AULA 12 - FLUXO BIDIMENSIONAL

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AULA No 12 
FLUXO BIDIMENSIONAL 
 
1. Introdução 
Na aula anterior, o estudo da percolação de água no solo ficou restrito à situação de 
fluxo unidimensional, em que o movimento de água ocorre segundo uma única 
direção. Nesta aula, amplia-se o escopo do estudo para incluir uma situação muito 
mais freqüente na prática que é a de fluxo bidimensional. 
 
 
2. A Equação Diferencial do Fluxo de Água Através do Solo e sua Solução 
Seja o elemento de solo ao lado, de 
dimensões infinitesimais dx, dy e 
dz, submetido à fluxo de água. O 
fluxo de água pode ser decomposto 
nas três direções ortogonais x, y e 
z. Admita-se que o solo seja 
anisotrópico em termos de 
permeabilidade, ou seja, apresenta 
coeficientes de permeabilidade 
diferentes nas três direções (kx 
≠ky≠kz). 
 
Seja h a carga hidráulica total no 
centro do elemento. O gradiente 
hidráulico na direção x é expresso 
por: 
 
x
hix ∂
∂= 
 
Mas o gradiente pode ser variável na direção x, sendo: 
 
2
2
x
x
h
x
)
x
h(
x
i
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=∂
∂ 
 
Na face de entrada, segundo a direção x, o gradiente vale: 
 
)
2
dx(
x
h
x
h
2
2
−
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 
 
2
Pela lei de Darcy, pode-se escrever que a vazão na face de entrada do elemento, 
segundo a direção x, é: 
 
dz.dy)
2
dx.
x
h
x
h(k)q( 2
2
xxE ∂
∂
−
∂
∂
= 
 
Procedendo-se de forma semelhante, resulta para a vazão na face de saída do 
elemento, na direção x: 
 
dz.dy)
2
dx.
x
h
x
h(k)q( 2
2
xxS ∂
∂
+
∂
∂
= 
 
A diferença entre a vazão de saída e de entrada no elemento, segundo a direção x é 
portanto: 
 
dz.dy.dx
x
hk)q()q( 2
2
xxExS ∂
∂
=− 
 
De maneira semelhante, pode-se escrever para as outras direções: 
 
dz.dy.dx
y
hk)q()q( 2
2
yyEyS ∂
∂
=− 
 
dz.dy.dx
z
hk)q()q( 2
2
zzEzS ∂
∂
=− 
 
Supondo que o solo esteja saturado e que não ocorra variação de volume do elemento 
de solo durante o fluxo, conclui-se que, para qualquer intervalo de tempo, o volume 
de água que entra no elemento é igual ao volume de água que sai. Portanto: 
 
0dz.dy.dx)
z
hk
y
hk
x
hk( 2
2
z2
2
y2
2
x =∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
 
e uma vez que o volume do elemento é não nulo, tem-se: 
 
0
z
hk
y
hk
x
hk 2
2
z2
2
y2
2
x =∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 (1) 
 
 
 
3
que é a equação geral do fluxo tridimensional. 
 
Freqüentemente é possível simplificar o problema físico tridimensional, admitindo-o 
como bidimensional. Para as situações em que o fluxo pode ser considerado 
bidimensional (sem fluxo na direção y, por exemplo), tem-se: 
 
0
z
hk
x
hk 2
2
z2
2
x =∂
∂
+
∂
∂
 (2) 
 
Finalmente, se o solo for isotrópico (kx = kz): 
 
0
z
h
x
h
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 (3) 
 
A expressão (3) é a conhecida equação de Laplace, que descreve matematicamente 
muitos fenômenos físicos de grande importância prática. 
 
A equação de Laplace é satisfeita por duas famílias de curvas, ortogonais entre si. A 
primeira delas φ(x,z)= cte., é chamada de função carga hidráulica e a segunda ϕ(x,z)= 
cte., é chamada de função de fluxo. Pode-se demonstrar que a família de curvas φ é 
ortogonal a família de curvas ϕ. 
 
