Solues_da_Lista_6

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Exercícios da Aula 6 
 
1. Uma esteira rolante horizontal do terminal de um aeroporto se move a 1,0 m/s e tem 35,0 m de 
comprimento. Se uma mulher pisa em uma das extremidades e caminha a 1,5 m/s em relação à esteira, 
quanto tempo ela necessita para chegar à extremidade oposta, se andar (a) na mesma direção que a esteira se 
move? (b) E se na direção oposta? 
 
2. Um homem corre em uma rua de direção sul-norte com uma velocidade de 6 km/h. O vento sopra na 
direção mostrada na Figura 1 com velocidade de 4 km/h. Determine a velocidade do vento relativa ao 
homem se ele (a) anda para o norte e (b) anda para o sul na rua. Expresse os resultados tanto em termos dos 
vetores unitários 𝚤̂ e 𝚥 ̂quanto dos módulos e direções da bússola. 
 Figura 1 
 
3. O trem A se desloca com uma velocidade constante de 120 km/h ao longo de um trilho reto e nivelado. O 
motorista do carro B, sabendo do cruzamento de nível com a linha férrea em C, diminui a velocidade do 
carro de 90 km/h a uma taxa de 3 m/s2. Determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do trem relativamente 
ao carro. 
 Figura 2 
 
4. O passageiro do avião B está voando para leste com uma velocidade de 800 km/h. Um jato militar se 
deslocando para o sul com uma velocidade de 1200 km/h passa sob B a uma altitude ligeiramente 
menor. Que velocidade A parece ter para um passageiro em B e qual é a direção da sua velocidade 
aparente? 
 Figura 3 
 
5. Um avião mantém uma velocidade de 630 km/h relativa ao ar em que está voando enquanto move-se para 
uma cidade a 750 km de distância ao norte. Em relação a terra sopra um vento a 35,0 km/h. (a) Que intervalo 
de tempo é necessário se o vento sopra para o sul? (b) Que intervalo de tempo é necessário se o vento sopra 
para o norte? (c) Que intervalo de tempo é necessário se o vento sopra para o leste? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soluções 
1. Uma esteira rolante horizontal do terminal de um aeroporto se move a 1,0 m/s e tem 35,0 m de 
comprimento. Se uma mulher pisa em uma das extremidades e caminha a 1,5 m/s em relação à esteira, 
quanto tempo ela necessita para chegar à extremidade oposta, se andar (a) na mesma direção que a esteira se 
move? (b) E se na direção oposta? 
(a) Quando a mulher caminha sobre a esteira no mesmo sentido do movimento da esteira temos o seguinte 
diagrama de velocidades: 
 
Neste diagrama a velocidade de um ponto B fixo na esteira em relação a um ponto fixo O no aeroporto é �⃗� , 
a velocidade da mulher em relação ao ponto O é �⃗� e a velocidade da mulher em relação ao ponto B na 
esteira é �⃗� . Como o movimento de A e B é ao longo do eixo 𝑥 temos, pelo diagrama, 
𝑣 = 𝑣 + 𝑣 
Pelo enunciado: 
𝑣 = 1,0 m/s, 𝑣 = +1,5 m/s 
logo 
𝑣 = 𝑣 + 𝑣 = 1,0 + 1,5 = 2,5 m/s 
Neste caso a extremidade oposta da esteira está na posição e 𝑥 = 35,0 m, e o tempo para a mulher chegar lá 
é 
𝑥 = 𝑥 + 𝑣 𝑡 → 35,0 = 0 + 2,5𝑡 → 𝑡 =
35,0
2,5
= 14,0 = 14 s 
(b) Se a mulher caminha no sentido oposto ao da esteira, o diagrama de velocidades é o da figura abaixo: 
 
Novamente, pelo diagrama, temos 
𝑣 = 𝑣 + 𝑣 
mas agora 
𝑣 = −1,5 m/s 
logo 
𝑣 = 𝑣 + 𝑣 = −1,5 + 1,0 = −0,5 m/s 
Neste caso, como a velocidade da mulher em relação a um ponto fixo no aeroporto é no sentido −𝑋, se a 
esteira começa em (0,0) então a sua extremidade oposta está na posição e 𝑋 = −35,0 m, e o tempo para a 
mulher chegar lá é 
𝑥 = 𝑥 + 𝑣 𝑡 → − 35,0 = 0 − 0,5𝑡 → 𝑡 =
35,0
0,5
= 70,0 = 70 s 
 
