Concreto Armado - Lajes

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1. INTRODUÇÃO 
1.1 DENOMINAÇÃO 
 Lajes são elementos de superfície plana (espessura relativamente menor que as demais dimensões), 
que estão sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano, tendo como função principal transmitir as 
cargas de utilização, aplicadas diretamente nos pisos, para as vigas, paredes ou pilares que as suportam. 
Servem também como contraventamento das estruturas (diafragmas) e como mesa de compressão em seção T 
de vigas. Além de serem utilizadas em edificações residenciais e comercias, tem utilidade também em galpões 
industriais, pontes, reservatórios, estruturas de contenção de terras, pistas de rodovias e aeroportos, etc. Quanto 
ao material constituinte, as lajes podem ser de concreto armado ou protendido. 
 O dimensionamento e o detalhamento das lajes são feitos de forma simplificada como se elas 
fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e impedidas ao movimento de translação, 
levando-se em conta a continuidade entre lajes adjacentes. Os esforços que devem ser considerados são 
momento fletor e esforço cortante, e eventualmente esforço normal. 
 A NBR 6118:2003 estabelece que uma peça pode ser tratada como laje se a altura da seção for 
inferior a cinco vezes a sua largura. 
1.2. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 
 As lajes podem ser classificadas de diversas formas: 
1.2.1 Classificação quanto à forma: poligonais (retangulares, quadradas, triangulares, etc), elípticas 
(circulares, anelares), etc; 
1.2.2 Classificação quanto à natureza: quanto à natureza, os tipos mais comuns de lajes são:
a) lajes maciças - são constituídas por uma placa maciça de concreto armado ou de concreto protendido, sendo 
as mais utilizadas nas edificações e pontes. São recomendadas para vãos de até 5m ou 6m, sendo que para vãos 
maiores elas se tornam antieconômicas devido ao aumento da espessura e conseqüentemente aumento do peso 
próprio. 
b) lajes nervuradas moldadas no local – são formadas por nervuras que concentram as armaduras para 
resistir à tração, e por um material inerte colocado entre as nervuras, possuindo também uma mesa de concreto 
na região comprimida. É utilizada para vencer vãos relativamente grandes. 
c) lajes com nervuras pré-fabricadas – nesta alternativa, as nervuras são compostas de vigotas pré-moldadas, 
que dispensam o uso do tabuleiro da fôrma tradicional. Essas vigotas são capazes de suportar seu peso próprio 
e as ações de construção, necessitando apenas de cimbramentos intermediários. Além das vigotas, essas lajes 
são constituídas de elementos de enchimento, que são colocados sobre os elementos pré-moldados, e também 
de concreto moldado no local. Há três tipos de vigotas, a saber: 
h 
h 
3
 
 concreto armado concreto protendido laje treliçada 
 Dentre as lajes citadas, pode-se afirmar que as lajes treliçadas estão sendo bastante utilizadas 
atualmente. Pelo fato das armaduras em treliça não possuírem barras transversais, como no caso de telas 
soldadas, suas extremidades podem ser facilmente encaixadas dentro da armadura das vigas de suporte das 
lajes, obtendo-se assim condições eficientes de ancoragem. As normas brasileiras que fazem referência às lajes 
treliçadas são NBR 14859-1, NBR 14859-2, NBR 14860-1, NBR 14860-2, NBR 14861-1 e NBR 14862-2. 
Programas de dimensionamento e especificação de lajes treliçadas podem ser encontrados nos sites de 
empresas como Gerdau, Belgo Mineira, Puma, etc.
d) lajes nervuradas com capitéis e vigas-faixa - nas regiões de apoio tem-se normalmente uma concentração 
de tensões transversais bastante significativa, podendo então ocorrer ruína por punção ou por cisalhamento, e 
que por serem ruínas bastante frágeis devem ser evitadas, garantindo-se que a ruína, caso ocorra, seja por 
flexão. Além disso, de acordo com o esquema estático adotado, pode ser que apareçam esforços solicitantes 
elevados, que necessitem de uma estrutura mais robusta. Nesses casos, entre as alternativas possíveis, pode-se 
adotar uma região maciça em volta do pilar, formando um capitel ou usar faixas maciças em uma ou em duas 
direções, constituindo vigas-faixa. 
e) lajes mistas – as lajes mistas são semelhantes às lajes nervuradas, sem a necessidade de mesa de concreto de 
compressão, mas com a obrigatoriedade de material de enchimento cerâmico capaz de resistir aos esforços de 
flexão. Pelas exigências quanto ao material de enchimento (resistência à compressão adequada), este tipo de 
laje acaba não sendo muito utilizado. 
f) lajes em grelha – estas lajes também são semelhantes às lajes nervuradas moldadas no local, mas com 
espaçamento entre nervuras superior a 1,10m. Este vigamento formado pelas nervuras é calculado como 
grelha, e a parte superior calculada como laje maciça contínua; 
4
g) lajes em painéis – muito utilizadas em obras industriais, sendo as mais conhecidas as lajes planas alveolares 
e as lajes tipo π . 
Exemplos de lajes alveolares – fonte: CASSOL 
5
Placa tipo “PI” – fonte Premold 
1.2.3 Classificação quanto ao tipo de apoio: 
Quanto ao tipo de apoio, as lajes podem ter: 
- apoio contínuo sobre uma linha (alvenaria, viga, parede de concreto); 
- apoio discreto (lajes cogumelo ou planas, diretamente apoiadas nos pilares); 
- apoio no solo (radier). 
1.2.4 Classificação quanto ao comportamento à flexão ou tipo de armação: em relação ao tipo de armação, 
as lajes podem ser de dois tipos: 
a) lajes armadas em uma só direção: as solicitações são predominantes segundo o menor vão, e esta situação 
acontece quando a relação entre o maior e o menor vão é superior a 2 (dois). Estas lajes são então calculadas 
como vigas, para uma largura de contribuição unitária (1m). Excepcionalmente, nos casos em que não houver 
apoios na direção menor, podem também ser armadas na direção maior. 
b) lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: neste caso, as solicitações acontecem em ambas as 
direções, e a relação entre o maior vão e o menor vão é menor ou igual a 2 (dois). 
 A figura a seguir esclarece as duas situações descritas acima, onde lx representa o menor vão e ly o 
maior vão: 
→> 2λ laje armada em uma única direção; 
→≤ 2λ laje armada em cruz ou em duas direções. 
6
1.3 CONDIÇÕES DE APOIO EM LAJES 
 Segundo hipóteses simplificadoras, uma determinada laje pode ser perfeitamente ou 
elasticamente engastada, ou pode ser simplesmente apoiada ao longo de um determinado bordo. Em estruturas 
usuais (edifícios residenciais ou comerciais) estas condições de apoio são de engastamento perfeito (quando 
existir continuidade entre lajes adjacentes) ou de apoio simples (se não existir continuidade com outra laje). 
Pode também acontecer de haver um bordo livre, e isto acontece quando não há ligação física com outro 
elemento estrutural, e os esforços (flexão, torção e cisalhamento) são nulos, existindo entretanto 
deslocamentos verticais. Para as lajes de contorno, com vigas de pequena largura (pouca inércia à torção), 
pode-se considerar a concepção de apoio simples, mas deve-se cuidar quando a viga de bordo tem grande 
rigidez à torção, pois podem surgir fissuras significativas nas lajes na região de ligação com as vigas, em 
virtude da ausência de armadura negativa. 
 Quando um bordo de uma laje tiver parte considerada engastada e parte considerada simplesmente 
apoiada, caso por exemplo de existirem rebaixos ou vazios, deve-se considerar uma dessas duas situações para 
o bordo como um todo: o bordo será engastado se o trecho com engaste )( 1yl for maior ou igual a 2/3 do 
comprimento total do bordo em questão )( yl , ou, caso contrário, o bordo será considerado simplesmente 
apoiado. 
 No caso de existirem rebaixos entre lajes adjacentes, pode-se fazer as seguintes considerações: 
a) se a laje estiver rebaixada (para qualquer rebaixo) e apoiada sobre alvenaria, o apoio será considerado 
simples; 
b) se a laje estiver rebaixada e apoiada sobre viga: se o rebaixo for menor ou igual à espessura da laje, oapoio poderá ser considerado engaste, caso contrário, considera-se como apoio simples. 
 A notação utilizada para os diversos tipos de apoio é: 
7
1.4 VÃOS EFETIVOS DAS LAJES 
Vãos efetivos, também conhecidos como vãos teóricos ou de cálculo, são aqueles que efetivamente 
vão ser considerados para a análise da laje, e são obtidos através dos vãos livres ( 0l ). Quando os apoios 
puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo (aquele que vai 
ser usado nos cálculos) deve ser calculado pela expressão: 
21 aall oef ++=
sendo: 
≤1a
h
t
3,0
2/1
 e 
h
t
a
3,0
2/2
2 ≤ 
Observação: na disciplina de CAR-II, em função das diferenças serem relativamente pequenas, será sempre 
adotado como vão efetivo, a distância entre eixos de apoios. 
1.5 ESPESSURA MÍNIMA DAS LAJES 
As espessuras finais das lajes devem respeitar os valores mínimos de espessura, e serem 
suficientemente rígidas para garantir um dimensionamento adequado e respeitar os estados limites de serviço 
(fissuração e deformação), procurando-se não utilizar armadura dupla. 
 Pelo critério de utilização, as lajes maciças devem obedecer às espessuras mínimas dadas pela NBR 
6118-2003: 
a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;
c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
8
e) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, considerando ainda vão/42 para lajes de piso 
biapoiadas e vão/50 para lajes de piso contínuas; 
f) 16 cm para lajes lisas; 
g) 14 cm para lajes cogumelo. 
Obs.: apesar de serem estes os valores estipulados pela norma, deve-se tomar cuidados principalmente com 
relação aos itens “a” e “b” fornecidos anteriormente, basicamente por não se levar em conta a grandeza do 
carregamento aplicado e a classe de agressividade ambiental a ser considerada, o que poderia levar a grandes 
recobrimentos da armadura. Outro fator que deve ser levado em conta é o fato de se não ser desejável que se 
tenha armadura dupla numa laje, preferindo-se então aumentar a espessura da mesma. 
1.5.1 ALTURA UTIL 
 Define-se altura útil (d) como sendo a distância do centro de gravidade da armadura tracionada até o 
bordo comprimido: 
 