A primeira alternativa para resolver a equação de Laplace consiste em integrar 
diretamente a equação de fluxo, obedecendo as condições de contorno e obtendo 
assim uma solução analítica para o problema. Entretanto, soluções analíticas da 
equação de Laplace são restritas a alguns casos de geometria bem simples, e mesmo 
assim, as funções matemáticas usadas são muito complicadas. 
 
Soluções numéricas podem ser obtidas pelo Método das Diferenças Finitas ou pelo 
Método dos Elementos Finitos. Outra alternativa compreende a utilização de 
modelos, como por exemplo, o que emprega a analogia elétrica ou os modelos 
reduzidos. 
 
Finalmente, uma última alternativa, que é a que será desenvolvida neste curso, é o 
método gráfico, ou seja o traçado manual da rede de fluxo. 
 
 
 
 
4
3. Rede de Fluxo 
A equação de Laplace, como mencionado, tem como solução gráfica duas famílias de 
curvas ortogonais entre si, sendo uma delas formada pelas linhas de fluxo e a outra 
pelas linhas equipotenciais. Linhas de fluxo são as trajetórias das partículas de água 
no maciço de solo. As linhas equipotenciais, por sua vez, correspondem a linhas de 
igual carga hidráulica total. Em todo problema de fluxo, há um número infinito de 
linhas de fluxo e de linhas equipotenciais. 
 
 
 
Chama-se rede de fluxo ao conjunto 
formado por linhas de fluxo e por linhas 
equipotenciais convenientemente 
escolhidas. A escolha dessas linhas deve 
ser feita de forma a serem obedecidas as 
seguintes propriedades características das 
redes de fluxo: 
- as linhas de fluxo traçadas devem 
determinar canais de fluxo de mesma 
vazão; e 
- as linhas equipotenciais traçadas devem 
determinar faixas de perda de potencial 
de igual valor. 
 
 
 
O estudo do traçado de redes de fluxo será aqui inicialmente desenvolvido para um 
caso bastante simples de fluxo unidimensional, e depois será generalizado para 
condição de fluxo bidimensional. 
 
 
linhas de fluxo: (1), (2) e (3)
linhas equipotenciais: (a), (b) e (c)
(a)
(3)
(2)
(1)
(c)
(b)
canais de
fluxo com
mesma vazão
mesma perda
de potencial
 
 
5
4. Rede de fluxo unidimensional 
 
A figura a seguir mostra um corpo de prova de areia com 6cm de largura, 8 cm de 
altura e grande comprimento na direção perpendicular ao desenho. O coeficiente de 
permeabilidade da areia é 1x10-2 cm/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no que foi apresentado na aula anterior, verifica-se facilmente que: 
- na face inferior, a carga altimétrica é zero, a carga piezométrica é 14cm, e portanto 
a carga total também é 14cm; 
- na face superior, a carga altimétrica é 8cm e a carga piezométrica é 2cm; portanto 
a carga total é 10 cm; 
- a perda de carga no permeâmetro é de 4cm e é dissipada num comprimento de 
8cm; assim, o gradiente hidráulico é 4/8 = 0,5; 
- a vazão, por comprimento unitário na direção perpendicular ao desenho, de acordo 
com a lei de Darcy, é Q = kiA = 1x10-2x0,5x6x1 =0,03 cm3/s/cm. 
 
O problema será agora analisado sob o prisma de rede de fluxo. Toda gota de água 
que penetra na face inferior do corpo de prova se dirige a face superior segundo uma 
linha reta. Pode-se portanto dizer que todas as linhas verticais são linhas de fluxo, 
inclusive as próprias paredes laterais do permeâmetro. 
 
Na figura, foram traçadas 4 linhas de fluxo, espaçadas de 2 cm, formando 3 canais de 
fluxo. A vazão é a mesma em todos os canais de fluxo, pois têm a mesma largura. 
Assim foi obedecido o primeiro dos critérios acima estabelecidos para o traçado de 
redes de fluxo. 
 
