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Na prova final serão cobrados conteúdos desde as Unidades de Aprendizagem (UA’s) que contemplem conteúdos desde Vigas (conceitos fundamentais, diagramas de esforços solicitantes), Vigas Rotuladas (conceitos fundamentais, diagramas de esforços solicitantes) até Treliças. VIGAS: TIPOS E DIAGRAMAS VIGAS: TIPOS E DIAGRAMAS VIGAS: TIPOS E DIAGRAMAS VIGAS: COMPORTAMENTO ESTRUTURAL VIGAS: COMPORTAMENTO ESTRUTURAL VIGAS: COMPORTAMENTO ESTRUTURAL FORÇAS INTERNAS EM VIGAS E EIXOS Tem-se que: ∑H=0;HA=0∑V=0;VA+VB=10m*10kN/m=100kN ∑H=0;HA=0 ∑V=0;VA+VB=10m*10kN/m=100kN De modo que (dada a simetria do problema): VA=VB=50kN (apontando para cima)VA=VB=50kN (apontando para cima) Fazendo o diagrama, nota-se que o valor do cortante em A é de 50kN positivos, decrescendo de forma linear à taxa de 10kN/m até o valor de -50kN em B. FORÇAS INTERNAS EM VIGAS E EIXOS d) O momento fletor máximo é positivo, encontra-se no meio da viga e tem como valor 125,0kNm. RESPOSTA CORRETA Este valor é encontrado a partir do cálculo das reações de apoio da viga e do carregamento. Para a viga abaixo Tem-se que: ∑H=0;HA=0∑V=0;VA+VB=10m*10kN/m=100kN ∑H=0;HA=0∑V=0;VA+VB=10m*10kN/m=100kN∑H=0;HA=0 ∑V=0;VA+VB=10m*10kN/m=100kN De modo que: VA=VB=50kN (apontando para cima)VA=VB=50kN (apontando para cima) A equação para o esforço de momento fletor pode ser escrita da seguinte forma (onde x está em metros e começa em A e vai em direção de B): M=50kN*x−10kNm*x22 Assim: dMdx=50kN−10kNm*x=0 O valor de x que leva ao momento máximo/mínimo é x=5m. Para este valor de x, resulta: Mmax=250kNm−125kNm=125kNm FORÇAS INTERNAS EM VIGAS E EIXOS a) O valor máximo do momento fletor é de aproximadamente 18,8kNm e está posicionado exatamente onde está a carga pontual. RESPOSTA CORRETA O valor do momento pode ser obtido por meio das reações de apoio da viga. Posteriormente, executa-se o procedimento padrão do método das seções. Para a viga abaixo Tem-se que: ∑H=0;HA=0∑V=0;VA+VB=5kN∑MA=0;5kN*5m−20m*VB=0 ∑H=0;HA=0∑V=0;VA+VB=5kN∑MA=0;5kN*5m−20m*VB=0 De modo que: VB=1,25kN (apontando para cima)VA=3,75kN (apontando para cima) VB=1,25kN (apontando para cima)VA=3,75kN (apontando para cima) A equação para o esforço de momento fletor pode ser escrita da seguinte forma (onde x está em metros e começa em A e vai em direção de B): M={3,75kN*x; para x<5m3,75kN*x−5kN*(x−5m);para 5m<x<20m} A função é definida por partes, uma vez que há um carregamento pontual na viga. Para a obtenção do valor máximo da função M, avalia-se a função M na transição de uma função para a outra. Com isso, a função M possui valor máximo quando x=5m, sendo este valor igual a 18,75kNm. FORÇAS INTERNAS EM VIGAS E EIXOS RESPOSTA CORRETA Neste caso, os valores estão coerentes. Observar que os valores extremos do cortante correspondem aos valores das reações de apoio. Para a viga abaixo Tem-se que: ∑H=0;HA=0∑V=0;VA+VB=5kN∑MA=0;5kN*5m−20m*VB=0 De modo que: VB=1,25kN (apontando para cima)VA=3,75kN (apontando