2. Um homem corre em uma rua de direção sul-norte com uma velocidade de 6 km/h. O vento sopra na 
direção mostrada na Figura 1 com velocidade de 4 km/h. Determine a velocidade do vento relativa ao 
homem se ele (a) anda para o norte e (b) anda para o sul na rua. Expresse os resultados tanto em termos dos 
vetores unitários 𝚤̂ e 𝚥 ̂quanto dos módulos e direções da bússola. 
 Figura 1 
 
(a) Seja �⃗� a velocidade do homem em relação a um ponto fixo na rua, �⃗� é a velocidade do vento em 
relação também ao ponto fixo na rua, e �⃗� é a velocidade do vento em relação ao homem. Quando o 
homem anda para o norte o diagrama de velocidades é 
 
Assim: 
�⃗� = �⃗� − �⃗� 
Pela Figura temos que a velocidade do vento (em km/h) é 
�⃗� = 4(−𝑐𝑜𝑠35° 𝚤̂ − 𝑠𝑒𝑛35° 𝚥̂) = −3,28𝚤̂ − 2,29𝚥̂ 
�⃗� = +6𝚥 ̂
Logo 
�⃗� = (−3,28𝚤̂ − 2,29𝚥)̂ − (6𝚥)̂ = −3,28𝚤̂ − 8,29𝚥 ̂
O módulo é 
𝑣 = 𝑣 + 𝑣 = 3,28 + 8,29 = 8,92 = 9 km/h 
A direção 𝜙 da bússola (imagine ou desenhe os quadrantes para visualizar) 
𝜙 = 𝑡𝑔
𝑣
𝑣
= 𝑡𝑔
−8,29
−3,28
= 68,41° (68° do oeste para o sul) 
(b) Se o homem anda para o sul o diagrama de velocidades é 
 
Como no item (a) temos 
�⃗� = �⃗� − �⃗� 
e também 
�⃗� = 4(−𝑐𝑜𝑠35° 𝚤̂ − 𝑠𝑒𝑛35° 𝚥̂) = −3,28𝚤̂ − 2,29𝚥̂ 
mas 
�⃗� = −6𝚥 ̂
Portanto: 
�⃗� = −3,28�̂� − 2,29𝚥̂ − (−6𝚥)̂ = −3,28𝚤̂ + 3,71𝚥̂ 
O módulo da velocidade do vento em relação ao homem agora é 
𝑣 = 𝑣 + 𝑣 = 3,28 + 3,71 = 4,95 = 5 km/h 
E a direção da bússola 
𝜙 = 𝑡𝑔
𝑣
𝑣
= 𝑡𝑔
+3,71
−3,28
= −48,52° (49° do oeste para o norte) 
 
3. O trem A se desloca com uma velocidade constante de 120 km/h ao longo de um trilho reto e nivelado. O 
motorista do carro B, sabendo do cruzamento de nível com a linha férrea em C, diminui a velocidade do 
carro de 90 km/h a uma taxa de 3 m/s2. Determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do trem relativamente 
ao carro. 
 Figura 2 
(a) O diagrama de velocidades do problema é 
 
A velocidade do trem A relativa ao carro B em termos das velocidades do referencial fixo na Terra (indicado 
na Figura), é 
�⃗� = �⃗� − �⃗� (1) 
Pela Figura, as velocidades (em km/h) do trem e do carro são 
�⃗� = 120(𝑐𝑜𝑠15° 𝚤̂ + 𝑠𝑒𝑛15° 𝚥̂) = 115,91𝚤̂ + 31,06𝚥 ̂
�⃗� = 90(𝑐𝑜𝑠60° 𝚤̂ + 𝑠𝑒𝑛60° 𝚥)̂ = 45,00�̂� + 77,94𝚥̂ 
Portanto: 
�⃗� = 115,91�̂� + 31,06𝚥̂ − (45,00𝚤̂ + 77,94𝚥)̂ = 70,9𝚤̂ − 46,9𝚥̂ 
(b) O diagrama de acelerações do problema é 
 