 
 
6
Sejam agora consideradas as cargas hidráulicas. Em qualquer ponto da face inferior, 
a carga é a mesma e vale 14 cm. Pode-se dizer portanto que essa linha é uma 
equipotencial. Da mesma forma, a linha correspondente a face superior é uma 
equipotencial com carga total de 10cm. Generalizando, qualquer linha horizontal 
passando pelo corpo de prova, neste caso de fluxo, é uma equipotencial. 
 
Para obedecer ao segundo critério para o traçado de redes de fluxo, devem ser 
desenhadas linhas equipotenciais igualmente espaçadas, de forma que a carga perdida 
entre duas equipotenciais adjacentes seja sempre a mesma. 
 
Ao se obedecer aos dois critérios acima, resulta que a rede será constituída de 
retângulos. Entretanto, tanto para o traçado da rede como para os cálculos posteriores, 
embora não seja necessário, é conveniente escolher o espaçamento entre 
equipotenciais igual ao espaçamento entre linhas de fluxo, formando assim elementos 
quadrados. Isso é obtido com o traçado de linhas equipotenciais a cada 2 cm como 
indicado na figura. Deve ser observado que as linhas de fluxo e as linhas 
equipotenciais resultaram ortogonais entre si. 
 
Define-se numa rede de fluxo: 
- número de canais de fluxo: Nf 
- número de quedas de potencial: Nq 
- dimensões de um elemento genérico: b (largura do canal de fluxo) e l (distância 
entre equipotenciais). 
 
Noexemplo da figura têm-se Nf = 3, Nq = 4, b = l = 2cm. Deve-se chamar a atenção 
para o fato de que Nf e Nq não necessitam ser números inteiros. Se no exemplo, L 
fosse 9 cm, sendo iguais todos os outros dados, para Nf = 3, ter-se-ia Nq = 4,5. 
 
De uma rede, o engenheiro pode conseguir três informações importantes: a carga e o 
gradiente em cada ponto da massa de solo e a vazão resultante do fluxo. 
 
Tome-se um elemento qualquer da rede. A perda de carga no elemento é: 
 
∆h/Nq 
 
enquanto o gradiente hidráulico é igual a 
 
i = ∆h/lNq 
 
No nosso exemplo, a perda de carga em cada elemento é de 1cm e o gradiente 
hidráulico é de 0,5. 
 
 
 
7
A vazão no elemento, por comprimento unitário, pela lei de Darcy é: 
 
q = k (∆h/lNq) bx1 = k (∆h/lNq) b 
 
Resulta que a vazão total no permeâmetro, por comprimento unitário, vale: 
 
Q = Nf q = k (∆h.b/l)(Nf/Nq) 
 
Observe que a relação b/l deve ser constante em todos os elementos da rede. 
Finalmente, se b = l, tem-se: 
 
Q = k ∆h(Nf/Nq) (4) 
 
No nosso exemplo: 
 
Q = 1x10-2x4x3/4 = 0,03 cm3/s/cm 
 
que é o mesmo valor obtido anteriormente pela aplicação direta da lei de Darcy. 
 
É interessante notar na expressão (4) que não são os valores de Nf e Nq que importam 
no cálculo da vazão mas sim a relação Nf/Nq. Na rede de fluxo traçada na figura, 
adotou-se um espaçamento entre as linhas de fluxo e também entre as equipotenciais 
de 2 cm, donde resultou uma relação Nf/Nq igual a ¾. Se tivesse sido adotado um 
espaçamento de 1cm, Nf seria igual a 6 e Nq seria igual a 8. A relação Nf/Nq, 
entretanto, continuaria sendo igual a ¾. 
 
O exemplo escolhido, que se refere a um problema unidimensional, é 
demasiadamente simples, já que a vazão, a carga e o gradiente podem ser calculados 
facilmente, como visto na aula anterior, sem o traçado da rede de fluxo. O objetivo ao 
se apresentar esse exemplo foi mostrar o que é uma rede de fluxo e como deve ser 
usada. O traçado de rede de fluxo tem sua maior aplicação em casos de fluxo 
bidimensional, onde não são aplicáveis as técnicas simples desenvolvidas na Aula 11. 
 
5. Redes de Fluxo Bidimensional 
 
Os fluxos d´água bidimensionais podem ser classificados em dois grandes grupos, os 
confinados e os não confinados. Serão apresentados e discutidos inicialmente alguns 
exemplos de fluxo confinado. 
 