para cima) Considerando que as reações apontam para cima, começando da esquerda para a direita, o valor do esforço cortante é positivo e igual à 3,75kN até a posição onde é aplicada a carga pontual. Neste ponto, o valor do cortante decresce, exatamente, o valor da carga pontual, passando a ser -1,25kN. Como não há outro carregamento na estrutura, este valor de cortante persiste até o segundo apoio. FORÇAS INTERNAS EM VIGAS E EIXOS b) M = -x^2/2 + 5x. RESPOSTA CORRETA De acordo com arquivo a seguir. Como o carregamento é simétrico, cada apoio é responsável por assumir metade da carga. Assim: RA=RB=−5kN (ou seja, apontando para baixo) Assim: M(x)=5kN*x−x*x2*1kN/m Note que o valor do momento em x=0 e x=10m é nulo, como deveria ser. DIAGRAMAS DE SOLICITAÇÕES INTERNAS 1) Uma estrutura de barra de 3 metros de vão sofre um esforço normal de +50 kN ao longo de todo o seu comprimento. Este esforço normal significa que a barra está sofrendo: d) tração RESPOSTA CORRETA tração, convenção positivo do esforço normal indica alongamento da peça. DIAGRAMAS DE SOLICITAÇÕES INTERNAS DIAGRAMAS DE SOLICITAÇÕES INTERNAS DIAGRAMAS DE SOLICITAÇÕES INTERNAS DIAGRAMAS DE SOLICITAÇÕES INTERNAS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR RESPOSTA CORRETA Cortante Pela: Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 e Σ Mx = 0 Temos: RA = 30 KN e RC = 105 KN Q1= 30 - 0 = 30 KN Q2 = 30 - (3K/m x 4m) = 18 KN Q3 = 18 - 50 = -32 KN Q4 = -32 - (3KN x 6m) = -50 KN Q5 = -50 +105 = 55 KN Q6 = 55 - (10KN/m x 5m) = 5 KN Momento Momento fletor em A = 0KN.m Momento fletor em B = (30KN x 4m) - (3KN/m x 4m x 2m) = = 120 -24 = 96 KN.m Momento fletor em C = (30KN x 10m) - (50KN x 6m) - (3KN/m x 10m x 5m) = 300 -300 -150 = - 150 KN.m Momento fletor em D = (30KN x 15m) - (50KN x 11m) - (3KN/m x 10m x 10m) - (105KN x 5m) - (50KN x 2,5m) = 0 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR RESPOSTA CORRETA Q1= RA= 55 Q2= 55 - 0 = 55 Q3= 55 -30kN= 25 Q4= 25- (5kNm x 2) = 15 Q4= 15 - 0= 15 Q5= 15 -14= 1 Q6= 1 - 0 = 1 Q7= 1 - 10 = -9 Q8= -9 - (10kNm x 3) = -39 Q9= -39 -0= -39 Q10 = -39 -RG(39) = 0 Momento fletor em A= 0 kN.m Momento fletor em B= (55 kN.m x 1m) = 55 kN.m Momento fletor em C= (55 kN.m x 3m) – (30 kN x 2m) – (5kN/m x 2m x 1m) = 95 kN.m Momento fletor em D= (55 kN.m x 4m) – (30 kN x 3m) – (5kN/m x 2m x 2m) = 110 kN.m Momento fletor em E= (55 kN.m x 5m) – (30 kN x 4m) – (5kN/m x 2m x 3m) – (14 kN x 1m) = 111 kN.m Momento fletor em F= (55 kN.m x 8m) – (30 kN x 7m) – (5kN/m x 2m x 6m) – (14 kN x 4m) – (10kN x 3m)- (10kN x 3m x 1,5m)= 39 kN.m Momento fletor em G= 0 kN.m DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR RESPOSTA CORRETA Q1= -(10) -0 = -10 Q2= -10 -0 =-10 Q3= -10 + 46,66(RB)= 36,66 Q4= 36,66-0= 36,66 Q5=36,66 - 40 = -3,34 Q6= -3,34 - 0= -3,34 Q7= -3,34 - 20 = -23,34 Q8= -23,34 -(8kN/m x3) = -47,33 Q9= -47,33 + 63,33(RE)=16 Q10= 16 -(8Kn/m x 2) = 0 Calculando os momentos em torno de B: (40 kN x 3m) + (20kN x 6m) + (8kN x 5m x 8,5m) = 9RE + (10kN