limites indeterminados

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1–4 Dado que
quais dos limites a seguir são formas indeterminadas? Para aque-
les que não são formas indeterminadas, calcule o limite quando
possível.
1. (a) (b) (c) 
(d) (e) 
2. (a) (b) 
(c) 
3. (a) (b) 
(c) 
4. (a) (b) (c) 
(d) (e) (f) 
5–6 Use os gráficos de f e t e suas retas tangentes em (2, 0) para en-
contrar .
5. 6.
7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apro-
priado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se
a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. 
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53.
54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.lim
x l �
x 1�x lim
x l �
�e x 	 x�1�x
lim
x l1	
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x l 0
x 	 sen x
x 	 cos x
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lim
x l 0
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x � tg x
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x l 0
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tg x
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x 2
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1 � sen u
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x 3 � 1
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y=1,8(x-2)
x0
y= (x-2)
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x l a
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278 CÁLCULO
4.4 Exercícios
; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:23 AM Page 278
63. 64.
65. 66.
67–68 Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a Re-
gra de l’Hôpital para encontrar o valor exato.
67. 68.
69–70 Ilustre a Regra de l’Hôspital fazendo o gráfico de e
próximo de , para ver que essas razões têm o mesmo
limite quando . Calcule também o valor exato do limite.
69. , 
70. , 
71. Demonstre que 
para qualquer inteiro positivo n. Isso mostra que a função expo-
nencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potên-
cia de x.
72 Demonstre que 
para todo número p � 0. Isso mostra que a função logaritmo tende
a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x.
73–74 O que acontece se você tentar usar a Regra de l’Hôspital para
encontrar o limite? Calcule o limite usando outro método.
73. 74.
75. Investigue a família de curvas dada por . Em par-
ticular, encontre os limites quando e determine os va-
lores de c para os quais f tem um mínimo absoluto. O que acon-
tece aos pontos mínimos quando c cresce?
76. Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo
para sua velocidade após t segundos, levando-se em conta a re-
sistência do ar, é
Onde t é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva.
(No Capítulo 9 deduziremos essa equação a partir da hipótese de
que a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto; c é
a constante proporcionalidade.)
(a) Calcule . Qual o significado desse limite?
(b) Para um valor fixo de t, use a Regra de l’Hôspital para calcu-
lar . O que você pode concluir sobre a velocidade de
um objeto caindo no vácuo?
77. Se um montante inicial de dinheiro A0 for investido a uma taxa de
juros r capitalizada n vezes ao ano, o valor do investimento após
t anos será 
Se , nos referimos à capitalização contínua de juros. Use
a regra de l’Hôspital para mostrar que se os juros forem capitali-
zados continuamente, então o montante após t anos será 
78. Se uma bola de metal de massa m for lançada na água e a força
de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então
a distância que a bola percorreu até o instante t é dada por
onde c é uma constante positiva. Encontre .
79. Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido
ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unidade de vo-
lume é 
Mostre que .
80. Um cabo de metal tem raio r e é coberto por isolante, de modo
que a distância do centro do cabo ao exterior do isolante é R. A
velocidade de um impulso elétrico do cabo é
onde c é uma constante positiva. Encontre os seguintes limites e
interprete suas respostas.
(a) (b) 
81. A primeira aparição impressa da Regra de l’Hôspital foi em um
livro Analyse des infiniment petits publicado pelo marquês de
l’Hôspital em 1696. Esse foi o primeiro livro de cálculo publicado
e o exemplo que o marquês usou em seu livro para ilustrar sua re-
gra foi encontrar o limite da função 
quando x tende a a, onde a � 0. (Naquela época era comum es-
crever aa no lugar de a2.) Resolva esse problema.
82. A figura mostra um setor de um círculo com ângulo central u. Seja
A (u) a área do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja B (u)
a área do triângulo PQR. Encontre .
83. Calcule .
84. Suponha que f seja uma função positiva. Se e
, mostre que
Isso mostra que não é uma forma indeterminada. 
85. Se for contínua, e , calcule
86. Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida?
lim
x l 0
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lim
x l 0
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t�x� � sec x � 1f �x� � 2x sen x
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�2x � 32x 	 5	2x	1limx l 0	 �cos x�1�x2
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x l0 	
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APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 279
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;
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Calculo04:calculo7 6/10/13 6:26 AM Page 279
280 CÁLCULO
87. Se for contínua, use a Regra de l’Hôspital para mostrar que
Explique o significado dessa equação utilizando um diagrama.