 Assim: 
 2/φ−−= chd
 Na estimativa da altura de uma laje considerando valores práticos para lajes de edifícios de nível 1 
sem carregamento direto de alvenaria, pode-se usar as seguintes fórmulas: 
).006,0028,0.(
u
L
Ld
eng�
−=
onde: 
L – menor valor entre o menor vão e 0,67 do maior vão; 
engL� - somatória dos comprimentos dos lados engastados;
u – perímetro da laje. 
 Ou ainda, segundo apostila do prof. Libânio (USP – São Carlos): 
100
*).1,05,2( Ln
d
−
=
onde n é o número de bordos engastados e *.L é o menor valor entre o menor vão e 0,7 do maior vão. 
 No caso de lajes em balanço, pode-se usar: 
028,0).2( balLd =
e no caso de lajes nervuradas, pode-se usar as mesmas fórmulas anteriores, mas multiplicadas por 1,5. 
 Um outro critério prático considera tomar a espessura da laje como aproximadamente 2,5% do 
menor vão. 
Obs.: o critério considerado pela NBR 6118/78 considerava 
h d 
9
32 .ωω
xld =
onde os coeficientes 2ω e 3ω dependem da vinculação da laje e do tipo de aço, conforme pode ser visto no 
anexo no final da apostila. Como esta expressão não leva em conta o carregamento atuante nas lajes, deve-se 
tomar cuidado com sua aplicação. Os valores de 2ω e 3ω encontram-se no anexo II. 
2. CARREGAMENTO DAS LAJES
2.1 PESO PRÓPRIO (pp) – é a carga proveniente do peso próprio da estrutura: 
hpp conc .γ=
onde concγ representa o peso específico do concreto (25 kN/m
3 ), e h representa a espessura da laje. 
2.2 PESO DE REVESTIMENTO (rev) – composto pelo revestimento superior (contrapiso + acabamento) e 
pelo revestimento inferior. Quando não se sabe a priori esta informação, pode-se adotar o valor de 
 rev = 0,5 a 1,0 KN/m2 
 Para lajes de forro (sem impermeabilização) pode-se considerar a carga de revestimento como 
sendo de 0,3 KN/m2. 
2.3 PESO DE ENCHIMENTO ( encpp ) – a utilização de enchimento é comum no caso de lajes em rebaixo 
ou com pisos elevados. O seu peso é calculado como 
encencenc hpp .γ=
onde: 
encγ - peso próprio do enchimento; 
ench - espessura do enchimento. 
 O peso específico de diversos materiais de construção que podem ser utilizados como revestimento 
ou enchimento de uma laje pode ser obtido pela tabela do anexo I. 
2.4 CARREGAMENTO DEVIDO ÀS PAREDES (q par ) – como permite-se dispor paredes diretamente 
sobre as lajes (isto não é válido para lajes pré-moldadas com vigotas), deve-se calcular seu efeito, distinguindo-
se várias situações. Como este ítem não consta da norma NBR 6118:2003, o mesmo será aqui abordado 
segundo critérios da NBR 6118/78. 
10
a) parede isolada em laje armada em cruz – a carga pode ser disposta uniformemente distribuída, e 
calculada como 
2,1x
ll
V
q
yx
aa
par
γ
=
onde: 
aV - volume da alvenaria; 
aγ - peso específico da alvenaria; 
yx ll , - vãos teóricos da laje nas direções x e y; 
1,2 - coeficiente majorador para efeitos desfavoráveis de concentração de esforços na região da parede. 
b) várias paredes dispostas em lajes armadas em cruz – a carga será considerada uniformemente 
distribuída, e calculada como 
yx
aa
par
ll
V
q
γ
=
c) paredes segundo a menor dimensão em laje armada em uma só direção – considera-se que as cargas 
concentradas ou parcialmente distribuídas se distribuem a 45 graus até o plano médio de uma laje, segundo a 
figura abaixo: 
 A largura útil ( wb ) onde a parede “exerce influência” pode ser considerada como sendo igual à 
largura b da carga se b não for menor que o vão teórico L ou que o comprimento teórico (balanço) e, em caso 
contrário, igual a b acrescido de b∆ : 
- para momentos fletores positivos: 
)1(
)(2 11
L
b
L
aLa
b −
−
=∆
- para momentos fletores positivos, no caso particular de paredes em toda a extensão do vão: 
)1(
2
1
L
b
b −=∆
- para momentos fletores negativos: 
11
)1(
)2( 11
L
b
L
aLa
b −
−
=∆
- para momentos fletores negativos, no caso particular de paredes em toda a extensão do vão: 
)1(
4
3
L
bL
b −=∆
- para forças cortantes: 
)1(1
L
b
ab −=∆
- para momentos fletores em lajes em balanço: 
)1(5,1 1
L
b
ab −=∆
- para forças cortantes em lajes em balanço: 
-
)1(5,0 1
L
b
ab −=∆
 Nas fórmulas anteriores, 
1
a representa a distância do centro da carga ao apoio para cujo lado está a 
seção que se estuda. 
d) paredes segundo a maior dimensão em lajes armadas em uma só direção – neste caso a carga é suposta 
concentrada, no trecho sob influência da parede. 
 Resumidamente: 
b
w
 Pela figura anterior, tem-se: 
parparparparpar heqP ..γ==
 onde: 
pare - espessura da parede; 
parγ - peso específico do material da parede; 
12
parh - altura da parede (descontada a espessura da laje). 
Obs.: deve-se tomar cuidado com a compatibilização das unidades, uma vez que a carga q é dada para uma 
faixa unitária, e a carga devido às paredes é dada para uma faixa qualquer ( wb ) a ser calculada. 
2.4 CARGA ACIDENTAL (sc) 
 As cargas acidentais, também chamadas de cargas de utilização ou sobrecarga, são definidas pela 
NBR 6120 de acordo com a utilização da edificação (móveis, pessoas, materiais diversos, etc), conforme anexo 
no final da apostila. Assim, uma sala de um edifício residencial deve ser calculada para uma carga de utilização 
de 1,5 kN/m 2 , e uma laje destinada a um palco de teatro, deve ser calculada para uma carga de utilização de 5 
kN/m 2 . 
 Como cargas verticais especiais, tem-se como sugestão: 
- casa de máquinas e poço dos elevadores, a depender da velocidade dos mesmos (consultar sempre as 
especificações dos fabricantes quanto ao peso e velocidade do elevador): 
• casa de máquinas: 
 laje sobre a caixados elevadores: v ≤ 1m/s: sc = 30 kN/m 2
 v > 1m/s: sc = 50 kN/m 2
 laje adjacente à caixa dos elevadores: v ≤ 1m/s: sc = 5kN/m 2
 v > 1m/s: sc = 7kN/m 2
 forro da casa de máquinas: sc = 10 kN/m 2
• poço de molas dos elevadores (laje inferior): sc = 20 kN/m 2
- heliponto: como sugestão,deverá ser considerada uma carga vertical de 12 kN, concentrada na posição 
mais desfavorável, e uma carga uniformemente distribuída de 5 kN/m 2 . Segundo a norma alemã DIN 
1055, no caso de helipontos deve-se considerar uma carga uniformemente variável, em toda a área de 
pouso de pelo menos 5 kN/m 2 . Também, na posição mais desfavorável, deve-se considerar uma carga 
concentrada com intensidade entre 20 kN e 60 kN, distribuída em uma área quadrada de 0,2 a 0,3 m de 
lado, respectivamente. Esta carga deve ser aplicada com um coeficiente de impacto igual a 1,4, lembrando 
que os dois carregamentos não são superpostos, devendo-se considerar o caso mais desfavorável. 
- cargas móveis em pontes rodoviárias: vide NBR 7188/84; 
- cargas móveis em pontes ferroviárias : vide NBR 7189/85. 
2.5 CARGA TOTAL 
 A carga total atuante nas lajes de uma edificação, é a soma das cargas permanentes e da sobrecarga, 
podendo-se escrever 
 q = pp + rev + sc 
 Eventualmente, deve-se considerar também a carga devido às paredes. 
13
3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES 
 Existem vários métodos para se determinar os esforços em lajes (reações de apoio, momento fletor, 
esforço cortante, etc), sendo que os mais usuais são: 
- teoria das placas (teoria da elasticidade); 
- processos aproximados, obtidos da teoria das placas, que fornecem tabelas e gráficos práticos; 
- método das linhas de ruptura (método das charneiras plásticas); 
- métodos numéricos em geral (método dos elementos finitos, método das diferenças finitas, etc). 
3.1 LAJES RETANGULARES ARMADAS EM UMA SÓ DIREÇÃO 
 As lajes armadas em uma só direção são aquelas em que a relação entre o maior e o menor vão é 
maior que 2, ou quando se tem uma laje em balanço (o apoio é um engaste). Para as diversas situações de 
apoio, as lajes armadas em uma só direção são calculadas para uma faixa de largura unitária, como sendo uma 
viga. Assim, tem-se como calcular as reações de apoio (kN/m) ou os momentos fletores (kNm/m) para cada 
faixa: 
²
²
²
²
²
²
Observação: na realidade, as lajes armadas em uma só direção possuem armaduras nas duas direções. A 
armadura principal, na direção do menor vão, é calculada para resistir o momento fletor através de vigas-faixa, 
sendo que na outra direção (maior vão) utiliza-se somente uma armadura construtiva (ou de distribuição), com 
o objetivo de solidarizar as faixas de laje da direção principal, prevendo-se uma eventual concentração de 
esforços. O dimensionamento e o detalhamento destas armaduras serão visto nos próximos capítulos. 
3.2 LAJES RETANGULARES ARMADAS EM CRUZ (OU EM DUAS DIREÇÕES) 
 Como já foi visto em item anterior, uma laje é armada em cruz quando: 
2≤
menor
maior
l
l
14
 Nestas lajes, as armaduras das duas direções são calculadas para resistir os momentos fletores 
nestas direções. 
3.2.1TIPOS DE LAJES RETANGULARES ARMADAS EM CRUZ - antes de se calcular os esforços 
atuantes nas lajes armadas em cruz, é necessário definir os tipos mais comuns de lajes retangulares armadas 
em cruz, em função de suas condições de apoio. Tem-se então: 
Laje tipo 1 - todas as bordas simplesmente apoiadas: 
Laje tipo 2 - um único bordo engastado: 
Laje tipo 3 - dois bordos “consecutivos” engastados: 
Laje tipo 4 - dois bordos “opostos” engastados: 
Laje tipo 5 - cinco bordos engastados: 
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Laje tipo 6 - todos os bordos engastados: 
 Nas figuras anteriores, é importante definir o que vem a ser o lado xl . Inicialmente xl é definido 
como sendo o lado que contém o maior número de engastes. Caso o número de engastes seja igual nas duas 
direções, xl é definido como sendo o lado de menor dimensão. 
 