x 1m) 9RE= 120+ 120+340- 10= 570kN RE= 570/9= 63,33 kN RE= 63,33 kN Calculando os momentos em torno de E: 9RB= (10 kN x 10m) + (40kN x 6m) + (20kN x 3m) + (8kN x 5m x 05,5m) 9RB= 100+ 240+60+20= 420kN RB= 420/9= 46,66 kN RB= 46,66 kN Para conferir: RB + RE= 46,66 + 36,33= 110 kN (correto) Momento fletor em A= 0 (por inspeção) Momento fletor em B= -(10 kN.m x 1m) = -10 kN.m Momento fletor em C= -(10 kN.m x 4m) + (46,66kN x 3m)= 100 kN.m Momento fletor em D= -(10 kN.m x 7m) - (40kN x 3m) + (46,66kN x 3m)= 90kN.m Momento fletor em E= -(10 kN.m x 10m) - (40kN x 6m) - (20kN x 3m) – (8kN x 3m x 1,5m) + (46,66kN x 9m)= -16kN.m= 90kN.m Momento fletor em F= 0 (por inspeção) Momento máximo de alquebramento= 16kN.m Os pontos de inflexão estão indicados no diagrama de momento fletor. A posição do ponto de inflexão à esquerda encontra-se (10kN x 3m/110kN) = 0,27m à direita de B, ou seja, 1,27m à direita de A. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR VIGAS: CARGAS DISTRIBUÍDAS TRIANGULARES E EQUAÇÕES VIGAS: CARGAS DISTRIBUÍDAS TRIANGULARES E EQUAÇÕES VIGAS: CARGAS DISTRIBUÍDAS TRIANGULARES E EQUAÇÕES VIGAS: CARGAS DISTRIBUÍDAS TRIANGULARES E EQUAÇÕES VIGAS ROTULADAS VIGAS ROTULADAS Análise estrutural: treliças (análise bidimensional) Análise estrutural: treliças (análise bidimensional) a) Barra 1: -70,7 kN Barra 2: 50,0 kN Barra 3: 0,0 kN Barra 4: 0,0 kN Barra 5: -50,0 kN RESPOSTA CORRETA As barras 3 e 4 poderiam ser eliminadas desse sistema caso fosse mantido o carregamento proposto. Entretanto, mudando a configuração do carregamento sobre a estrutura, elas poderiam ter esforços não nulos. Fazendo o equilíbrio de forças no nó d, tem-se que (considerando as barras como sendo de tração): Como não há força horizontal na barra 3, x3 = 0 e, portanto, x4 = 0. Logo:Fazendoo equilíbrio de forças no nó b, tem-se que: Assim: Análise estrutural: treliças (análise bidimensional) Análise estrutural: treliças (análise bidimensional) Análise estrutural: treliças (análise bidimensional) Treliças Treliças Treliças Treliças d) N2=14 tf (T); N9= -2 tf (C); N16=-14 tf (C). Treliças Treliças: método dos nós Treliças: método dos nós Treliças: método dos nós 4) Calcule a força que passa no trecho ED da treliça abaixo: Treliças: método dos nós 5) Calcule a força que passa no trecho AB da treliça abaixo: b) FAB = −23,04kN (compressão) Treliças: método das seções EXERCÍCIOS 2)Calcule as reações de apoio da treliça abaixo: e) HA = 0; VA = 30 kN (↓); VL = 60 kN (↑) Treliças: método das seções 3) Calcule as reações de apoio da treliça abaixo: a) VA = 100 kN (↓); HA = 135 kN (←); VG = 100 kN (↑) Treliças: método das seções 4)Calcule a força que passa no trecho AK da treliça abaixo através do método das seções: Treliças: método das seções 5) Calcule a força que passa nos trechos CB, EB e EF da treliça abaixo através do método das seções: d) FCB = 45 kN (tração);FEB = 131,25 kN (tração);FEF = − 123,75 kN (compressão).
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