio grego que viveu a mais de três séculos antes de 
Cristo. E Newton colocou esta relação como a relação central, em 
certo sentido, de sua construção teórica.
Rigorosamente falando, Galileu concluiu a partir de suas inves-
tigações experimentais, que existia uma relação direta entre força 
e aceleração, mas não usou a massa da partícula como a constante 
de proporcionalidade entre ambas. Por outro lado, Newton, como 
observamos anteriormente, escreveu sua segunda lei como na eq.1, 
portanto, sem usar a forma que envolve a massa como na eq.2. A 
massa, como na eq.2, só foi introduzida por Leonhard Euler, grande 
físico suíço que viveu no século XVIII entre a Rússia e a Alemanha, 
em um artigo seu datado de 1750, portanto quase um século após a 
publicação do Principia de Newton.
Por fim, vale enfatizar que as forças presentes no enunciado da 
segunda lei de Newton, não são fornecidas pela teoria da mecânica, 
mas apenas pela experimentação. As formas das diferentes forças 
(de interação) que existem na Natureza são investigadas e deter-
minadas no laboratório, de forma experimental, e não como fruto 
da teoria em que são utilizadas ( por exemplo, a força produzida 
por uma mola esticada é determinada experimentalmente, e sabe-
mos então que é do tipo –kx. O mesmo vale para todas as forças de 
interação, peso, atrito, tensão, atração elétrica, etc.). Por isso, para 
aplicar esta teoria ao movimento de uma partícula, é a experiência 
que nos diz quais são as forças (e como são) que aparecem no lado 
direito daquela equação. Sabendo disso, Newton deu enorme valor 
a um princípio que ajuda de maneira muito valiosa na investigação 
das forças que atuam sobre a partícula, e o colocou, por causa disso, 
como terceiro princípio em sua construção:
Lei III – Sempre que uma partícula, 1, estiver exercendo uma força 
sobre uma outra, 2, esta outra estará, também, reciprocamente, exer-
cendo uma força sobre a partícula 1, e tais forças terão, sempre, nor-
mas iguais, mesma direção e sentidos opostos.
Embora pareça o mais simples de se compreender, este princí-
pio induz muitos erros nos principiantes, principalmente porque 
se esquece muito frequentemente, de um detalhe fundamental ali 
presente:a afirmação diz respeito à interação entre DOIS corpos, 
ou partículas. A ação que um corpo sofre tem por consequên-
Física | Mecânica Clássica 45
cia uma reação que atua em OUTRO corpo, portanto, este par de 
forças NUNCA age sobre UM corpo apenas. Como um exemplo 
simples de como se faz com facilidade muita confusão com este 
fato vamos analisar a situação de um livro em repouso sobre uma 
mesa, conforme ilustrado na figura abaixo.
Figura1
Nesta situação, como o livro encontra-se em repouso, o estudante 
mais afoito entende que as forças peso e reação normal devem ser 
iguais e opostas, e por isso, imediatamente as consideram um par 
ação e reação. Entretanto, uma análise mais atenta o fará ver que a 
força P é exercida pela Terra sobre o livro; portanto, a reação cor-
respondente é uma força igual a –P que reage sobre o planeta, e NÃO 
está representada na figura. O livro não se movimenta na vertical 
porque A MESA exerce também uma força sobre o livro, de mesma 
intensidade e direção que a força exercida pela Terra, mas de sen-
tido oposto, e portanto, equilibrando a ação da força peso. Esta força 
exercida pela mesa sobre o corpo possui uma reação, que é a força 
exercida pelo corpo SOBRE A MESA, e que também não está repre-
sentada na figura, visto que é o estado de movimento do livro que 
estamos investigando, e não o estado de movimento da mesa!
Estas são as leis de Newton que constituem a base, o cerne, da 
Mecânica Clássica, aquela que trata do movimento em situações 
de velocidades baixas em comparação com a velocidade da luz 
(caso contrário necessitamos da Mecânica Relativística) e em di-
mensões acima da escala atômica (caso contrário necessitamos da 
Mecânica Quântica). Este quadro teórico, o conteúdo desta leis, 
está longe de ser simples ou intuitivo, conforme uma primeira im-
pressão possa sugerir. Rigorosamente, nem mesmo a compreensão 
P
N
46 Mecânica Clássica | Física
do que seja a velocidade de um corpo em um determinado instante 
é possível sem o auxílio do Cálculo Diferencial. Entretanto, existe 
uma questão muito importante que precisamos tratar antes de dar 
por encerrada esta discussão, que é questão do referencial, já ci-
tada anteriormente. Note, de passagem, que as leis anteriores, em 
especial as duas primeiras, na forma que estão enunciadas, não fa-
zem absolutamente nenhum sentido. Pois que sentido faz dizer que 
uma partícula se encontra em repouso sem especificar em relação 
a que, ou a quem? Vamos então direto à questão.