3.2.2 PROCESSO DAS GRELHAS – é o processo mais antigo, simples e que serve de base para o processo 
de Marcus. Este método considera que se pode isolar duas faixas, na direção x e na direção y, e calcular a 
flecha no seu centro geométrico. Cada faixa “recebe” um quinhão de carga ( xq ou yq ), em função da flecha, 
e que depende basicamente de sua condição de apoio nos bordos. Como o ponto médio das duas faixas, x e y, é 
único, indivisível, deve-se ter, no cruzamento da faixa x com o cruzamento da faixa y a igualdade das flechas: 
yx ff =
 Definindo-se também para os diversos tipos de lajes armadas em cruz, os termos: 
xM - momento fletor positivo (inferior) na direção x 
yM - momento fletor positivo (inferior) na direção y 
xX - momento fletor negativo (superior) na direção x 
yX - momento fletor negativo (superior) na direção y 
tem-se a seguinte tabela: 
TIPO
Xf yf xq xM yM xX yX
1 EI
lq xx
4
384
5
EI
lq yy
4
384
5
q
ll
l
yx
y
44
4
+ 8
2
xxlq
8
2
yy lq 0 0 
2 EI
lq xx
4
384
2
EI
lq yy
4
384
5
q
ll
l
yx
y
44
4
52
5
+ 22,14
2
xxlq
8
2
yy lq
8
2
xxlq 0 
3 EI
lq xx
4
384
2
EI
lq yy
4
384
2
q
ll
l
yx
y
44
4
+ 22,14
2
xxlq
22,14
2
yy lq
8
2
xxlq
8
2
yy lq
4 EI
lq xx
4
384
1
EI
lq yy
4
384
5
q
ll
l
yx
y
44
4
5
5
+ 24
2
xx lq
8
2
yy lq
12
2
xxlq 0 
5 EI
lq xx
4
384
1
EI
lq yy
4
384
2
q
ll
l
yx
y
44
4
2
2
+ 24
2
xx lq
22,14
2
yy lq
12
2
xxlq
8
2
yy lq
6 EI
lq xx
4
384
1
EI
lq yy
4
384
1
q
ll
l
yx
y
44
4
+ 24
2
xx lq
24
2
yy lq
12
2
xxlq
12
2
yy lq
16
 Tem-se também: 
qkq xx .= qkq yy .= 1=+ yx kk qqq yx =+
3.2.3 PROCESSO DE MARCUS – as fórmulas conhecidas pelo processo de Marcus são baseadas nas 
equações do método das grelhas, e mesmo fornecendo valores aproximados, são largamente aplicadas. As lajes 
tratadas por este processo, são lajes maciças de espessura constante, com formato retangular, apoios contínuos 
ao longo dos quatro bordos e submetidas à carga uniformemente distribuídas por unidade de área. A diferença 
deste método e o método das grelhas é a introdução de um fator de correção 
xV e yV , para os momentos 
positivos xM e yM , fator este que é função das condições de apoio e da relação entre os vãos. Assim: 
2.3
.20
1
λα x
x
x
k
V −= � xgrelhaxx VMM .,=
2
3
.20
1 λ
α y
y
y
k
V −= � ygrelhayy VMM .,=
onde 
x
y
l
l
=λ , 
q
q
k xx = , 
q
q
k
y
y =
 Os fatores xα e yα dependem da condição de apoio nas direções x e y respectivamente e valem: 
 A partir da formulação de Marcus e de manipulações matemáticas, é possível obter as tabelas 
encontradas no anexo desta apostila, que dependem somente da relação entre os vãos (
xy ll /=λ ) e do tipo 
de laje. Observe que o numerador de todas as fórmulas, tanto para momento positivo como para momento 
negativo, possuem o mesmo termo ( 2. xlq ). Assim: 
x
x
x
m
ql
M
2
= 
y
x
y
m
ql
M
2
= 
x
x
x
n
ql
X
2
= 
y
x
y
n
ql
X
2
=
 Deve-se lembrar que na determinação destes esforços, a unidade obtida é de momento por metro 
linear (tf.m/m, kN.m/m, etc). 
 Obs.: as fórmulas vistas anteriormente atendem somente às lajes retangulares apoiadas ou 
engastadas no seu contorno e submetidas a uma carga uniforme. Para situações especiais, deve-se consultar 
outras tabelas como as tabelas de Czerny, Stiglat/Wippel,Barès, Szilard, Kalmanoch, Timoshencko, Bruckner, 
e outras, que deverão ser vistas em literatura apropriada. Particularmente, as tabelas de Czerny são úteis em 
edificações onde a carga predominante é uniformemente distribuída, podendo ser usadas para lajes com um 
bordo livre e para carregamento triangular, sendo também bastante utilizadas para caixas d’água. 
22,14=α 24=α
8=α
17
3.3 REAÇÕES DE APOIO 
 As ações atuantes nas lajes são transferidaspara as vigas de apoio, sendo que o procedimento de 
cálculo proposto pela NBR 6118:2003 baseia-se no comportamento em regime plástico, a partir da posição 
aproximada das linhas de plastificação, também denominadas de charneiras plásticas. Este procedimento é 
conhecido como processo das áreas. 
 Como já foi visto anteriormente, para se calcular as reações de apoio de lajes apoiadas numa única 
direção basta calculá-las como sendo vigas com uma faixa unitária, e com a devida condição de apoio. Para 
lajes armadas em cruz sujeitas a cargas uniformemente distribuídas, pode-se criar simplificadamente “linhas” 
ou retas inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes ângulos: 
- 45 graus entre dois apoios do mesmo tipo; 
- 60 graus a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; 
- 90 graus a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
 Simplificadamente, as reações obtidas podem ser consideradas uniformemente distribuídas sobre os 
elementos estruturais que servem de apoio para as lajes, que normalmente são as vigas, na unidade de força por 
unidade de comprimento. Na verdade, as reações têm uma distribuição não uniforme, em geral com valores 
máximos na parte central das bordas, diminuindo nas extremidades. 
 Para os diversos tipos de lajes, teremos então as seguintes classificações: 
Laje tipo 1: 
ya
y
xy
xa
x
ya
R
l
ll
R
ql
R
−
=
=
2
4
Laje tipo 2: 
18
xya
xexa
x
y
xy
xe
yx
qlR
RR
ql
l
ll
R
ll
183,0
577,0
634,0
366,0
:366,1
=
=
−
=
≤
 
y
x
yx
xexa
yxe
yx
ql
l
ll
R
RR
qlR
ll
ya 2
683,0
577,0
433,0
:366,1
−
=
=
=
>
Laje tipo 3: 
yeya
xye
xexa
x
y
xy
xe
RR
qlR
RR
ql
l
ll
R
575,0
317,0
577,0
634,0
2
2
=
=
=
−
=
Laje tipo 4: 
19
xya
x
y
xy
xe
yx
qlR
ql
l
ll
R
ll
144,0
2
289,0
732,1
=
−
=
≤
 
y
x
yx
ya
yxe
yx
ql
l
ll
R
qlR
ll
2
866,0
433,0
:732,1
−
=
=
>
Laje tipo 5: 
yeya
x
ye
x
y
xy
xe
yx
RR
ql
R
ql
l
ll
R
ll
577,0
4
4
789,02
:268,1
=
=
−
=
≤
 
yeya
y
yx
ye
yxe
yx
RR
ql
l
ll
R
qlR
ll
x
577,0
634,0
634,0
317,0
:268,1
=
−
=
=
>
Laje tipo 6: 
20
ye
y
xy
xe
x
ye
R
l
ll
R
ql
R
−
=
=
2
4
3.4 LAJES POLIGONAIS 
 Para se calcular as reações de apoio para uma laje poligonal, pode-se usar os conceitos de linhas de 
ruptura ou dividi-la em trechos retangulares. Assim, para o exemplo abaixo, tem-se para o cálculo das reações 
de apoio: 
 Ainda, dividindo esta laje em trechos retangulares tem-se: 
Ou: 
21
 Nos dois casos anteriores, a intersecção dos dois trechos de lajes retangulares funciona como se 
fosse uma viga imaginária “embutida”, de dimensões b (da experiência do projetista)x h (altura da laje), que 
deve ser convenientemente armada. Comparativamente, na hipótese de se dividir em trechos retangulares, a 
primeira solução é melhor porque conduz a uma viga “embutida” com menor vão. 
4. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DA ARMADURA DAS LAJES 
MACIÇAS 
4.1 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO 
 O dimensionamento da armadura de flexão (superior e inferior) é feito de acordo com os critérios da 
NBR 118:2003 vistos na disciplina de CAR-I, considerando-se flexão normal simples para armadura positiva 
(inferior) e para armadura negativa (superior), e levando-se em conta as combinações de carregamento do 
ELU. 
 Uma vez que os momentos fletores são calculados por unidade de comprimento, a seção para 
dimensionamento terá altura útil (d) e largura unitária, sendo que não é usual considerar-se armadura dupla, 
aumentando-se a altura da laje para evitar esta situação. A altura útil d pode ser tomada como 
2/princchd φ−−= para momento principal e 
2/secφφ −−−= princchd para momento secundário, 
onde princφ é a bitola escolhida para combater o momento principal, e secφ é a bitola escolhida para combater 
o momento secundário. Por questões práticas, recomenda-se adotar secφφ ≥princ . 
Armadura positiva 
Armadura negativa 
22
 Como não se conhece a priori a bitola da armadura a ser dimensionada, para lajes maciças 
revestidas, usuais em edifícios (comerciais e residenciais), pode-se adotar simplificadamente: 
Agressividade
 Ambiental 
Recobrimento (c) - 
cm 
Altura útil principal 
( )princd
Altura útil secundária 
( )secd
CAA-I 2,0 h – 2,5 h – 3,5 
CAA-II 2,5 h – 3,0 h – 4,0 
CAA-III 3,5 h – 4,0 h – 5,0 
CAA-IV 4,5 h – 5,0 h – 6,0 
 Para a elaboração da tabela anterior, considerou-se um diâmetro de 10,0 mm tanto para a armadura 
principal como para a armadura secundária, o que é bastante a favor da segurança. Então, nos casos em que se 
tem previsão de diâmetros menores (5,0 ou 6,3 mm), pode-se descontar ainda um valor aproximado de 0,5 mm. 
 Já no caso de dimensionamento da armadura negativa, e conforme prescrições da norma que 
recomenda recobrimento de 1,5 cm para lajes convenientemente revestidas, pode-se utilizar: 
2−= hd
 Então, para 
wb = 100 cm, e utilizando-se as unidades de KN e cm, pode-se determinar os termos de 
dimensionamento à flexão simples, através das tabelas apropriadas: 
 