 
8
 
5.1. Fluxo Confinado 
 
Percolação d’Água sob Pranchada 
 
Na figura apresenta-se um caso de fluxo bidimensional, o da percolação d’água sob 
uma pranchada que penetra numa camada de solo, sendo o nível d’água rebaixado 
num dos lados por bombeamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O primeiro passo no traçado de uma rede de fluxo é determinar as linhas de fluxo e 
equipotenciais limites, que são as que delimitam a região em que ocorre o fluxo. No 
caso da figura, as linhas de fluxo limites são: a linha BCD que contorna a porção 
enterrada da pranchada, que é a linha de fluxo mais curta da rede, e a linha FG da 
fronteira rocha – solo, que é a mais longa. 
 
As duas linhas equipotenciais limites são por sua vez a superfície AB do solo 
permeável à esquerda da cortina, com carga total igual a 5m (para o NR na superfície 
do solo) e a superfície DE do solo permeável à direita, com carga total igual a 1m. 
 
Dentro destes limites a rede é traçada manualmente por tentativas, observando-se 
que: 
- as linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são ortogonais; e 
- as linhas de fluxo e as linhas equipotenciais devem formar elementos “quadrados”. 
 
 
 
9
Para o traçado de uma rede, três ou quatro canais de fluxo são suficientes; o 
emprego de muitos canais de fluxo desvia a atenção dos aspectos mais importantes da 
rede. 
 
Deve-se notar que diferentes pessoas poderão chegar a diferentes redes dependendo 
do número de canais de fluxo que definirem para suas redes, mas a relação Nf/Nq 
deve ser a mesma para todas as redes traçadas. 
 
Na figura a seguir mostra-se a rede de fluxo que é obtida tomando-se Nf =4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traçada a rede de fluxo, pode-se calcular a vazão sob a cortina e a pressão neutra e o 
gradiente em qualquer ponto do subsolo. 
 
A vazão é calculada pela expressão (4), já apresentada. A pressão neutra num ponto 
genérico A é obtida como segue: 
 
wAATwA
w
A ]z)H[()
u(u γγ
γ
−== 
sendo Aiq
q
iTAT )N(N
h)H()H( −
∆
−= 
onde (HT)i é a carga total na face de entrada da água e (Nq)i-A é o número de quedas 
de potencial entre a face de entrada e o ponto A. 
 
 
10
 
Finalmente, pode-se calcular o gradiente em 
qualquer ponto M da rede de fluxo, dividindo-se a 
perda de carga no elemento (∆h/Nq) pela distância l 
percorrida, dentro do elemento, pela partícula de 
água que passa ponto M. 
 
Exemplo: 
 
Para a rede de fluxo traçada, e sabendo-se que o coeficiente de permeabilidade da 
camada permeável é 1x10-3 cm/s, calcular: 
- o volume de água que passa a cada dia por metro de pranchada, 
- a pressão neutra no ponto A, 
- o diagrama das pressões de água na pranchada e 
- o máximo gradiente de saída do fluxo. 
 
a) Volume de Água 
 
Q = k ∆h(Nf/Nq) = 1x10-5x4x4/8 = 2x10-5 m3/s/m 
 
Volume = Qx∆t = 2x10-5 x60x60x24 = 1,73 m3/dia/m 
 
 
b) Pressão Neutra no Ponto A 
 
A perda de carga em cada queda de potencial é ∆h/Nq = 4/8 = 0,5 m 
 
 
A carga total em A é dada por: 
 
(HT)A = 5 – 7x0,5 = 1,5 m 
 
zA = -4 m (tomando o Nível de Referência na face superior da camada drenante) 
 
(u/γw)A = 1,5 – (-4) = 5,5 m → uA = 5,5x10 = 55 kPa 
 
 
 
 
11
c) Diagrama de pressões de água na pranchada 
 
Foram escolhidos os pontos a, b, c, d, e, f, g, h, i na faces da cortina para cálculo das 
pressões. 
 
