lista de exerc. sem. 3

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Lista de exerćıcios de Geometria Anaĺıtica - semana 3
1. No plano cartesiano, dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determine o vetor ~w
tal que
(a) 4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w
(b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u)
2. Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos do plano cartesiano. Denotando por M o
ponto médio do segmento AB, determine as suas coordenadas, em termos de x1, x2, y1
e y2. (DICA: verifique qual é a relação entre os vetores
−→
AM e
−→
MB)
3. Considere os vetores ~v1 = (1,−2, 1), ~v2 = (2, 0,−4) e ~v = (−4,−4, 14). Determine
números reais α e β tais que ~v = α~v1 + β~v2.
4. Considere os pontos A = (−1, 2, 3) e B = (1,−1,m). Se |
−→
AB | = 7, determine os
posśıveis valores para m.
5. Nos itens abaixo, verifique se os pontos dados estão sobre uma mesma reta.
(a) A = (−1,−5, 0), B = (2, 1, 3), C = (−2,−7,−1)
(b) A = (2, 1,−1), B = (3,−1, 0), C = (1, 0, 4)
6. Dados os vetores ~u = (1, a,−2a−1), ~v = (a, a−1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determine o valor
de a de forma que 〈~u,~v〉 = 〈~u+ ~v, ~w〉.
7. Usando a relação entre o produto escalar de um vetor com ele próprio e o módulo desse
vetor, mostre que:
(a) |~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2 〈~u,~v〉+ |~v|2
(b) |~u− ~v|2 = |~u|2 − 2 〈~u,~v〉+ |~v|2
(c) 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉 = |~u|2 − |~v|2
8. Usando os itens (a) e (b) da questão anterior, conclua que, em um paralelogramo, as
somas dos quadrados das diagonais é igual a soma dos quadrados de seus lados.
9. Considere o vetor ~u = (1,−1, 2). Determine o vetor ~v colinear com ~u e tal que 〈~u,~v〉 =
−18.