)/( 2
2
mcm
d
Mk
Aktabela
M
db
k dasa
d
w
m =���=
 Obtida a seção de aço necessária (em cm 2 /m), pode-se usar as tabelas que fornecem bitolas e 
espaçamentos a serem usados, como a tabela encontrada no anexo. Quando da determinação do diâmetro da 
armadura de flexão, torna-se necessário levar em conta a necessidade de se evitar fissuração excessiva da peça, 
sendo conveniente usar barras de pequeno diâmetro pouco espaçadas entre si. Também não se deve usar 
armadura dupla para lajes, aumentando-se a sua espessura quando necessário. 
No cálculo dos momentos fletores negativos, consideram-se os apoios internos de lajes contínuas 
como perfeitamente engastados. Na realidade, isto pode não ocorrer. Em um pavimento, em geral, as lajes 
adjacentes diferem nas condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, resultando, no apoio 
comum, dois valores diferentes para o momento negativo. Daí a necessidade de promover a compatibilização 
desses momentos. Na compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em adotar o maior 
valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável aproximação quando 
os dois momentos são da mesma ordem de grandeza. Assim, para o dimensionamento da armadura negativa 
entre as lajes 1 e 2 da figura a seguir, tem-se: 
23
��
�
�
�
��
�
�
	 +
≥
Xmaiordo
XX
X
%80
2
21
sendo X a nomenclatura utilizada para denominar o momento negativo, e cujo dimensionamento segue os 
mesmos procedimentos vistos anteriormente. 
Obs.: quando, na seção crítica adotada para dimensionamento, a direção das armaduras diferir das direções das 
tensões principais em mais de 15 graus, esse fato deve ser considerado no cálculo estrutural. 
4.1.1 GARANTIA DE DUCTILIDADE 
 Nas regiões de apoio das lajes devem ser garantidas boas condições de ductilidade, e no caso de 
análise elástica linear deve-se verificar a posição da linha neutra: 
24
�≤ 5,0/ dx para concretos com MPaf ck 35≤
�≤ 4,0/ dx para concretos com MPaf ck 35>
 Mesmo que a norma não exija que x/d ≤ 0,5, no dimensionamento das seções nos vãos das lajes, 
recomenda-se que esta restrição seja adotada também nesses casos para garantir qualquer necessidade de 
pequena redistribuição de esforços que possa aparecer nesses locais, devido por exemplo à flexibilidade nos 
apoios que muitas vezes não é considerada nas análises. Grandes flexibilidades de apoio geram grandes 
redistribuições que devem ser analisadas adequadamente. 
4.2 VERIFICAÇÃO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO 
 Dificilmente há a necessidade de se utilizar armadura transversal nas lajes usuais de edifícios, 
apoiadas ao longo do seu contorno, para resistir aos esforços de tração que surgem em função da força cortante. 
No estado limite último, é feita a comparaçãoentre o esforço cortante máximo de cálculo e a resistência de 
cálculo das seções transversais, sem a adição de armadura transversal.. Se a resistência é superior à solicitação, 
está garantida a segurança no ELU. Esta verificação é feita conforme equação abaixo: 
→≤ 1Rdsd VV não há necessidade de armadura de cisalhamento 
onde: 
sdV - esforço cortante solicitante de cálculo, que normalmente é a máxima reação de apoio da laje por largura 
de referência (geralmente 1 metro), e que é determinada com a combinação de Estado Limite Último crítica. 
1RdV - esforço cortante resistente de cálculo (para lajes sem protensão): 
dbkV wRdRd ).402,1.(. 11 ρτ +=
onde: 
Rdτ - tensão resistente de calculo do concreto ao cisalhamento que vale: 
ctdRd f25,0=τ e cctkctd ff γ/inf,=
k – coeficiente que tem os seguintes valores: 
- para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: 1=k ; 
- para os demais casos: dk −= 6,1 , não menor que 1 , com d em metros. 
dbA ws /11 =ρ , não maior que 0,02, sendo que 1sA é a armadura de tração que se estende até não menos 
que ( )necbld ,+ além da seção considerada, com necbl , definido na disciplina de CAR-I. A distribuição desta 
armadura ao longo da laje deve respeitar o prescrito na NBR 6118:2003 no item 18.3.2.3.1, considerando para 
la o valor 1,5d; 
wb - largura mínima da seção ao longo da altura útil d. 
25
 Caso se verifique a necessidade de se usar armadura para força cortante, usam-se os modelos já 
estudados na disciplina de CAR-I (modelo I ou II), tomando-se o cuidado de se limitar a resistência dos 
estribos para lajes com espessura até 15 cm em 250 Mpa. Somente para lajes com espessura superior a 35 cm 
pode ser usada a resistência dos estribos Mpaf ywd 435≤ , interpolando-se linearmente este valor para lajes 
com espessura entre 15 e 35 cm. 
4.3 DETALHAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO E PRESCRIÇÕES REGULAMENTARES 
 Para uma determinada laje existem dois tipos básicos de armadura: as armaduras positivas 
(principal e secundária), que são colocadas na face inferior, e as armaduras negativas, que são colocadas na 
face superior da laje. Para estes dois tipos de armadura devem ser verificados alguns itens com vista a um bom 
detalhamento: 
4.3.1 Recobrimento – o recobrimento da armadura de uma laje deve atender as especificações da nova NB1, 
conforme visto em CAR I, dependendo da agressividade do meio ambiente (CAA), e usando-se no mínimo um 
valor igual ao diâmetro das barras. 
Valor do cobrimento nominal (mm) para diversas classes de agressividade ambiental 
Classe I Classe II Classe III Classe IV 
20 25 35 45 
 Para a face superior das lajes que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos 
finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado 
desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser 
simplificadas para cobrimento maior ou igual ao diâmetro da barra, com cobrimento mínimo de 1,5cm. 
 Para garantir o cobrimento previsto em norma, devem ser fixados às barras de armadura 
dispositivos especiais (espaçadores de forma), os quais podem ser plásticos, de argamassa, ou outros materiais, 
como pode ser observado na figura a seguir, para um determinado pilar, mas que pode também ser usado para 
lajes. 
26
- espaçadores plásticos: 
 
- protetores para armadura: 
- cone de encosto: 
4.3.2 Bitola – a NBR 6118/2003 estipula que no detalhamento da armadura de lajes não se deve utilizar 
diâmetros maiores que h/8, onde h é a espessura da laje, sendo que nada é citado com relação ao diâmetro 
mínimo. Por razões construtivas, mesmo que se possa utilizar bitolas de 4,2 mm (CA 60), recomenda-se 
utilizar para armadura positiva um diâmetro mínimo de 5,0 mm. Para o caso de momentos negativos, a 
experiência mostra que se deve usar pelo menos uma bitola de 6,3 mm, uma vez que esta armadura é colocada 
na face superior e está sujeita a ficar em posição inferior devido ao intenso movimento dos trabalhadores 
durante a colocação da armadura e durante a concretagem. 
4.3.3 Taxa de armadura mínima – como as lajes armadas nas duas direções têm outros mecanismos 
resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos dados para 
peças lineares, devendo a armadura ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas 
soldadas: 
- armadura negativa: minρρ ≥s
- armadura positiva de lajes armadas nas duas direções: 
min
67,0 ρρ ≥s
- armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção: minρρ ≥s
- armadura positiva (secundária ou construtiva) de lajes armadas em uma direção:
mcm
A princs
s
/9,0
5,0
%20
2
minρρ ≥
Nas situações citadas anteriormente tem-se: 
27
hb
A
w
s
s =ρ
com b w =100cm, h = espessura da laje (cm) e A s a armadura de tração dada em mcm /
2 . 
Os valores de minρ dependem do ckf adotado e da forma da seção, tendo-se então para lajes: 
ckf (Mpa)
20 25 30 35 40 45 50 
minρ 0,15 0,15 0,173 0,201 0,23 0,259 0,288 
 Como exemplo, para uma laje armada em uma direção com espessura 15cm, com concreto classe 
C25, a armadura mínima positiva a ser adotada seria: 
mcmhAs /25,2.15,0
2min ==
 No caso de uma laje armada em cruz teríamos: 
mcmhAs /5,1.1,0
2min ==
4.3.4 Taxa de armadura máxima – o valor máximo de armadura de flexão deve respeitar o valor de 
crs A%4
max ≤ρ
4.3.5 Espaçamento entre as barras: o espaçamento máximo entre as barras da armadura, visando garantir a 
uniformidade de comportamento admitida nos cálculos, deve obedecer: 
- para armadura principal positiva (maior momento positivo): 
cm
h
e
20
2
≤
 
- para armadura secundária positiva (menor momento positivo) deve-se verificar: 
cme 33≤ 
 
 Como critério prático, é aconselhável não se adotar espaçamento superior a 25 cm. 
- para armadura negativa: 
cme 25≤ . 
 Como critério prático de espaçamento mínimo entre as barras da armadura pode-se considerar 8cm, 
valor este que facilita a execução (concretagem) da laje. 
4.3.6 Ancoragem nos apoios – considera-se que as barras inferiores estejam adequadamente ancoradas, desde 
que se estendam, pelo menos, de um valor igual a 10φ a partir da face dos apoios. Nas extremidades do 
edifício, elas costumam ser estendidas até junto dessas extremidades, respeitando-se o cobrimento 
especificado, ou ainda, um procedimento bastante comum tem sido o uso de um comprimento de eixo a eixo 
dos apoios. 
28
4.3.7 Representação – o detalhamento da armadura de uma laje deve ser feito isoladamente para a armadura 
positiva (inferior) e negativa (superior), a menos que a quantidade de lajes a serem detalhadas seja pequena. 
Estas armaduras devem obedecer a planta de forma já fornecida, e conter tabela de armadura e resumo do aço 
(peso) envolvido para o detalhamento em questão. As armaduras são representadas esquematicamente, de 
modo a facilitar a compreensão do desenho na obra. A representação da barra deve conter a quantidade, a 
identificação do ferro, a bitola utilizada, o comprimento das barras e o espaçamento entre as mesmas, e são 
usualmente estendidas, a favor da segurança, de apoio a apoio da laje. 
- detalhamento usual da armadura positiva: 
 Inicialmente, com o objetivo de se ter detalhamentos que não gerem dúvidas, costuma-se fazer um 
desenho para a armadura positiva e outro para armadura negativa, não se esquecendo dos diversos detalhes 
envolvidos. 
 A quantidade de ferros numa determinada direção pode ser obtida dividindo-se o vão livre 
correspondente pelo espaçamento e arredondando-se para um valor inferior. 
 Como foi dito anteriormente, o comprimento do ferro pode ser obtido simplificadamente 
utilizando-se a distância de eixo a eixo, respeitando-se o cobrimento da armadura, a ancoragem mínima e a 
força a ancorar. 
 Para numeração das barras, começa-se pelas barras horizontais, da esquerda para a direita e de cima 
para baixo. Numeradas todas as barrashorizontais, numeram-se as barras verticais, girando-se o desenho de 90 
graus no sentido horário, o que equivale a posicionar o observador à direita do desenho. Continua-se a 
numeração seguindo o mesmo critério adotado para as barras horizontais. 
 Para lajes apoiadas em vigas, consideradas suficientemente rígidas, pode-se também dispor as 
armaduras de acordo com os seguintes arranjos, lembrando que a NBR 6118/1978 só permitia alternar a 
amadura positiva para espaçamentos menores ou iguais a 16cm. 
29
- 1ª opção de detalhamento da armadura positiva: armadura alternada pelo centro ( yx ll ≤ ) 
- 2ª opção de detalhamento da armadura positiva: armadura alternada pelas faces ( yx ll ≤ ) 
- armadura de tela soldada: a NBR 6118:2003 permite o uso de telas soldadas que podem proporcionar 
maior facilidade na execução. As malhas a serem utilizadas podem quadradas (Q), longitudinais (L) ou 
transversais (T), sendo que as bitolas podem variar de 3 a 12,5 mm. Os espaçamentos são normalmente 
padrões, variando a 10, 15 ou 30 cm. As telas podem ser fornecidas em rolos ou painéis, com largura 
padronizada de 2,45m, e as emendas são feitas pela superposição das malhas. Detalhamentos fora do 
padronizado, podem também serem executados mediante consulta às empresas. Maiores informações podem 
ser obtidas junto ao Instituto Brasileiro de Telas Soldadas (www.ibts.org.br). 
30
Armadura Simples
 
Armadura Composta
- DETALHAMENTO USUAL DA ARMADURA NEGATIVA NOS APOIOS INTERNOS: as armaduras 
resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje, chamada também de armadura negativa, são estendidas 
de modo a “cobrir” o diagrama de momento fletor, numa extensão para cada lado de ¼ do maior dos menores 
vãos adjacentes considerados. 
Obs.: segundo recomendações do IBRACON, pode-se também fazer uso de armadura negativa intercalada. 
31
 Para numeração, segue-se o mesmo procedimento feito para a armadura positiva. 
 Também é necessária a utilização de uma armadura de montagem, para que se mantenha a posição 
correta da armadura negativa, que é costumeiramente colocada antes da concretagem. Um detalhe típico deste 
tipo de armadura (caranguejo) é mostrado na figura a seguir: 
 