A derivada de (1) é a aceleração do trem relativamente ao carro 
�⃗� = �⃗� − �⃗� 
Dos dados do problema temos (acelerações em m/s2) 
�⃗� = 0 
�⃗� = −3(𝑐𝑜𝑠60° 𝚤̂ + 𝑠𝑒𝑛60° 𝚥)̂ = −1,50𝚤̂ − 2,60𝚥 ̂
Portanto: 
�⃗� = 0 − (−1,50𝚤̂ − 2,60𝚥̂) = 1,5𝚤̂ + 2,6𝚥 ̂
 
4. O passageiro do avião B está voando para leste com uma velocidade de 800 km/h. Um jato militar se 
deslocando para o sul com uma velocidade de 1200 km/h passa sob B a uma altitude ligeiramente 
menor. Que velocidade A parece ter para um passageiro em B e qual é a direção da sua velocidade 
aparente? 
 Figura 3 
 
O problema pede a velocidade do jato militar A relativa ao jato ao avião B, logo 
�⃗� = �⃗� − �⃗� 
O diagrama de vetores, de acordo com o enunciado do problema, é: 
 
Algebricamente temos: 
�⃗� = −1200𝚥̂ 
�⃗� = 800𝚤̂ 
logo 
�⃗� = −1200𝚥̂ − 800𝚤̂ = −800𝚤̂ − 1200𝚥̂ 
A velocidade aparente (módulo) é 
𝑣 = 800 + 1200 = 1442 km/h 
E a direção 
𝜃 = 𝑡𝑔
−1200
−800
= 56,3° (do oeste para o sul) 
 
5. Um avião mantém uma velocidade de 630 km/h relativa ao ar em que está voando enquanto move-se para 
uma cidade a 750 km de distância ao norte. Em relação a terra sopra um vento a 35,0 km/h. (a) Que intervalo 
de tempo é necessário se o vento sopra para o sul? (b) Que intervalo de tempo é necessário se o vento sopra 
para o norte? (c) Que intervalo de tempo é necessário se o vento sopra para o leste? 
(a) Chamaremos o avião de A e o vento de B (uma vez que o avião vai ter uma velocidade relativa ao 
vento). Consideraremos o eixo 𝑦 apontando na direção norte, e o eixo 𝑥 na direção leste. O diagrama de 
velocidades quando o vento sopra para o sul é 
 
A velocidade do vento (em km/h) relativa a terra é 
�⃗� = −35,0𝚥 ̂
e a velocidade do avião (em km/h) relativa ao vento é 
�⃗� = 630𝚥 ̂
Pela equação da velocidade do movimento relativo temos 
�⃗� = �⃗� − �⃗� 
630 𝚥̂ = �⃗� − (−35,0𝚥̂) 
�⃗� = (630 − 35)𝚥̂ = 595𝚥̂ 
Logo,o tempo necessário para a viagem é 
𝑡 =
𝑑
𝑣
=
750
595
= 1,26 h 
(b) Se o vento é de cauda, neste caso do sul para norte, então o diagrama de velocidades é: 
 
A velocidade do vento é 
�⃗� = 35,0𝚥 ̂
e 
�⃗� = �⃗� − �⃗� 
Assim: 
630 𝚥̂ = �⃗� − (35,0𝚥)̂ 
�⃗� = (630 + 35)𝚥̂ = 665𝚥̂ 
Logo, o tempo necessário para a viagem é 
𝑡 =
𝑑
𝑣
=
750
665
= 1,13 h 
(c) Se o vento sopra para o leste: 
�⃗� = 35,0𝚤̂ 
Para o avião chegar ao seu destino em uma trajetória retilínea em relação a terra, ele precisará ter uma 
velocidade relativa ao ar tal que cancele o efeito do vento que tende a arrastá-lo para o leste. O diagrama de 
velocidades deverá ser o da figura abaixo: 
 
Assim: 
�⃗� = �⃗� − �⃗� 
𝑣 𝚤̂ + 𝑣 𝚥̂ = 𝑣 𝚥̂ − (35,0𝚤̂) 
ou 
𝑣 = −35,0 
𝑣 = 𝑣 
A velocidade do avião relativa ao ar é 630 km/h, portanto: 
𝑣 + 𝑣 = 630 
Assim: 
𝑣 = + 630 − 𝑣 = + 630 − (−35,0) = 629 km/h 
Portanto 
�⃗� = 629𝚥̂ 
Logo, o tempo necessário para a viagem é 
𝑡 =
𝑑
𝑣
=
750
629
= 1,19 h