2. O Movimento e o Referencial
Vamos iniciar esta análise com o conceito de movimento de Newton 
na elaboração de sua Teoria. Do ponto de vista de Newton existiria 
um espaço absoluto, no qual estaria embebido todo o Universo, e em 
relação ao qual haveria o que ele chamou de movimento absoluto 
(ou verdadeiro). Newton estava convencido de que só teria sentido 
falar em movimento em relação ao espaço absoluto, e sua teoria tra-
tava DESTE tipo de movimento. Vejamos em suas próprias palavras:
O espaço absoluto, em sua própria natureza, sem relação com 
qualquer coisa externa,permanece sempre idêntico e imóvel. (Newton 
– Principia, p. 6)
O movimento em relação a OUTROS referenciais, que se movem 
em relação ao espaço absoluto, seria um movimento relativo (ou fic-
tício), do qual sua teoria não trataria. A fim de ilustrar melhor sua 
concepção, no próprio Principia ele examina uma experiência céle-
bre, a experiência do balde d’água, em que mostra estar convencido 
de que o movimento fictício não obedeceria seu tratamento teórico, e 
portanto, suas leis não tratariam deste movimento. Em suas palavras:
Os efeitos que distinguem o movimento absoluto do movimento 
relativo são as forças que agem sobre os corpos que giram, e que 
tendem a afastá-los dos eixos de seus movimentos circulares. Pois 
que, num movimento puramente relativo tais forças não existem, en-
quanto que num movimento circular verdadeiro e absoluto elas são 
maiores, ou menores, de acordo com a intensidade do movimento.Se 
um balde, suspenso por uma corda longa, for girado um grande nú-
mero de vezes sobre si mesmo, de forma que a corda fique bastante 
Física | Mecânica Clássica 47
torcida, e em seguida enchido com água e mantido em repouso jun-
tamente com a água e, em seguida, pela ação brusca de uma força 
for posto a girar no sentido oposto ao inicial, enquanto a corda for 
se desenrolando por si mesma o balde continuará por algum tempo 
o seu movimento, mas a superfície da água a princípio se manterá 
plana, como era antes do balde começar a girar;mas, após o balde ir 
gradualmente comunicando o seu movimento à água, ela começará 
a girar sensivelmente e irá se afastando pouco a pouco do centro 
e elevando-se nas bordas do balde, formando uma figura côncava 
( como eu verifiquei), e, quanto mais rápido for se tornando o seu 
movimento, mais alto a água irá se elevando, até que, finalmente, 
realizando suas revoluções no mesmo tempo que o balde, ela ficará 
em repouso relativamente a ele.Essa ascensão da água mostra o seu 
esforço para se afastar do eixo do seu movimento, e o movimento cir-
cular verdadeiro e absoluto da água, o qual é aqui diretamente con-
trário ao relativo, torna-se conhecido e pode ser medido através de 
tal esforço. No início, quando o movimento relativo da água no balde 
era máximi, ele nãp produzia nenhum esforço para afastar do seu 
eixo: a água não mostrava tendência alguma para se dirigir para a 
circunferência, nem qualquer ascensão sobre a parede do balde, mas, 
permanecia com sua superfície plana, e, portanto, o seu movimento 
circular verdadeiro não havia ainda sido iniciado. Mas, em seguida, 
quando o movimento relativo da água havia diminuído, a ascensão 
sobre a parede do balde provava o seu esforço de se afastar do eixo de 
rotação; e esse esforço mostrava o movimento circular real da água 
crescendo continuamente até atingir o seu maior valor, quando, en-
tão, a água estava em repouso relativamente ao balde. E, portanto 
tal esforço não depende de qualquer translação da água em relação 
aos corpos locais, nem pode o verdadeiro movimento ser definido por 
uma tal translação. Existe um único movimento circular real de um 
corpo, correspondente a um determinado esforço de afastamento de 
seu eixo de movimento, mas, movimentos relativos, correspondentes 
a um mesmo corpo, são inumeráveis, conforme as várias relações 
que ele mantenha com os corpos externos, e, semelhantemente a ou-
tras relações, são, em conjunto, destituídos de qualquer efeito real. 
(Newton – Principia, p.10-11)
Esta concepção, aliada à primeira lei, fez com que por muito tempo 
prevalecesse a idéia de que as leis de Newton só seriam válidas rela-
tivas a certo tipo de referencial. Este seria o espaço absoluto ou qual-
48 Mecânica Clássica | Física
quer outro que se mova com velocidade uniforme em relação a ele. 