- detalhamento da armadura de canto: nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas 
simplesmente apoiadas, há uma tendência ao levantamento provocado pela atuação de momentos volventes 
(momentos torçores). Quando não for calculada armadura específica para resistir a esses momentos, deve ser 
disposta uma armadura especial, denominada armadura de canto. Esta armadura de canto deve ser composta 
por barras superiores paralelas à bissetriz do ângulo do canto e barras inferiores a ela perpendiculares. Tanto a 
armadura superior quanto a inferior deve ter área de seção transversal, pelo menos, igual à metade da área da 
armadura no centro da laje, na direção mais armada. As barras deverão se estender até a distância igual a 1/5 do 
menor vão da laje, sendo que deverão ser medidas a partir das faces dos apoios. A armadura inferior pode ser 
substituída por uma malha composta por duas armaduras perpendiculares, conforme indicado na figura abaixo. 
Como em geral as barras da armadura inferior são adotadas constantes em toda a laje, não é necessária 
armadura adicional inferior de canto. Já a armadura superior se faz necessária e, para facilitar a execução, 
32
recomenda-se adotar malha ortogonal superior com seção transversal, em cada direção, não inferior à metade 
da outra armadura. 
- detalhamento usual da armadura de bordo – nas bordas da laje, junto às vigas de apoio, costuma-se 
posicionar uma armadura ( sysxbordas AouAA 25,0, ≥ ) com extensão de 1/5 do vão considerado, visando 
atenuar uma eventual fissuração proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Esta armadura torna-
se importante quando existe uma grande rigidez à torção das vigas de bordo, lembrando-se que muitos 
calculistas, em situações “normais” não a consideram. 
- armadura em balanços: as lajes em balanço são bastante utilizadas em sacadas de edifícios ou residências, 
devendo ser convenientemente dimensionada e detalhada.
Uma laje em balanço será sempre considerada engastada na laje adjacente, independente da laje (em 
balanço) estar rebaixada ou não. Deve-se cuidar para que a laje adjacente tenha espessura maior ou igual à laje 
que está em balanço. 
 A armadura de flexão superior para balanços deve ser calculada para o momento total do 
balanço considerando-se para uma faixa unitária uma carga distribuída “g” (peso próprio + revestimento) e 
uma sobrecarga devido à utilização “q”. Na ponta do balanço, considera-se uma carga concentrada devido ao 
peso próprio da extremidade “g1” (que pode ser uma mureta ou uma grade metálica) e devido a uma carga 
vertical linear mínima de utilização “q1” de 2 kN/m. Também é necessário considerar uma carga de 0,8 kN/m 
a altura do corrimão (vide NBR 6120). 
33
 No caso de existir uma parede ou gradil em torno da laje, deve-se considerar sua influência através 
das fórmulas vistas no item 2.4. 
 
mkNPPP
parscrevppq
scperm /2
(?)
≥+=
+++=
 
PqlR
hPl
ql
M
+=
++= 8,0
2
2
 O detalhamento desta armadura pode ser de acordo com a figura abaixo, podendo-se utilizar somente os 
ferros N1 ou intercalar a armadura encontrada para comprimentos totais (N1) e metade do comprimento do 
balanço (N2): 
34
Obs.: 
a) no caso de uma laje em balanço, deve-se lembrar que quando de sua construção ela possui um 
escoramento provisório que faz com que também a face inferior esteja tracionada exigindo uma armadura 
devidamente calculada e posicionada; 
b) quando existir uma laje em balanço adjacente a uma laje pré-moldada ou nervurada, para que não haja 
esforço de torção na viga de apoio, é conveniente que se coloque uma faixa maciça nestas lajes com 
comprimento suficiente para se posicionar a armadura; 
c) na disciplina de CAR-II será utilizado o detalhamento de armadura inteira (não intercalada com armadura 
menor); 
d) toda armadura negativa (superior) deve possuir uma armadura de distribuição por questões construtivas. 
Esta armadura pode ser especificada através de um detalhe genérico na folha de armação, podendo-se 
utilizar uma bitola pequena (4,2mm, 5mm) num espaçamento de 20 a 30 cm. O peso desta armadura deve 
constar no resumo geral da folha. 
- armadura em bordos livres e aberturas: quando da existência de lajes com bordas livres ou com aberturas, 
deve-se utilizar um “reforço” na armadura, respeitando-se os valores mínimos dados na figura abaixo: 
5. LAJES NERVURADAS 
5.1 DEFINIÇÃO E VANTAGENS 
 Quando se tem vãos relativamente grandes, as lajes maciças podem atingir espessuras tão grandes 
que a maior parte de sua capacidade resistente seria utilizada no combate às solicitações devidas ao peso 
próprio, tornando a estrutura antieconômica. Surge então a necessidade de se reduzir o peso próprio, o que 
pode ser feito suprimindo-se uma parte do concreto que “não trabalha”, na zona tracionada da laje, e 
agrupando-se as armaduras de tração em faixas, chamadas de nervuras, entre as quais pode ser colocado 
material inerte como tijolos de argila, blocos de concreto poroso, placa de gesso, isopor, etc. 
35
Laje nervurada bidirecional. 
Laje nervurada unidirecional. 
36
Laje nervurada treliçada. 
 Entre as vantagens das lajes nervuradas, pode-se relacionar: 
- obtenção de estruturas mais leves no caso de lajes que vencem grandes vãos; 
- o material de enchimento pode servir como isolante térmico e acústico, com qualidades superiores ao do 
concreto utilizado; 
 A utilização de lajes nervuradas também apresenta algumas desvantagens, tais como: 
- absorção da água do concreto, quando se utilizam tijolos não suficientemente molhados como material de 
enchimento, o que, por falta de orientação adequada, faz com que muitas vezes se acrescente água ao 
concreto, e consequentemente se reduz a resistência do mesmo; 
- a distribuição de cargas concentradasnão é feita de forma tão eficiente quanto nas lajes maciças; 
- quando da utilização de dutos embutidos, estes devem ser sempre colocados na região da nervura (caso 
“a”) para que não se diminua a pequena espessura da mesa de concreto, evitando-se passar o duto na capa 
de concreto (caso “b”), para que não haja comprometimento de sua resistência à compressão. 
 Para as lajes nervuradas moldadas no local, todas as etapas de execução são realizadas "in loco". 
Portanto, é necessário o uso de fôrmas e de escoramentos, além do material de enchimento. Pode-se utilizar 
fôrmas apropriadas para substituir os materiais inertes, feitas normalmente em polipropileno ou em metal, com 
dimensões moduladas, sendo necessário utilizar desmoldantes iguais aos empregados nas lajes maciças. 
37
5.2 DIMENSÕES MÍNIMAS – as dimensões mínimas de uma laje nervurada devem atender: 
- a espessura da mesa ( )fh deve ser maior ou igual a 1/15 da distância “a” entre nervuras ou 3 cm 
(aconselha-se utilizar pelo menos um valor de 4 cm, quando não houver tubulações embutidas; 
- a largura das nervuras ( )wb deve ser maior ou igual a 5 cm; 
- se houver armadura de compressão, as nervuras não podem ter largura inferior a 8 cm. 
 No caso de existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo de 12,5 mm, a espessura da mesa 
deve ser de no mínimo 4 cm. 
5.3 MATERIAL DE ENCHIMENTO 
 Para material de enchimento são utilizados diversos materiais, com a condição de que sejam 
“leves”, mas com resistência suficiente para suportar as operações de execução, lembrando-se que a resistência 
do material de enchimento não é considerada no cálculo das lajes. Os materiais de enchimento mais utilizados 
são blocos cerâmicos, blocos vazados de concreto e blocos de EPS (poliestireno expandido), também 
conhecido como isopor. Esses blocos podem ser substituídos por vazios, obtidos com fôrmas constituídas por 
caixotes reaproveitáveis. 
 Os blocos cerâmicos ou de concreto são mais usados nas lajes com vigotas pré-moldadas, devido à 
facilidade de execução, sendo bons isolantes térmicos, porém apresentampeso específico relativamente 
elevado. 
Por sua vez, os blocos de EPS são bastante utilizados, tanto em lajes nervuradas concretadas no local, 
como em lajes treliçadas pré-moldadas. A utilização de EPS garante um bom isolamento térmico e acústico, 
permite a execução de teto plano, apresenta facilidade de corte, é resistente às operações de montagem das 
armaduras e de concretagem, permite uma adequada distribuição de cargas devido ao seu baixo módulo de 
elasticidade, e finalmente, favorece a cura do concreto por ter um coeficiente de absorção bastante baixo. 
38
 Uma outra opção é a utilização de caixotes reaproveitáveis, que em sua maioria são de polipropileno 
ou de metal, propiciando uma redução significativa do peso próprio da laje em função dos vazios que resultam 
na sua utilização. Estas fôrmas podem ser utilizadas dezenas de vezes, sendo que para a sua retirada pode-se 
injetar ar comprimido ou utilizar desmoldantes, dispensando também o uso de tabuleiro tradicional, 
necessitando-se somente de pranchas colocadas na região das nervuras. 
 
39
 Independentemente do material de enchimento a ser utilizado, aconselha-se sempre verificar os 
catálogos próprios dos fabricantes, para correta utilização do peso específico e dimensões dos blocos. Como 
sugestão de peso próprio pode-se utilizar: 
 Blocos Sikal: γ = 4 KN/m 3 
 Blocos de argamassa: γ = 8 KN/m 3
 Blocos de EPS: γ = 0 KN/m 3
 
