Triangulo Pascal

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1. Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é uma ferramenta bastante antiga da matemática. Ao longo da história, ele recebeu vários nomes, mas os mais adotados atualmente são triângulo aritmético e triângulo de Pascal. O segundo nome é uma homenagem ao matemático que fez várias contribuições no estudo desse triângulo, o que não significa que o triângulo foi inventado por ele, mas foi ele quem fez um estudo mais aprofundado dessa ferramenta.
A partir das propriedades do triângulo de Pascal, é possível realizar a sua construção de forma lógica. Também se destaca a sua relação com combinações estudadas na análise combinatória. Os termos do triângulo de Pascal correspondem também a coeficientes binomiais e, por isso, ele é muito útil para calcularmos qualquer binômio de Newton.
2. Como Surgiu?
Ao lado do advogado e matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665), Pascal desenvolveu as leias da probabilidade. Os resultados que os dois conseguiram são aplicados em uma variedade de operações, de tabelas de mortalidade para seguros à decomposição de partículas subatômicas. O Triângulo de Pascal, uma combinação numérica aparentemente simples, em que cada número é a soma dos dois números imediatamente acima, fornece os coeficientes da expansão binominal, combinação usada em probabilidade em outras séries numéricas.
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si, com um pouco de bom senso é natural que suspeitemos que o triângulo aritmético não seja uma invenção de Pascal, mesmo porque, onze séculos antes de Pascal, Al-Karkhi conseguiu as primeiras soluções numéricas do triângulo, mas foi Pascal quem descobriu a maioria de suas propriedades e relações, o que justifica o nome que é dado ao triângulo.
A denominação desse triângulo varia muito ao longo do mundo. Os franceses o chamam de triângulo de Pascal, os chineses chamam-no de triângulo de Yang Hui, os italianos chamam-no de triângulo de Tarataglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório.
Foram muitos os matemáticos que, um século antes de Pascal, trabalharam com o triângulo aritmético. O mais antigo parece ter sido Apianus, matemático alemão. Publicou em 1527 um livro intitulado: Rechnung (Cálculo) cuja capa era o triângulo. No entanto o alemão que mais divulgou o triângulo aritmético foi Stifel, principalmente através da Arithmetica Integra em 1544.
Pouco depois dos alemães, alguns matemáticos italianos redescobriram o triângulo. Tartaglia foi o que mais se dedicou a ele dando-lhe extrema importância em General Tratado di numeri et misure no ano de 1556. Após este matemático, também outros se dedicaram ao tema como Cardan, Bombelli.
De entre os franceses o que mais divulgou o triângulo antes de Pascal foi Peletier, através da sua Arithmétique, sendo a sua primeira edição em 1549. Também Girard (1629), Mersenne (1636) e outros conheciam este triângulo.
3. Construção do Triângulo de Pascal 
O triângulo de Pascal é produzido a partir do resultado das combinações, porém existe um método prático que facilita a forma de construí-lo. A primeira linha e a primeira coluna são contadas como linha zero e coluna zero. Podemos usar quantas linhas forem necessárias nessa construção, logo o triângulo pode ter infinitas linhas. O raciocínio para a elaboração das linhas é sempre o mesmo. Veja:
Sabemos que os termos do triângulo são combinações, estudadas em análise combinatória. Para substituição do triângulo de Pascal por valores numéricos, sabemos que as combinações de um número com zero e de um número com ele mesmo são sempre iguais a 1. Sendo assim, o primeiro e o último valor são sempre 1.
Para encontrar os demais, começamos pela linha 2, já que a linha 0 e a linha 1 já estão completas. Na linha 2, para encontrar a combinação de 2 para 1, na linha acima, ou seja, na linha 1, vamos somar o termo acima dele na mesma coluna e o termo acima dele na coluna anterior, conforme na imagem:
Após construir a linha 2, é possível construir a linha 3 realizando o mesmo procedimento.
Continuando esse procedimento, encontraremos todos os termos – neste caso, até a linha 5 –, mas é possível construir quantas linhas forem necessárias.
4. Propriedades do Triângulo de Pascal 
Existem algumas propriedades do triângulo de Pascal, em razão da regularidade em sua construção. Essas propriedades são úteis para trabalhos com combinações, a própria construção das linhas do triângulo e a soma de linhas, colunas e diagonais.
· 1ª propriedade
A primeira propriedade foi a que usamos para construir o triângulo. Assim, para encontrar um termo no triângulo de Pascal, basta realizar a soma do termo que está na linha acima dele e mesma coluna com o termo que está na coluna e linha anteriores a ele. Essa propriedade pode ser representada da seguinte maneira:
Essa propriedade é conhecida como relação de Stifel e é importante por facilitar a construção do triângulo e encontrarmos os valores de cada uma das linhas.
· 2ª propriedade
A soma de todos os termos de uma linha é calculada por:
Sn=2n, em que n é o número da linha.
Exemplos:
Com essa propriedade, é possível saber a soma de todos os termos de uma linha sem precisar necessariamente construir o triângulo de Pascal. A soma da linha 10, por exemplo, pode ser calculada por 210 = 1024. Ainda que não se conheçam todos os termos, já é possível saber o valor da soma de toda a linha.
· 3ª propriedade
A soma dos termos que sequencia desde o começo uma determinada coluna p até uma determinada linha n é igual ao termo que está na linha n+1 posterior e coluna p+1 posterior, como é mostrado a seguir:
· 4ª propriedade
A soma de uma diagonal que começa na coluna 0 e vai até o termo que se encontra na coluna p e linha n é igual ao termo que está na mesma coluna (p), mas na linha abaixo (n+1), como mostrado na imagem:
· 5ª propriedade
Existe uma simetria nas linhas do triângulo de Pascal. O primeiro e o segundo termo são iguais, o segundo e o penúltimo são iguais e assim sucessivamente.
Exemplo:
Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1.
Note que os termos são iguais dois a dois, exceto o termo central.
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Biografia: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
 https://www.todamateria.com.br/triangulo-de-pascal/
 https://sites.google.com/site/ahistoriadotriangulodepascal/triangulo-de-pascal