Pois como o movimento verdadeiro ( ao qual dizem respeito suas leis) 
se dá em relação ao espaço absoluto e a primeira lei coloca em pé de 
igualdade o referencial ligado ao espaço absoluto com outro que se 
mova com velocidade uniforme em relação a este, é em relação a esta 
classe de referenciais que são válidas as leis de Newton. Tal classe de 
referenciais é modernamente chamada de referenciais inerciais. As-
sim, a Mecânica de Newton estaria restrita a descrever os movimentos 
em relação a referenciais inerciais e, ainda, só compreenderia como 
forças aquelas aqui chamadas de forças de interação. 
Lembremos da observação feita, quando discutimos a segunda lei 
de Newton, a respeito do conhecimento experimental que possuímos 
a respeito das forças de interação. É importante frisar que o mesmo 
conteúdo experimental se encontra na identificação dos referenciais 
inerciais (uma vez que ninguém, até os dias atuais, localizou onde 
se encontra o espaço absoluto). É através da experiência,somente 
dela e dentro de certo grau de precisão, que sabemos, ou estabele-
cemos um referencial como inercial ou não. Por exemplo, sabemos 
que a Terra não é um referencial exatamente inercial, pois que além 
de percorrer uma trajetória elipsoidal em torno do Sol, ainda gira 
em torno de seu próprio eixo. Entretanto, para a grande maioria dos 
experimentos que aqui realizamos, e dentro de nossa precisão de 
medidas, esta se pode considerar um referencial inercial. Quer dizer, 
munidos das leis de Newton e considerando apenas a ação das forças 
de interação, damos cabo “perfeitamente” das questões mecânicas 
que nos rodeiam. Por outro lado, sabemos perfeitamente (é simples 
de se detectar) que, por exemplo, quem se encontra no interior de 
um jato em processo de decolagem, encontra-se em um referencial 
não inercial (não é necessária grande precisão em medidas para se 
verificar que as leis de Newton não são válidas ali, ao menos en-
quanto somente as forças de interação são levadas em conta).
Daí a grande confusão, por exemplo, que reina em relação à exis-
tência da força centrífuga. Parece que ela só existe no terreno dos 
fantasmas, das coisas irreais. Ela é chamada inclusive de força fictí-
cia. Esta é a realidade encontrada, por exemplo, na imensa maioria 
de livros texto, seja de nível secundário seja de nível superior. Ou 
seja, reina uma grande confusão no que diz respeito às bases da te-
oria de Newton, confusão esta que, diga-se de passagem, possui sua 
origem no próprio trabalho de Newton. Entretanto, é bom lembrar 
Física | Mecânica Clássica 49
que nunca faltaram discordâncias ao longo da história com esta 
concepção newtoniana de movimentos absolutos. Mesmo em sua 
época Newton encontrava críticos à sua altura que propunham uma 
construção diferente e que eram, vemos agora, mais de acordo com 
as teorias que se sucederam na Física, até mesmo as mais modernas, 
como sabemos. Não que esteja errada, de forma alguma, a concep-
ção de Newton (ao menos enquanto não pudermos comprovar EX-
PERIMENTALMENTE que o espaço absoluto não existe). Ocorre que 
esta é uma hipótese que restringe bastante a teoria, além de tornar 
mais confusa e limitada sua aplicação. Vejamos então que alterna-
tiva se tem para o espaço absoluto e os movimentos verdadeiros de 
Newton (e de uma corrente newtoniana que ainda hoje propaga, em-
bora sem o saber, sua hipótese absoluta).
Apenas para citar alguns, lembremos que se opunham ao con-
ceito newtoniano de movimento já em sua época o filósofo e mate-
mático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646- 1716), o filósofo 
irlandês George Berkeley ( 1685- 1753), já no século XIX o físico 
escocês James Clerk Maxwell ( 1831- 1879), e o grande físico e filó-
sofo austríaco, que deu enorme contribuição à concepção da Teoria 
da Relatividade, Ernest Mach ( 1838- 1916). A tese prevalecente em 
contraposição à idéia de Newton de espaço absoluto e movimento 
verdadeiro é a de que TODO MOVIMENTO É RELATIVO. Pode até 
mesmo existir tal espaço absoluto, mas este não é imprescindível 
para se estudar o movimento. E partindo deste pressuposto, resta-
nos responder apenas à questão: como descrever o movimento de 
uma partícula no sentido mais geral, ou seja, sem restringi-lo a ser 
“verdadeiro” ou “absoluto”? Quer dizer, do ponto de vista de um ob-
servador em um referencial qualquer, não necessariamente inercial?