5.4 CRITÉRIOS DE PROJETOS 
 Para critérios de projetos, deve-se verificar: 
a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a 
verificação da flexão da mesa, ou seja, pode-se calcular a laje nervurada como se fosse uma laje maciça, 
com as devidas adaptações. Para a verificação do cisalhamento da região das nervuras permite-se usar os 
critérios de laje maciça; 
b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da 
mesa e as nervuras serão verificadas ao cisalhamento como sendo vigas. Permite-se essa verificação como 
laje se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 
12 cm. 
c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser 
projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus valores mínimos de 
espessura. 
 Obs.: Nas lajes nervuradas, atuando numa só direção, é importante que existam nervuras 
transversais convenientemente distribuídas quando existirem cargas concentradas ou necessidade de 
suavização da variação das flechas ao longo da direção transversal às nervuras principais. Como valor prático, 
sugere-se o uso de uma nervura transversal para vãos maiores que 4m, e duas nervuras transversais para vãos 
maiores que 6m. Também é conveniente que o apoio das lajes seja feito ao longo de uma nervura. Caso seja 
necessária a utilização de estribos nas lajes nervuradas, o espaçamento entre eles não deve ser maior que 20 
cm. 
5.5 MÉTODO DE CÁLCULO 
Na disciplina de CAR-II será somente estudado o caso em que as nervuras distem no máximo 65 cm. 
No dimensionamento de uma laje nervurada, a resistência à tração é concentrada na armadura das nervuras, e 
os materiais de enchimento têm como função única substituir o concreto, sem colaborar na resistência. Por isto, 
para as lajes nervuradas, procura-se evitar engastes e balanços, visto que, nesses casos, têm-se esforços de 
compressão na face inferior, região em que a área de concreto é reduzida. Então, considera-se que as lajes estão 
simplesmente apoiadas (tipo 1). 
 O método de cálculo para as lajes nervuradas pode ser então resumido em: 
a) determinação da geometria que define a estrutura, lembrando-se que para os limites impostos pela NBR 
6118/2003 a laje nervurada pode ser calculada como uma laje maciça, com uma espessura equivalente, 
por qualquer procedimento clássico simplificado e plenamente justificado. Considera-se a laje como 
sendo do tipo 1, com vãos yx ll ≤ . 
b) cálculo do carregamento: o carregamento em uma laje nervurada consiste de peso próprio, sobrecarga 
devido à utilização, revestimento e eventuais paredes, sendo estes últimos idênticos ao já visto para lajes 
maciças. Assim: 
parscrevppq +++=
- determinação do peso próprio para laje nervurada em duas direções (maior vão/menor vão ≤ 2): 
40
)).(.(..
)(
100
.
)(
100
.
'' encconcfyx
yx
conc hhtt
btbt
hpp γγγ −−
++
−=
- determinação do peso próprio para lajes nervuradas em uma só direção (vão maior/vão menor > 2): 
´ ´ ´ ´
´
41
)).(.(..
)(
100
.
' encconcfx
x
conc hht
bt
hpp γγγ −−
+
−=
c) determinação dos momentos fletores e reações de apoio por metro de laje, considerando as fórmulas para 
laje tipo 1 ou laje apoiada em uma só direção; 
d) determinação da armadura (cm2/m), tomando-se o cuidado de se verificar a armadura mínima de flexão, e 
posterior transformação desta para armadura por nervura: 
nervcmnervurasdeeixosentredistxmcmAs /.)/(
22 →→
e) detalhamento da armadura (feito por nervura). 
Obs.: quando existir um laje maciça em balanço adjacente a uma laje nervurada, deve-se utilizar uma faixa 
maciça (mostrada na planta de forma) ao longo do balanço com largura equivalente ao vão do balanço, para 
que a armadura negativa deste último possa ser considerada engastada. Caso isto não seja feito, deve-se prever 
o efeito de torção na viga entre a laje nervurada e a laje em balanço. 
5.6 VERIFICAÇÕES 
Para as lajes nervuradas, pode er necessário fazer as seguintes verificações: flexão nas nervuras, 
cisalhamento nas nervuras, flexão na mesa, cisalhamento na mesa e flecha da laje. Estes itens não serão 
abordados na disciplina de CAR-II, devendo-se procurar bibliografia apropriada. 
6. LAJES MISTAS 
As lajes mistas são semelhantes às lajes nervuradas, tendo como diferenças básicas a não 
obrigatoriedade da existência de capasuperior de concreto e o fato de os tijolos, colocados entre as nervuras, 
trabalharem à compressão, contribuindo para a resistência total da laje. Como estes tijolos devem possuir 
elevada resistência, devem também passar por rigoroso controle de qualidade elevando os custos de produção. 
No Brasil, onde praticamente só se encontram os tijolos comuns, para os quais não há garantia de valor mínimo 
e nem de uniformidade na resistência à compressão, a utilização de lajes mistas caiu em desuso, sendo então 
somente citadas nesta apostila. 
7. VERIFICAÇÕES DE ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 
Tanto para lajes moldadas no local, como para lajes pré-fabricadas, a verificação dos estados limites 
de serviço consiste da verificação da abertura de fissuras e das deformações excessivas, incluindo-se 
deslocamentos e vibrações indesejadas. 
7.1 VERIFICAÇAO DA DEFORMAÇAO EXCESSIVA EM LAJES 
Na verificação das deformações, deve-se utilizar sempre as ações em serviço, e comparar o 
deslocamento máximo obtido com o deslocamento limite. Essa verificação só pode ser feita adequadamente 
para as lajes fissuradas e com o conhecimento da armadura. 
 Para lajes armadas em uma única direção, pode-se determinar as flechas da mesma maneira que 
vigas, considerando-se a laje como uma viga de largura igual a um metro. Para lajes armadas em duas direções, 
a NBR 6118 sugere que se façam adaptações no procedimento utilizado para vigas. 
42
 Desde que os momentos fletores das lajes sejam menores que o momento de fissuração, podem ser 
utilizados os valores de rigidez Estádio I, considerando o módulo de elasticidade secante do concreto, devendo-
se também considerar a possibilidade de fissuração (Estádio II). 
7.1.1 ROTEIRO PARA A VERIFICAÇAO DE DEFORMAÇAO EM LAJES ARMADAS EM UMA 
ÚNICA DIREÇÃO: 
 Como roteiro, pode-se utilizar os seguintes passos: 
1) obtenção das cargas e momentos em serviço ( serM ), separando-se as cargas permanentes ( kg ) e 
acidentais ( kq ), e um fator de ponderação das ações 2ψ conforme visto em CAR I (tabela 11.2 da 
NBR 6118:2003): 
kkser qgp .2ψ+=
qkgkser MMM .2ψ+=
2) determinação do momento de fissuração, para definir o estádio que deve ser considerado para 
representar o comportamento da laje 
 
t
cmct
fis
y
If
M
.. ,α=
onde: 
- 2,1=α para lajes nervuradas; 
- 5,1=α para lajes maciças. 
- mctf , é a resistência à tração do concreto. 
- 
cI é o momento de inércia da seção bruta de concreto:
12
. 3hb
I wc = , com wb = 100 cm.; 
- ty é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada: 
2/hdyt −=
3) Se fisser MM ≤ , a flecha imediata pode ser obtida no Estádio I (sem fissuração): 
Ics
ser
o
IE
Lp
a
.
.
.
4
β=
onde: 
- L é o vão de cálculo da laje; 
- 
csE é o módulo de elasticidade secante do concreto; 
- II é a inércia no estádio I 
- β depende da vinculação e do tipo de carga, valendo para os casos mais simples: 
43
 apoio-apoio apoio-engaste engaste-engaste 
Carga uniformemente distribuída 5/384 2/384 1/384 
4) Se yserfis MMM << determina-se a flecha imediata, que considera a rigidez equivalente, ou seja, 
a seção encontra-se fissurada: 
 ( ccsII
a
fis
c
a
fis
cseq IEI
M
M
I
M
M
EEI ≤
��
�
�
�
��
�
�
	
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
−+��
�
�
��
�
�
=
33
1.)
e 
 
eq
ser
o
EI
Lp
a
)(
.
.
4
β=
onde 
•
aM é o momento fletor na seção crítica do vão considerado (momento máximo no vão para lajes 
biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços), para a combinação de ações considerada 
nesta avaliação, ou seja, é o serM na seção critica do vão considerado; 
• fisM é o momento de fissuração da peça, visto anteriormente, devendo ser reduzido à metade no caso 
de utilização de barras lisas; 
• cI é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
• csE é o módulo de elasticidade secante do concreto ( ckcs fxxEE ci .560085,085,0 == ); 
• III é o momento de inércia da seção fissurada no Estádio II , calculado com 
cs
s
e
E
E
=α , podendo-se 
adotar também o valor de 15 para o resultado desta última equação. Para se calcular o valor de III é 
necessário calcular primeiramente a linha neutra. Tem-se então, para seção retangular com armadura 
simples: 
 )
.
..2
11(
.
sE
w
w
sE
II
A
db
b
A
x
α
α
++−=
 2
3
).(.
3
.
IIsE
IIw xdA
xb
I
II
−+= α
5) obtido o valor da flecha imediata ( oeqa ), é necessário considerar o efeito do tempo no concreto, e 
conseqüentemente o valor da flecha final a ser comparado com o valor limite especificado em norma: 
oftotal aaa ).1( +=
sendo 
'501 ρ
ξ
α
+
∆
=f
44
onde: 
)501( 'ρ+ é o fator que considera a redução da deformação pela presença de armadura de 
compressão; 
db
A
w
s
.
'
'
=ρ é a taxa geométrica da armadura de compressão, sendo 'sA a área da armadura de 
compressão no trecho considerado; 
)()( 0tt ξξξ −=∆
ondeξ é o coeficiente que leva em conta o aumento da deformação e é função da duração da carga dado pela 
expressão aproximada: 
32,0.996,0.68,0)( tt t=ξ para t ≤ 70 meses e 
)(tξ = 2 para t>70 meses. 
 O quadro a seguir indica a correspondência entre t, dado em meses e )(tξ : 
(t) 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70 
)(tξ 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 
onde: 
- t é o tempo, em meses, para o qual se deseja calcular o valor da flecha diferida no tempo; 
- 0t é a idade, em meses, quando se aplicou a carga de longa duração. 
 
 No caso de lajes, com ausência de armadura comprimida, tem-se: 
ξα ∆=f
 Assim, considerando por exemplo um tempo de desforma de 15 dias (0,5 mês), tem-se que 
fα =1,46, e o fator )1( fα+ =2,46. 
 Caso a flecha final não atenda ao ELS, é necessário alterar as características da peça (altura, 
armadura, fck), ou então prever uma contra-flecha na execução da laje. 
 
7.1.2 ROTEIRO PARA A VERIFICAÇAO DE DEFORMAÇAO EM LAJES ARMADAS EM DUAS 
DIREÇÕES: 
Para lajes armadas em duas direções, a NBR 6118:2003 não apresenta nenhuma indicação precisa 
sobre o procedimento a ser utilizado, devendo-se considerar a possibilidade de fissuração. Portanto, se o 
momento de serviço é menor que o momento de fissuração, a verificação da flecha pode ser feita no estádio I. 
 Da mesma forma, no caso de ser necessário considerar a fissuração, deve-se calcular uma rigidez 
equivalente, conforme visto anteriormente: 
45
 ( ccsII
a
fis
c
a
fis
cseq IEI
M
M
I
M
M
EEI ≤
��
�
�
�
��
�
�
	