Ponto z (m) HT (m) u/γw (cm) u (kPa) 
a 5,0 5,0 0,0 0 
b 0,0 5,0 5,0 50 
c -1,5 4,5 6,0 60 
d -2,8 4,0 6,8 68 
e -4,0 3,0 7,0 70 
f -2,8 2,0 4,8 48 
g -1,5 1,5 3,0 30 
h 0,0 1,0 1,0 10 
i 1,0 1,0 0,0 0 
 
 
Um diagrama como o da figura é útil no projeto estrutural da cortina. 
 
d) Gradiente máximo de saída 
 
De particular interesse é o gradiente na face de saída do fluxo, em virtude da força de 
percolação atuar de baixo para cima, podendo provocar condição de areia movediça, 
como discutido na aula 11. Observa-se, pela rede, que a situação crítica ocorre junto à 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Pressão Neutra (kPa)
a
b
c
d
e e
f
g
h
i
PRESSÃO DE ÁGUA NA CORTINA
80 60 40 20
 
 
12
cortina, onde a distância entre as duas linhas equipotenciais é mínima. Note-se que 
a rede de fluxo é simétrica e, portanto, o gradiente na face de entrada do fluxo junto à 
cortina, tem o mesmo valor que o da face de saída. Entretanto, na entrada, a força de 
percolação tem sentido descendente, e sua ação se soma à ação da gravidade, 
aumentando as tensões efetivas. O problema de areia movediça se restringe á face de 
saída. 
 
O máximo gradiente de saída é: 
 
isaída = ∆h/l Nq= 4/(1,5x8) = 0,33 
 
onde l = 1,5m é a distância entre os pontos g e h (ver figura) 
 
Embora esse valor de i esteja muito abaixo do necessário para causar condição de 
areia movediça (icrit ≈1), ele na prática é considerado relativamente elevado. Um 
grande coeficiente de segurança contra a condição de areia movediça na porção de 
jusante de qualquer estrutura é desejável, devido à severidade da condição de areia 
movediça, e ao fato de que pequenas variações no coeficiente de permeabilidade, 
resultantes de heterogeneidades no solo, podem provocar erros relativamente grandes 
no cálculo do gradiente de saída. 
 
Fluxo sob Barragem de Concreto 
 
A figura a seguir mostra três barragens de concreto sobre solo permeável. Os três 
casos são idênticos exceto que no caso II existe uma cortina de vedação à montante e 
no caso III, a cortina de vedação aparece à jusante. A rede de fluxo para o caso I é 
simétrica em relação à linha central, enquanto que as redes de fluxo para os casos II e 
III são idênticas mas rebatidas. 
 
A tabela abaixo fornece o fator Nf/Nq, a vazão pela fundação, a carga piezométrica no 
ponto A e o gradientede saída para os três casos. 
 
Barragem Nf/Nq Vazão 
(m3/s/m) 
u/γw em A 
(m) 
Gradiente de 
Saída 
I 4/12 10,3 x 10-6 2,25 0,42 
II 4/14 8,8x10-6 2,13 0,34 
III 4/14 8,8x10-6 3,87 0,18 
 
 
13
 
 
 
14
Dos resultados apresentados na tabela, verifica-se que: 
- as barragens II e III apresentam vazões idênticas e menores do que a Barragem I; e 
- a Barragem II tem o gradiente mais baixo, mas, por outro lado, apresenta o maior 
empuxo sobre a barragem, no ponto A. 
 
Outros exemplos de Redes de Fluxo 
 
A figura da próxima página mostra diversos casos de percolação de água em 
fundações permeáveis com as respectivas redes de fluxo. 
 
 
5.2. Fluxo Não Confinado 
 
Em situação de fluxo não confinado, ao contrário do que foi visto para fluxo 
confinado, não se conhece a priori, todas as linhas que delimitam a região em que 
ocorre o fluxo. 
 
Uma das situações práticas mais comuns de fluxo não confinado é a das barragens de 
terra, que será analisada a seguir. 
 