Para isso, vamos recuperar a última equação do Módulo ante-
rior, a eq. 18, apenas multiplicada por m, a massa da partícula, 
em ambos os lados:
mA = ma + mAO + mw ×(w × r) + mẇ × r + 2mw × v
Ou melhor, escrevamos assim:
eq. 3ma = mA - mAO - mw × (w × r) - mẇ × r - 2mw × v
50 Mecânica Clássica | Física
Vamos nos reportar à figura 8 do Módulo anterior, da qual deriva-
mos a equação 18, e por conseqüência a equação 3 acima. Considere 
que o referencial R’ seja um referencial inercial, ou seja, considere 
que se possa escrever
mA = ∑Fint 
como nos garante a segunda lei de Newton e vamos chamar de for-
ças inerciais os quatro termos restantes no lado direito da equação 
3, ou seja,
-mAO - mw ×(w × r) - mẇ × r - 2mw × v = ∑Finer 
Podemos então escrever 
Ou seja, esta equação, que é bastante semelhante com a que esta-
belece a segunda lei de Newton, vale em um referencial QUALQUER, 
e não apenas nos inerciais. Só que agora, diferente da eq.2, temos 
que ∑F = ∑Fint + ∑Finer, ou seja, as forças estão divididas em duas 
categorias, as forças de interação, que já conhecíamos, e as forças 
inerciais, que são apenas quatro, as assim chamadas:
E = -mAO → Força de Einstein 
C = -mw ×(w × r) → Força Centrífuga
E* = -mẇ × r → Força de Euler
C* = -2mw × v → Força de Coriolis 
Em resumo, a equação 4 é a segunda lei de Newton generalizada, 
pois pode ser aplicada em QUALQUER referencial, para descrever 
QUALQUER movimento. Ocorre que, caso o referencial em uso seja 
inercial, esta se reduz à equação 2, a segunda lei de Newton usual 
na literatura. O que nossa descrição tem de diferencial da descrição 
inercial é que as forças que entram na equação de movimento são 
as forças de interação MAIS as forças inerciais, que são no máximo 
quatro, dependendo do movimento que o referencial em questão 
possua em relação a um referencial inercial. Veremos logo adiante 
exemplos de situações onde estas quatro forças ocorrem.
F = maΣ eq. 4
Física | Mecânica Clássica 51
O formalismo que estamos estudando, entretanto, é ainda o for-
malismo newtoniano. Apenas abrimos mão de uma hipótese (a da 
existência de um espaço absoluto) que leva a limitações e interpreta-
ções confusas em prol de um outro argumento (a de que todo movi-
mento é relativo) que torna a teoria mais clara, ampla e concordante 
com pontos de vista mais modernos. Enquanto a “velha” teoria de 
Newton leva a uma Física invariante ante transformações de Gali-
leu ( transformações que levam de um referencial inercial a outro, 
que se move com velocidade constante em relação ao primeiro ) essa 
“nova” teoria Newtoniana leva a uma Física invariante ante uma 
transformação mais geral que a transformação de Galileu (a Física 
é a mesma em qualquer referencial). Por exemplo, esta interpretação 
está de acordo com um postulado fundamental da Teoria da Relati-
vidade Geral, o Princípio da Equivalência. Desta forma, resta com-
preender melhor os tipos de força que existem na Natureza, dentro 
de nossa realidade Clássica (não-quântica e não-relativística). É o 
que procuraremos fazer na última parte deste Módulo.
3. As Forças na Mecânica de Newton
 
Conforme vimos anteriormente, as forças do formalismo newto-
niano mais geral podem ser agrupadas em duas categorias, quanto à 
sua natureza: as forças de interação e as forças inerciais. Enquanto 
que as forças de interação possuem uma grande diversidade de tipos 
e natureza as forças inerciais são apenas quatro. Por essa razão, fa-
remos uma análise mais detalhada de situações que ilustrem o me-
canismo das forças inerciais, até porque algumas delas são pouco 
familiares mesmo ao estudante neste nível de Curso. 
Forças de Interação
Basicamente, podemos separar as forças de interação em dois gran-
des grupos: as forças de contato e as forças de ação à distância. Como 
forças de contato mais comuns temos as forças empurrar ou puxar 
seja através de cordas, hastes, molas, superfícies, meios (viscosos), 
etc. A cada uma delas cabe à experiência (como já dissemos ante-
riormente) a descrição mais detalhada de sua forma de ação. As for-
ças de atrito, por exemplo, dependem da natureza atômico-molecular 
52 Mecânica Clássica | Física
das superfícies envolvidas e podem, em geral, ser caracterizadas por 
um coeficiente, que por sua vez pode variar com uma série de fato-
res ( temperatura, velocidade, etc.); dependem também, diz a expe-
riência, da força normal exercida pela superfície de contato. A força 
elástica