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
−+��
�
�
��
�
�
=
33
1.)
devendo ser considerado o momento crítico na menor direção da laje. 
 Determinada a rigidez equivalente, calcula-se o valor da flecha, sendo que nos casos mais simples, 
pode-se utilizar tabelas que representem bem as condições de vinculação da laje. Para estudos mais precisos, 
aconselha-se utilizar métodos numéricos mais elaborados. 
7.2 VERIFICAÇAO DA ABERTURA DE FISSURAS EM LAJES 
A verificação da abertura de fissuras em lajes de concreto armado, se faz de maneira análoga à das 
vigas, conforme visto na disciplina de CAR I. A abertura máxima característica das fissuras, considerando-se 
combinações freqüentes de carregamento, deve ser da ordem de 0,2mm (CAA IV) a 0,4mm (CAA I) para que 
não haja preocupação com a corrosão das armaduras passivas. Deve-se porém lembrar da importância da 
aceitabilidade sensorial, uma vez que as fissuras podem causar desconforto psicológico nos usuários, apesar de 
não representarem perda de segurança da estrutura em si. Como roteiro para a avaliação da abertura de fissuras 
em lajes, podemos utilizar: 
1) determinação do momento em serviço com combinação freqüente de ações: 
 qkgkserk MMM .1, ψ+=
2) cálculo da posição da linha neutra no estádio II: 
 }
.
..2
11(
.
sE
w
w
sE
II
A
db
b
A
x
α
α
++−=
onde: 
• csE EE /=α é a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, sendo que o cálculo 
no estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do 
concreto) pode ser feito considerandoa relação 15=Eα ; 
• sA é a armadura de flexão da laje; 
• wb =100 cm e 
• d é a altura útil da laje 
 No caso de haver nervura, tanto a linha neutra como a inércia devem ser obtidos usando-se as 
expressões para seção T. 
3) obtenção do valor da tensão na armadura, considerando a seção retangular no estádio II: 
)
3
.(
,
II
s
serk
s x
dA
M
−
=σ
4) no caso de não haver nenhum tipo de ensaio, obtenção da resistência à tração do concreto: 
ctmf
3/23,0 ckf= , em Mpa 
46
5) determinação da área que interessa para avaliar a fissuração e da taxa de armadura correspondente: 
crcrcr HBA .=
cr
s
r A
A=ρ
onde: 
- crB é a largura da área determinada pelo retângulo formado pela distância menor que φ5,7 . No caso das 
lajes se o espaçamento s é menor que φ15 usa-se crB =100 cm. Se for maior, pode-se considerar a taxa de 
armadura referida a uma só barra de armadura. 
- crH é a altura da área para a avaliação da fissuração que nas lajes pode ser o cobrimento c mais φ8 . 
6) obtenção da estimativa do valor da abertura de fissuras: 
ctm
s
s
s
i fE
σσ
η
φ
ω
.3
..
.5,121
=
��
�
�
��
�
�
+= 45
4
..
.5,122 rs
s
i E ρ
σ
η
φ
ω
 7) comparação do menor valor com o limite dado na tabela 13.3 da NBR 6118, e correspondente à classe 
de agressividade. Caso o menor valor da abertura é maior que o limite, deve-se escolher uma bitola menor ou 
então aumentar a seção transversal (altura da laje). 
Obs.: se uma determinada laje atende às exigências de cobrimento e armadura mínima, há a possibilidade de 
não ser necessária a avaliação ou estimativa da abertura d fissura. Isto é possível se os valores da bitola e do 
espaçamento respeitarem os valores máximos correspondentes à determinada tensão na armadura, obtida no 
estádio II (em serviço), as quais estão relacionadas na tabela abaixo. Em caso contrário, a estimativa do valor 
da abertura de fissuração deve ser feita. 
Tensão de barra Valores máximos
)(Mpasσ )(max mmφ )(max cms
160 32 30 
200 25 25 
240 16 20 
280 12,5 15 
320 10 10 
360 8 6 
 Na maioria dos casos, as lajes usuais de edifícios não apresentam problemas de fissuração, já que 
geralmente possuem tensões na armadura em serviço abaixo de 240 Mpa e espaçamento abaixo de 20 cm, mas 
mesmo assim, e principalmente para lajes de grandes vãos e carregamentos, é interessante se verificar a 
fissuração conforme fórmulas anteriores. 
47
8 CONSIDERAÇÃO DE FUROS E ABERTURAS EM LAJES: 
 Normalmente os furos têm dimensões pequenas em relação às peças, enquanto as aberturas 
apresentam dimensões relativamente grandes. Furos muito próximos um do outro devem ser tratados como 
aberturas. 
 Para estes casos, não são permitidas lajes lisas ou cogumelo. As lajes devem ser armadas em duas 
direções e para aberturas que atravessam lajes na direção de sua espessura, as seguintes condições devem ser 
simultaneamente verificadas, para que não se precise fazer nenhum reforço extra e nem verificar a influência 
na resistência e na deformação da laje: 
a) as dimensões da abertura devem apresentar no máximo 1/10 do menor vão; 
b) a distância entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser no mínimo ¼ do vão, na direção 
considerada; 
c) a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser pelo menos a metade do menor vão. 
 Quando estes itens não são respeitados, deve-se verificar o efeito das aberturas na resistência e 
deformação das lajes, fazendo-se os devidos reforços. 
9. CUIDADOS GERAIS NO PROJETO E NA EXECUÇAO DE LAJES 
 Um dos cuidados essenciais para se evitarem flechas excessivas em lajes é quanto à retirada de 
formas e escoramento. A experiência tem mostrado que a retirada prematura do escoramento leva muitas vezes 
à fissuração e flechas excessivas, comprometendo de forma praticamente irreversível a obra. 
 Sendo as lajes elementos com elevada superfície específica, a perda de água no concreto fresco 
efetua-se de modo muito rápido, principalmente nas regiões tropicais. Torna-se portanto necessária uma 
cuidadosa cura, mantendo a superfície superior das lajes coberta por película de água, principalmente durante 
os primeiros sete dias de idade. 
 Podem ocorrer fissuras, inclusive no sentido transversal, de lajes armadas em uma só direção devido 
aos fenômenos de retração e variação de temperatura, e as armaduras de distribuição contribuem para minorar 
esta ocorrência. 
 Em lajes com grandes vãos, especialmente em balanço, deve-se especificar no projeto contra-
flechas, as quais tem como finalidade compensar as deflexões que irão ocorrer quando do carregamento da laje. 
No cálculo desta contra-flecha deve-se levar em conta inclusive o fenômeno.da deformação lenta. 
 Nas lajes rebaixadas, ou quando se usam vigas invertidas, deve-se ter o cuidado de detalhar as 
armaduras d laje como indicado na figura abaixo, de modo a garantir que a viga dê efetivo apoio à laje. Além 
disto, a armadura transversal da viga deve prever a suspensão da reação de laje (armadura somada à de 
cisalhamento), que é um carregamento inferior para a viga. 
48
ANEXOS 
49
ANEXO I - Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações (NBR 6120)
50
51
52
 
53
54
ANEXO II - DEFINIÇÃO DA ESPESSURA ÚTIL DE UMA LAJE SEGUNDO A NBR 6118/78 
(FONTE: APOSTILA PROF. LIBANIO – SÃO CARLOS/SP) 
55
56
57
ANEXO III – TABELA DE DIMENSIONAMENTO PARA SEÇÃO RETANGULAR (KN, cm) 
Km Ka Ky Kx Kz 
fck50 fck45 fck40 fck35 fck30 fck 25 fck 20 fck15 CA25 CA50 CA60
0,010 0,013 0,995 33,107 36,785 41,383 47,295 55,178 66,213 82,767 110,356 0,046 0,023 0,019
0,020 0,025 0,990 16,637 18,486 20,796 23,767 27,728 33,274 41,592 55,457 0,046 0,023 0,019
0,030 0,038 0,985 11,148 12,386 13,935 15,925 18,579 22,295 27,869 37,159 0,047 0,023 0,019
0,040 0,050 0,980 8,403 9,337 10,504 12,005 14,006 16,807 21,008 28,011 0,047 0,023 0,020
0,050 0,063 0,975 6,757 7,508 8,446 9,653 11,262 13,514 16,893 22,524 0,047 0,024 0,020
0,060 0,075 0,970 5,660 6,289 7,075 8,086 9,433 11,320 14,150 18,867 0,047 0,024 0,020
0,070 0,088 0,965 4,877 5,418 6,096 6,967 8,128 9,753 12,191 16,255 0,048 0,024 0,020
0,080 0,100 0,960 4,289 4,766 5,362 6,127 7,149 8,578 10,723 14,297 0,048 0,024 0,020
0,090 0,113 0,955 3,833 4,258 4,791 5,475 6,388 7,665 9,581 12,775 0,048 0,024 0,020
0,100 0,125 0,950 3,467 3,853 4,334 4,954 5,779 6,935 8,669 11,558 0,048 0,024 0,020
0,110 0,138 0,945 3,169 3,521 3,961 4,527 5,282 6,338 7,922 10,563 0,049 0,024 0,020
0,120 0,150 0,940 2,920 3,245 3,650 4,172 4,867 5,841 7,301 9,734 0,049 0,024 0,020
0,130 0,163 0,935 2,710 3,011 3,388 3,872 4,517 5,420 6,775 9,034 0,049 0,025 0,020
0,140 0,175 0,930 2,530 2,811 3,163 3,614 4,217 5,060 6,325 8,433 0,049 0,025 0,021
0,150 0,188 0,925 2,374 2,638 2,968 3,392 3,957 4,748 5,935 7,914 0,050 0,025 0,021
0,160 0,200 0,920 2,238 2,487 2,797 3,197 3,730 4,476 5,595 7,460 0,050 0,025 0,021
0,170 0,213 0,915 2,118 2,353 2,647 3,025 3,530 4,235 5,294 7,059 0,050 0,025 0,021
0,180 0,225 0,910 2,011 2,235 2,514 2,873 3,352 4,022 5,028 6,704 0,051 0,025 0,021
0,190 0,238 0,905 1,916 2,129 2,395 2,737 3,193 3,831 4,789 6,386 0,051 0,025 0,021
0,200 0,250 0,900 1,830 2,033 2,288 2,614 3,050 3,660 4,575 6,100 0,051 0,026 0,021
0,210 0,263 0,895 1,753 1,947 2,191 2,504 2,921 3,505 4,382 5,842 0,051 0,026 0,021
0,220 0,275 0,890 1,682 1,869 2,103 2,403 2,804 3,365 4,206 5,608 0,052 0,026 0,022
0,230 0,288 0,885 1,618 1,798 2,023 2,312 2,697 3,237 4,046 5,394 0,052 0,026 0,022
0,240 0,300 0,880 1,560 1,733 1,950 2,228 2,600 3,119 3,899 5,199 0,052 0,026 0,022
0,250 0,313 0,875 1,506 1,673 1,882 2,151 2,510 3,012 3,765 5,020 0,053 0,026 0,022
0,260 0,325 0,870 1,456 1,618 1,820 2,080 2,427 2,913 3,641 4,854 0,053 0,026 0,022
0,270 0,338 0,865 1,410 1,567 1,763 2,015 2,351 2,821 3,526 4,702 0,053 0,027 0,022
0,280 0,350 0,860 1,368 1,520 1,710 1,954 2,280 2,736 3,420 4,560 0,053 0,027 0,022
0,290 0,363 0,855 1,329 1,476 1,661 1,898 2,214 2,657 3,321 4,428 0,054 0,027 0,022
0,300 0,375 0,850 1,2921,435 1,615 1,845 2,153 2,584 3,230 4,306 0,054 0,027 0,023
0,310 0,388 0,845 1,258 1,397 1,572 1,796 2,096 2,515 3,144 4,192 0,054 0,027 0,023
0,320 0,400 0,840 1,225 1,362 1,532 1,751 2,042 2,451 3,064 4,085 0,055 0,027 0,023
0,330 0,413 0,835 1,195 1,328 1,494 1,708 1,992 2,391 2,989 3,985 0,055 0,028 0,023
0,340 0,425 0,830 1,167 1,297 1,459 1,668 1,945 2,335 2,918 3,891 0,055 0,028 0,023
0,350 0,438 0,825 1,141 1,268 1,426 1,630 1,901 2,282 2,852 3,803 0,056 0,028 0,023
0,360 0,450 0,820 1,116 1,240 1,395 1,594 1,860 2,232 2,790 3,720 0,056 0,028 0,023
0,370 0,463 0,815 1,092 1,214 1,365 1,561 1,821 2,185 2,731 3,641 0,056 0,028 0,024
0,380 0,475 0,810 1,070 1,189 1,338 1,529 1,784 2,140 2,676 3,567 0,057 0,028 0,024
0,390 0,488 0,805 1,049 1,166 1,312 1,499 1,749 2,098 2,623 3,497 0,057 0,029 0,024
0,400 0,500 0,800 1,029 1,144 1,287 1,471 1,716 2,059 2,574 3,431 0,058 0,029 0,024
0,410 0,513 0,795 1,011 1,123 1,263 1,444 1,684 2,021 2,527 3,369 0,058 0,029 0,024
0,420 0,525 0,790 0,993 1,103 1,241 1,418 1,655 1,986 2,482 3,309 0,058 0,029 0,024
0,430 0,538 0,785 0,976 1,084 1,220 1,394 1,626 1,952 2,440 3,253 0,059 0,029 0,024
0,440 0,550 0,780 0,960 1,066 1,200 1,371 1,600 1,920 2,400 3,199 0,059 0,029 0,025
0,450 0,563 0,775 0,945 1,049 1,181 1,349 1,574 1,889 2,361 3,148 0,059 0,030 0,025
0,460 0,575 0,770 0,930 1,033 1,163 1,329 1,550 1,860 2,325 3,100 0,060 0,030 0,025
0,470 0,588 0,765 0,916 1,018 1,145 1,309 1,527 1,832 2,290 3,054 0,060 0,030 0,025
0,480 0,600 0,760 0,903 1,003 1,129 1,290 1,505 1,806 2,257 3,010 0,061 0,030 
0,490 0,613 0,755 0,890 0,989 1,113 1,272 1,484 1,781 2,226 2,968 0,061 0,030 
0,500 0,625 0,750 0,878 0,976 1,098 1,255 1,464 1,757 2,196 2,928 0,061 0,031 
0,510 0,638 0,745 0,867 0,963 1,084 1,239 1,445 1,734 2,167 2,890 0,062 
58
0,520 0,650 0,740 0,856 0,951 1,070 1,223 1,427 1,712 2,140 2,854 0,062 
0,530 0,663 0,735 0,846 0,940 1,057 1,208 1,409 1,691 2,114 2,819 0,063 
0,540 0,675 0,730 0,836 0,928 1,045 1,194 1,393 1,671 2,089 2,785 0,063 
0,550 0,688 0,725 0,826 0,918 1,033 1,180 1,377 1,652 2,065 2,754 0,063 
0,560 0,700 0,720 0,817 0,908 1,021 1,167 1,362 1,634 2,042 2,723 0,064 
0,570 0,713 0,715 0,808 0,898 1,010 1,155 1,347 1,617 2,021 2,694 0,064 
0,580 0,725 0,710 0,800 0,889 1,000 1,143 1,333 1,600 2,000 2,666 0,065 
0,590 0,738 0,705 0,792 0,880 0,990 1,131 1,320 1,584 1,980 2,640 0,065 
0,600 0,750 0,700 0,784 0,871 0,980 1,120 1,307 1,569 1,961 2,614 0,066 
0,610 0,763 0,695 0,777 0,863 0,971 1,110 1,295 1,554 1,943 2,590 0,066 
0,620 0,775 0,690 0,770 0,856 0,963 1,100 1,283 1,540 1,925 2,567 0,067 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
Kx = 0,4 situação limite entre armadura simples e dupla para momento negativo com fck maior que 35 Mpa 
 