 
Percolação d’Água através de Barragens de Terra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a barragem de terra indicada na figura, com fundação suposta impermeável. 
Todo o fluxo, portanto, se dará pelo corpo da barragem. As linhas AB e CD são 
equipotenciais, sendo a primeira a equipotencial de carga máxima e a segunda, de 
carga mínima. A linha AC, por sua vez, limita o fluxo inferiormente e é portanto uma 
linha de fluxo limite. 
 
 
15
 
 
 
16
A linha de fluxo BE, que limita a zona de fluxo superiormente dentro do maciço, 
recebe o nome de Linha Freática e sua posição não é conhecida previamente. Por essa 
razão, o caso ilustrado na figura corresponde a uma situação de fluxo não confinado. 
A determinação da linha freática é um dos objetivos principais deste item, pois 
conhecida sua posição, o traçado da rede de fluxo e os cálculos posteriores seguem os 
mesmos critérios vistos anteriormente. 
 
A linha freática é uma linha de fluxo que separa a região saturada da região não 
saturada do maciço. Nela atua a pressão atmosférica e portanto a carga piezométrica é 
nula (u/γw =0). 
 
Finalmente, a linha ED representa a fronteira onde a percolação da água abandona a 
zona de escoamento e sai para uma superfície onde não existe nem solo nem água. 
Esta linha não é nem equipotencial nem linha de fluxo. Apresenta, por outro lado, de 
forma análoga à linha freática, a propriedade da carga piezométrica em seus pontos 
ser nula. 
 
 
Determinação da Linha Freática 
 
• Parábola Básica de Kozeny 
 
Kozeny propôs uma solução teórica para o problema de fluxo sobre uma superfície 
horizontal impermeável, que termina em uma superfície horizontal francamente 
permeável, como ilustrado na figura. Este é o caso de maciços de terra com filtro 
horizontal a jusante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17
Na solução de Kozeny a linha freática tem a forma de uma parábola, que recebe o 
nome de Parábola Básica, uma vez que sofrerá modificações para se ajustar a cada 
problema específico. Como se sabe, parábola é o lugar geométrico dos pontos que 
eqüidistam de um ponto (“foco”) e de uma reta (“diretriz”). 
 
Para o traçado da Parábola Básica é necessário conhecer o foco F e um ponto M 
pertencente a parábola. Como mostra a figura, o foco é o ponto onde a superfície 
horizontal impermeável encontra a superfície horizontal permeável. Suponha-se 
também conhecido o ponto M pertencente a parábola. 
 
O processo gráfico para traçar a parábola básica pode ser assim resumido: 
 
- A horizontal passando por F determina o eixo x. 
- O ponto N é eqüidistante de M e de F e se encontra na horizontal passando por 
M. 
- A vertical por N é a diretriz d da parábola. 
- O eixo O da parábola se encontra a meia distância de F e d no eixo x. 
- Por O traça-se uma vertical que corta a horizontal que contém M no ponto G. 
- O segmento OG é dividido em um certo número de partes e o segmento MG 
também é dividido no mesmo número de partes. 
- Traçam-se por O retas que unem este ponto com as divisões feitas no segmento 
MG. Pelas divisões traçadas sobre OG traçam-se horizontais que interceptam o 
feixe de retas que saem de O. 
- As intersecções dessas retas entre si são pontos da parábola que se quer 
determinar. 
 
Os esquemas a seguir apresentam, para diversas situações de posição de filtro, a 
localização do foco, necessária para o traçado da parábola básica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18
• Condições de Entrada e Saída da Freática 
 
Uma vez traçada a parábola básica, são necessárias algumas correções para o 
posicionamento correto da freática. Para aplicar essas correções, devem ser 
observadas as condições de entrada e de saída da freática do maciço que são 
apresentadas nas figuras a seguir. 
 
Deve-se lembrar, como condição usual, que a freática, sendo uma linha de fluxo, deve 
ser perpendicular ao talude de montante, que é uma equipotencial, no seu ponto de 
entrada. No que se refere à saída, a freática usualmente é tangente ao talude ao 
jusante (taludes menores ou iguais a 90o) ou tangente à vertical no ponto de saída 
(taludes maiores do que 90o). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19
 
• Solução de Arthur Casagrande 
 
Casagrande propõe que se trace inicialmente a parábola básica de Kozeny, tomando o 
ponto M da forma indicada na figura, ou seja dividindo-se a distância m, projeção 
horizontal da distância AB do talude de montante, em três partes iguais. 
 