88. Se for contínua, mostre que 
89. Considere
(a) Use a definição de derivada para calcular .
(b) Mostre que f tem derivadas de todas as ordens que são defi-
nidas em . [Dica: Primeiro mostre por indução que há um
polinômio e um número inteiro não negativo tais que
para .]
90. Considere
(a) Mostre que f é contínua em 0.
(b) Pesquise graficamente se f é derivável em 0 por meio de su-
cessivos zooms em direçãoao ponto (0, 1) sobre o gráfico de f.
(c) Mostre que f não é derivável em 0. Como reconciliar esse fato
com a aparência do gráfico na parte (b)?
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f �n��x� � pn�x�f �x��x kn x � 0
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Mathematics, em www.stewartcalculus.com,
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4.5
PROJETO ESCRITO AS ORIGENS DA REGRA DE L’HÔSPITAL
A Regra de l’Hôspital foi publicada pela primeira vez em 1696, no livro Analyse des infiniment pe-
tits, do marquês de l’Hôspital, mas na verdade ela foi descoberta em 1694 pelo matemático suíço
John (Johann) Bernoulli. A explicação para esse fato é que esses dois matemáticos fizeram um cu-
rioso acordo, que dava ao marquês de l’Hôspital os direitos das descobertas de Bernoulli. Os deta-
lhes desse acordo, inclusive a tradução da carta de l’Hôspital para Bernoulli propondo o arranjo, po-
dem ser encontrados no livro de Eves [1].
Escreva um relatório sobre as origens histórica e matemática da Regra de l’Hôspital. Comece
fornecendo uma breve biografia de ambos (o dicionário editado por Gillispie [2] é uma boa fonte),
e resuma o arranjo feito por eles. A seguir, dê o enunciado da Regra de l’Hôspital, que é encontrada
no livro de Struik [4] e mais resumidamente no livro de Katz [3]. Observe que l’Hôspital e Bernoulli
formularam geometricamente a regra e deram a resposta em termos de diferenciais. Compare seus
enunciados com a versão da regra de Bernoulli dada na Seção 4.4 e mostre que os dois enunciados
são essencialmente iguais.
1. Eves, H. em Mathematical Circles Volume 2: Quadrantes III e IV Boston: Prindle, Weber and
Schmidt, 1969. pp. 20–22.
2. Gillispie, C. C. Dictionary of Scientific Biography. Nova York: Scribner’s, 1974. Veja o artigo
em Johann Bernoulli by E. A. Fellmann e J. O. Fleckenstein em Volume II e o artigo em Mar-
quês de l’Hôspital por Abraham Robinson no Volume VIII.
3. Katz, V. A History of Mathematics: An Introduction. Nova York: HarperCollins, 1993. p. 484.
4. Struik, D. J. A Sourcebook in Mathematics, 1200–1800. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 1969. p. 315–316.
Resumo do Esboço de Curvas
Até o momento, estivemos preocupados com alguns aspectos particulares de esboço de cur-
vas: domínio, imagem e simetria no Capítulo 1; limites, continuidade e assíntotas no Capítulo
2; derivadas e tangentes nos Capítulos 2 e 3; e valores extremos, intervalos de crescimento e
decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e Regra de L’Hôspital neste capítulo. Chegou
a hora de agruparmos todas essas informações para esboçar gráficos que revelem os aspectos
importantes das funções.
Você pode se perguntar: por que não usar simplesmente uma calculadora gráfica ou com-
putador para traçar uma curva? Por que precisamos usar o cálculo?
É verdade que a tecnologia moderna é capaz de produzir gráficos bem precisos. Contudo,
mesmo a melhor ferramenta gráfica deve ser usada inteligentemente. Vimos na Seção 1.4 que
é extremamente importante escolher uma janela retangular adequada para evitar obter um grá-
fico que nos leve a conclusões errôneas. (Veja, em particular, os Exemplos 1, 3, 4 e 5 naquela
seção.) O uso do cálculo nos possibilita descobrir os aspectos mais interessantes dos gráficos
e, em muitos casos, calcular exatamente os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão.
;
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