Kx = 0,5 situação limite entre armadura simples e dupla para momento negativo com fck menor ou igual a 35 Mpa 
 
Kx = 0,625 situação limite entre armadura simples e dupla para momento positovo para qualquer fck 
59
ANEXO IV – TABELA DE ARMADURA (cm2)Fonte: apostila prof. Libânio (São Carlos/SP) 
Obs.: verificar sempre o recobrimento da armadura em função da classe de agressividade 
60
ANEXO V – TABELA DE ARMADURA (cm2/m) 
Fonte: apostila Prof. Libânio – São Carlos/SP 
61
ANEXO VI – TABELAS DE MARCUS PARA O CÁLCULO DE MOMENTOS PARA LAJES 
ARMADAS EM CRUZ 
LAJE TIPO 1 
 xx
yx
x qqqk
m
xq
m
xq
M −==== yx
2
y
2
q q M 
��
x
y
�
�
=λ x
m ym xk
x
y
�
�
=λ x
m ym xk
1,00 27,4 27,4 0,500 1,50 13,9 31,3 0,838 
1,01 27,0 27,4 0,509 1,51 13,8 31,4 0,838 
1,02 26,5 27,4 0,519 1,52 13,7 31,6 0,842 
1,03 26,0 27,4 0,528 1,53 13,6 31,8 0,845 
1,04 25,6 27,5 0,538 1,54 13,5 31,9 0,848 
1,05 25,1 27,5 0,547 1,55 13,4 32,1 0,851 
1,06 24,6 27,5 0,556 1,56 13,3 32,3 0,855 
1,07 24,2 27,5 0,566 1,57 13,2 32,4 0,858 
1,08 23,7 27,5 0,575 1,58 13,1 32,6 0,861 
1,09 23,2 27,6 0,585 1,59 13,0 32,8 0,865 
1,10 22,8 27,6 0,594 1,60 12,9 33,0 0,868 
1,11 22,4 27,6 0,602 1,61 12,8 33,2 0,870 
1,12 22,1 27,7 0,610 1,61 12,7 33,4 0,873 
1,13 21,8 27,7 0,618 1,63 12,6 33,6 0,875 
1,14 21,4 27,8 0,626 1,64 12,5 33,8 0,878 
1,15 21,1 27,8 0,634 1,65 12,4 34,0 0,80 
1,16 20,8 27,8 0,643 1,6 12,4 34,2 0,883 
1,17 20,4 27,9 0,651 `1,67 12,3 34,4 0,885 
1,18 20,1 27,9 0,659 1,68 12,2 34,6 0,888 
1,19 19,8 27,9 0,667 1,69 12,1 34,8 0,890 
1,20 19,4 28,0 0,675 1,70 12,0 35,0 0,893 
1,21 19,2 28,1 0,682 1,71 12,0 35,2 0,895 
1,22 19,0 28,2 0,688 1,72 11,8 35,5 0,897 
1,23 18,7 28,3 0,695 1,73 11,8 35,7 0,899 
1,24 18,5 28,4 0,701 1,74 11,7 35,9 0,901 
1,25 18,2 28,4 0,708 1,75 11,7 36,2 0,903 
1,26 18,0 28,5 0,715 1,76 11,6 36,4 0,905 
1,27 17,7 28,6 0,721 1,77 11,5 36,7 0,907 
1,28 17,5 28,7 0,728 1,78 11,5 36,9 0,909 
1,29 17,2 28,8 0,734 1,79 11,4 37,1 0,911 
1,30 17,0 28,8 0,741 1,80 11,4 37,4 0,913 
1,31 16,8 28,9 0,746 1,81 11,4 37,6 0,915 
1,32 16,7 29,0 0,752 1,82 11,3 37,8 0,916 
1,34 16,3 29,2 0,762 1,84 11,2 38,3 0,919 
1,35 16,1 29,3 0,767 1,85 11,2 38,5 0,921 
1,36 16,0 29,5 0,773 1,86 11,1 38,8 0,923 
1,37 15,8 29,76 0,778 1,87 11,1 39,0 0,924 
1,38 15,6 29,7 0,783 1,88 11,0 39,2 0,926 
1,39 15,4 29,8 0,789 1,89 11,0 39,5 0,927 
1,40 15,2 29,9 0,794 1,90 11,0 39,7 0,929 
1,41 15,1 30,0 0,798 1,91 10,9 40,0 0,930 
1,42 14,9 30,2 0,802 1,92 10,9 40,2 0,932 
1,43 14,8 30,3 0,806 1,93 10,8 40,5 0,933 
1,4 14,7 30,5 0,810 1,94 10,8 40,8 0,934 
1,45 14,5 30,6 0,814 1,95 10,8 40,0 0,935 
1,46 14,4 30,7 0,819 1,96 10,7 41,3 0,936 
62
1,47 14,3 30,9 0,823 1,97 10,7 41,6 0,937 
1,48 14,1 31,0 0,827 1,98 10,6 41,8 0,939 
1,49 14,0 31,2 0,831 1,99 10,6 42,1 0,940 
1,50 13,9 31,3 0,835 2,00 10,6 42,3 0,941 
63
LAJE TIPO 2 
 
x
x
x
xx
x
n
xq
X
qqqk
m
xq
m
xq
M
2
yx
2
y
2
q q M 
�
��
=
−====
x
y
�
�
=λ x
m ym xn xk
x
y
�
�
=λ x
m ym xn xk
0,50 140,0 45,1 59,2 0,135 1,00 29,9 36,7 11,2 0,714 
0,51 134,2 44,3 55,2 0,145 1,02 29,1 37,2 11,0 0,728 
0,52 127,5 43,4 51,6 0,155 1,04 28,3 37,7 10,8 0,742 
0,53 120,8 42,6 28,2 0,16 1,06 27,5 38,2 10,6 0,756 
0,54 114,1 41,8 45,5 0,176 1,08 26,7 38,7 10,4 0,770 
0,55 107,4 40,9 43,0 0,186 1,10 26,0 39,3 10,2 0,785 
0,56 103,0 40,4 40,4 0,198 1,12 25,5 39,9 10,1 0,795 
0,57 98,5 39,8 38,1 0,210 1,14 25,0 40,5 9,9 0,806 
0,58 94,1 39,3 36,2 0,221 1,16 24,4 41,2 9,8 0,817 
0,59 89,7 38,7 34,5 0,232 1,18 23,8 41,8 9,6 0,827 
0,60 85,3 38,1 32,7 0,245 1,20 23,4 42,6 9,5 0,838 
0,61 82,3 37,7 31,1 0,257 1,22 23,0 43,3 9,4 0,846 
0,62 79,4 37,3 29,6 0,270 1,24 22,6 44,1 9,3 0,853 
0,63 76,4 36,9 28,3 0,283 1,26 22,2 44,9 9,3 0,861 
0,64 73,5 36,5 27,1 0,296 1,28 21,8 45,7 9,2 0,869 
0,65 70,6 36,1 25,9 0,309 1,30 21,4 46,6 9,1 0,877 
0,66 63,3 35,9 24,8 0,322 1,32 21,1 47,6 9,1 0,883 
0,67 6,0 35,7 23,9 0,335 1,34 20,8 48,5 9,0 0,889 
0,68 63,8 35,5 23,0 0,348 1,36 20,5 49,5 8,9 0,895 
0,69 61,6 35,3 22,1 0,362 1,38 20,2 50,4 8,9 0,901 
0,70 59,3 35,1 21,3 0,375 1,40 20,0 51,2 8,8 0,906 
0,71 57,6 34,9 20,6 0,38 1,42 19,6 52,2 8,8 0,910 
0,72 56,0 34,9 20,0 0,401 1,46 19,4 53,2 8,8 0,914 
0,73 54,3 34,7 19,3 0,415 1,44 19,6 54,2 8,7 0,918 
0,74 52,6 34,6 18,7 0,428 1,48 19,2 55,2 8,7 0,922 
0,75 50,9 34,5 18,1 0,442 1,50 19,0 56,3 8,6 0,926 
0,76 49,7 34,5 17,6 0,455 1,52 18,8 57,2 8,6 0,929 
0,77 48,4 34,5 17,1 0,468 1,54 18,7 58,3 8,6 0,932 
0,78 47,2 34,4 16,6 0,481 1,56 18,6 59,4 8,6 0,935 
0,79 45,9 34,4 16,2 0,494 1,58 18,5 60,6 8,5 0,938 
0,80 44,6 34,3 15,8 0,506 1,60 18,3 61,9 8,5 0,943 
0,81 43,6 34,3 15,4 0,518 1,62 18,2 63,1 8,5 0,945 
0,82 42,6 34,4 15,1 0,530 1,64 18,0 64,3 8,4 0,947 
0,83 41,7 34,4 14,8 0,542 1,6 17,8 65,6 8,4 0,949 
0,84 40,7 34,5 14,4 0,554 1,68 17,7 66,9 8,4 0,952 
0,85 39,7 34,5 14,1 0,566 1,70 17,6 68,1 8,4 0,954 
0,86 38,9 34,6 13,9 0,577 1,72 17,5 69,3 8,4 0,956 
0,87 38,1 34,7 13,6 0,588 1,74 17,4 70,5 8,4 0,958 
0,88 37,3 34,8 13,4 0,599 1,76 17,3 71,7 8,3 0,959 
0,89