Uma vez desenhada a parábola básica, esta será, como se pode perceber na figura, 
uma linha guia para o traçado da freática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Das condições de entrada vistas anteriormente se depreende que a linha freática deve 
entrar na zona permeável pelo ponto B, formando um ângulo reto com o talude de 
montante. Faz-se essa correção na parábola básica, sendo a concordância desenhada a 
sentimento. 
 
No que se refere ao ponto de saída da freática, Casagrande propôs o método descrito 
a seguir para sua determinação, nos casos onde o ângulo w do elemento de saída está 
compreendido entre 30o e 180o. 
 
O que se pretende determinar é o valor a, que é a distância entre o foco e o ponto em 
que a freática toca o talude de juzante. 
 
Para tanto, traçada a parábola básica, determina-se o valor de a+∆a, distância entre o 
foco e o ponto onde a parábola básica toca o talude de jusante. A distância ∆a, e em 
conseqüência o valor de a, é determinada no gráfico a seguir, a partir dos valores do 
ângulo w e da distância a+∆a. Deve-se observar que o valor ∆a/(a+∆a) decresce 
 
 
20
quando w cresce e ∆a = 0 quando w =180o. Os ajustes finais na linha freática são 
feitos a sentimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Correlação de Casagrande para obtenção 
do ponto de saída da freática 
 
 
Traçado da Rede de Fluxo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conhecida a linha freática, a rede de fluxo é traçada manualmente por tentativas, 
obedecendo os mesmos preceitos anteriormente apontados, ou seja, as linhas de fluxo 
e as linhas equipotenciais são ortogonais entre si, e as linhas de fluxo e as linhas 
equipotenciais devem formar elementos “quadrados”. 
 
 
 
21
Há um outro dado relevante que auxilia no traçado da rede. Seja o nosso problema 
o traçado da rede de fluxo para barragem de terra indicada na figura, conhecida a 
linha freática BE. Já foi mencionado que na freática a carga piezométrica é nula. O 
mesmo vale para a linha ED da figura, embora a mesma não seja uma linha de fluxo. 
Conseqüentemente, em toda a linha BED, HT = z. A perda de carga entre duas 
equipotenciais sucessivas será, portanto, igual a diferença de cota entre os dois pontos 
da linha BED cortados por essas equipotenciais. Como as perdas de carga entre 
equipotenciais devem ser iguais, as equipotenciais podem ser definidas cortando-se a 
linha freática por um certo número de retas horizontais eqüidistantes entre si, como 
mostra a figura. Definidas as equipotenciais pelos seus pontos de cruzamento com a 
linha BED, prossegue-se o traçado da rede defluxo de forma idêntica à já descrita 
para condição de fluxo confinado. 
 
 
Cálculo das carga piezométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha-se que se quer conhecer a carga piezométrica no ponto P da barragem de 
terra em análise. Se por esse ponto for desenhada a equipotencial que lhe 
corresponde, essa linha encontra a freática em R. Os pontos P e R pertencem a mesma 
equipotencial e têm portanto a mesma carga total. Passando-se um Nível de 
Referência em qualquer horizontal, essas cargas totais serão respectivamente: 
 
PP
w
PT z)
u()H( +
γ
= 
 
 
 
22
RR
w
RT z)
u()H( +
γ
= 
 
RR
w
PP
w
RTPT z)
u(z)u()H()H( +
γ
=+
γ
== 
 
mas o ponto R pertence a freática e portanto 0)u( R
w
=
γ
. 
 
Logo a carga piezométrica de P será 
 
PRP
w
zz)u( −=
γ
 
 
Ou seja, a diferença de cotas entre os pontos R e P ou a diferença de cargas 
altimétricas entre os dois pontos, é a carga piezométrica do ponto P. 
 
 
Exemplo de Rede de Fluxo em Barragem de Terra 
 
No caso estudado anteriormente, como se vê na figura da página 19, a linha freática 
atinge o talude de jusante da barragem, o que fatalmente vai provocar um processo 
erosivo gradual na face ED. Para evitar essa erosão, que pode eventualmente levar a 
uma ruptura total da barragem, é necessária a colocação de drenos que abaixem a 
posição da freática. A seção de barragem mostrada na figura a seguir, com 
enrocamento no pé do talude de jusante, é uma das possíveis soluções para o 
problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
enrocamento
 
 
23
6. Filtros de proteção 
 
Há certas situações em que estruturas de terra requerem filtros. Primeiramente, como 
visto acima, a água não pode ser escoar livremente para fora num talude, o que 
provocaria uma erosão progressiva do solo. Este fenômeno, conhecido como 
“piping”é uma das causas mais freqüentes de ruptura de barragens. É necessária a 
colocação de um dreno para que ocorra o abaixamento da linha freática. 
 
Além disso, o deslocamento, em razão de fluxo d´água, de partículas de solo (por 
exemplo, o carreamento de partículas de argila do aterro compactado para os vazios 
do enrocamento na figura anterior) deve ser impedido. Caso contrário, a erosão 
interna resultante poderá causar sérios problemas de estabilidade. A erosão do solo é 
evitada por camadas de solo chamadas de filtros. 
 
Quando a água percola de um solo para um material mais grosso, existe o perigo de 
que as partículas finas do solo sejam transportadas pela água para dentro do material 
mais grosso. Tal situação pode ser evitada por meio da utilização de um filtro de 
proteção entre os dois solos. Por exemplo, para a barragem da figura, um filtro de 
proteção poderia ser instalado entre o solo e o enrocamento. 
 
Para a seleção do material adequado para o filtro, duas condições devem ser 
atendidas: 
 
Condição 1: as dimensões dos vazios no material de filtro devem ser suficientemente 
pequenas para reter as partículas do material a ser protegido. 
 
Condição 2: o material de filtro deve ter uma elevada permeabilidade para impedir a 
geração de grandes forças de percolação nos filtros. 
 
Com base em análise experimental, Terzaghi e Peck (1948) estabeleceram os 
seguintes critérios para atender aos requisitos acima: 
 
)(85)(15 5 solofiltro DD ≤ 
 
Esta condição limita o tamanho dos finos do filtro, de forma que não deixem 
passagem para os grãos do solo. 
 
)(15)(15 5 solofiltro DD ≥ 
 
Esta condição garante que o filtro seja bem mais permeável que o solo. 
 
 
 
24
Por fim, a curva granulométrica do filtro deve ser aproximadamente paralela à do 
solo. 
 
O mesmo princípio pode ser adotado, para a barragem da figura, na determinação dos 
limites granulométricos do enrocamento, para impedir que o material de filtro seja 
deslocado pela água. 
 
 
Exemplo 
 
Determinar a faixa de granulometrias adequadas de um filtro de proteção para o solo 
cuja granulometria é fornecida abaixo. 
 
CLASSIFICAÇÃO
NBR 6502/1995 DIÂMETRO DOS GRÃOS (mm)
0
100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
 Peneiras (ASTM)
0
100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0.0005 0.001 0.01 0.1 1 10 50
GRANULOMETRIA
PEDREGULHOSILTE AREIA FINA AREIA MÉDIA A. GROSSAARGILA
N0 40 30 16 10 4 19 25 38200 9.5 mm100 50
D
85(solo)
=0,11mm
D15(solo)=0,009mm
5D
85(solo)
=0,55mm
5D15(solo)=0,045mm
FAIXA DA
GRANULOMETRIA
DO FILTRO
SOLO
 
Deve-se ter: 
 
)(85)(15)(15 55 solofiltrosolo DDD ≤≤ 
 
Como D15(solo) e D85(solo) são respectivamente 0,009 mm e 0,11mm, tem-se: 
 
mmDmm filtro 55,0045,0 )(15 ≤≤ 
 
Pelos valores extremos de D15(filtro), traçam-se curvas paralelas às do solo, como 
mostrado na figura.